精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市联谊校2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

2024~2025学年度下学期联谊校期中考试 高二数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章､第七章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某同学从个球类项目和个田径类项目中选个项目参加，则不同的选择方案共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】利用分类加法计数原理可得结果. 【详解】某同学从个球类项目和个田径类项目中选个项目参加， 若选择的为球类项目，有种选择， 若选择的为田径类项目，有种选择， 由分类加法计数原理可知，不同的选择方案种数为种. 故选：A. 2. 一质点做直线运动，其运动的位移（单位：）与时间（单位：）的关系为，则时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导可得，代入即可得结果. 【详解】因为，则， 所以当时，. 故选：B. 3. 若的展开式中二项式系数和为128，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式系数和公式计算求解. 【详解】根据题意，，所以. 故选：D. 4. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用求导，结合赋值，即可求解. 【详解】求导得;，令， 得，解得. 故选：A. 5. 某品牌饮料正在进行有奖促销活动，一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，消费者从中随机取出2瓶，记为其中有奖的瓶数，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出X的可能值及对应的概率，再利用期望的定义计算作答. 【详解】依题意，X的可能值为，则， 因此. 故选：C 6. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导函数与原函数之间的关系分析选项即可. 【详解】由的图象可知，当时，函数单调递增，则，故排除C，D； 当时，先递增，再递减最后递增，所以所对应的导数值应该先大于0， 再小于0，最后大于0，排除B. 故选:A. 7. 安排甲、乙、丙、丁4位老师到三所学校工作，要求每所学校都有人去，每人只能去一所学校，则甲不去学校、乙不去学校工作的分配方案数为（ ） A. 12 B. 17 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】采取分组分配计数方法，结合分类加法原理，可计算得到结果. 【详解】第一类：甲、乙分在一组就只能去学校，则分配方案有：； 第二类：甲、乙没分在一组，则有种分组方法， 有甲的那组去学校，此时根据分组分配方案有：种； 有甲的那组去学校，则有乙的那组只能去学校，此时根据分组分配方案只有：种； 综上可得：根据分类加法原理总的分配方案共有种， 故选：B. 8. 质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数．数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”．如：3和5，5和7，…，那么，如果我们在不超过32的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A＝“这两个数都是素数”，事件B＝“这两个数不是孪生素数”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用条件概率公式，结合列举法求解即可. 【详解】不超过32的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31共11个， 孪生素数有3和5，5和7，11和13，17和29，29和31，共5种情况， 所以，， 所以． 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共6项 B. 各项系数之和为1 C. 不含常数项 D. 系数最大项是 【答案】BCD 【解析】 【分析】A，B，C项直接由二项式定理及其展开式的性质求解，D项中，可设第项的系数最大，则求解即可． 【详解】对于A项，因为，所以展开式共7项，故A项错误； 对于B项，令，得各项系数之和为，故B项正确； 对于C项，展开式的通项公式为，， 令，得显然取不到，则不含常数项，故C项正确； 对于D项，设第项的系数最大，则，解得， 则，得系数最大项为：，故D项正确， 故选：BCD 10. 设离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 4 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据数学期望及方差定义计算判断A，B，根据期望及方差性质计算判断C，D. 【详解】由，解得.1，故A正确； ， ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误. 故选：AB. 11. 设是的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，且在的左､右附近，异号，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的极小值为-4 C. 若函数在区间上存在最小值，则的取值范围为 D. 若过点可以作三条直线与的图象相切，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心，结合求导得出函数单调性及极值计算判断各个选项即可. 【详解】对于A，由可得，， 因为是该函数的对称中心，依题意得，，解得，故A错误； 对于B，由A易得，则， 由可得，由可得或， 则函数在上单调递增，在上单调递减. 故函数在时取得极小值为，故B正确； 对于C，由，可解得或.作出函数的图象如图1， 由图知，当函数在区间上存在最小值时，可得，故C正确； 对于D，设切点为，由B项知，切线斜率为， 则切线方程为，即， 因切线经过点，则， 整理得，依题意，这个关于的方程有3个不等实根. 设，则， 由可得，由可得或， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数在时取得极小值，在时取得极大值. 作出函数的图象如图2，由图知，当且仅当时，直线与函数有3个交点， 即当时过点可以作三条直线与的图象相切，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从两点分布，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用概率的性质计算即可. 【详解】易知，解之得或（舍去）. 故答案为：. 13. 的展开式中的常数项为______.（请用数字作答） 【答案】10 【解析】 【分析】利用二项式的展开式的通项公式求解. 【详解】展开式的通项， 为了得到常数项，与相乘的项需满足，即， 与1相乘的项需满足，即， 因此常数项为. 故答案为：10 14. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数的导数满足，从而可得单调递增，再结合已知条件把原不等式转化为，从而即可求解. 【详解】令，因为，所以， 即在上单调递增， 又，所以， 因此不等式等价于， 所以，解得， 即不等式的解集为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是的导函数. （1）求的值； （2）若的最小值为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数运算即可求导数值； （2）法一：观察，构造，利用导数工具研究函数单调性即可求解. 法二：利用偶函数的对称性和导数研究在的单调性即可求解. 【小问1详解】 由可得. 所以. 【小问2详解】 法一：求导得，令， 则，所以单调递增，且， 所以当时，单调递减；当时，单调递增， 所以在处取极小值，也是最小值， 即，解得. 法二：因为， 且定义域为，所以是偶函数， 当时，，令， 则，所以在单调递增，所以， 所以所以在单调递增， 根据是偶函数，所以在单调递减， 所以在处取最小值，故，解得. 16. 已知某电器市场由甲、乙、丙三家企业占有，其中甲厂产品的市场占有率为40％，乙厂产品的市场占有率为36％，丙厂产品的市场占有率为24％，甲、乙、丙三厂产品的合格率分别为，，． （1）现从三家企业的产品中各取一件抽检，求这三件产品中恰有两件合格的概率； （2）现从市场中随机购买一台该电器，则买到的是合格品的概率为多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由相互独立事件的概率可得； （2）根据各产品的市场占有率和合格率，由条件概率公式计算可得. 【小问1详解】 记随机抽取甲乙丙三家企业的一件产品，产品合格分别为事件，，， 则三个事件相互独立，恰有两件产品合格为事件D， 则 ． 故从三家企业的产品中各取一件抽检，则这三件产品中恰有两件合格的概率是． 【小问2详解】 记事件B为购买的电器合格， 记随机买一件产品，买到的产品为甲乙丙三个品牌分别为事件，，， ，，，，，， ． 故在市场中随机购买一台电器，买到的是合格品的概率为． 17. 已知8件不同的产品中有2件次品，现对这8件产品一一进行测试，直至找到所有次品． （1）若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第6次测试时，找到第二件次品，则共有多少种不同的测试情况？ （2）若至多测试3次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？ 【答案】（1）720 （2）26 【解析】 【分析】（1）分步骤确定每次测试的情况数，再根据排列组合的乘法原理计算总的测试情况数. （2）要分测试次找到所有次品和测试次找到所有次品这两种情况分别计算，最后根据加法原理得到总的测试情况数. 【小问1详解】 第1次测试的是正品，从件正品中选件，有种选择. 第2次测试找到第一件次品，因为有件次品，所以第2次测试的次品有种选择. 第3次到第5次测试的是正品，从剩下的件正品中选件进行排列，有种选择. 第6次测试找到第二件次品，此时只剩下件次品，所以只有种选择. 根据排列组合的乘法原理，总的测试情况数为种. 【小问2详解】 测试次就找到所有次品的情况: 第1次测试找到一件次品，有种选择，第2次测试找到另一件次品，有种选择，所以这种情况共有种测试情况. 测试次找到所有次品的情况: 第1次测试找到一件次品，有种选择，第2次测试找到一件正品，从件正品中选件，有种选择，第3次测试找到另一件次品，有种选择，这种情况共有种测试情况. 第1次测试找到一件正品，从件正品中选件，有种选择，第2次测试找到一件次品，有种选择，第3次测试找到另一件次品，有种选择，这种情况共有种测试情况. 根据加法原理，至多测试次就能找到所有次品的测试情况数为种. 18. 2024年，全国政协十四届二次会议于3月4日下午3时在北京开幕，3月10日上午闭幕，会期6天；十四届全国人大二次会议于3月5日上午开幕，11日下午闭幕，会期7天.为调查居民对两会相关知识的了解情况，某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的800名居民的得分（满分100分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计这800名居民得分的平均值；（同一组数据以该组区间的中点值作代表） （2）结合频率分布直方图，近似认为参与活动的小区居民的得分服从正态分布，其中近似为（1）中的样本平均值，试估计得分超过95.8分的居民人数（结果精确到个位）； （3）用频率估计概率，任选2名参加活动的居民，设为得分超过80分的居民人数，求的分布列和数学期望. 附：若随机变量服从正态分布，则. 【答案】（1） （2）18人 （3）的分布列为 0 1 2 期望为1【解析】 【分析】（1）应用频率分布直方图计算平均数公式计算； （2）先计算正态分布对应概率再求解人数； （3）先计算二项分布的概率，再得出分布列计算数学期望即可. 【小问1详解】 由题意得； 【小问2详解】 由（1）得， 则， 所以， 故估计得分超过95.8分的居民约有18人. 【小问3详解】 用频率估计概率，从该小区任选1名居民，该居民得分超过80分的概率为. 所以该小区任选2名居民互不影响，该问题可看作二项分布. 故得分超过80分的居民人数可能的取值为，且， 所以， 所以， 所以的分布列为 0 1 2 . 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）求证：. 【答案】（1） （2）当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，. （3） 证明：由（2）知，当时，函数在上单调递减， 又，当时，， 即当时，. ，， 即， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 累加可得，， 即， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解； （2）讨论方程的判别式，即可求出的单调区间； （3）利用（2）中的结论，得到函数在上单调递减，进而得到，再利用累加法即可得证. 【小问1详解】 当时，，， ， 曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 ，， 对于方程， 当，即时，， 函数在上单调递减； 当，即时，方程有两个不相等的实数根， ，且， 当或时，；当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度下学期联谊校期中考试 高二数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章､第七章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某同学从个球类项目和个田径类项目中选个项目参加，则不同的选择方案共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 2. 一质点做直线运动，其运动的位移（单位：）与时间（单位：）的关系为，则时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 3. 若的展开式中二项式系数和为128，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 某品牌饮料正在进行有奖促销活动，一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，消费者从中随机取出2瓶，记为其中有奖的瓶数，则（ ） A. B. C. D. 1 6. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 安排甲、乙、丙、丁4位老师到三所学校工作，要求每所学校都有人去，每人只能去一所学校，则甲不去学校、乙不去学校工作的分配方案数为（ ） A. 12 B. 17 C. 18 D. 20 8. 质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数．数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”．如：3和5，5和7，…，那么，如果我们在不超过32的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A＝“这两个数都是素数”，事件B＝“这两个数不是孪生素数”，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共6项 B. 各项系数之和为1 C. 不含常数项 D. 系数最大项是 10. 设离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 4 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 设是的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，且在的左､右附近，异号，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的极小值为-4 C. 若函数在区间上存在最小值，则的取值范围为 D. 若过点可以作三条直线与的图象相切，则的取值范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从两点分布，且，则__________. 13. 的展开式中的常数项为______.（请用数字作答） 14. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是的导函数. （1）求的值； （2）若的最小值为，求的值. 16. 已知某电器市场由甲、乙、丙三家企业占有，其中甲厂产品的市场占有率为40％，乙厂产品的市场占有率为36％，丙厂产品的市场占有率为24％，甲、乙、丙三厂产品的合格率分别为，，． （1）现从三家企业的产品中各取一件抽检，求这三件产品中恰有两件合格的概率； （2）现从市场中随机购买一台该电器，则买到的是合格品的概率为多少？ 17. 已知8件不同的产品中有2件次品，现对这8件产品一一进行测试，直至找到所有次品． （1）若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第6次测试时，找到第二件次品，则共有多少种不同的测试情况？ （2）若至多测试3次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？ 18. 2024年，全国政协十四届二次会议于3月4日下午3时在北京开幕，3月10日上午闭幕，会期6天；十四届全国人大二次会议于3月5日上午开幕，11日下午闭幕，会期7天.为调查居民对两会相关知识的了解情况，某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的800名居民的得分（满分100分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计这800名居民得分的平均值；（同一组数据以该组区间的中点值作代表） （2）结合频率分布直方图，近似认为参与活动的小区居民的得分服从正态分布，其中近似为（1）中的样本平均值，试估计得分超过95.8分的居民人数（结果精确到个位）； （3）用频率估计概率，任选2名参加活动的居民，设为得分超过80分的居民人数，求的分布列和数学期望. 附：若随机变量服从正态分布，则. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $