专题05 二次函数解答题压轴（5大题型20题）（湖北专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题05 二次函数解答题压轴（5大题型20题） 题型概览 题型01 参数值及范围问题 题型02 整点及点的个数问题 题型03 第3问中的解析式问题 题型04 角度问题 题型05 定点问题 ( 题型01 ) 参数值及范围问题 1．（2025·湖北·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：（t为常数）． (1)若抛物线与y轴交于点，直接写出的值； (2)若抛物线L的顶点坐标为，当取最大值时，求B点的坐标； (3)若点是平面直角坐标系内两点，将该抛物线L向上平移个单位得到新抛物线，当抛物线与线段有公共点时，求t的取值范围． 2．（2025·湖北武汉·一模）已知顶点为的抛物线经过点．为对称轴上一动点，记点的纵坐标为，过点的直线交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，当时，连接．若的内心在轴上，求直线的解析式； (3)若为定值，求的值． 3．（2025·湖北鄂州·一模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与轴，轴交于B，C两点，抛物线经过B，C两点，与轴的另一交点为． (1)若抛物线的对称轴为直线，求的值； (2)如图2，点在线段OC上，且．点在第四象限内，且于点，轴于点，设四边形的面积为S，点的横坐标为，求S关于的解析式； (3)在（2）条件下，若四边形的面积为44，且线段与抛物线相交，求的取值范围． 4．（2025·湖北黄石·一模）如图1，抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B，对称轴为，若点A的坐标为，，点为某个动点． (1)直接写出点B，C的坐标； (2)当点D在抛物线上且在对称轴右侧时，设直线的解析式为，依据函数图象试求不等式的解集； (3)如图2，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，记，求n关于m的函数解析式．当n随m的增大而增大时，求m的取值范围． 5．（2025·湖北襄阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于，两点， 与轴交于点，点是轴下方抛物线上不与点重合的一动点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图， 若， 求的值； (3)过点分别作轴，轴的平行线交于点 ，，的周长记为． 求关于的函数解析式； 在点运动的过程中，当取某一个值时，存在两个点，它们的横坐标分别为 满足，请求出此时的值． 6．（2025·湖北·一模）如图抛物线与轴交于和两点，与轴交于点， (1)求抛物线的解析式； (2)点P是x轴下方抛物线上一点，设点P的横坐标为t，过点P作x轴的平行线交直线BC于点M，过点P作x轴的垂线交x轴于Q，以PM，PQ为邻边的矩形的周长记为l． ①请直接写出l关于t的函数关系式； ②求l的最值； (3)将抛物线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，若新抛物线的顶点G在内（不含边界），直接写出m的取值范围． 7．（2025·湖北·一模）在平面直角坐标系中，如图1，抛物线与轴交于两点，且． (1)若抛物线与轴交于两点，坐标分别为，且．直接写出的大小关系． (2)当时，抛物线与轴交于点，作直线． ①求抛物线的解析式． ②如图2，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． ③如图3，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 8．（2025·湖北襄阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与直线交于点，两点，点是直线下方抛物线上不与，重合的一动点，过点作的平行线交轴于点，设点的横坐标为． (1)请直接写出，，的值； (2)如图，若抛物线的对称轴为直线，点在直线的右侧，与直线交于点，当为的中点时，求的值； (3)线段的长记为． ①求关于的函数解析式； ②若，结合关于的函数图象，直接写出的取值范围． ( 题型02 ) 整点及点的个数问题 9．（2025·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求、两点的坐标； (2)当时，动直线与抛物线交于点，与直线交于点，线段的长为，求关于的函数解析式； (3)我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点，之间的部分与线段所围成的区域内（不含边界）恰有个整点，试结合函数图象直接写出的取值范围． 10．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，连接．点P为x轴上方抛物线上一动点（点P不与点C重合），设点P的横坐标为t． (1)求该二次函数的解析式； (2)连接 ，当时，求t的值； (3)设以A，O，C，P为顶点的四边形的面积为S， ①求S关于t的函数解析式； ②根据S的不同取值，试探索点P的个数情况． 11．（2025·湖北·一模）如图，一次函数的图象与抛物线交于，两点，与轴交于点，为第二象限抛物线上的点． (1)一次函数的图象经过点时，求的值； (2)过点作轴的垂线，垂足为，与直线交于点，连接．求证：四边形为平行四边形； (3)在（1）和（2）的条件下，若，，求，，三点的坐标． 12．（2025·湖北·一模）在平面直角坐标系中，抛物线M：的顶点为A． (1)如图1，若A点横坐标为2，点在抛物线M上，求t的值； (2)如图2，若，直线分别交x轴、y轴于点B、C，用b表示点A到直线l的距离d，并求出d取得最小值时抛物线M的解析式； (3)定义：在平面直角坐标系中，若点P满足横、纵坐标都为整数，则把点P叫做“整点”，如点，都是“整点”．若，当抛物线与其关于x轴对称抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）共有9个整点，求a的取值范围． 13．（2025·湖北孝感·一模）如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线经过点，交轴于另一点，点为线段上一动点，直线交抛物线于点． (1)填空：______，_____； (2)若，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上有一动点，过点作轴的垂线分别交直线和直线于点，设，点的横坐标为 ①求关于的函数关系式； ②求满足为整数的点的个数． 14．（2025·湖北孝感·一模）已知抛物线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． (1)直接写出点A的坐标为_____________； (2)当时，如图1，直线是抛物线的对称轴，点P为对称轴右侧抛物线上一点，设点P的横坐标为m，连接． ①过点P作，交直线于点Q，若，求m的值； ②连接，若，求m的值； (3)规定：横、纵坐标均为整数的点称为格点，如等．如图2，抛物线与直线相交于两点，若直线与抛物线所围成的部分（不含边界）格点数恰为12个，请直接写出a的取值范围． 15．（2025·湖北随州·一模）如图1，抛物线交轴于，两点，交轴于点，对称轴为，若点的坐标为，，点为某个动点． (1)直接写出点，的坐标； (2)当点在抛物线上且在对称轴右侧时，设直线的解析式为，依据函数图象试求不等式的解集； (3)如图2，过点作轴的垂线，交抛物线于点，记，求关于的函数解析式． ①当随的增大而增大时，求的取值范围； ②根据的不同取值确定点的个数． 16．（2025·湖北襄阳·一模）如图，直线分别交轴于，点，抛物线经过，两点且与轴交于另一点，点是轴上方抛物线上一点，且点的横坐标为． (1)求抛物线解析式； (2)如图，当点是抛物线的顶点时，连接交于点．求与之间的数量关系； (3)过作轴于，轴于，令矩形的周长为． 求与的函数解析式； 若矩形围成的区域（不含边界，即矩形四条边上的点不符合区域）记为，当且内恰有奇数个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出的取值范围． ( 题型03 ) 第3问中的解析式问题 17．（2025·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点坐标为 (1)求抛物线解析式； (2)如图1，点是直线下方的抛物线上一点，当的面积为时，求此时点的坐标； (3)如图2，点为抛物线上一点，连接交轴于点，设的横坐标为，的长为，求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）． 18．（2025·湖北宜昌·一模）已知抛物线G：过点和点，直线l：过点，交线段于点D，记的周长为，的周长为，且． (1)求抛物线G的对称轴； (2)求直线l的解析式； (3)直线l绕点C以每秒的速度顺时针旋转t秒后得到直线，当时，直线交抛物线G于E，F两点． ①当第一次与平行时，求t的值； ②设的面积为S，若对于任意的，均有成立，求k的最大值及此时抛物线G的解析式． ( 题型04 ) 角度问题 19．（2025·湖北恩施·一模）已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点和两点，且抛物线与x轴交另一点B． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，在抛物线上有点P，过点A过的平行线交y轴与点M，若是以为底的等腰三角形，求点P的坐标； (3)在抛物线上是否存在一点Q，使得中有一个角是的2倍，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． ( 题型0 5 ) 定点问题 20．（2025·湖北武汉·一模）如图1，抛物线交轴于点，（点在点的左边），交轴于点． (1)直接写出点，，的坐标； (2)如图2，连接，点在抛物线对称轴上，将线段绕点旋转得到对应线段，若线段的中点恰好在抛物线上，求点的坐标； (3)如图3，将直线向上平移2个单位长度得到直线，点在直线上，过点画两条不平行于轴的直线，，直线与抛物线仅有一个公共点，直线与抛物线仅有一个公共点，求证：直线经过定点，并求该定点的坐标． / 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整理得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （3）解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴直线， 当时，， ∴，， ∴， ∴ ， ， ∴， ∵为定值，设定值为， 则， ∴， ∴， ∴， 解得或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，求一次函数解析式，三角形的内心，三角函数，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形运算，掌握二次函数的性质及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 3．（2025·湖北鄂州·一模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与轴，轴交于B，C两点，抛物线经过B，C两点，与轴的另一交点为． (1)若抛物线的对称轴为直线，求的值； (2)如图2，点在线段OC上，且．点在第四象限内，且于点，轴于点，设四边形的面积为S，点的横坐标为，求S关于的解析式； (3)在（2）条件下，若四边形的面积为44，且线段与抛物线相交，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对称轴，求出点坐标，待定系数法求出m的值即可； （2）根据两直线平行，求出的解析式，进而求出点坐标，过点作轴，证明，进而用含的式子表示出的长，即可得到点坐标，利用梯形的面积减去三角形的面积表示出S关于t的解析式，即可； （3）先根据面积求出的值，进而得到的坐标，求出抛物线分别过时，点坐标，进而求出的范围即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的一个交点为， 把代入，得：， ∴； （2）解：∵，直线的解析式为， ∴设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， ∴直线的解析式为，当时，， ∴， ∴， 过点作轴于点，则，， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， 即； （3）解：当时，， 整理，得， 解得：或（舍去）； ∴，， 当抛物线过点时，则：，解得：， ∴， 当时，，解得：， ∴，代入，得：， ∴； 当抛物线过点时，则两点重合， ∴，代入，得：， ∴； ∵与抛物线有交点， ∴ ∴． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求一次函数的解析式，坐标系中两条平行线解析式之间的关系，相似三角形的判定和性质，掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 4．（2025·湖北黄石·一模）如图1，抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B，对称轴为，若点A的坐标为，，点为某个动点． (1)直接写出点B，C的坐标； (2)当点D在抛物线上且在对称轴右侧时，设直线的解析式为，依据函数图象试求不等式的解集； (3)如图2，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，记，求n关于m的函数解析式．当n随m的增大而增大时，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考出了二次函数的性质、二次函数与不等式的综合、二次函数的综合等知识点，掌握数形结合思想以及灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． （1）先由二次函数的对称性可得，再结合即可确定点B的坐标； （2）先求出二次函数解析式，由题意可得， 解得：或，进而确定，即，再结合函数图象即可解答； （3）由第（2）问可知：点D在直线上运动，其中，进而可得；再分当或时，；当时，两种情况，分别利用二次函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为，交x轴于A，C两点且点A的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B， ∴，解得：， ∴函数解析式为， ∵函数解析式为，点在抛物线上， ∴， 解得：或， ∵D点在对称轴的右边， ∴， ∴，即 ∴可以看作抛物线在直线的下方，∴由以上函数图象可知：或； （3）解：由第（2）问可知：点D在直线上运动，其中， ， ， ∴当或时，； 当时，， 分类讨论如下： 当或时，， ∵，对称轴，当时，n随m的增大而增大， ∴时，n随m的增大而增大； 当时，， ∵，抛物线开口向下，对称轴为；当时，n随m的增大而增大， ∴时，n随m的增大而增大； 综上所述：当n随m的增大而增大时，或． 5．（2025·湖北襄阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于，两点， 与轴交于点，点是轴下方抛物线上不与点重合的一动点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图， 若， 求的值； (3)过点分别作轴，轴的平行线交于点 ，，的周长记为． 求关于的函数解析式； 在点运动的过程中，当取某一个值时，存在两个点，它们的横坐标分别为 满足，请求出此时的值． 【答案】(1)抛物线解析式为：； (2)的值为； (3)；． 【分析】（）根据待定系数法求二次函数的解析式即可求解； （）过作轴于点，由点的横坐标为，且在抛物线图象上，则点的横坐标为，，由，得，列出即可求解； （）设得解析式为， 求出得解析式为，设，则，，分当点在下方时，即时和当点在上方时，即时，求出即可； 由题意得，，转化为一元二次方程即可求解； 本题考查了二次函数和一次函数的图象及性质，待定系数法，解直角三角形和解一元二次方程，熟练掌握知识点点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵抛物线与轴交于，两点， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）如图，过作轴于点，    ∴， ∵点的横坐标为，且在抛物线图象上， ∴点的横坐标为，，， ∵， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，即， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴的值为； （3）如图，当点在下方时，即时，    由（）得：， 设得解析式为：， ∴，解：， ∴得解析式为：， 设， ∵轴，轴， ∴，， ∴，， ， ∴的周长； 如图，当点在上方时，即时，    由上可知：得解析式为：， 设， ∵轴，轴， ∴，， ∴，， ， ∴的周长， ∴； 由得， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：， 由题意得正值舍去，则， ∴， 此时． 6．（2025·湖北·一模）如图抛物线与轴交于和两点，与轴交于点， (1)求抛物线的解析式； (2)点P是x轴下方抛物线上一点，设点P的横坐标为t，过点P作x轴的平行线交直线BC于点M，过点P作x轴的垂线交x轴于Q，以PM，PQ为邻边的矩形的周长记为l． ①请直接写出l关于t的函数关系式； ②求l的最值； (3)将抛物线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，若新抛物线的顶点G在内（不含边界），直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②周长l的最大值为 (3) 【分析】（1）将点，代入抛物线解析式即可求解； （2）①对于抛物线，令，得到，采用待定系数法求得直线的解析式为，进而得到，，从而表示出，，矩形的周长为，分两种情况：点P在点M的左侧，即；点P在点M的右侧，即，进行化简即可． ②根据二次函数的性质求解即可； （3）根据二次函数的性质得到原抛物线的顶点为，从而由平移得到，根据点G在内（不含边界），得到点G的横坐标的取值范围，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴，解得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：①对于抛物线，令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵点P是x轴下方抛物线上一点，点P的横坐标为t， ∴， ∵轴， ∴点M的纵坐标为， 把代入函数，得， 解得， ∴， ∴， ∴以PM，PQ为邻边的矩形的周长为， ∴若点P在点M的左侧，即当时， ， 若点P在点M的右侧，即当时， 综上所述，l关于t的函数关系式为． ②当时，， ∴当时，l随着t的增大而减小， 当时，，当时，， ∴； 当时，， ∴当时，l有最大值，为， 当时，，当时，， ∴； 综上所述，周长l的最大值为． （3）解：∵抛物线，顶点坐标为， ∴将该抛物线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，新抛物线的顶点G为， 由点，可得直线的解析式为， 对于直线，令，则， 解得． 对于直线，令，则， 解得． ∵点G在内（不含边界）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，点的平移，不等式的应用等，综合运用相关知识，掌握数形结合思想是解题的关键． 7．（2025·湖北·一模）在平面直角坐标系中，如图1，抛物线与轴交于两点，且． (1)若抛物线与轴交于两点，坐标分别为，且．直接写出的大小关系． (2)当时，抛物线与轴交于点，作直线． ①求抛物线的解析式． ②如图2，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． ③如图3，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②存在最大值，的面积最大值为：，此时；③满足条件的点M的横坐标的取值范围为：或 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题． （1）运用图象法求解即可； （2）①利用待定系数法转化为方程组求解； ②过点P作于点N，交于点M．证明是等腰直角三角形，推出，求出的最大值，可得结论； （3）设，则，求出点N在抛物线上时a的值，可得结论． 【详解】（1）解：根据题意得，抛物线是由抛物线向下平移1个单位得到的，如图， 故可得，； （2）解：①∵， ∴抛物线与x轴交于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； ②存在最大面积； 过点P作于点N，交于点M．如图， ∵抛物线与y轴交于点C， ∴时，， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的值最大时，的值最大，的面积最大， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，的最大值， ∴的最大值， ∴的面积最大值为：，此时； ③设，则， 当点N在抛物线上时，， ∴， 解得，， ∵线段与抛物线有交点， ∴满足条件的点M的横坐标的取值范围为：或． 8．（2025·湖北襄阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与直线交于点，两点，点是直线下方抛物线上不与，重合的一动点，过点作的平行线交轴于点，设点的横坐标为． (1)请直接写出，，的值； (2)如图，若抛物线的对称轴为直线，点在直线的右侧，与直线交于点，当为的中点时，求的值； (3)线段的长记为． ①求关于的函数解析式； ②若，结合关于的函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3)①；②的取值范围为或或 【分析】（1）将，两点代入抛物线，求出、的值，令抛物线，即可求解的值； （2）过点作轴于点，设抛物线的对称轴交轴于点，交轴于点，可证得，得，根据，利用待定系数法求出直线的解析式为，设直线的解析式为，求得，设、，则可得，通过图象得点、在轴的同一侧，即可求解； （3）①求出，则可得，即可求得关于的函数解析式；②画出函数图象，分析图象即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与直线交于点，两点， 将，两点代入抛物线，得： ，解得：， 抛物线， 令，解得：（舍去）或， 点，即． ，，． （2）解：如图，过点作轴于点，设抛物线的对称轴交轴于点，交轴于点， ， ， ， 点的横坐标为， ， 直线的解析式为，， 设直线的解析式为， 点是抛物线与直线的交点， ，得：， 直线的解析式为， 设，， ， 由图象可得：点、在轴的同一侧， ，解得：， 点在直线的右侧，且， . （3）解：①如图，设与轴的交点为点， 直线的解析式为， 直线与轴的交点为，与轴的交点为， ， ， ， ， ． 在中，， ， ． ②点是直线下方抛物线上不与，重合的一动点，且， 画出图象如下： ， ， ， 或， 当时，， 当时，， 点在直线下方， ， 由图象得：若，则的取值范围为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，利用待定系数法求二次函数的解析式和一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，解二元一次方程组，解一元二次方程等，理解题意、利用参数构建方程是解题关键． ( 题型02 ) 整点及点的个数问题 9．（2025·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求、两点的坐标； (2)当时，动直线与抛物线交于点，与直线交于点，线段的长为，求关于的函数解析式； (3)我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点，之间的部分与线段所围成的区域内（不含边界）恰有个整点，试结合函数图象直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标，二次函数与线段长度，二次函数上点的特征，运用分类讨论思想和数形结合思想是解题的关键． （）令时，，然后解方程即可； （）当时，抛物线为，求出，再利用待定系数法求出解析式为，设，则，从而； （）分若时，和若时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴当时，， ∴，， ∴，； （2）解：当时，抛物线为， 当时，， ∴， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 设，则， ∴； （3）解：若时， ∴，顶点为， ∵恰有个整点， ∴，解得：； 若时，如图， ∴，顶点为， ∵恰有个整点， ∴，解得：； 综上可得：的取值范围为或． 10．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，连接．点P为x轴上方抛物线上一动点（点P不与点C重合），设点P的横坐标为t． (1)求该二次函数的解析式； (2)连接 ，当时，求t的值； (3)设以A，O，C，P为顶点的四边形的面积为S， ①求S关于t的函数解析式； ②根据S的不同取值，试探索点P的个数情况． 【答案】(1) (2) (3)①S关于t的函数解析式为②当时，存在3个符合条件的点P；当时，存在2个符合条件的点P；当时，存在1个符合条件的点P． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用已知条件得到，则点P与点C的纵坐标相同，令，求得x值，则点P的横坐标可求； （3）①利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当点P在的上方时，即，，过点P作于点D，利用解答即可；当点P在的下方时，即，， 过点P作于点E，利用解答即可； ②利用函数的性质求得S的取值范围，画出函数的图象，依据图象解答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．如图， ∴点P的纵坐标为4， ∴， ∴或， ∴， ∴． （3）解：①令，则， ∴或， ∴， ∴． 当点P在的上方时， 即，， 过点P作于点D，如图， 则，， ∴， ∴ ． 当点P在的下方时， 即，， 过点P作于点E，如图， 则， ∴ ． 综上，S关于t的函数解析式为； ②当时， ， ∵， ∴当时，S有最大值为16， ∴． 当时，， ∴． 画出函数的大致图象，如图： 由图象可知： 当时，存在3个符合条件的点P； 当时，存在2个符合条件的点P； 当时，存在1个符合条件的点P． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数与三角形面积综合，一次函数与三角形面积综合，分类讨论，是解题和关键． 11．（2025·湖北·一模）如图，一次函数的图象与抛物线交于，两点，与轴交于点，为第二象限抛物线上的点． (1)一次函数的图象经过点时，求的值； (2)过点作轴的垂线，垂足为，与直线交于点，连接．求证：四边形为平行四边形； (3)在（1）和（2）的条件下，若，，求，，三点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)点，点，点． 【分析】（1）直接将代入函数解析式即可求出， （2）设一次函数与抛物线交于，两点为，，根据交点坐标可得，，再由直线解析式为求出点C的纵坐标；由一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形得出结论； （3）根据点和（2）的结论，，即点，进而可得，再代入可求，，根据，得，进而求出，由此即可解题． 【详解】（1）解：∵一次函数经过时，代入得． （2）解：设，两点坐标分别为，， 依题意得，整理得：， ∴， 设直线解析式为得：， ∴， 即直线解析式为； ∵轴， ∴点的横坐标为，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． （3）∵，即， ∴，． ∴，即点 ∴， ∴， ∴， 由（2）得，由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴，即． ∴， 解并检验得 ∴，， ， ∴点，点，点． 【点睛】本题是二次函数与几何图形综合题，涉及了二次函数与一次函数交点 一元二次方程根与系数关系，平行四边形判定，解题关键是设交点坐标，由根与系数关系得出交点坐标的关系，进而表示出线段或面积的关系． 12．（2025·湖北·一模）在平面直角坐标系中，抛物线M：的顶点为A． (1)如图1，若A点横坐标为2，点在抛物线M上，求t的值； (2)如图2，若，直线分别交x轴、y轴于点B、C，用b表示点A到直线l的距离d，并求出d取得最小值时抛物线M的解析式； (3)定义：在平面直角坐标系中，若点P满足横、纵坐标都为整数，则把点P叫做“整点”，如点，都是“整点”．若，当抛物线与其关于x轴对称抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）共有9个整点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，d有最小值，此时抛物线M的解析式为 (3) 【分析】（1）根据顶点为A的横坐标为2，得到，再将点代入解析式求解，即可解题； （2）过点A作于点D，作轴交直线l于点E，结合一次函数解析式得到，，利用勾股定理求出，结合二次函数解析式得到顶点A的坐标为，进而求出，再证明，最后利用相似三角形性质和二次函数最值求解，即可解题； （3）通过抛物线的解析式可得对称轴为直线，过点，对a分情况讨论或求解，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线的顶点为A．且A点横坐标为2， ， ， 点在抛物线M上， ， t的值为． （2）解：如图，过点A作于点D，作轴交直线l于点E， 则， 对于直线，易知，， ， ， 抛物线M：， 顶点A的坐标为， 把代入到，得， ， ， 轴， ， 又， ， ，即， ，即， 当时，d有最小值，此时抛物线M的解析式为． （3）解：， ，其对称轴为直线，图象必过点， 当时，开口向上，如下图： 当时，此时整点有，，，，，根据对称性，整点显然超过9个，不符合题意； 当时，开口向下，如下图： 要保证封闭区域内（包括边界）共有9个整点，需要同时满足： 当时，，当时，， 即， 解得， 故a的取值范围为． 【点睛】本题考查二次函数性质，一次函数与坐标轴交点，勾股定理，二次函数一般式化顶点式，相似三角形的性质和判定，二次函数与一元一次不等式组，解题的关键在于理解题意列出不等式组． 13．（2025·湖北孝感·一模）如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线经过点，交轴于另一点，点为线段上一动点，直线交抛物线于点． (1)填空：______，_____； (2)若，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上有一动点，过点作轴的垂线分别交直线和直线于点，设，点的横坐标为 ①求关于的函数关系式； ②求满足为整数的点的个数． 【答案】(1)， (2) (3)①；②8个 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的综合，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，二次函数与几何的综合等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质和待定系数法． （1）利用直线解析式求得直线与坐标轴的交点坐标，再利用待定系数法求得二次函数解析式； （2）利用相似三角形求得线段长度，进而求得点的坐标； （3）①先求得直线的解析式，然后再分段求关于的函数关系式；②分两段进行求的取值，然后再确定的整数值即可. 【详解】（1）解：根据直线可得： ，，将两点坐标代入可得 ，， 故答案为：，． （2） 解： 由（1）得， 当时，，解得或， 点， 过点作轴于，则， ， ， ， 点的横坐标为，把代入得， 点． （3）解：①设直线的解析式为，并把点，点代入得 ， 直线的解析式为， 当时， ， 即， 当时，， 关于的函数关系式为 ， ②（i）当时， ， 当时，取最大值为， 当时，，当时，， ，其中的整数值有2，3，4三个， 对应的点有5个， （ii）当时，， ，此时随增大而增大， 当时，，当时，， ，其中的整数值有4，5，6三个，对应的点有3个， 因此，满足为整数的点的个数为8个． 14．（2025·湖北孝感·一模）已知抛物线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． (1)直接写出点A的坐标为_____________； (2)当时，如图1，直线是抛物线的对称轴，点P为对称轴右侧抛物线上一点，设点P的横坐标为m，连接． ①过点P作，交直线于点Q，若，求m的值； ②连接，若，求m的值； (3)规定：横、纵坐标均为整数的点称为格点，如等．如图2，抛物线与直线相交于两点，若直线与抛物线所围成的部分（不含边界）格点数恰为12个，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，添加合适的辅助线，熟练掌握二次函数的性质和相似三角形的性质是解题的关键． （1）求出当时的自变量值即可得到答案； （2）①过P作直线轴，交x轴于N，过Q作于M，证明，则，则，求出即可； ②证明，则，得到方程，解方程即可得到答案； （3）求出上的格点应为：，得到，求出线段上的格点应为：，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∵抛物线与x轴相交于点A， ∴点A的坐标为； 故答案为：； （2）解：①当时，抛物线， 过P作直线轴，交x轴于N，过Q作于M， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， （P与A重合，舍去），， ∴； ②令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， 解得：， ∵点P为对称轴右侧抛物线上一点， ∴， ； （3）解：a的取值范围为； 由， 得， ∴， 设由抛物线与直线围成的区域（不含边界）的格点为（均为整数）， ∴或， 设直线交直线交与点G，直线交直线于点F，交于点E，则，， ∴， ∴， ∴与上各有6个格点，且必在线段与上， ∴上的格点应为：， ， ， ， 当时，则， ∴线段上的格点应为：， ， ； ； 综上所述，满足条件的a的取值范围为． 15．（2025·湖北随州·一模）如图1，抛物线交轴于，两点，交轴于点，对称轴为，若点的坐标为，，点为某个动点． (1)直接写出点，的坐标； (2)当点在抛物线上且在对称轴右侧时，设直线的解析式为，依据函数图象试求不等式的解集； (3)如图2，过点作轴的垂线，交抛物线于点，记，求关于的函数解析式． ①当随的增大而增大时，求的取值范围； ②根据的不同取值确定点的个数． 【答案】(1)， (2)或 (3)，①当随的增大而增大时，或；②当，点有2个点；当时，点有4个点；当时，点有3个点，时，点有2个点 【分析】本题主要考出了二次函数的性质、二次函数与不等式的综合、二次函数的综合等知识点，掌握数形结合思想以及灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． （1）先由二次函数的对称性可得，再结合即可确定点B的坐标； （2）先求出二次函数解析式，由题意可得，解得或，进而确定，即，再结合函数图象即可解答； （3）①由第（2）问可知：点D在直线上运动，其中，进而可得；再分当或时，；当时，两种情况，分别利用二次函数的增减性解答即可．②分当，点有2个点；当时，点有无数个点；当时，点有3个点，时，点有无数个点得解． 【详解】（1）解：抛物线交轴于，两点，交轴于点，对称轴为，若点的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：抛物线交轴于，两点，交轴于点， 将点，点，点的坐标代入得： ， 解得：， ∴函数解析式为， ∵函数解析式为， 将点代入得：， 解得：或， ∵点在对称轴的右边， ∴， ∴，即； ∴可以看作抛物线在直线的下方， ∴由以上函数图象可知：或； （3）解：①点在直线上运动，其中，，，， ∴， 当或时，， ∵，对称轴， ∴当时，随的增大而增大， ∴时，随的增大而增大； 当时，， ∵，抛物线开口向下，对称轴为； ∴当时，随的增大而增大， ∴时，随的增大而增大； 综上所述：当随的增大而增大时，或． ②∵ ∴当时，，即， 此时，， 所以，方程有两个不相等的实数根，即点E有2个点； 当时，， ∴或， 解得，或， 解得，， 所以，点E有3个点； 当时，点有无数个点；当时，点有无数个点． 综上，当，点有2个点；当时，点有4个点；当时，点有3个点，时，点有2个点 16．（2025·湖北襄阳·一模）如图，直线分别交轴于，点，抛物线经过，两点且与轴交于另一点，点是轴上方抛物线上一点，且点的横坐标为． (1)求抛物线解析式； (2)如图，当点是抛物线的顶点时，连接交于点．求与之间的数量关系； (3)过作轴于，轴于，令矩形的周长为． 求与的函数解析式； 若矩形围成的区域（不含边界，即矩形四条边上的点不符合区域）记为，当且内恰有奇数个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)，或． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质，二次函数与相似三角形，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先由直线分别交轴于，点，求出，，然后代入解析式即可求解； （）过点作交于点，证明，则，当，即时，求出，，    则有，再求出直线的解析式为，当时，，即，故，再代入即可求解； （）由题意知，，过作轴于，轴于，令矩形的周长为，则有矩形周长，然后分当时和当时两种情况分析即可； 当时，恒成立，当时，，解得，（舍去）；当时，，解得，（舍去）；当时，，解得或，然后结合图象即可求解． 【详解】（1）解：∵直线分别交轴于，点， 当时，，解得， ∴， 当时，， ∴， 把，代入函数得， ，   解得， ∴抛物线解析式； （2）解：过点作交于点， 则，， ∴， ∴， 当，即时， 解得，， ∴，，     ∴， 由， ∴顶点， 设直线的解析式为：， ，解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴，即， ∴； （3）解：由题意，知，， 过作轴于，轴于，令矩形的周长为， ∴，矩形周长， 当时，，， ∴， 当时，，， ∴， 综上，； 当时，恒成立， 此时，仅点符合要求， 当时，，解得，（舍去）； 当时，，解得，（舍去）； 结合函数图象知是； 当时，，解得或， 此时，仅点，，符合要求， 结合函数图象知：， ∴， 综上，的取值范围是或． ( 题型03 ) 第3问中的解析式问题 17．（2025·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点坐标为 (1)求抛物线解析式； (2)如图1，点是直线下方的抛物线上一点，当的面积为时，求此时点的坐标； (3)如图2，点为抛物线上一点，连接交轴于点，设的横坐标为，的长为，求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查二次函数解析式、面积问题，正切的定义，能够灵活利用条件三角函数知识导出线段间的数量关系是解题的关键． （1）将已知点代入函数解析式中，确定参数值，求得具体解析式； （2）根据抛物线解析式，确定与轴交点坐标，与轴交点坐标，，进而求得直线的解析式，设，则，进而根据三角形的面积公式列出方程，解方程，即可求解； （3）过点作轴的垂线，设点，运用三角形函数，导出，，所以，求得，进一步求得解析式为． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴ ∴解得 ∴抛物线的解析式为 （2）解：如图，过点作轴交于点， 抛物线与x轴交于A，B两点， 当时，，解得， ∵点 ∴点 抛物线与轴交于点， 当时， ∴，即． 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 设，则 ∴ ∵的面积为时 ∴，即 解得：或 当时， 当时， ∴点的坐标或 （3）如图，过点作轴的垂线，垂足为点，点在第一象限，点的横坐标为，， ∵ ∴，， 在中，， 在中， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴解析式为 18．（2025·湖北宜昌·一模）已知抛物线G：过点和点，直线l：过点，交线段于点D，记的周长为，的周长为，且． (1)求抛物线G的对称轴； (2)求直线l的解析式； (3)直线l绕点C以每秒的速度顺时针旋转t秒后得到直线，当时，直线交抛物线G于E，F两点． ①当第一次与平行时，求t的值； ②设的面积为S，若对于任意的，均有成立，求k的最大值及此时抛物线G的解析式． 【答案】(1) (2) (3)①9秒；②， 【分析】（1）根据二次函数解析式及对称轴公式可进行求解； （2）设抛物线对称轴与直线交于点H，由题意易得，则有，然后可得，则，然后问题可求解； （3）①由题意可知该直线和x轴的夹角为，然后根据旋转的性质可进行求解； ②由题意可得，，设点E、F的横坐标为p，q，即是方程的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，然后根据配方法可进行求最值，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由抛物线可得： 对称轴为直线； （2）解：如图，设抛物线对称轴与直线交于点H， 由题意可知：点A、B关于对称轴对称， ∴， 直线l：过点，则有①， ∵， 即，，即， ∴， 由题意可知：， ∴， ∴②， 联立①②可得：， ∴直线l的解析式为的； （3）解：由（2）可知：当时，一次函数的表达式为：， ①当时，则有，当时，， ∴该一次函数与x轴、y轴的交点坐标分别为， ∴该直线与x轴、y轴所围成的三角形是等腰直角三角形， ∴该直线和x轴的夹角为， ∴当第一次与平行时，如图， ∴(秒)； ②则， 由， 即， 设点E、F的横坐标为p，q，即是方程的两个根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：， 则， ∴，当且仅当时，等号成立， 若对于任意的，均有成立， ∴k的最大值为：， 此时， ∴抛物线的表达式为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、二次函数的对称性及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质、二次函数的对称性及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． ( 题型04 ) 角度问题 19．（2025·湖北恩施·一模）已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点和两点，且抛物线与x轴交另一点B． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，在抛物线上有点P，过点A过的平行线交y轴与点M，若是以为底的等腰三角形，求点P的坐标； (3)在抛物线上是否存在一点Q，使得中有一个角是的2倍，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）先根据对称轴求出抛物线与x轴的另一个交点，再利用待定系数法求解即可； （2）设点M的坐标为，求出直线的解析式为，再求出直线的解析式，令，求出点，根据，建立方程求解即可； （3）设点，由易证是等腰直角三角形，得到，分和两种情况讨论，利用正切的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵物线的对称轴为直线，且经过点和，则B点坐标为， 则抛物线 将代入上式中， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）设点M的坐标为，直线的解析式为 ∵代入上式得： 再将点代入上式得： ∴直线的解析式为 ∵ ∴直线的解析式为 ∵ ∴直线的解析式为 令 解得：， ∴ ∵是以为底的等腰三角形， ∴ 则 解得 ∴P的坐标为或； （3）设点， ∵ ∴ ∴ ∴使得中有一个角是的2倍 则为直角三角形 当时，如图，过点Q作轴于点D， ∵ ∴ ∴ ∵，，，， ∴， ∴，即， ∴，则， ∴； 当时，如图，过点Q作轴于点F， 同理： ∵，， ∴， ∴，则， ∴； 当时，该情况不存在 ∴Q点的坐标为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及等腰三角形的判定、二次函数的最值，解直角三角形等知识，考查了用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，考查了分类讨论的思想，综合性比较强． ( 题型0 5 ) 定点问题 20．（2025·湖北武汉·一模）如图1，抛物线交轴于点，（点在点的左边），交轴于点． (1)直接写出点，，的坐标； (2)如图2，连接，点在抛物线对称轴上，将线段绕点旋转得到对应线段，若线段的中点恰好在抛物线上，求点的坐标； (3)如图3，将直线向上平移2个单位长度得到直线，点在直线上，过点画两条不平行于轴的直线，，直线与抛物线仅有一个公共点，直线与抛物线仅有一个公共点，求证：直线经过定点，并求该定点的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)见解析，定点的坐标 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及二次函数与一元二次方程，抛物线与坐标轴交点坐标，中心对称等知识点； （1）令，解一元二次方程，点的坐标可求，令，求出的值即可求出点的坐标； （2）先求出线段的中点坐标，再根据中心对称的性质求出点的坐标，最后求出点的坐标； （3）先求出直线平移后直线，设直线解析式为，直线解析式为，直线解析式为，，，分别把三条直线与抛物线联立，然后消元计算即可． 【详解】（1）解：令，则，解得， ，， 令，则， ； （2）解：设线段的中点为，如图， ，， ，， 线段绕点旋转得到对应线段， 与关于点对称， 点关于点对称， ，， 抛物线的对称轴为， ， ，解得， 把代入，得， ， ， ； （3）解：∵， ∴直线解析式为：， ∴平移后直线， 设直线解析式为，直线解析式为，直线解析式为，，， ∵直线与抛物线仅有一个公共点， ∴联立，整理得方程有两等根， ∴，， ∴，， 同理可得，， 联立直线与可得， 解得， 代入可得， ∵在直线上，即 ∴， 整理得， 联立与抛物线可得， 整理得 ∴， ∴代入得， 整理得， ∴直线解析式为， ∴当时，，即过定点， ∴直线经过定点，该定点的坐标． / 学科网（北京）股份有限公司 $$