第五章 图形的轴对称（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（北师大版2024，辽宁专用）

第五章 图形的轴对称 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：(共10题，每题3分，共30分。) 1．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，某居民小区在三栋住宅楼A，B，C之间修建了供居民散步的三条绿道，并在绿道内部修建了一个凉亭P．若点P到点A，B，C的距离相等，则点P是的（    ） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条中线的交点 3．在如图所示的正方形网格中，画出格点，使得与成轴对称，则不同位置的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．已知线段，利用直尺和圆规作的垂直平分线，下列4个作图中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与，分别交于点C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点F，过射线上一点M作，与相交于点N，，则（   ） A． B． C． D． 6．在中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点N，Q．若，则的周长为（   ） A．8或14 B．12或10 C．8或10 D．10或14 7．如图，的平分线与的平分线相交于点P，作，垂足为E．若，则两平行线与间的距离为（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 8．某公司准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离相等，则送奶站C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 9．如图，D，E分别是边，上的点，将沿直线折叠，点A落在点处．若的周长为10，则阴影部分图形的总周长为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 10．如图，将一张长方形纸片，分别沿着，对折，使点B落在点，点C落在点，点P、、不在同一直线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：(共5题，每题3分，共15分。) 11．如图，在中，分别以，两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，直线与，分别相交于点、，若，的周长为10，则的周长是 ． 12．如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径画弧，与边分别交于点E，D；②分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点M；③作射线，交于点F；④过点F作，垂足为点G．若的面积为9，，则的长为 ． 13．如图，图1是长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若图3中，则图1中的的度数用x的代数式表示是 ． 14．如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落在点处，若，则的度数为 ． 15．如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．若，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③．其中正确的是 （填序号）． 三、解答题 （共75分) 16．如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若关于O点中心对称，试作出对称后的，并写出点的坐标_____； (2)在y轴上找一点M，使最小，在图中标出点M； (3)计算四边形的面积． 17．如图，直角三角形中，，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．    (1)作边的中点D； (2)作的平分线，交边于点E； (3)作点C关于直线的对称点F； (4)直接写出的长为 ． 18．如图，在中，，，垂足为，点在上．求证：． 19．如图，在四边形中，，垂直平分，交于点，点是中点． (1)证明：是线段的垂直平分线； (2)若，求的度数． 20．如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O． (1)证明：； (2)证明：垂直平分． 21．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 22．在中，，，点D是的中点，点E是线段上一点．于点F，交于点G． (1)如图1，求证： ①； ②． (2)如图2，过点A作交的延长线于点H，的延长线交的延长线于点M，请在图中找出与相等的线段，并证明． 23．如图1是光的反射示意图，点处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过点，点叫入射点，已知反射角等于入射角，法线． (1)若，则______． (2)如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点，，，，，，在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为______． (3)如图3，点处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过点，请用无刻度直尺和圆规作出入射点，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗） (4)某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达处．则______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 图形的轴对称 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：(共10题，每题3分，共30分。) 1．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】 解∶A． 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B． 是轴对称图形，故该选项符合题意； C． 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； D． 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．如图，某居民小区在三栋住宅楼A，B，C之间修建了供居民散步的三条绿道，并在绿道内部修建了一个凉亭P．若点P到点A，B，C的距离相等，则点P是的（    ） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条中线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．要使点P到点A，B，C的距离相等，利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可得出答案． 【详解】解：利用线段垂直平分线的性质得：点P是的三边垂直平分线的交点． 故选：C． 3．在如图所示的正方形网格中，画出格点，使得与成轴对称，则不同位置的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】此题考查利用轴对称设计图案，解题关键在于掌握作图法则．根据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同的图形，对称轴可以随意确定，因为只要根据确定的对称轴去画另一半对称图形，那这两个图形一定是轴对称图形． 【详解】解：如图所示： 因此共有6个不同位置， 故选：D． 4．已知线段，利用直尺和圆规作的垂直平分线，下列4个作图中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图—作线段垂直平分线，等腰三角形的性质，熟知相关作图方法是解题的关键．根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可判断． 【详解】解：在图①中，由作图可知，，， ∴是的垂直平分线，故①符合题意； 在图②中，由作图可知，，平分， 由等腰三角形“三线合一”可知，是的垂直平分线，故②符合题意； 在图③中，由作图可知，，， ∴是的垂直平分线，故③符合题意； 在图④中，由作图可知，，， ∴不是的垂直平分线，故④不符合题意； 综上，4个作图中正确的有①②③，共3个， 故选：C． 5．如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与，分别交于点C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点F，过射线上一点M作，与相交于点N，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了基本作图，作已知角的角平分线及其定义和平行线的性质．通过两直线平行，同位角相等，再利用角平分线定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由题意可知：平分， ∴． 故选：B． 6．在中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点N，Q．若，则的周长为（   ） A．8或14 B．12或10 C．8或10 D．10或14 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质可得：，分两种情况：当点在点左侧时，当点在点的右侧时，根据三角形的周长公式求解即可得到答案． 【详解】解：当点在点左侧时，如图所示： 由垂直平分线性质可知， ∴； 当点在点的右侧时，如图所示： 由垂直平分线性质可知， ∴ ； 综上所述，的周长为10或14， 故选：D． 7．如图，的平分线与的平分线相交于点P，作，垂足为E．若，则两平行线与间的距离为（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线的定义，平行线的性质，角平分线的性质，求平行线间的距离等知识点，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点作，交于点，交于点，根据平行线的性质可证得，由角平分线的性质可得，，进而可求得两平行线与间的距离． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， ，， ， ， ， ，即， 由此可知，即为两平行线与间的距离， 是的平分线， 且，， ， 是的平分线， 且，， ， ， 两平行线与间的距离是， 故选：C． 8．某公司准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离相等，则送奶站C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．根据线段垂直平分线的性质解答即可得． 【详解】解：要使两小区到送奶站的距离相等，则送奶站的位置应该是街道与的线段垂直平分线的交点， 观察四个选项可知，只有选项B符合， 故选：B． 9．如图，D，E分别是边，上的点，将沿直线折叠，点A落在点处．若的周长为10，则阴影部分图形的总周长为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题考查折叠的有关知识．根据折叠的性质及已知得；即可将阴影部分的周长转化为三角形的周长． 【详解】解：将沿直线折叠,点A落在点处， ，， 则阴影部分图形的周长等于 ． 故选：B． 10．如图，将一张长方形纸片，分别沿着，对折，使点B落在点，点C落在点，点P、、不在同一直线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、角的和差，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据已知等式可得，再根据折叠的性质可得，，则，据此计算即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∴， 解得， 故选：D． 二、填空题：(共5题，每题3分，共15分。) 11．如图，在中，分别以，两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，直线与，分别相交于点、，若，的周长为10，则的周长是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了垂直平分线的尺规作图，以及垂直平分线的性质和三角形求周长．注意垂直平分线得线段相等和线段和的转化． 根据尺规作图得垂直平分线，再由垂直平分线的性质和三角形周长计算公式解答即可． 【详解】解：由尺规作图得垂直平分线， 所以，且， 又， 所以的周长为：． 故答案为：16． 12．如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径画弧，与边分别交于点E，D；②分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点M；③作射线，交于点F；④过点F作，垂足为点G．若的面积为9，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查基本作图-尺规作角平分线、角平分线的性质、三角形的面积等知识点，得到是的平分线是解答的关键． 根据作图过程得到是的平分线，过F作于H，根据角平分线的性质得到，进而利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图∶ 过F作于H， 由作图过程可得：是的平分线， 又∵，， ∴， ∵，的面积为9， ∴，解得：． 故答案为：4． 13．如图，图1是长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若图3中，则图1中的的度数用x的代数式表示是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．先根据平行线的性质，设，图2中根据图形得出，图3中根据，即可求得的值． 【详解】解：根据题意得：图1中，， ∴， ∴设， 图2中， ∵， ∴， 图3中， ， 解得． 即， 故答案为：． 14．如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落在点处，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，根据平角的定义可得，由此可以求出的度数即可得到答案． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质得， ，， ， ， ． 故答案为：． 15．如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．若，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查了轴对称的性质的综合运用等知识点，熟记相关性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据轴对称的性质可得，再根据周角等于列式计算即可求出，判断出①正确；再求出，根据对称可得，利用三角形的内角和定理可得，判断出②正确；说明即可判定③错误． 【详解】解：∵和是的轴对称图形， ∴， ∴，故①正确． ∴， 由对称的性质得，， 又∵， ∴，故②正确． 在和中，， ∵ ∴，故③错误； 综上所述，结论正确的是①②． 故答案为：①②． 三、解答题 （共75分) 16．如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若关于O点中心对称，试作出对称后的，并写出点的坐标_____； (2)在y轴上找一点M，使最小，在图中标出点M； (3)计算四边形的面积． 【答案】(1)详见解析， (2)详见解析 (3) 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点，，即可． （2）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于M，从而解决问题． （3）利用分割法求解即可． 本题主要考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】（1）如图所示，为所求． （2）如图，点M即为所作， （3）如图， 17．如图，直角三角形中，，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．    (1)作边的中点D； (2)作的平分线，交边于点E； (3)作点C关于直线的对称点F； (4)直接写出的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，角平分线和线段，熟练掌握基本作图方法，是解题的关键： （1）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，作出的中垂线，得到中点即可； （2）以为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两个点，以这两个点为圆心，大于这两个点所连线段的长为半径画弧，画出的角平分线即可； （3）根据对称的性质，得到，故以为圆心，的长为半径画弧，交于点即可； （4）根据线段中点的定义，线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，点即为所求；    （4）由作图可知：， ∴． 故答案为：3． 18．如图，在中，，，垂足为，点在上．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键； 根据等腰三角形三线合一的性质，然后利用证明，再根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：，， 在和中 ． 19．如图，在四边形中，，垂直平分，交于点，点是中点． (1)证明：是线段的垂直平分线； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】本题主要考查垂直平分线的判定和性质，三线合一等知识，掌握以上知识是关键． （1）根据垂直平分线的性质，结合题意得到，即是等腰三角形，由“三线合一”得到，由此即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到，则，所以有，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∵点是中点， ∴， ∴是线段的垂直平分线； （2）解：∵垂直平分，是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O． (1)证明：； (2)证明：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，得出，，说明点、在线段的垂直平分线上，即可证明结论． 【详解】（1）证明：是的角平分线， ， ，分别是和的高， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ，， 点、在线段的垂直平分线上， 垂直平分． 21．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查等边对等角，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法和性质的运用是解题的关键． （1）根据题意得到，，运用角角边即可求证； （2）根据全等的性质，线段和差得到，，由此即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 又， ． （2）解：， ， ， ， ， ． 22．在中，，，点D是的中点，点E是线段上一点．于点F，交于点G． (1)如图1，求证： ①； ②． (2)如图2，过点A作交的延长线于点H，的延长线交的延长线于点M，请在图中找出与相等的线段，并证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，见解析 【分析】此题考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）①先证明，再进一步可得；②由①可得，，证明，即可得出； （2）根据垂直的定义得出，再根据，，得出，进而证明出． 【详解】（1）证明：①∵点D是中点，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； ②由①知，， 在和中，， ∴， ∴； （2）证明：．理由如下： ∵，， ∴，， ∴， 又∵， 在和中，， ∴， ∴． 23．如图1是光的反射示意图，点处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过点，点叫入射点，已知反射角等于入射角，法线． (1)若，则______． (2)如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点，，，，，，在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为______． (3)如图3，点处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过点，请用无刻度直尺和圆规作出入射点，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗） (4)某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达处．则______． 【答案】(1)40 (2)46 (3)见详解 (4)2.5 【分析】（1）由已知条件可得出，，进而可得． （2）由题意可得，由平角的定义求出，再由计算即可得解． （3）以作垂直平分线的方法结合（1）作图即可． （4）先根据题意画出图形，根据图形得出5次碰撞后是2个半以为边长的正方形，进而可求出的值． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∵， 则， ∴， 故答案为：40． （2）解：由题意可得：， ∴， ∴． 故答案为：46． （3）解：以点A为圆心，适当半径为弧，交l与点C与点D，分别以点C，点D为圆心，以大于为半径画弧交点G，连接交l与点E，再以点E为圆心，为半径画弧交与点，连接交l与点O，点O即为所求． （4）解：如下图： 小球从长方形的点A沿射出，到的点E，． 从E点沿与成射出，到边的F点，， 从F点沿与成射出，到边的G点，， 从G沿与成射出，到边的H点， 从H点沿与成射出，到边的M点， 从M点沿与成射出，到B点， 由（1）中的结论以及轴对称的性质可知： ，，． 根据图可知5次碰撞后是2个半以为边长的正方形， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了实际问题中的角度计算，作已知线段垂直平分线，轴对称性质等知识，掌握这些性质以及作图的方法是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$