北京市中关村中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

2024-2025学年北京市海淀区中关村中学高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.是(    ) A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 2.已知角的终边经过点，则的值为(    ) A. B. C. D. 3.下列函数中，最小正周期为且是奇函数的是(    ) A. B. C. D. 4.向量，，则(    ) A. 4 B. 8 C. D. 16 5.向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若向量与共线，则实数(    ) A. B. C. 1 D. 2 6.若向量，，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，点D，E满足，若，则(    ) A. B. C. D. 8.函数的图象经过下列哪个变换可以得到的图象，这个变换是(    ) A. 先将函数的图象向左平移个单位，再把图象上每个点的横坐标扩大为原来的2倍 B. 先将函数的图象向左平移个单位，再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的 C. 先把函数的图象上每个点的横坐标缩小为原来的，再将图象向左平移个单位 D. 先把函数的图象上每个点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向左平移个单位 9.若函数的部分图象如图所示，则的值是(    ) A. B. C. D. 10.已知函数，关于函数的性质给出下面三个判断： ①函数是周期函数，最小正周期为； ②函数的值域为； ③函数在区间上单调递增． 其中判断正确的是(    ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 11.          . 12.已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形所在圆的半径为______. 13.已知向量，，若，则______，若存在实数 m，使得，方向相反，则t的取值范围为______. 14.若P为所在平面内一点，且，则的形状为______. 15.已知角的终边绕原点O逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为______写出一个即可 16.已知，，其中表示不超过x的最大整数. 例如：，， ①______. ②若对任意都成立，则实数a的取值范围是______. 三、解答题：本题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题10分 已知向量，，点，若 求与向量方向相同的单位向量的坐标； 求点M的坐标； 若点满足，求y与的值. 18.本小题10分 已知函数 请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象先列表，再画图； 求函数的单调递增区间； 求函数在区间上的最小值，并写出相应x的值. 19.本小题15分 已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件. Ⅰ确定的解析式： Ⅱ若图象的对称轴只有一条落在区间上，求a的取值范围. 条件①：的最小值为； 条件②：图象的一个对称中心为； 条件③：的图象经过点 20.本小题15分 如图，在四边形ABCD中，，，是边长为2的等边三角形，点E是BC边上的动点不含端点 若，求实数x，y的值； 求的最小值. 21.本小题15分 如图是两个齿轮传动的示意图，已知上、下两个齿轮的半径分别为1和2，两齿轮中心，在同一竖直线上，且，标记初始位置A点为下齿轮的最右端，B点为上齿轮的最下端，以下齿轮中心为坐标原点，如图建立平面直角坐标系xOy，已知下齿轮以每秒1弧度的速度逆时针旋转，并同时带动上齿轮转动，转动过程中A，B两点的纵坐标分别为，，转动时间为t秒 当时，求点B绕转动的弧度数； 分别写出，关于转动时间t的函数表达式，并求当t满足什么条件时，； 若函数，当时，恒成立，求a的取值范围. 22.本小题15分 已知为n维向量，若，，2，⋯，n，则称为可聚向量.对于可聚向量实施变换T：把的某两个坐标，删除后，添加作为最后一个坐标，得到一个维新向量，如果为可聚向量，可继续实施变换T，得到新向量，…，如此经过k次变换后得到的向量记为特别的，二维可聚向量变换后得到一个实数.若向量经过若干次变换后结果为实数，则称该实数为向量的聚数. 设，直接写出的所有可能结果； 求证：对于任意一个维可聚向量，变换T总可以进行次； 设，求的聚数的所有可能结果. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：， 所以为第二象限角． 故选： 结合象限角的定义即可求解． 本题主要考查了象限角的判断，属于基础题． 2.【答案】D  【解析】解：的终边经过点， 故选： 当的终边过点时，，这样即可求出本题的的值． 本题考查了：当的终边经过点时，，考查了计算能力，属于基础题． 3.【答案】D  【解析】解：：最小正周期为，不满足最小正周期为，排除； B.：最小正周期为，但，是偶函数，非奇函数，排除； C.：最小正周期为，不满足周期，排除； D.：最小正周期：，满足最小正周期为，奇偶性：，是奇函数． 故选： 根据三角函数的性质即可求解． 本题考查了三角函数的性质，属于基础题． 4.【答案】C  【解析】解：，， ，则 故选： 由平面向量的坐标运算及向量模的求法求解． 本题考查平面向量的坐标运算及向量模的求法，是基础题． 5.【答案】D  【解析】【分析】 考查向量加法和数乘的几何意义，共线向量的概念． 根据图形便可看出，这样即可得出的值． 【解答】 解：根据图形可看出； 满足与共线； 故选： 6.【答案】D  【解析】解：向量，，且， 则， 故， 故选： 根据已知条件，结合向量平行的性质，并将弦化切，即可求解． 本题主要考查向量平行的性质，属于基础题． 7.【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查平面向量的基本定理，属基础题，解题时需认真审题，注意向量线性运算的合理性． 在中，，因为，通过转化的思想，将用和表示，求出x和y的值，计算即可． 【解答】 解：中，点D，E满足， ， 又， ， 故选： 8.【答案】B  【解析】解：先将函数的图象向左平移个单位，可得的图象； 再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的，可得到的图象． 或者先把函数的图象上每个点的横坐标缩小为原来的，可得的图象； 再将图象向左平移单位，可得到的图象， 故选： 由题意，利用函数的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题． 9.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查三角函数的解析式的求法，考查数形结合思想和运算能力， 由图象可得 ，得，结合五点法可得，即可得的值． 【解答】 解：根据函数的部分图象， ， 所以， 由图象可得，， 得， 故选 10.【答案】C  【解析】解：分别作出函数和的图象， 可得函数的图象是两个图象中在上方的曲线， 可得为周期函数，最小正周期为，故①正确； 的值域为，故②错误； 在递减，在递增，故③错误； 故选： 分别画出函数和的图象，运用分段函数写出，结合图象分析周期性、单调性和值域，即可得到所求结论 本题考查三角函数的图象和性质，考查新定义的理解和运用，注意运用数形结合思想方法，考查判断能力，属于中档题． 11.【答案】  【解析】【分析】 利用诱导公式化简，计算即可得到结果． 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键． 【解答】 解： 故答案为： 12.【答案】3  【解析】解：， ， ， 故答案为： 利用扇形的面积计算公式即可得出． 本题考查了扇形的面积计算公式，属于基础题． 13.【答案】3    【解析】解：因为向量，，若，则且，解得； 存在实数m，使得，方向相反， 即存在实数，使得，，可得且， 解得， 由得： 故答案为：3； 根据向量相等和共线的性质逐项求解即可． 本题主要考查向量共线的性质，属于中档题． 14.【答案】直角三角形  【解析】解：由，可得， 可得，即， 等式两边平方，化简得，， 因此，是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 根据平面向量的线性运算与模长公式，可以得出，由此可判断出的形状． 本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算，也考查了模长公式的应用，属于中档题．. 15.【答案】  【解析】解：因为角的终边绕原点O逆时针旋转后与角的终边重合， 所以， 则， 所以，， 解得，， 当时， 故答案为： 利用终边相同的角得到，再由余弦函数的性质即可求解． 本题考查了终边相同的角的概念，考查了余弦函数的性质，属于基础题． 16.【答案】   【解析】解：①由， 所以； ②当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 又对任意都成立，即恒成立， ， 所以， 所以实数a的取值范围是 故答案为：； ①根据解析式以及取整的定义，将代入解析式可求函数值； ②讨论x的取值范围，求出根据不等式恒成立，只需即可求解． 本题考查了三角函数的性质，考查了分类讨论思想，属于中档题． 17.【答案】；   ；   ，  【解析】解：与向量方向相同的单位向量； 因为，所以，整理得， 因为点，所以； 因为，所以，所以， 即，解得， 根据平面向量的线性运算对各题进行解答． 本题主要考查平面向量的线性运算，属于中档题． 18.【答案】；   ，；   最小值为，相应的  【解析】解：列表如下： x 0 0 2 0 0 得到函数图象上的五个关键点，，，， 在坐标平面内描出这五个点，并用平滑的曲线连接，可得在一个周期上的图象： 由，解得， 所以函数的单调递增区间是， 当时，，可得的最小值为 根据“五点法”，列表、描点，求出函数图象经过的关键点的坐标，然后在坐标系内将五个边连成平滑的曲线，可得答案； 由正弦函数的单调性解关于x的不等式，即可得到的单调递增区间； 求出当时，的取值范围，结合正弦函数的图象与性质算出在区间上的最小值，以及相应的x值． 本题主要考查正弦函数的图象与性质、函数的单调性与最值等知识，属于中档题． 19.【答案】解：Ⅰ由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为， 所以的最小正周期， 此时 选条件①②： 因为的最小值为，所以 因为图象的一个对称中心为， 所以， 所以， 因为，所以，此时， 所以 选条件①③： 因为的最小值为，所以 因为函数的图象过点， 则，即， 因为，所以， 所以，， 所以 选条件②③： 因为函数的一个对称中心为， 所以， 所以 因为，所以，此时 所以 因为函数的图象过点， 所以，即，， 所以， 所以 Ⅱ因为，所以， 因为图象的对称轴只有一条落在区间上， 所以， 得， 所以a的取值范围为  【解析】Ⅰ先根据已知求出的最小正周期，即可求解，再根据所选条件，利用正弦函数的性质求解A和的值，从而可得的解析式； Ⅱ由正弦函数的图象与性质可得关于a的不等式，即可求解． 本题主要考查由的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题． 20.【答案】，；    【解析】解：由，是边长为2的等边三角形， 所以，又，故， 故，则， 又， 所以， 令且，则， 又， 所以 ， 则， 所以当时，最小值为 由已知可得，再根据向量加法的几何意义及图形得到，进而确定x，y的值． 令且，利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得，即可求最小值． 本题考查了平面向量基本定理以及数量积的运算与性质，属于中档题． 21.【答案】2；       【解析】解：当时，点A绕转动1弧度，点A与点B处转过的弧长相等，则点B绕转动的弧度数为 转动时间为t秒，点A绕转动t弧度，点B绕转动2t弧度， ，， 当，解得， 由，得， 所以满足条件的t的集合为 在时恒成立， 所以在时恒成立， 当时，， 根据二次函数性质可得，当时，取得最小值， 故， 故a的范围为 由点A与点B处转过的弧长相等，求点B绕转动的弧度数； 由分别点A与点B处转过的圆心角，结合正弦函数，写出，关于转动时间t的函数表达式，并解不等式； 结合诱导公式及二倍角公式进行化简，然后结合二次函数的性质即可求解． 本题主要考查了正弦函数及二次函数性质在实际问题中的应用，属于中等题． 22.【答案】解：，，， 所以或或； 证明：设，， 则，，，，， ，，所以， ，，所以， 即， 所以n维可聚向量经过一次变换后得维向量仍然是可聚向量， 这样经过次变换后变成一个数， 所以对于任意一个维可聚向量，变换T总可以进行次； 定义运算#：，首先证明这个运算满足交换律与结合律： ，即运算“#”满足交换律， 又， ， 所以，即运算“#”满足结合律， 所以n维可聚向量经过变换后所得可聚数与实施的具体操作过程无关， 因此可作如下操作： 由，易得，，，， 原来向量记作，则，再进行4次变换化为一项， 综上可知，的聚数为  【解析】直接根据定义写出结论； 根据定义结合变换中维数的变化规律证明； 证明变换过程满足交换律、结合律与实数加法、乘法的交换律、结合律一样，得出最后的聚数与变换过程中选取的数的顺序无关，从而易得结论． 本题主要考查了新定义问题，解题时需要认真审题，理解新定义，属于难题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$