专题02 方程与不等式（6大题型32题）（湖北专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题02 方程与不等式（6大题型32题） 题型概览 题型01 一元一次方程及其应用 题型02 二元一次方程组及其应用 题型03 分式方程及其应用 题型04 不等式及不等式组 题型05 解一元二次方程及根与系数的关系 题型06 一元二次方程及其应用 ( 题型01 ) 一元一次方程及其应用 1．（2025·湖北黄冈·一模）明代时，1斤两，故有“半斤八两”之说．明代数学家程大位的《算法统宗》中有一道题的大意为：客人分银子，如果每人分七两，则多四两；如果每人分九两，则还差半斤．问所分银子共有几两？设所分银子共有x两，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北十堰·一模）小明参加了一场2000米的跑步比赛，他以4米/秒的速度跑了一段路程后，又以3米/秒的速度跑完了剩下的路程，一共花了10分钟，设小明以4米/秒的速度跑了x米，则列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北襄阳·一模）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水小时，箭尺读数为；供水小时，箭尺读数为．设开始高度为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖北武汉·一模）我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记录的二十四节气如图所示，从夏至到冬至“晷长”逐渐变大，相邻两个节气“晷长”变化的量均相同．若秋分的“晷长”是7.5尺，霜降的“晷长”是9.5尺，则小雪的“晷长”是 尺． ( 题型02 ) 二元一次方程组及其应用 5．（2025·湖北·一模）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．若设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为 ． 6．（2025·湖北恩施·一模）《九章算术》中记载：“今有共买鸡，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，鸡价各几何？”译文：“今天有几个人共同买鸡，每人出8钱，多余3钱，每人出7钱，还缺4钱．问人数和鸡的价钱各是多少？”设人数有人，鸡的价钱是钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·湖北孝感·一模）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？译成白话文，其意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大小和尚各有几人？设大和尚人，小和尚人，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·湖北·一模）2024年4月23日，是联合国教科文组织确定的第29个“世界读书日”．某校举行阅读比赛需购买A，B两种书签作为奖品，已知购买4张A种书签和3张B种书签需要180元，购买1张A种书签比1张B种书签少花费10元，设A种书签每张x元，B种书签每张y元，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·湖北·一模）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，书中记载了“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意惠是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，空2辆车；每2人共乘一车，9人无车可乘．问有多少人，多少辆车？设有x人，y辆车，根据题意列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·湖北襄阳·一模）我国古代数学著作《张丘建算经》中著名的“百鸡问题”叙述如下：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，则翁、母、雏各几何？”意思是公鸡五钱一只，母鸡三钱一只，小鸡一钱三只，要用一百钱买一百只鸡，问公鸡，母鸡，小鸡各多少只？若现已知母鸡买18只，设公鸡买x只，小鸡买y只．则可列方程组是（    ） A． B． C． D． ( 题型03 ) 分式方程及其应用 11．（2025·湖北武汉·一模）分式方程的解是 ． 12．（2025·湖北·一模）数学活动课上，甲，乙两位同学制作长方体盆子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子多用10分钟，乙每小时做盒子的数量是甲每小时做盒子的数量的2倍．设甲每小时做x个盒子，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 13．（2025·湖北恩施·一模）在一个不透明的口袋中装有10个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有（   ） A．20个 B．18个 C．15个 D．10个 14．（2025·湖北·一模）充电时间长是制约新能源汽车发展的重要因素，通过换电站换电池相比用充电桩充电可以极大地缩短充电时间，提高使用效率．已知某款油电混合型新能源汽车每次换电池的时间比加油的时间多分钟，且花6小时完成换电池服务的次数与花4小时完成加油服务的次数相等．求该车每次完成换电池服务和完成加油服务的时间分别是多少？ ( 题型04 ) 不等式及不等式组 15．（2025·湖北襄阳·一模）写出一个使不等式成立的的正整数值 ． 16．（2025·湖北黄冈·一模）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 17．（2025·湖北孝感·一模）不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 18．（2025·湖北·一模）已知一元一次不等式的解集在数轴上表示如图所示，则被墨迹覆盖的不等式符号是（   ） A．> B． C．< D．≤ 19．（2025·湖北武汉·一模）求满足不等式组的整数解． 20．（2025·湖北武汉·一模）求不等式组的整数解． ( 题型0 5 ) 解一元二次方程及根与系数的关系 21．（2025·湖北恩施·一模）解下列方程： (1)； (2)． 22．（2025·湖北襄阳·一模）关于x的一元二次方程的两根之和是（   ） A． B． C． D． 23．（2025·湖北黄石·一模）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 24．（2025·湖北·一模）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为 ． 25．（2025·湖北·一模）如果m，n是一元二次方程的两个实数根，那么的值是 ． 26．（2025·湖北恩施·一模）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若、是该方程的两个根，且，求的值． ( 题型0 6 ) 一元二次方程及其应用 27．（2025·湖北襄阳·一模）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作．其中有一个数学问题∶“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为平方步，只知道它的长与宽共步，问它的长比宽多多少步？”则长比宽多（  ） A．3步 B．6步 C．9步 D．12步 28．（2025·湖北襄阳·一模）某商家销售一种成本为元的商品，当售价定为元件时，每天可销售件，根据经验，售价每涨价元，每天销量将减少件，且单件该商品的利润率不能超过． (1)求每天的销量（件）与当天的销售单价（元件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润； (3)当销售单价定为什么范围时，商家销售该商品每天获得的利润不低于元？ 29．（2025·湖北恩施·一模）某文具店以每个30元的价格购进一批书包，如果以每个40元出售，那么一个月内能售出300个，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10个，设书包的销售单价提高元，销售量为个． (1)求销售量与提高的单价之间的函数关系． (2)文具店希望一个月内销售该种书包能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问书包的销售单价应提高多少元？ (3)当销售单价定为多少元时，该文具店一个月内销售这种书包获得的利润最大？最大利润是多少元？ 30．（2025·湖北孝感·一模）某商品进价为40元/件，经市场调查发现，其售价（元/件）与日销量（件）满足． (1)求日销售利润（元）与（元/件）的函数关系式；（不要求写的取值范围） (2)在确保盈利前提下，若日销量不低于80件，求售价的取值范围． (3)在（2）的条件下日销售利润能否为1600元？若能，售价是多少？ 31．（2025·湖北孝感·一模）某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元．近期统计发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克），满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 周销售单价x（元/千克） 70 75 80 85 90 95 周销售量y（千克） 100 90 80 70 60 50 假设一段时间内，不计其他因素和费用．解答下列问题： (1)求y与x函数关系式； (2)若公司期望某周这种绿茶销售利润为1600元，且销售量不低于50千克，应将这种绿茶的周销售单价定为多少？ (3)求公司销售这种绿茶的最大周利润为多少元？此时周销售单价是多少？ 32．（2025·湖北·一模）某公司经销某种高度可调节的学生桌椅，公司购买50张桌子和60把椅子共需5200元，购买80张桌子和100把椅子共需8400元，在销售过程中，根据市场探查，每套桌椅以120元出售时，每天可售出60套；每套桌椅单价每降低1元，每天可多售出4套．为支持学校，公司决定在成本不变的情况下降价销售（成套销售），降价后每套桌椅的利润不低于15元，且利润率不高于18%，设每套桌椅降价x元（x为整数），每天的利润为y元． (1)求购买一套桌椅需多少钱？ (2)求y与x的函数关系式并求出自变量x的取值范围；销售桌椅一天的利润能不能达到1250元，请说明理由； (3)如果公司销售桌椅某天获得1216元的利润，公司应降价多少元？ / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 方程与不等式（6大题型32题） 题型概览 题型01 一元一次方程及其应用 题型02 二元一次方程组及其应用 题型03 分式方程及其应用 题型04 不等式及不等式组 题型05 解一元二次方程及根与系数的关系 题型06 一元二次方程及其应用 ( 题型01 ) 一元一次方程及其应用 1．（2025·湖北黄冈·一模）明代时，1斤两，故有“半斤八两”之说．明代数学家程大位的《算法统宗》中有一道题的大意为：客人分银子，如果每人分七两，则多四两；如果每人分九两，则还差半斤．问所分银子共有几两？设所分银子共有x两，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程解决问题，理解数量关系，正确列式是关键． 根据每人分七两，则多四两；如果每人分九两，则还差半斤列式即可求解． 【详解】解：半斤两， 已知每人分七两，则多四两；如果每人分九两，则还差半斤，设所分银子共有x两， ∴根据总人数不变列式得， 故选：C ． 2．（2025·湖北十堰·一模）小明参加了一场2000米的跑步比赛，他以4米/秒的速度跑了一段路程后，又以3米/秒的速度跑完了剩下的路程，一共花了10分钟，设小明以4米/秒的速度跑了x米，则列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．根据“以4米/秒的速度跑了米的时间以3米/秒的速度跑了米的时间秒”建立方程即可得． 【详解】解：由题意，可列方程为， 故选：D． 3．（2025·湖北襄阳·一模）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水小时，箭尺读数为；供水小时，箭尺读数为．设开始高度为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设开始高度为，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设开始高度为， 根据题意得，， 故选：． 4．（2025·湖北武汉·一模）我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记录的二十四节气如图所示，从夏至到冬至“晷长”逐渐变大，相邻两个节气“晷长”变化的量均相同．若秋分的“晷长”是7.5尺，霜降的“晷长”是9.5尺，则小雪的“晷长”是 尺． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用（古代问题），读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键． 设小雪的“晷长”是尺，由相邻两个节气“晷长”变化的量均相同可得，解方程即可求出小雪的“晷长”． 【详解】解：设小雪的“晷长”是尺， 相邻两个节气“晷长”变化的量均相同， ， 解得：， 小雪的“晷长”是尺， 故答案为：． ( 题型02 ) 二元一次方程组及其应用 5．（2025·湖北·一模）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．若设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，读懂题意是解题关键. 分别根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住”、“如果每一间客房住9人，那么就空出一间房”建立方程组即可得. 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人， 根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住”可得：； 根据“如果每一间客房住9人，那么就空出一间房”可得：； 则可列方程组为； 故答案为：． 6．（2025·湖北恩施·一模）《九章算术》中记载：“今有共买鸡，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，鸡价各几何？”译文：“今天有几个人共同买鸡，每人出8钱，多余3钱，每人出7钱，还缺4钱．问人数和鸡的价钱各是多少？”设人数有人，鸡的价钱是钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组即可． 【详解】解：设人数有人，鸡的价钱是钱， 根据题意，得， 故选：A． 7．（2025·湖北孝感·一模）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？译成白话文，其意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大小和尚各有几人？设大和尚人，小和尚人，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．分别利用有100个和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，分别得出方程即可． 【详解】解：设大和尚人，小和尚人， 则可以列方程组： ． 故选：A． 8．（2025·湖北·一模）2024年4月23日，是联合国教科文组织确定的第29个“世界读书日”．某校举行阅读比赛需购买A，B两种书签作为奖品，已知购买4张A种书签和3张B种书签需要180元，购买1张A种书签比1张B种书签少花费10元，设A种书签每张x元，B种书签每张y元，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，得出等量关系．根据关键语句“购买4张A种书签和3张B种书签需要180元，购买1张A种书签比1张B种书签少花费10元”，列出方程组即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故选A． 9．（2025·湖北·一模）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，书中记载了“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意惠是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，空2辆车；每2人共乘一车，9人无车可乘．问有多少人，多少辆车？设有x人，y辆车，根据题意列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系是解题关键．设有人，辆车，根据每3人共乘一车，空2辆车可得，根据每2人共乘一车，9人无车可乘可得，由此即可得． 【详解】解：由题意可列方程组为，即， 故选：D． 10．（2025·湖北襄阳·一模）我国古代数学著作《张丘建算经》中著名的“百鸡问题”叙述如下：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，则翁、母、雏各几何？”意思是公鸡五钱一只，母鸡三钱一只，小鸡一钱三只，要用一百钱买一百只鸡，问公鸡，母鸡，小鸡各多少只？若现已知母鸡买18只，设公鸡买x只，小鸡买y只．则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，利用总价=单价×数量，结合花费一百钱买一百只鸡，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设公鸡买x只，小鸡买y只， 由题意得，， ， ∴可得方程组为：， 故选：B． ( 题型03 ) 分式方程及其应用 11．（2025·湖北武汉·一模）分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤解答即可求解，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 整理得，， ∴， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解， 故答案为：． 12．（2025·湖北·一模）数学活动课上，甲，乙两位同学制作长方体盆子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子多用10分钟，乙每小时做盒子的数量是甲每小时做盒子的数量的2倍．设甲每小时做x个盒子，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设甲每小时做个盒子，根据“乙每小时做盒子的数量是甲每小时做盒子的数量的2倍”，则甲每小时做个盒子，根据“甲做6个盒子比乙做4个盒子多用10分钟”，列出方程即可． 【详解】解：设甲每小时做个盒子，则乙每小时做个盒子， 由题意得：， 故选：D． 13．（2025·湖北恩施·一模）在一个不透明的口袋中装有10个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有（   ） A．20个 B．18个 C．15个 D．10个 【答案】C 【分析】本题考查了由频率估计概率，解分式方程，设口袋中红球可能有个，由题意得出分式方程，解方程即可得解． 【详解】解：设口袋中红球可能有个， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴口袋中红球可能有个， 故选：C． 14．（2025·湖北·一模）充电时间长是制约新能源汽车发展的重要因素，通过换电站换电池相比用充电桩充电可以极大地缩短充电时间，提高使用效率．已知某款油电混合型新能源汽车每次换电池的时间比加油的时间多分钟，且花6小时完成换电池服务的次数与花4小时完成加油服务的次数相等．求该车每次完成换电池服务和完成加油服务的时间分别是多少？ 【答案】该车每次换电池服务的时间为分钟，完成加油服务的时间为3分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意找准等量关系并列出分式方程是解题的关键．设该车每次完成换电池服务的时间为分钟，则每次完成加油服务的时间为分钟，根据花6小时完成换电池服务的次数与花4小时完成加油服务的次数相等可得到，解之即可． 【详解】解：设该车每次完成换电池服务的时间为分钟，则每次完成加油服务的时间为分钟， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， （分钟）． 答：该车每次换电池服务的时间为分钟，完成加油服务的时间为3分钟． ( 题型04 ) 不等式及不等式组 15．（2025·湖北襄阳·一模）写出一个使不等式成立的的正整数值 ． 【答案】（答案不唯一，满足的正整数即可） 【分析】本题考查了解一元一次不等式，先解不等式，然后在范围内任意写出一个值即可，熟练掌握不等式的解法是解题的关键． 【详解】解： ∴， ∴的正整数值可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 16．（2025·湖北黄冈·一模）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式组的解集，定边界，定方向在数轴上表示出解集，判断即可． 【详解】解：解，得：， 在数轴上表示如图： ； 故选D． 17．（2025·湖北孝感·一模）不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集．先求出不等式的解集，再把解集表示在数轴上即可得到答案． 【详解】解： ∴ 把表示在数轴上如下： 故选：A 18．（2025·湖北·一模）已知一元一次不等式的解集在数轴上表示如图所示，则被墨迹覆盖的不等式符号是（   ） A．> B． C．< D．≤ 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键，根据一元一次不等式的解法得到，再由题可得，从而得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 由图可知，不等式的解集， ∴被墨迹覆盖的不等式符号为：， 故选：B． 19．（2025·湖北武汉·一模）求满足不等式组的整数解． 【答案】，0，1，2，3 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟练掌握是解题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进而求得整数解． 【详解】解：解不等式①得：； 解不等式②得：； 不等式组的解集是． 是整数，的取值是，0，1，2，3． 20．（2025·湖北武汉·一模）求不等式组的整数解． 【答案】， 【分析】本题考查了不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，进而根据解集即可求解，掌握解不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为，． ( 题型0 5 ) 解一元二次方程及根与系数的关系 21．（2025·湖北恩施·一模）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解： 移项得， 配方得 ∴ ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ∴，． 22．（2025·湖北襄阳·一模）关于x的一元二次方程的两根之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：设的两根为、， ． 故选：D． 23．（2025·湖北黄石·一模）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式判定方程根的情况即可． 【详解】解：∵在一元二次方程中， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 24．（2025·湖北·一模）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据根的判别式等于零列式求解即可． 【详解】解：由题意，得，即， 解得． 故答案为：． 25．（2025·湖北·一模）如果m，n是一元二次方程的两个实数根，那么的值是 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程根的定义定义、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键 先将一元二次方程化为一般形式，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到以及方程的解可得，然后对变形后代入计算即可解答． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，即的两个不相等的实数根， ∴ ∴ ∴ ． 故答案为：11． 26．（2025·湖北恩施·一模）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若、是该方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根据根的判别式判断一元二次方程根的个数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）计算出的值，根据的取值范围即可得证； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求出，，然后代入中，求出的值即可． 【详解】（1）解：， 方程总有两个实数根； （2）解：根据题意得：，， ， ， 解得：． ( 题型0 6 ) 一元二次方程及其应用 27．（2025·湖北襄阳·一模）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作．其中有一个数学问题∶“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为平方步，只知道它的长与宽共步，问它的长比宽多多少步？”则长比宽多（  ） A．3步 B．6步 C．9步 D．12步 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设矩形田地的长为x步，则宽为步，根据矩形田地的面积为891平方步，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合长不小于宽，即可确定x的值，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：设矩形田地的长为x步，则宽为步， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，符合题意，此时； 当时，，不符合题意，舍去． ∴长比宽多6步． 故选B． 28．（2025·湖北襄阳·一模）某商家销售一种成本为元的商品，当售价定为元件时，每天可销售件，根据经验，售价每涨价元，每天销量将减少件，且单件该商品的利润率不能超过． (1)求每天的销量（件）与当天的销售单价（元件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润； (3)当销售单价定为什么范围时，商家销售该商品每天获得的利润不低于元？ 【答案】(1)； (2)当销售单价定为元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是元； (3)当时每天获得的利润不低于元． 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出函数关系式即可； （）设利润为元，得出，再求出，再通过，开口向下，当时，随的增大而增大，则当时， 有最大值； （）根据题意，得，再根据根据二次函数性质可知当时，． 【详解】（1）解：； （2）解：设利润为元， ，     又∵单件该商品的利润率不能超过， ∴， 解得，， ∵，开口向下，当时，随的增大而增大， ∴时， 最大为元， 答：当销售单价定为元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是元； （3）解：根据题意，得， 解这个方程，得，， ∵，开口向下，且， 根据二次函数性质：当时，， 答：当时每天获得的利润不低于元． 29．（2025·湖北恩施·一模）某文具店以每个30元的价格购进一批书包，如果以每个40元出售，那么一个月内能售出300个，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10个，设书包的销售单价提高元，销售量为个． (1)求销售量与提高的单价之间的函数关系． (2)文具店希望一个月内销售该种书包能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问书包的销售单价应提高多少元？ (3)当销售单价定为多少元时，该文具店一个月内销售这种书包获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价应提高2元 (3)当销售单价定为50元时，利润最大，最大利润是4000元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用： （1）根据销售单价每提高1元，销售量就会减少10个，列出函数关系式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可； （3）设总利润为，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，利用二次函数的性质，求最值即可。 【详解】（1）解：由题意，得：； （2）由题意，得：， 解得：， ∵尽可能减少库存， ∴； 答：销售单价应提高2元； （3）设总利润为，则：， ∴当时，有最大值，为； 此时销售单价为：元； 答：当销售单价定为50元时，利润最大，最大利润是4000元． 30．（2025·湖北孝感·一模）某商品进价为40元/件，经市场调查发现，其售价（元/件）与日销量（件）满足． (1)求日销售利润（元）与（元/件）的函数关系式；（不要求写的取值范围） (2)在确保盈利前提下，若日销量不低于80件，求售价的取值范围． (3)在（2）的条件下日销售利润能否为1600元？若能，售价是多少？ 【答案】(1) (2)售价的取值范围是 (3)能，60元 【分析】本题主要考查求函数解析式、不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据日销售利润、售价、进价、销售量的关系列出函数关系式为即可； （2）由题意，，则，解得：，再结合要保证盈利即可解答； （3）根据（1）所得的关系式，列一元二次方程求解并结合（2）的条件即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得： 日销售利润与的函数关系式为． （2）解：由题意，， 则，解得：， 要保证盈利 售价的取值范围是． （3）解：由， 则，解得：（舍去）或． 答：当定价为60元时，日销售利润为1600元． 31．（2025·湖北孝感·一模）某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元．近期统计发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克），满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 周销售单价x（元/千克） 70 75 80 85 90 95 周销售量y（千克） 100 90 80 70 60 50 假设一段时间内，不计其他因素和费用．解答下列问题： (1)求y与x函数关系式； (2)若公司期望某周这种绿茶销售利润为1600元，且销售量不低于50千克，应将这种绿茶的周销售单价定为多少？ (3)求公司销售这种绿茶的最大周利润为多少元？此时周销售单价是多少？ 【答案】(1) (2)80元 (3)销售这种绿茶最大周利润为1800元，此时周销售单价是90元 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数在实际销售问题中的应用，解题的关键是根据给定数据求出函数关系式，并运用函数性质解决利润相关问题． （1）对于求与的函数关系式，利用给定的两组销售单价和销售量数据，代入一次函数，通过解方程组求出和的值． （2）计算期望利润为1600元时的销售单价，先根据利润公式列出方程，求解方程得到销售单价的值，再结合销售量不低于50千克的条件进行筛选． （3）求最大周利润及对应的销售单价，根据利润公式列出二次函数表达式，通过分析二次函数的性质得出结果． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为：， 代入得： ，解得：， ∴； （2）解：由题得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴周销售单价定为80元； （3）解：设周销售利润为W，则： =， ∴当时，， ∴销售这种绿茶最大周利润为1800元，此时周销售单价是90元． 32．（2025·湖北·一模）某公司经销某种高度可调节的学生桌椅，公司购买50张桌子和60把椅子共需5200元，购买80张桌子和100把椅子共需8400元，在销售过程中，根据市场探查，每套桌椅以120元出售时，每天可售出60套；每套桌椅单价每降低1元，每天可多售出4套．为支持学校，公司决定在成本不变的情况下降价销售（成套销售），降价后每套桌椅的利润不低于15元，且利润率不高于18%，设每套桌椅降价x元（x为整数），每天的利润为y元． (1)求购买一套桌椅需多少钱？ (2)求y与x的函数关系式并求出自变量x的取值范围；销售桌椅一天的利润能不能达到1250元，请说明理由； (3)如果公司销售桌椅某天获得1216元的利润，公司应降价多少元？ 【答案】(1)购买一套桌椅需要100元 (2)；不能达到，理由见解析 (3)降价4元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）设购买一张学生桌子需要m元，购买一把椅子需要n元，根据题意列二元一次方程组，求解即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，由，得到关于x的一元二次方程，解方程即可； （3）令，得到关于x的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设购买一张学生桌子需要m元，购买一把椅子需要n元． 依题意可得， 解得， ， 答：购买一套桌椅需要100元； （2）解：不能达到，理由如下： ． 自变量的取值范围是， 解得（为整数）， 由题意得． ，此方程无解， 销售桌椅一天的利润不能达到1250元； （3）解：由题意得， ，． ， ， 即降价4元． / 学科网（北京）股份有限公司 $$