精品解析：四川省南充市嘉陵第一中学2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题

南充市嘉陵一中高2023级2025年春 数学试题 考试时间：120分钟满分：150分 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､班级､考场/座位号､准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁､完整. 3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生留存，以备评讲）. 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列满足，则这个数列的第4项是（ ） A. 10 B. 17 C. 26 D. 37 2. 口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，至少有一个红球的取法种数是（ ） A. 20 B. 26 C. 32 D. 36 3. 在二项式的展开式中，常数项为（ ） A. 180 B. 270 C. 360 D. 540 4. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 函数的极小值为（ ） A. B. 1 C. D. 6. 已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（ ）． A. B. C. D. 7. 若，则以下不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列 的首项 ，对任意，都有，则当 时， (　　) A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列 的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则数列 的前5项和最大 B. 若等比数列 是递减数列，则公比q满足 C. 已知等差数列 的前n项和为，若，则 D. 已知 为等差数列，则数列也是等差数列 10. 有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ） A. 分给甲､乙､丙三人，每人各2本，有540种分法； B. 分给甲､乙､丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法； C. 分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有90种分法； D. 分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法； 11. 已知函数，则下列命题中正确的是（ ） A. 是的极大值 B. 当时， C. 当时，有且仅有一个零点，且 D. 若存在极小值点，且 ，其中，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的横线上. 12. 某电视台连续播放个不同的广告，其中个不同的商业广告和个不同的公益广告，要求所有的公益广告必须连续播放，则不同的播放方式的种数为_______. 13. 函数的单调递减区间为_________. 14. 在数1和100之间插入n个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.则数列的通项公式为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 由，，，，组成的五位数中，分别求解下列问题.（应写出必要的排列数或组合数，结果用数字表示） （1）没有重复数字且为奇数的五位数的个数； （2）没有重复数字且和不相邻的五位数的个数； （3）恰有两个数字重复的五位数的个数. 16. 已知． （1）求的值； （2）求的值（结果用数字表示）． 17. 已知数列的首项 ，且满足. （1）求证：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式和前项和； （3）记，求数列的前项和，并证明 . 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数，，是的导数. （1）讨论的单调性，并证明：； （2）若函数在区间内有唯一的零点，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充市嘉陵一中高2023级2025年春 数学试题 考试时间：120分钟满分：150分 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､班级､考场/座位号､准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁､完整. 3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生留存，以备评讲）. 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列满足，则这个数列的第4项是（ ） A. 10 B. 17 C. 26 D. 37 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推关系可求第4项. 【详解】由题设有， ，， 故选：C. 2. 口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，至少有一个红球的取法种数是（ ） A. 20 B. 26 C. 32 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】由间接法以及组合数即可求解. 【详解】从个球中任取个球的取法共有种， 两个球都不是红球的取法有种， 所以取出2个球，至少有一个红球的取法种数为. 故选：B. 3. 在二项式的展开式中，常数项为（ ） A. 180 B. 270 C. 360 D. 540 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，解得，所以常数项为. 故选：A 4. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵，， 当时，，解得 . 5. 函数的极小值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数求极小值的过程求解：先求的解 ，再判断在两侧的单调性，确定极值. 【详解】因为，所以. 令得， 当时，，当时，. 故的单调递增区间为和，单调递减区间为. 则当时，取得极小值，且极小值为. 故选：C 6. 已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项与等差数列前项和得出，，即可代入已知得出答案. 【详解】由等差数列的性质可得： ，， 则，即， ， 故选：C. 7. 若，则以下不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先构造函数判断出最小，再依据函数单调性去比较 的大小即可解决. 【详解】令，则， 由，得 ，由，得 ， 即当 时单调递减，当 时单调递增， 即当 时取得最小值， 则有，，即，， 又， 综上的大小关系为. 故选：A 8. 已知数列 的首项 ，对任意，都有，则当 时， (　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】令得到，故数列是等比数列， ， 故答案为：A． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列 的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则数列 的前5项和最大 B. 若等比数列 是递减数列，则公比q满足 C. 已知等差数列 的前n项和为，若，则 D. 已知 为等差数列，则数列也是等差数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的性质逐项判断即可. 【详解】选项A，由可得，，故数列 前5项的和最大，故 A正确； 选项B，当时，等比数列 也是递减数列，故B错误； 选项C，，若，则，故C正确； 选项D，若 为等差数列，则，，则为常数，数列也是等差数列，故D正确. 故选：ACD 10. 有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ） A. 分给甲､乙､丙三人，每人各2本，有540种分法； B. 分给甲､乙､丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法； C. 分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有90种分法； D. 分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法； 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A，先从6本书中分给甲（也可以是乙或丙）2本；再从其余的4本书中分给乙2本；最后的2本书给丙.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案.选项B，先分堆再分配. 先把6本书分成3堆:4本、1本、1本；再分给甲､乙､丙三人.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 选项C，6本不同的书先分给甲乙每人各2本；再把其余2本分给丙丁.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 选项D，先分堆再分配. 先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本；再分给甲乙丙丁四人. 根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 【详解】对A，先从6本书中分给甲2本，有种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有种方法；最后的2本书给丙，有种方法. 所以不同的分配方法有种，故A错误； 对B，先把6本书分成3堆:4本、1本、1本，有种方法；再分给甲､乙､丙三人， 所以不同的分配方法有种，故B正确； 对C，6本不同的书先分给甲乙每人各2本，有种方法；其余2本分给丙丁，有种方法， 所以不同的分配方法有种，故C错误； 对D，先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本，有种方法； 再分给甲乙丙丁四人， 所以不同的分配方法有种，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数，则下列命题中正确的是（ ） A. 是的极大值 B. 当时， C. 当时，有且仅有一个零点，且 D. 若存在极小值点，且 ，其中，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，对函数求导并对参数进行分类讨论得出函数单调性，即可判断在处取得极大值，即可求解；对于B，根据的范围得出单调性，即可求解；对于C，利用的单调性及零点存在性质原理，即可求解；对于D，利用选项A得，再利用选项中条件得，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，则， 当 时，令，得到或，当 或时，，当时，， 所以是的极大值点，极大值为 ，是极小值点，极小值为， 当时，，由极值的定义知，的极大值为，无极小值， 当时，令，得到或，当或时，，当时，， 所以是的极大值点，极大值为 ，是极小值点，极小值为， 综上，是的极大值，所以选项A正确， 对于选项B，因为，由选项A知，在区间上单调递增， 又，则，，所以，故选项B错误， 对于选项C，当时，，由选项A知，的增区间为，，减区间为， 当时， ，，， 由零点存在性原理知，当时，有且仅有一个零点，且 ，所以选项C正确， 对于选项D，因为存在极小值点，由选项A知，，得到， 因为 ，则，整理得到， 即，又，所以，故选项D正确， 故选：ACD. 【点晴】方法点睛：求解三次函数含有参数的单调性问题，经常利用含有参数的一元二次不等式的解法，并对其进行分类讨论即可得出单调性及其极值、极值点等问题. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的横线上. 12. 某电视台连续播放个不同的广告，其中个不同的商业广告和个不同的公益广告，要求所有的公益广告必须连续播放，则不同的播放方式的种数为_______. 【答案】720 【解析】 【分析】分两步求解，第一步将所有的公益广告捆绑一起当成一个元素和其他4个不同商业广告进行排列，第二部对个不同的公益广告进行排列，得结果 【详解】解：由题意，第一步将所有的公益广告捆绑一起当成一个元素和其他4个不同商业广告进行排列，不同的安排方式有种， 第二部对个不同的公益广告进行排列，不同的安排方式有种， 故总的不同安排方式有种， 故答案为720. 【点睛】本题考查捆绑法解排列组合问题，是基础题. 13. 函数的单调递减区间为_________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，然后对函数求导，再由可求出函数的单调递减区间. 【详解】的定义域为， 由，得， 由，得，解得， 因为，所以 ， 所以单调递减区间为. 故答案为： 14. 在数1和100之间插入n个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.则数列的通项公式为__________. 【答案】， 【解析】 【分析】记这个数构成递增的等比数列为，则由，，可得到，将化简后代入即可得出答案. 【详解】记由个数构成递增的等比数列为， 则，，则，即 所以， 即 故答案为：，. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 由，，，，组成的五位数中，分别求解下列问题.（应写出必要的排列数或组合数，结果用数字表示） （1）没有重复数字且为奇数的五位数的个数； （2）没有重复数字且和不相邻的五位数的个数； （3）恰有两个数字重复的五位数的个数. 【答案】（1）72个；（2）72个；（3）1200个. 【解析】 【分析】（1）由题知，该五位数个位数为奇数，然后余下的四个数全排列即可. （2）先对1,3,5三个数全排列，然后利用插空法排列2和4即可. （3）从5个数中挑选出重复的数字，从剩下的4个数中挑选3个数字，先对重复数字排列，然后余下的三个数全排列即可. 【详解】解：（1）由题知，该五位数个位数为奇数，然后余下的四个数全排列即可. 个. （2）先对1,3,5三个数全排列，然后利用插空法排列2和4,即个 （3）从5个数中挑选出重复的数字，从剩下的4个数中挑选3个数字，先对重复数字排列，然后余下的三个数全排列即个 16. 已知． （1）求的值； （2）求的值（结果用数字表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目条件，令，化简可得的值，再令，化简可得结果； （2）结合二项式展开式通项公式可得，结合组合数性质求值. 【小问1详解】 在中， 令，得，所以. 在中， 令，得， 所以. 【小问2详解】 ∵的展开式的通项公式为， ∴. 17. 已知数列的首项 ，且满足. （1）求证：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式和前项和； （3）记，求数列的前项和，并证明 . 【答案】（1）证明如下： 因为数列满足， 可得 ，又因为 ，可得 ， 从而可得 ，即 ， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）； （3）；证明如下： 由（2）知：，可得 ， 所以， 所以， 当时，易知关于是单调递增数列， 当时，取得最小值，最小值为， 又因为 ，可得 ，所以 . 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简得到 ，结合等比数列的定义，即可得证； （2）由（1），得到，得到，结合等比数列的求和公式，即可求解； （3）由（2），求得 ，得到，结合裂项法求和，求得，进而证得 . 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，数列是首项为，公比为的等比数列， 可得，所以， 则数列的前项和为 . 【小问3详解】 略 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分 和 ，两种情况分类讨论得出导函数的正负即得函数单调性； （2）先化为恒成立，应用导数求右侧的最值，即可得参数范围. 【小问1详解】 因为，所以. 因为，若 ，即 时，在上单调递增， 若 ，即时，令，得； 令，得，所以在上单调递增，在上单调递减. 综上，当 时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 因为，恒成立， 所以，则， 令且 ，则， 令，则，故在上单调递增， 又，所以时，；时， ， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 所以，实数的取值范围为. 19. 已知函数，，是的导数. （1）讨论的单调性，并证明：； （2）若函数在区间内有唯一的零点，求a的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，根据， 分类讨论即可，构造函数，利用导数法求解最值即可证明； （2）把问题转化为方程在区间内有唯一解，构造函数，利用导数研究单调性，数形结合即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 当时， ，则在上单调递增， 当 时，令 得 ，令得 ， 所以函数的增区间为 ，减区间为 ， 令，则，令得 ， 令得 ，所以函数的增区间为，减区间为， 所以当时，取得最小值为， 所以，得证； 【小问2详解】 由（1）知，， 因为函数在区间内有唯一的零点，所以方程在区间内有唯一解， 令，则函数与在上只有一个交点， 记，则，所以在上单调递增， 所以，即， 故， 所以在上单调递增，又， 如图： 要使方程在区间内有唯一解，则 . 所以a的取值范围是 . 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $