6.2.4 向量的数量积 第1课时 同步练习-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.4向量的数量积　第1课时 一、选择题 1．在锐角△ABC中，关于向量夹角的说法，正确的是( ) A．与的夹角是锐角 B．与的夹角是锐角 C．与的夹角是钝角 D．与的夹角是锐角 2．已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角是120°，则a ·b等于( ) A．3 B．－3 C．－3 D．3 3．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为20 N，方向与水平面成60°角．则当小车向前运动5 m时，力F做的功为( ) A．100 J B．50 J C．50 J D．200 J 4．已知|b|＝3，向量a在向量b上的投影向量为b，则a·b的值为( ) A．3 B． C．2 D． 5．在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD是( ) A．直角梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 A．30° B．60° C．120° D．150° 6．如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中，最大的是( ) A．· B．· C．· D．· 7．下列说法正确的是( ) A．向量a在向量b上的投影向量可表示为· B．若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是 C．若△ABC是等边三角形，则·的夹角为60° D．若a·b＝0，则a⊥b 8．(多选题)在Rt△ABC中，BD为斜边AC上的高，下列结论中正确的是( ) A．||2＝· B．||2＝· C．||2＝· D．||2＝·＝· 二、填空题 9．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量为　 . 10．已知向量a，b均为单位向量，a·b＝，则a与b的夹角为　. 11．若|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，记向量a在向量b方向上的投影向量为γ，则|γ|＝___. 12．已知|a|＝2，|b|＝3，且a与b的夹角为60°，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为 　. 13．如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，则·的值是___. 三、解答题 14．已知|a|＝5，|b|＝4. (1)若a与b的夹角θ＝120°. ①求a·b； ②求向量a在向量b上的投影向量． (2)若a∥b，求a·b. 15．已知在△ABC中，＝c，＝a，＝b，若|c|＝m，|b|＝n，〈b，c〉＝θ. (1)试用m，n，θ表示S△ABC； (2)若c·b<0，且S△ABC＝，|c|＝3，|b|＝5，求c与b的夹角． 6.2.4向量的数量积　第1课时 一、选择题 1． ( B ) 2． ( B ) 3． ( B ) F做的功W＝|F|cos θ×5＝20××5＝50 J. 4． ( B ) 设a与b的夹角为θ， ∵|a|·cos θ＝b，∴|a|·cos θ＝， ∴|a|·cos θ＝， ∴a·b＝|a||b|cos θ＝3×＝. 5． ( C ) 由·＝0，可知AB⊥BC，又BC＝AD，所以四边形ABCD为矩形 6． ( A ) 由向量数量积的几何意义只需比较，，，在上投影的数量即可． 由正六边形的性质可知 在上投影数量大于在P1P2上投影的数量，||>0. 而·＝0，·<0，故选A． 7． ( A ) 　根据投影向量的定义，知A正确；∵a·b＝|a||b|cos θ<0，则cos θ<0，又∵0≤θ≤π，∴θ∈，故B错误；若△ABC是等边三形，则，的夹角为120°，故C错误；a·b＝0⇒a⊥b或a＝0或b＝0，故D错误． 8． ( AD ) ·＝||||cos A＝||||＝||2，A正确； ·＝||||cos(π－C)＝－||||cos C＝－||||＝－|CB|2，B错误； ·＝||||cos(π－∠ABD) ＝－||||cos∠ABD＝－|||| ＝－||2，C错误； ·＝||||cos∠ABD＝||||＝||2，·＝||||cos∠CBD＝||||＝||2，D正确． 二、填空题 9． 　设a与b的夹角为θ，∵a·b＝|a||b|cos θ＝12， 又|b|＝5，∴|a|cos θ＝，＝， 即向量a在向量b上的投影向量为b. 10． 　. 11． _1__. 　设向量a与向量b的夹角为θ，与b方向相同的单位向量为e，则a在b方向上的投影向量γ＝|a|cos θ·e，则|γ|＝||a|cos θ|＝|2×cos 120°|＝1. 12． e　. 设a与b的夹角为θ，向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θe＝2×e＝e. 13．－1__. 　解法一：·＝||·||·cos(180°－∠B)＝－||·||·cos∠B＝－||·||·＝－||2＝－1. 解法二：||＝1，即为单位向量，·＝－·＝－||||cos∠ABC，而||·cos∠ABC＝||，所以·＝－||2＝－1. 三、解答题 14． 　(1)①a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 120°＝－10. ②向量a在向量b上的投影向量为|a|·cos θ＝5××＝－b. (2)∵a∥b，∴a与b的夹角θ＝0°或180°. 当θ＝0°时，a·b＝|a||b|cos 0°＝20. 当θ＝180°时，a·b＝|a||b|cos 180°＝－20. 15． 　(1)S△ABC＝||h＝||·||sin∠BAC＝mnsin θ. (2)依题意＝×3×5sin〈b，c〉 ∴sin〈b，c〉＝，又c·b<0，且c，b不共线知〈b，c〉为钝角，∴〈b，c〉＝150°. 学科网（北京）股份有限公司 $$