专题04 二次函数的图象与性质及实际应用（3大题型40题）（湖北专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题04 二次函数的图象与性质及实际应用（3大题型40题） 题型概览 题型01 二次函数的图象及性质 题型02 二次函数小综合 题型03 二次函数的实际应用（解答题） ( 题型01 ) 二次函数的图象及性质 1．（2025·湖北黄石·一模）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据抛物线的顶点坐标为 利用以上结论直接写出顶点坐标即可． 【详解】解：∵ ， ∴抛物线的顶点坐标是． 故选：B． 2．（2025·湖北·一模）抛物线的顶点坐标是（　 ） A．（2，1） B．（-2，1） C．（2，-1） D．（-2，-1） 【答案】B 【分析】根据抛物线的顶点式可直接得到顶点坐标． 【详解】∵， ∴抛物线的顶点坐标为（-2，1）， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式的顶点坐标为（，）是解题的关键． 3．（2025·湖北恩施·一模）二次函数的对称轴是 【答案】直线 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟记对称轴公式是解题的关键；根据对称轴公式，即可求解． 【详解】解：二次函数的对称轴是直线， 故答案为：直线． 4．（2025·湖北·一模）已知抛物线上有三点，则的大小关系为 ．（用“<”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的增减性是解题的关键． 根据二次函数解析式可得，函数图象开口向下，顶点坐标为，即对称轴为，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，再根据三点坐标即可求解． 【详解】解：抛物线， ∴， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为， ∴时的函数值与的函数值相等， ∵当时，随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（2025·湖北鄂州·一模）已知二次函数，当时，，则当时，函数值（   ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先求得二次函数的开口方向和对称轴，以及图象与y轴的交点，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：对于二次函数， 当时，， ∴函数图象开口向下，对称轴为直线，且与y轴负半轴相交， ∵当时，， 设该二次函数的图象与x轴相交与点A、点B（A在B的左边）， ∴，且， ∴当时，所对应的点在点B的右边， ∴函数值n小于0， 故选：C． 6．（2025·湖北·一模）抛物线经过点、、，且，则该抛物线的顶点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是，明确题意，求出、的正负情况．根据二次函数的性质和题意，可以得出该抛物线的对称轴以及、的正负情况，再根据抛物线与轴的交点位置，即可求解． 【详解】解：抛物线经过点，， 该抛物线的对称轴为， ， ， 抛物线经过，且， ， ，即， ， ， 该抛物线的对称轴在轴的左侧，开口向下， 又时，， 该抛物线的顶点在第二象限， 故选：B． 7．（2025·湖北·一模）已知抛物线，当时，最大值与最小值的差为，若将抛物线向左平移4个单位后经过点，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，平移的性质以及二次函数的性质，关键是掌握平移的性质和二次函数的性质．先根据平移的性质得出抛物线过点，然后求出抛物线对称轴，得到抛物线的解析式为，再根据二次函数的性质得出当时，y有最大值，当时，y有最小值，根据题意列出方程，从而得出结论． 【详解】解：∵将抛物线向左平移4个单位后经过点， ∴抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一交点为， 又∵，离对称轴越远，函数的值越小， 当时，且， ∴当时，y有最大值， 当时，y有最小值， 由题意得，即， ∴（舍去），， 故选：B． 8．（2025·湖北武汉·一模）如图，抛物线与轴交于点，，将抛物线向右依次平移两次，分别得到抛物线，，与轴交于点，，，直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和是（   ） A．18 B．20 C．36 D．24 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的平移问题，根据平移得出二次函数关系式，是解题的关键． 先求出的坐标，得出抛物线向右每次平移的距离为4，根据二次函数为零时两个根的关系即可解答． 【详解】解：将带入抛物线， 得或，即， 故抛物线向右每次平移距离为4， 设，，，，，的横坐标分别为，，，，，， ，同时在抛物线和直线上， 即，为的根， ， ， ， 直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和． 故选C． ( 题型02 ) 二次函数小综合 9．（2025·湖北宜昌·一模）抛物线（a、c是常数且，）经过点．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．抛物线一定经过 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得对称轴为直线，然后根据二次函数的对称性及性质可进行排除选项． 【详解】解：由抛物线可知：对称轴为直线，且抛物线经过点， ∴抛物线与x轴的另外一个交点横坐标为，即坐标为，故D正确； ∴，故C错误； ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∴，故A正确； 故选C． 10．（2025·湖北孝感·一模）抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由抛物线开口向下，与轴相交于正半轴上，可得，可判断A；再根据对称轴可得，即可判断B；由抛物线与轴有两个的交点可判断C；由对称轴和抛物线与轴的一个交点坐标为，可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，又由图象可知时，抛物线位于轴上方，可得当时，，据此可判断D；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴相交于正半轴上， ， 故A错误，不符合题意； ∵对称轴为直线， ， ， ∴，故B错误，不符合题意； ∵抛物线与轴有两个的交点， ∴，故C错误，不合题意； ∵对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∵时，抛物线位于轴上方， ∴当时，， ∴，故D正确，符合题意； 故选：D． 11．（2025·湖北孝感·一模）已知抛物线（为常数，）经过点，开口向下，对称轴为直线．下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象与轴交点，二次函数的性质等知识，熟记二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的开口、对称轴以及经过的点，即可判断出二次函数的大体图象，进而根据二次函数图象的性质即可判断出各选项． 【详解】解：A.、根据题意，由开口向下可知，对称轴为直线，且经过点，可知，，故该选项错误，不符合题意； B、经过A.选项分析，抛物线与轴有两个交点，，故该选项错误，不符合题意； C、∵抛物线的对称轴为直线，且经过点， ∴点与点是对称点 当时，代入抛物线解析式得，故该选项错误，不符合题意； D、根据顶点坐标的几何意义，所以当时，函数值最大，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 12．（2025·湖北·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，对称轴是直线，下列结论中，①；②点B的坐标为；③；④对于任意实数m，都有，所有正确结论的序号为（    ）    A．①② B．②③ C．②③④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据抛物线开口方向可得a的符号，可对①进行判断；根据抛物线的对称轴，由二次函数的对称性可得B点坐标，由图象即可对②进行判断；根据点A，点B 代入解析式利用加减消元法可得，从而判定③，再由时函数取最大值判定④． 【详解】解：∵抛物线开☐向下， ∴，故①错误， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴， 设点B坐标为 ∵抛物线对称轴为直线，点A的坐标为， ∴，解得：， ∴点B的坐标为，故②正确， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴ ∴由得，即，故③正确； ∵，抛物线对称轴为直线， ∴当时，时函数最大值， 当时，， ∴，即， 综上所述：正确的结论有②③④， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，掌握数形结合思想的应用和二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性是解题关键． 13．（2025·湖北·一模）如图，抛物线的对称轴是，下列结论，正确的有（    ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的系数与图像的关系，二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子的符号．根据函数图像分别判断、、的符号即可判断结论①；利用图像与x轴交点的个数即可判断结论③；由，得，可判断②；利用当时函数值的正负即可判断结论④． 【详解】解：∵抛物线开口方向向下， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴a，b异号，即， ∵函数图像与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故③正确； ∵抛物线对称轴是直线， ∴， ∴，故②正确； 当时，，故④正确； 综上，正确的结论有：②③④，共3个； 故选：B． 14．（2025·湖北·一模）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，与x轴交于，两点，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．（m为任意实数） 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．根据抛物线开口向上，对称轴，与y轴交点位置，即可判断选项A；根据抛物线与x轴交点、一元二次方程根与系数关系、对称轴等知识即可判断选项B；根据“对称轴为直线，”可判断选项C； 当时，为最小值，据此可判断选项D． 【详解】解：A．∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴， 原题结论错误，故此选项不符合题意； B．当时，，抛物线与轴有两个交点，与x轴交于，两点， ∴有两个不相等的实数根分别为， ∴ 原题结论错误，故此选项不符合题意； C．∵对称轴为直线，， ∴， ∴当时， 原题结论错误，故此选项不符合题意； D．当时，为最小值， ∴， ∴， 原题结论正确，故此选项符合题意． 故选：D． 15．（2025·湖北十堰·一模）抛物线 的顶点为，抛物线与y轴的交点位于x轴上方． 以下结论：①；  ②； ③；  ④ ；⑤； ⑥，其中正确的个数是 （    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系．根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，逐一分析判断，即可解题． 【详解】解：抛物线 的顶点为， 抛物线对称轴为直线， ，异号， 不能确定， 故①错误； 抛物线与y轴的交点位于x轴上方． ， 故②错误； 抛物线 的顶点为， ， 故③正确； 抛物线 的顶点为，抛物线的开口方向不确定， 的取值不确定； 故④错误； 抛物线对称轴为直线， ， ， ； 故⑤正确； 抛物线 的顶点为， ， ， 整理得， 故⑥正确． 综上所述，正确的有③⑤⑥共3个； 故选：B． 16．（2025·湖北黄冈·一模）如图所示是拋物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的开口，对称轴，与坐标轴的交点，增减性，特殊值法的运用是解题的关键． 根据图示可得图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴直线在轴右边，对称轴直线为，二次函数与轴的一个交点在之间，二次函数在直线的下方，即二次函数与直线无交点，由此辨析即可求解． 【详解】解：由拋物线的部分图象可知，图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴直线在轴右边， ∴，， ∴， ∴，故①正确； ∵对称轴直线为，二次函数与轴的一个交点在之间， ∴另一个交点在之间， ∴时，，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； 根据图示，二次函数与直线有两个交点，二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数与直线由一个交点， 当时，二次函数在直线的下方，即二次函数与直线无交点， ∴一元二次方程没有实数根，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共4个， 故选：D ． 17．（2025·湖北黄石·一模）二次函数的图象如图所示，它的对称轴为，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．若和是这个抛物线上的两点，则当时， 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据所给函数图象，可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的增减性和对称性即可解决问题． 【详解】解：由所给函数图象可知，， ，故A错误，不符合题意； 抛物线与x轴有两个不同的交点， 所以，故B错误，不符合题意； 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线与x轴的另一个交点的横坐标比小， 则当时，函数值小于零， ，故C正确，符合题意； 抛物线开口向上， 抛物线上的点离对称轴越近，其函数值越小， ， ，故D错误，不符合题意， 故选：C． 18．（2025·湖北·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的对称轴为，与轴的一个交点位于，两点之间．下列结论： ①；②；③； ④若，为方程的两个根，则； 其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由图象函数与轴有两个交点，即；由图象得，，由对称轴得，，，则；抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，由对称性知另一个交点在，之间，得 ，于是；结合，为方程的两个根，且抛物线的对称轴为，得出，即．本题考查二次函数图象性质，不等式变形，掌握函数图象性质，注意利用特殊点是解题的关键． 【详解】解：由图象函数与轴有两个交点， 即； 故①错误的； 由图象函数的开口向下，得，与y轴交于正半轴，， 对称轴，， 则， ∴， 故②正确； 抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，对称轴为，故知另一个交点在，之间，故时， ∴，得， 故③正确； 由，，知， ∵，为方程的两个根，且抛物线的对称轴为， ∴得出， 即． 故④正确； 故选：C 19．（2025·湖北恩施·一模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为，下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若，是抛物线上两点，且，，则． 其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由二次函数图象的对称轴为直线得出，即可判断①；由图象可得当时，，即可判断②；由图象得出，，从而可得，即可判断③；求出图象与轴的另一个交点为，即可判断④；由，是抛物线上两点，且，，得出，即可判断⑤；采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数图象的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由图象可得：当时，， ∴，故②错误； ∵函数图象开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ∵图象过点，对称轴为， ∴图象与轴的另一个交点为， 由图象可得，当时，或，故④错误， ∵，是抛物线上两点，且，， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有①③⑤；共个， 故选：B． 20．（2025·湖北襄阳·一模）如图，抛物线顶点为，经过点，下列结论正确的是（  ） A． B． C． D．关于的方程无实数解 【答案】D 【分析】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一排除即可，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】解：、根据图象可知二次函数图象与轴有两个不同交点， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴，原选项错误，不符合题意； 、∵顶点坐标为， ∴， ∴， ∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴，原选项错误，不符合题意； 、∵顶点坐标为，且开口向下， ∴当时有最大值为， ∴当时，，原选项错误，不符合题意； 、∵时有最大值为， ∴，即与无交点， ∴关于的方程无实数解，原选项正确，符合题意； 故选：． 21．（2025·湖北·一模）抛物线（a，b，c为常数，）与x轴交于，两点．下列结论：①；②；③；④若点，在抛物线上，且，则．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先求出二次函数的对称轴为直线，则，再根据二次函数的增减性可得当时，，即，由此即可判断①错误；根据二次函数的图象与轴有两个交点可得关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，由此即可判断②错误；将点，代入抛物线的解析式，由此即可判断③错误；根据二次函数的增减性可得点离抛物线的对称轴更近，从而可得，即，解不等式即可判断④错误． 【详解】解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∵， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴当时，，即， ∴，则结论①错误； ∵抛物线与轴交于，两点， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴这个方程的根的判别式，则结论②错误； 将，代入抛物线的解析式得：， ∴，即，则结论③正确； 由上已得：二次函数的对称轴为直线；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∵点，在抛物线上，且， ∴点离抛物线的对称轴更近， ∴， ∴，即， ∴，则结论④错误； 综上，正确的结论有1个， 故选：A． 22．（2025·湖北恩施·一模）已知二次函数的与的部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … 下列结论正确的是（   ） A． B．的解集是 C．对于任意的常数，必有 D．若点，，在该函数图象上，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质，对称轴等知识点，解决此题的关键是能根据图表得到二次函数图象的相关性质．根据表格得到二次函数的图象，根据二次函数图象性质及对称轴，区间的增减性即可解决此题． 【详解】解：由表格数据知，二次函数图象经过点，， 图象开口向下， 二次函数图象的对称轴为直线，，， ， ， ，故选项A错误； 由表格可知当时，， 二次函数图象经过点， 由二次函数图象的对称性可知，二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为， 的解集是， 故选项B错误； 当时，是函数的最大值，当时，是函数的一个任意值， ， ， 故选项C正确； 若点，，在该函数图象上， ，图象开口向下， ， 故选项D错误； 故选C． 23．（2025·湖北·一模）抛物线经过，下列结论：①；②；③时，；④关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，根据对称性求出抛物线的对称轴，判断②，二次函数与一元二次方程的关系，判断④，条件不足无法得到①和③，即可得出结果． 【详解】解：∵抛物线经过，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，即：；故②正确； ∵抛物线经过，， ∴与的交点的横坐标为：， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根为；故④正确； 条件不足，无法判断的符号和的符号；故①③错误； 故选B． 24．（2025·湖北·一模）如图，二次函数 与轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为，对称轴为．下列结论：①；② ；③ ；④ 若m是不等于1的实数，则恒成立；⑤无论取何值，方程均有两个不相等的实数根．其中正确的有（     ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，利用二次函数的性质，结合图象，逐一判断即可，根据图象并结合已知条件进行正确分析是解题的关键． 【详解】解：根据抛物线开口向下，可得，根据对称轴为，可得，根据抛物线与轴交于正半轴，可得， ，故①正确； A点坐标为，对称轴为， 点的横坐标为， ， 把代入抛物线解析式可得，故②正确； ， ， ， ， ，故③错误； 抛物线在时取最大值，为， m是不等于1的实数， ，即，故④错误； ， 整理可得， ， 无论取何值，方程均有两个不相等的实数根，故⑤正确； 故正确的为①②⑤， 故选：B． 25．（2025·湖北武汉·一模）开口向下的抛物线经过点，且．下列结论：①；②；③已知点在抛物线上，若，则；④若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的序号是 ． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由题意可得抛物线的对称轴为直线，进而由得，得到，即可判断①；由抛物线经过点，得，得，即得，又由对称轴得，可得，即可得，即可判断②；利用二次函数的性质可判断③；由方程有两个不相等的实数根，可得抛物线与轴有两个不同的交点，根据根的判别式可判断④；综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴，即， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线经过点， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵对称轴，抛物线开口向下， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴，故③错误； ∵方程有两个不相等的实数根， ∴抛物线与轴有两个不同的交点， 即抛物线与轴有两个不同的交点， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确结论的是②④， 故答案为：②④． 26．（2025·湖北武汉·一模）抛物线（，，是常数，）经过点，下列五个结论： ①抛物线的对称轴是直线； ②若，则抛物线经过两个定点； ③若，则抛物线与轴有且只有一个公共点； ④若点，，在抛物线上，且，则； ⑤若，关于的不等式的解集恰好有5个整数解，则． 其中正确的结论是 ．（填写序号） 【答案】②③⑤ 【分析】本题考查二次函数图像及性质，熟练掌握是解题的关键． 根据题意逐一对序号进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：①：当时，， 则抛物线经过点， 又抛物线经过点， 抛物线的对称轴是直线，故①错误； ②：当时，抛物线经过点，点，故②正确； ③：若，即抛物线，将点带入抛物线得：， ， 则， 则抛物线与轴有且只有一个公共点，故③正确； ④：如图所示，抛物线的对称轴是直线， 又， 抛物线开口向上， 或者，故④错误； ⑤：抛物线的对称轴是直线，， ， 若关于的不等式的解集恰好有5个整数解，即，，，，； 则当时，，当时，，即， 解得，故⑤正确； 故答案为②③⑤． ( 题型03 ) 二次函数的实际应用（解答题） 27．（2025·湖北宜昌·一模）九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙(墙的最大可用长度为15米)，现用长为34米栅栏（安装过程中不重叠、无损耗），围成中间隔有一道栅栏的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践．设矩形菜地垂直于墙的栅栏边AB长为x米，面积为S平方米． (1)直接写出S与x间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； (2)围成的菜地面积能达到81平方米吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，围成菜地的面积S最大？最大面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2)能， (3)时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得该图形的长为米，然后根据面积公式可进行求解； （2）由题意易得，然后进行求解方程即可； （3）由题意易得，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：依题意得：，整理得：， 解得：； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴当时，围成的菜地面积为81平方米． （3）解：∵墙的最大可用长度为15米， ∴，即， 解得， 根据题意得：， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为105， ∴时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米． 28．（2025·湖北·一模）工人师傅要将如图所示的矩形分割成甲、乙、丙3块，用来填充不同材质的产品．已知，点分别在和上，，且．设． (1)设甲、乙两块材料的面积之和为，求与之间的函数解析式； (2)当取何值时，甲，乙两块材料的面积之和为? (3)丙部分面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，甲，乙两块材料的面积之和为 (3)存在，丙部分面积的最大值为 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握二次函数解析式的计算，最值的计算方法是关键． （1）根据题意，，则，，由此即可求解； （2）由（1）知，，将代入即可求解； （3）根据题意，根据最值的计算，当时，取得最大值，最大值为，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴与之间的函数解析式为； （2）解：由（1）知，， ∵将代入，得， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，甲，乙两块材料的面积之和为； （3）解：存在，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴丙部分面积的最大值为． 29．（2025·湖北·一模）图1所示是温州南塘河面上的一座石拱桥，已知其桥洞均可近似看作形状相同的抛物线．经测量，在正常水位时，主桥洞顶端离水面，水面宽度；右侧第一个小桥洞顶端离主桥洞顶端的水平长度为，铅直高度为．图2所示为主桥洞和右侧第一个小桥洞的截面图． (1)在图2中建立适当的平面直角坐标系，求出主桥洞的函数关系式 (2)在（1）坐标系前提下，直接写出第一个小桥洞的函数关系式 (3)水位正常时，一艘长，宽，高的渔船能否顺利通过右侧第一个小桥洞？请通过计算说明． 【答案】(1)平面直角坐标系见解析，； (2)； (3)渔船能顺利通过右侧第一个小桥洞，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，矩形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）以所在的直线为轴，以线段垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求解函数解析式即可； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，则四边形为矩形，求出点，即可求解； （3）船宽为，船从正中间通过时最左侧的横坐标为，求出当时，，，即可得答案． 【详解】（1）解：如图，以所在的直线为轴，以线段垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 由题意知：B点坐标为，D点坐标为， 设主桥洞的关系式为， 将代入中，得， 解得：， ∴主桥洞的关系式为； （2）解：如图：过点作轴于点，过点作轴于点，则四边形为矩形， 由题意可得：，，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，船可以从桥洞正中间通过， 由（2）知，船中心的横坐标为， ∵船宽为， ∴船从正中间通过时最左侧的横坐标为， 当时，， ∵， ∴渔船能顺利通过右侧第一个小桥洞． 30．（2025·湖北黄石·一模）某商家购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么一个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件；同样地，销售单价每降低1元，销售量相应增加20件．若按照这个规律，则当单价提高x元时，销售量m（件）与x的关系如下表： 单价（元/件） 销售量（件） 提高1元 31 380 提高2元 32 360 … … … 提高x元 (1)求销售量m（件）与x之间的函数关系式； (2)求销售利润y（元）与x之间的函数关系式； (3)若限定每月的销售量在320件到460件之间（可以包括320件或460件），则如何定价，才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ 【答案】(1) (2) (3)当定价为24元时，y有最大值4480，此时单价为34元 【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握销售问题公式：销售利润单件利润销售量． （1）根据题意销售单价每提高1元，销售量相应减少20件；同样地，销售单价每降低1元，销售量相应增加20件，即可写出与x的函数关系式； （2）根据销售问题公式：销售利润单件利润销售量即可列出二次函数解析式； （3）根据（2）所列函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可以得出销售量m（件）与x之间的函数关系式为； （2）解：由题意可以得出销售利润y（元）与x之间的函数关系式为： ； （3）解：由（2）得， ∵， ∴， ∴， ∵，抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值4480，此时单价为34元 31．（2025·湖北恩施·一模）某文具店以每个30元的价格购进一批书包，如果以每个40元出售，那么一个月内能售出300个，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10个，设书包的销售单价提高元，销售量为个． (1)求销售量与提高的单价之间的函数关系． (2)文具店希望一个月内销售该种书包能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问书包的销售单价应提高多少元？ (3)当销售单价定为多少元时，该文具店一个月内销售这种书包获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价应提高2元 (3)当销售单价定为50元时，利润最大，最大利润是4000元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用： （1）根据销售单价每提高1元，销售量就会减少10个，列出函数关系式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可； （3）设总利润为，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，利用二次函数的性质，求最值即可。 【详解】（1）解：由题意，得：； （2）由题意，得：， 解得：， ∵尽可能减少库存， ∴； 答：销售单价应提高2元； （3）设总利润为，则：， ∴当时，有最大值，为； 此时销售单价为：元； 答：当销售单价定为50元时，利润最大，最大利润是4000元． 32．（2025·湖北·一模）某公司经销某种高度可调节的学生桌椅，公司购买50张桌子和60把椅子共需5200元，购买80张桌子和100把椅子共需8400元，在销售过程中，根据市场探查，每套桌椅以120元出售时，每天可售出60套；每套桌椅单价每降低1元，每天可多售出4套．为支持学校，公司决定在成本不变的情况下降价销售（成套销售），降价后每套桌椅的利润不低于15元，且利润率不高于18%，设每套桌椅降价x元（x为整数），每天的利润为y元． (1)求购买一套桌椅需多少钱？ (2)求y与x的函数关系式并求出自变量x的取值范围；销售桌椅一天的利润能不能达到1250元，请说明理由； (3)如果公司销售桌椅某天获得1216元的利润，公司应降价多少元？ 【答案】(1)购买一套桌椅需要100元 (2)；不能达到，理由见解析 (3)降价4元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）设购买一张学生桌子需要m元，购买一把椅子需要n元，根据题意列二元一次方程组，求解即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，由，得到关于x的一元二次方程，解方程即可； （3）令，得到关于x的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设购买一张学生桌子需要m元，购买一把椅子需要n元． 依题意可得， 解得， ， 答：购买一套桌椅需要100元； （2）解：不能达到，理由如下： ． 自变量的取值范围是， 解得（为整数）， 由题意得． ，此方程无解， 销售桌椅一天的利润不能达到1250元； （3）解：由题意得， ，． ， ， 即降价4元． 33．（2025·湖北武汉·一模）某超市购入一批进价为40元/箱的牛奶进行销售，销售单价不低于45元，且不高于60元．经市场调查发现：日销售量（箱）与销售单价（元）（为正整数）是一次函数关系，如图所示． (1)求与的函数关系式； (2)牛奶销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若日销售利润不少于375元，直接写出所有满足条件的销售单价． 【答案】(1) (2)当销售单价为元时，该经销商所获日销售利润最大，最大利润是元 (3)元、元、元、元、元 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数解析式为，结合图形利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据“每天利润每件利润每天的销售量”建立方程求解，即可解题； （3）根据利润的表达式，即可解题． 【详解】（1）解：设，将，带入解析式， 得：， 解得， 即． （2）解：设日销售利润为， 则， 易得当销售单价为50元时，该经销商所获日销售利润最大，最大利润是400元． （3）解：日销售利润为， 由题意得，即， 化简得，即， 为正整数， 满足条件的销售单价为、、、、． 34．（2025·湖北鄂州·一模）综合与实践：如图，生活中的很多工艺品，可以看成是由一些简单的平面图形旋转得到的几何体． 【知识背景】把一个平面图形绕着不同的轴旋转，可以得到一个不同形状的几何体．如图，某数学兴趣小组把Rt绕它的一条直角边旋转可以形成一个圆锥体．已知． 请完成下列方案设计中的任务： 【方案设计】目标：设计一个一定条件下的侧面积最大的圆锥体． 任务一：把圆锥体的侧面沿着其中一条母线剪开并展平，研究圆锥体侧面展开图的形状及边长． （1）如图，设的长度为，请用含有的代数式分别表示的长度； 任务二：计算圆锥体侧面积，设圆锥体的侧面积为． （2）在（1）的条件下，求与的函数表达式； （3）在（2）的条件下，满足，求当取何值时，圆锥体的侧面积最大？最大值是多少？ 【答案】（1），的长为；（2）；（3）当的值为时，圆柱体的侧面积最大，最大面积为． 【分析】本题考查二次函数的应用、列代数式、圆锥的侧面展开图，根据扇形的面积公式列函数关系式是解题的关键． （1）根据图形求解即可； （2）根据扇形面积公式(l为扇形弧长，r为扇形的半径)求解即可； （3）把（2）中的解析式转化为顶点式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）由图可得，圆锥体的侧面展开图是一个扇形， ∵，的长度为， ∴，的长为； （2）根据题意，与的函数表达式为， 即； （3）由得，该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值，最大值为， 答：当的值为时，圆柱体的侧面积最大，最大面积为． 35．（2025·湖北襄阳·一模）某商家销售一种成本为元的商品，当售价定为元件时，每天可销售件，根据经验，售价每涨价元，每天销量将减少件，且单件该商品的利润率不能超过． (1)求每天的销量（件）与当天的销售单价（元件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润； (3)当销售单价定为什么范围时，商家销售该商品每天获得的利润不低于元？ 【答案】(1)； (2)当销售单价定为元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是元； (3)当时每天获得的利润不低于元． 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出函数关系式即可； （）设利润为元，得出，再求出，再通过，开口向下，当时，随的增大而增大，则当时， 有最大值； （）根据题意，得，再根据根据二次函数性质可知当时，． 【详解】（1）解：； （2）解：设利润为元， ，     又∵单件该商品的利润率不能超过， ∴， 解得，， ∵，开口向下，当时，随的增大而增大， ∴时， 最大为元， 答：当销售单价定为元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是元； （3）解：根据题意，得， 解这个方程，得，， ∵，开口向下，且， 根据二次函数性质：当时，， 答：当时每天获得的利润不低于元． 36．（2025·湖北黄冈·一模）某校积极开展阳光体育活动，在一场九年级的篮球比赛中，队员甲正在投篮（如图），已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面． (1)建立如图的平面直角坐标系，求篮球运行的抛物线解析式； (2)问甲投出的这个球能否准确命中； (3)此时，若对方队员乙在甲前面处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么他能否获得成功？ 【答案】(1) (2)一定能投中 (3)不能获得成功 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求求解析式，根据自变量的值求函数值的计算是解题的关键． （1）根据题意设二次函数解析式为，运用待定系数法即可求解； （2）将代入抛物线解析式，求值函数值，确定篮圈中心点在抛物线上即可； （3）将代入，得，则乙的最大摸高没有超过此时球的运行高度，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，球出手点的坐标，最高点即顶点坐标是， ∴设二次函数解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴； （2）解：一定能投中；理由如下： 将代入抛物线解析式， ∵篮圈中心的坐标是， ∴一定能投中； （3）解：盖帽不能获得成功；理由如下： 将代入，得， ∵， ∴乙的最大摸高没有超过此时球的运行高度， ∴盖帽不能获得成功． 37．（2025·湖北·一模）【项目式学习】 【项目主题】研究击球运动 【项目背景】探究击球运动中蕴含的数学知识，并运用所学知识解决相关的问题．甲，乙，丙，丁四个学习小组开展数学项目式学习实践活动，获取的所有数据共享．活动地点：比较开阔的草坪地． 【项目素材】 素材一：甲小组调试机器击球，保证每一次的击球方式相同，球在空中的飞行路线是相同的抛物线（在无风的情况下，且不考虑空气阻力）． 素材二：乙小组用监测仪器测得球的飞行高度与水平距离部分数据如下． 水平距离 0 6 18 30 36 飞行高度 0 9 21 25 24 素材三：丙小组用监测仪器测得的小球飞行的水平距离与时间的关系，根据数据分析，与是正比例函数关系，并根据相关数据绘制成如下图象（如图1）． 素材四：如图2所示，丁小组在草坪边山坡点处放置一个球框，并测得山坡的坡角，，． （参考数据：，，）． 【项目任务】 任务一：直接写出与的函数关系式； 任务二：当小球飞行的高度达到时，求小球飞行的时间； 任务三：若在点处击球，球能否落在点处的球筐中？请说明理由． 【答案】任务一：；任务二：秒或秒；任务三：不能落在点处的球筐． 【分析】本题考查了二次函数的应用及解直角三角形的知识，涉及了待定系数法求函数解析式的知识，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般． （1）因为球在空中的飞行路线是相同的抛物线，故可设球的飞行高度与水平距离的函数关系式，代入乙小组数据，由待定系数法即可求出与的函数关系式； （2）由图1可求小球飞行的水平距离与时间的函数关系，进而可求飞行高度与时间的函数关系式，由此即可求出当小球飞行的高度达到16m时小球飞行的时间； （3）求出点到击球处点的水平距离和高度，再根据是否经过点即可判断球能否落在点处的球筐中． 【详解】解：任务一：设球的飞行高度与水平距离的函数关系式，由乙小组数据得： ， 解得：， 即球的飞行高度与水平距离的函数关系式为， 任务二：设小球飞行的水平距离与时间的，由图1可得， ，解得， 即， ∴， 当时，即，解得，． 当小球飞行的高度达到时，小球飞行的时间为秒或秒． 任务三：山坡的坡角，． ∴， ， ∴， 当时，， ∴当时，小球高度小于，不能落在点处的球筐． 38．（2025·湖北·一模）某中学运动会中，运动员李想推铅球，铅球推出后行进路线是抛物线的一部分，经技术人员测量得出以下信息：①铅球推出的水平距离为时，行进高度最大，最大行进高度为；②铅球出手时离地面高度为．数学张老师根据上面信息，引导同学们将实际问题抽象为数学问题，建立函数模型解决问题． (1)求李想同学推出的铅球行进高度与水平距离之间的函数关系式； (2)求李想同学这次推铅球的成绩； (3)经测量，另一名运动员陈功的推力和李想一样大，物理刘老师说：“当两名运动员的推力和推射角度一样时，铅球行进的抛物线开口大小相同，并且行进高度最大时推出的水平距离也相同，即抛物线的对称轴也相同”．若陈功同学推铅球出手时离地面高度为，求陈功同学这次推铅球的成绩．(备注：，结果精确到) 【答案】(1) (2) (3)约为 【分析】本题考查了二次函数的应用、二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． （1）设，将点代入计算求出的值，再求出自变量的取值范围，由此即可得； （2）求出当时，的值，由此即可得； （3）结合（1）的结论，设，将点代入求出二次函数的解析式，再求出当时，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意，设李想同学推出的铅球行进高度与水平距离之间的函数关系式为， 将点代入得：， 解得， 则， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， 则所求的函数关系式为． （2）解：由（1）已得：， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：李想同学这次推铅球的成绩为． （3）解：由题意，设陈功同学推出的铅球行进高度与水平距离之间的函数关系式为， 将点代入得：， 解得， ∴， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：陈功同学这次推铅球的成绩约为． 39．（2025·湖北孝感·一模）某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元．近期统计发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克），满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 周销售单价x（元/千克） 70 75 80 85 90 95 周销售量y（千克） 100 90 80 70 60 50 假设一段时间内，不计其他因素和费用．解答下列问题： (1)求y与x函数关系式； (2)若公司期望某周这种绿茶销售利润为1600元，且销售量不低于50千克，应将这种绿茶的周销售单价定为多少？ (3)求公司销售这种绿茶的最大周利润为多少元？此时周销售单价是多少？ 【答案】(1) (2)80元 (3)销售这种绿茶最大周利润为1800元，此时周销售单价是90元 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数在实际销售问题中的应用，解题的关键是根据给定数据求出函数关系式，并运用函数性质解决利润相关问题． （1）对于求与的函数关系式，利用给定的两组销售单价和销售量数据，代入一次函数，通过解方程组求出和的值． （2）计算期望利润为1600元时的销售单价，先根据利润公式列出方程，求解方程得到销售单价的值，再结合销售量不低于50千克的条件进行筛选． （3）求最大周利润及对应的销售单价，根据利润公式列出二次函数表达式，通过分析二次函数的性质得出结果． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为：， 代入得： ，解得：， ∴； （2）解：由题得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴周销售单价定为80元； （3）解：设周销售利润为W，则： =， ∴当时，， ∴销售这种绿茶最大周利润为1800元，此时周销售单价是90元． 40．（2025·湖北·一模）数学兴趣小组在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（无盖长方体箱子放在水平地面上）．现将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，矩形为箱子正面示意图）．某同学将弹珠从处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线L：（单位长度为1m）的一部分，且抛物线经过．已知． (1)求抛物线L的解析式和顶点坐标； (2)请通过计算说明该同学抛出的弹珠能投入箱子； (3)若弹珠投入箱内后立即向左上方弹起，沿与抛物线L形状相同的抛物线M运动，且无阻挡时弹珠最大高度可达，则弹珠能否弹出箱子？请说明理由． 【答案】(1)；顶点坐标为 (2)见解析 (3)弹珠能弹出箱子，理由见解析 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）求出点，，．当时，，解得：，即可求解； （3）根据题意设抛物线M的解析式为，把点代入，得：，解得：或，进而求解． 【详解】（1）解：（1）把点，代入得： ，解得， ∴抛物线L的解析式为； ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴，即点． ∵， ∴． ∴点，，． 当时，， 解得：，． ∵， ∴该同学抛出的弹珠能投入箱子； （3）解：弹珠能弹出箱子，理由如下： 当时，，解得， ∴抛物线L与x轴的另一个交点为． 根据题意设抛物线M的解析式为， 把点代入， 得：， 解得：或，． 又∵抛物线M的对称轴在直线的左侧， ∴． ∴抛物线M的解析式为：． ∵当时，， ∴弹珠能弹出箱子． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会寻找特殊点解决问题． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次函数的图象与性质及实际应用（3大题型40题） 题型概览 题型01 二次函数的图象及性质 题型02 二次函数小综合 题型03 二次函数的实际应用（解答题） ( 题型01 ) 二次函数的图象及性质 1．（2025·湖北黄石·一模）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北·一模）抛物线的顶点坐标是（　 ） A．（2，1） B．（-2，1） C．（2，-1） D．（-2，-1） 3．（2025·湖北恩施·一模）二次函数的对称轴是 4．（2025·湖北·一模）已知抛物线上有三点，则的大小关系为 ．（用“<”连接） 5．（2025·湖北鄂州·一模）已知二次函数，当时，，则当时，函数值（   ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不确定 6．（2025·湖北·一模）抛物线经过点、、，且，则该抛物线的顶点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（2025·湖北·一模）已知抛物线，当时，最大值与最小值的差为，若将抛物线向左平移4个单位后经过点，则a的值为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·湖北武汉·一模）如图，抛物线与轴交于点，，将抛物线向右依次平移两次，分别得到抛物线，，与轴交于点，，，直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和是（   ） A．18 B．20 C．36 D．24 ( 题型02 ) 二次函数小综合 9．（2025·湖北宜昌·一模）抛物线（a、c是常数且，）经过点．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．抛物线一定经过 10．（2025·湖北孝感·一模）抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（2025·湖北孝感·一模）已知抛物线（为常数，）经过点，开口向下，对称轴为直线．下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 12．（2025·湖北·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，对称轴是直线，下列结论中，①；②点B的坐标为；③；④对于任意实数m，都有，所有正确结论的序号为（    ）    A．①② B．②③ C．②③④ D．③④ 13．（2025·湖北·一模）如图，抛物线的对称轴是，下列结论，正确的有（    ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 14．（2025·湖北·一模）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，与x轴交于，两点，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．（m为任意实数） 15．（2025·湖北十堰·一模）抛物线 的顶点为，抛物线与y轴的交点位于x轴上方． 以下结论：①；  ②； ③；  ④ ；⑤； ⑥，其中正确的个数是 （    ） A．2 B．3 C．4 D．5 16．（2025·湖北黄冈·一模）如图所示是拋物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（2025·湖北黄石·一模）二次函数的图象如图所示，它的对称轴为，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．若和是这个抛物线上的两点，则当时， 18．（2025·湖北·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的对称轴为，与轴的一个交点位于，两点之间．下列结论： ①；②；③； ④若，为方程的两个根，则； 其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 19．（2025·湖北恩施·一模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为，下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若，是抛物线上两点，且，，则． 其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 20．（2025·湖北襄阳·一模）如图，抛物线顶点为，经过点，下列结论正确的是（  ） A． B． C． D．关于的方程无实数解 21．（2025·湖北·一模）抛物线（a，b，c为常数，）与x轴交于，两点．下列结论：①；②；③；④若点，在抛物线上，且，则．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．（2025·湖北恩施·一模）已知二次函数的与的部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … 下列结论正确的是（   ） A． B．的解集是 C．对于任意的常数，必有 D．若点，，在该函数图象上，则 23．（2025·湖北·一模）抛物线经过，下列结论：①；②；③时，；④关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．（2025·湖北·一模）如图，二次函数 与轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为，对称轴为．下列结论：①；② ；③ ；④ 若m是不等于1的实数，则恒成立；⑤无论取何值，方程均有两个不相等的实数根．其中正确的有（     ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 25．（2025·湖北武汉·一模）开口向下的抛物线经过点，且．下列结论：①；②；③已知点在抛物线上，若，则；④若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的序号是 ． 26．（2025·湖北武汉·一模）抛物线（，，是常数，）经过点，下列五个结论： ①抛物线的对称轴是直线； ②若，则抛物线经过两个定点； ③若，则抛物线与轴有且只有一个公共点； ④若点，，在抛物线上，且，则； ⑤若，关于的不等式的解集恰好有5个整数解，则． 其中正确的结论是 ．（填写序号） ( 题型03 ) 二次函数的实际应用（解答题） 27．（2025·湖北宜昌·一模）九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙(墙的最大可用长度为15米)，现用长为34米栅栏（安装过程中不重叠、无损耗），围成中间隔有一道栅栏的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践．设矩形菜地垂直于墙的栅栏边AB长为x米，面积为S平方米． (1)直接写出S与x间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； (2)围成的菜地面积能达到81平方米吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，围成菜地的面积S最大？最大面积是多少平方米？ 28．（2025·湖北·一模）工人师傅要将如图所示的矩形分割成甲、乙、丙3块，用来填充不同材质的产品．已知，点分别在和上，，且．设． (1)设甲、乙两块材料的面积之和为，求与之间的函数解析式； (2)当取何值时，甲，乙两块材料的面积之和为? (3)丙部分面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 29．（2025·湖北·一模）图1所示是温州南塘河面上的一座石拱桥，已知其桥洞均可近似看作形状相同的抛物线．经测量，在正常水位时，主桥洞顶端离水面，水面宽度；右侧第一个小桥洞顶端离主桥洞顶端的水平长度为，铅直高度为．图2所示为主桥洞和右侧第一个小桥洞的截面图． (1)在图2中建立适当的平面直角坐标系，求出主桥洞的函数关系式 (2)在（1）坐标系前提下，直接写出第一个小桥洞的函数关系式 (3)水位正常时，一艘长，宽，高的渔船能否顺利通过右侧第一个小桥洞？请通过计算说明． 30．（2025·湖北黄石·一模）某商家购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么一个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件；同样地，销售单价每降低1元，销售量相应增加20件．若按照这个规律，则当单价提高x元时，销售量m（件）与x的关系如下表： 单价（元/件） 销售量（件） 提高1元 31 380 提高2元 32 360 … … … 提高x元 (1)求销售量m（件）与x之间的函数关系式； (2)求销售利润y（元）与x之间的函数关系式； (3)若限定每月的销售量在320件到460件之间（可以包括320件或460件），则如何定价，才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ 31．（2025·湖北恩施·一模）某文具店以每个30元的价格购进一批书包，如果以每个40元出售，那么一个月内能售出300个，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10个，设书包的销售单价提高元，销售量为个． (1)求销售量与提高的单价之间的函数关系． (2)文具店希望一个月内销售该种书包能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问书包的销售单价应提高多少元？ (3)当销售单价定为多少元时，该文具店一个月内销售这种书包获得的利润最大？最大利润是多少元？ 32．（2025·湖北·一模）某公司经销某种高度可调节的学生桌椅，公司购买50张桌子和60把椅子共需5200元，购买80张桌子和100把椅子共需8400元，在销售过程中，根据市场探查，每套桌椅以120元出售时，每天可售出60套；每套桌椅单价每降低1元，每天可多售出4套．为支持学校，公司决定在成本不变的情况下降价销售（成套销售），降价后每套桌椅的利润不低于15元，且利润率不高于18%，设每套桌椅降价x元（x为整数），每天的利润为y元． (1)求购买一套桌椅需多少钱？ (2)求y与x的函数关系式并求出自变量x的取值范围；销售桌椅一天的利润能不能达到1250元，请说明理由； (3)如果公司销售桌椅某天获得1216元的利润，公司应降价多少元？ 33．（2025·湖北武汉·一模）某超市购入一批进价为40元/箱的牛奶进行销售，销售单价不低于45元，且不高于60元．经市场调查发现：日销售量（箱）与销售单价（元）（为正整数）是一次函数关系，如图所示． (1)求与的函数关系式； (2)牛奶销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若日销售利润不少于375元，直接写出所有满足条件的销售单价． 34．（2025·湖北鄂州·一模）综合与实践：如图，生活中的很多工艺品，可以看成是由一些简单的平面图形旋转得到的几何体． 【知识背景】把一个平面图形绕着不同的轴旋转，可以得到一个不同形状的几何体．如图，某数学兴趣小组把Rt绕它的一条直角边旋转可以形成一个圆锥体．已知． 请完成下列方案设计中的任务： 【方案设计】目标：设计一个一定条件下的侧面积最大的圆锥体． 任务一：把圆锥体的侧面沿着其中一条母线剪开并展平，研究圆锥体侧面展开图的形状及边长． （1）如图，设的长度为，请用含有的代数式分别表示的长度； 任务二：计算圆锥体侧面积，设圆锥体的侧面积为． （2）在（1）的条件下，求与的函数表达式； （3）在（2）的条件下，满足，求当取何值时，圆锥体的侧面积最大？最大值是多少？ 35．（2025·湖北襄阳·一模）某商家销售一种成本为元的商品，当售价定为元件时，每天可销售件，根据经验，售价每涨价元，每天销量将减少件，且单件该商品的利润率不能超过． (1)求每天的销量（件）与当天的销售单价（元件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润； (3)当销售单价定为什么范围时，商家销售该商品每天获得的利润不低于元？ 36．（2025·湖北黄冈·一模）某校积极开展阳光体育活动，在一场九年级的篮球比赛中，队员甲正在投篮（如图），已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面． (1)建立如图的平面直角坐标系，求篮球运行的抛物线解析式； (2)问甲投出的这个球能否准确命中； (3)此时，若对方队员乙在甲前面处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么他能否获得成功？ 37．（2025·湖北·一模）【项目式学习】 【项目主题】研究击球运动 【项目背景】探究击球运动中蕴含的数学知识，并运用所学知识解决相关的问题．甲，乙，丙，丁四个学习小组开展数学项目式学习实践活动，获取的所有数据共享．活动地点：比较开阔的草坪地． 【项目素材】 素材一：甲小组调试机器击球，保证每一次的击球方式相同，球在空中的飞行路线是相同的抛物线（在无风的情况下，且不考虑空气阻力）． 素材二：乙小组用监测仪器测得球的飞行高度与水平距离部分数据如下． 水平距离 0 6 18 30 36 飞行高度 0 9 21 25 24 素材三：丙小组用监测仪器测得的小球飞行的水平距离与时间的关系，根据数据分析，与是正比例函数关系，并根据相关数据绘制成如下图象（如图1）． 素材四：如图2所示，丁小组在草坪边山坡点处放置一个球框，并测得山坡的坡角，，． （参考数据：，，）． 【项目任务】 任务一：直接写出与的函数关系式； 任务二：当小球飞行的高度达到时，求小球飞行的时间； 任务三：若在点处击球，球能否落在点处的球筐中？请说明理由． 38．（2025·湖北·一模）某中学运动会中，运动员李想推铅球，铅球推出后行进路线是抛物线的一部分，经技术人员测量得出以下信息：①铅球推出的水平距离为时，行进高度最大，最大行进高度为；②铅球出手时离地面高度为．数学张老师根据上面信息，引导同学们将实际问题抽象为数学问题，建立函数模型解决问题． (1)求李想同学推出的铅球行进高度与水平距离之间的函数关系式； (2)求李想同学这次推铅球的成绩； (3)经测量，另一名运动员陈功的推力和李想一样大，物理刘老师说：“当两名运动员的推力和推射角度一样时，铅球行进的抛物线开口大小相同，并且行进高度最大时推出的水平距离也相同，即抛物线的对称轴也相同”．若陈功同学推铅球出手时离地面高度为，求陈功同学这次推铅球的成绩．(备注：，结果精确到) 39．（2025·湖北孝感·一模）某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元．近期统计发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克），满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 周销售单价x（元/千克） 70 75 80 85 90 95 周销售量y（千克） 100 90 80 70 60 50 假设一段时间内，不计其他因素和费用．解答下列问题： (1)求y与x函数关系式； (2)若公司期望某周这种绿茶销售利润为1600元，且销售量不低于50千克，应将这种绿茶的周销售单价定为多少？ (3)求公司销售这种绿茶的最大周利润为多少元？此时周销售单价是多少？ 40．（2025·湖北·一模）数学兴趣小组在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（无盖长方体箱子放在水平地面上）．现将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，矩形为箱子正面示意图）．某同学将弹珠从处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线L：（单位长度为1m）的一部分，且抛物线经过．已知． (1)求抛物线L的解析式和顶点坐标； (2)请通过计算说明该同学抛出的弹珠能投入箱子； (3)若弹珠投入箱内后立即向左上方弹起，沿与抛物线L形状相同的抛物线M运动，且无阻挡时弹珠最大高度可达，则弹珠能否弹出箱子？请说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $$