专题11 期末复习——六大常考计算题题型总结（计算题专项训练）-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册计算题专项训练系列（湘教版2024）

专题11 期末复习——六大常考计算题题型总结 【题型一：幂的运算】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）计算： （1） （2） （3）（m是正整数） （4） （5） （6） 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算： （1） （2） （3） （4） 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 6．（23-24七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2） 7．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知：，， （1）求的值； （2）求的值． 8．（23-24七年级下·安徽六安·期末）（1）已知，，求的值； （2）已知，求t的值． 9．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）计算 （1）已知，，求：的值． （2），求：的值． 10．（24-25八年级上·山东德州·期末）计算： （1）已知，试用含m，n的代数式表示； （2）已知，试用含m，n的代数式表示； （3）已知，试将用含a、b、c的代数式表示出来． 【题型二：整式的混合运算】 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 12．（24-25八年级上·重庆·期中）计算： （1） （2） 13．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）计算： （1）． （2） 14．（24-25七年级下·福建三明·期中）利用整式乘法公式计算： （1） （2） 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）． 17．（23-24七年级下·全国·单元测试）利用乘法公式计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）化简： （1）； （2）． 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 20．（24-25八年级上·山东德州·期末）计算： （1）； （2）． 【题型三：整式的化简求值】 21．（24-25八年级上·吉林长春·期末）先化简，再求值：，其中，． 22．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）先化简，再求值：，其中a、b满足． 23．（24-25八年级上·河南周口·期末）先化简，再求值：，其中x、y满足． 24．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）先化简，再求值： （1），其中，； （2），其中． 25．（24-25六年级下·全国·期末）先化简，再求值： （1），其中； （2），其中． 26．（24-25八年级上·青海海北·期末）已知：，且． （1）求的值； （2）求的值． 27．（24-25八年级上·重庆渝北·期末）已知． （1）若此时满足，求+的值； （2）先化简，再求值：．此时满足． 28．（2025·江苏无锡·一模）已知．求下列各式的值： （1）； （2） （3） 29．（24-25八年级上·河南商丘·期末）（1）已知，． 求的值； 求的值； （2）已知，求的值． 30．（24-25八年级上·云南昭通·期末）先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称为“降次代换法”．例如：已知，求代数式的值． 解：∵， ∴， ∴原式，∴． 请用“降次代换法”完成下列各小题： （1）若，则代数式的值为______； （2）若，求代数式的值； （3）若，求证：． 【题型四：与实数有关的计算】 31．（24-25八年级下·江苏镇江·开学考试）求下列各式中的值： （1）； （2）． 32．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）求下列各式中的x． （1）； （2）． 33．（24-25八年级上·四川眉山·期末）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 34．（24-25七年级上·山东东营·期末）计算： （1）； （2）． 35．（23-24七年级上·山东青岛·期末）计算： （1）； （2）． 36．（24-25七年级上·山东淄博·期末）计算： （1）； （2）． 37．（24-25七年级下·全国·期末）计算： （1）； （2）． 38．（23-24七年级下·河南安阳·期末）计算： （1）； （2）． 39．（24-25七年级上·山东淄博·期末）计算： （1）； （2）． 40．（24-25七年级上·山东烟台·期末）计算： （1）； （2）． 【题型五：解一元一次不等式】 41．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）解不等式： （1）； （2）． 42．（24-25七年级下·全国·单元测试）解下列不等式： （1）； （2）． 43．（23-24六年级下·上海·期末）解不等式：． 44．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）解不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来． 45．（2024·陕西西安·模拟预测）求不等式的最小整数解． 46．（23-24七年级下·吉林长春·期末）求满足不等式的所有正整数x． 47．（24-25七年级下·全国·单元测试）根据不等式的性质，解下列不等式，并在数轴上表示解集： （1）； （2）； （3）． 48．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知不等式的解都是不等式的解，求m的取值范围． 49．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）定义关于的一种运算：，如． （1）若，求的取值范围． （2）若关于的不等式的解和的解相同，求的值． 50．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）规定新运算：，其中、是常数．已知，． （1）求a、b的值； （2）若，求，的值； （3）若，，且，求的最大整数值． 【题型六：解一元一次不等式组】 51．（24-25九年级上·广东惠州·期末）解不等式组：． 52．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）解下列不等式组． （1）； （2）． 53．（24-25七年级下·全国·期末）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 54．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 55．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）解不等式组，并在数轴上表示不等式组的解集． （1）； （2）； （3）； （4）． 56．（24-25八年级上·广西来宾·期末）解不等式组，并在数轴上表示其解集，然后写出不等式组的非负整数解． 57．（24-25八年级上·湖南永州·期末）解不等式组并写出它的整数解． 58．（24-25八年级上·浙江温州·期末）解不等式组，并求出它的所有非正整数解的和． 59．（23-24七年级下·福建·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足． （1）求k的取值范围； （2）在（1）的条件下，若不等式的解集为，请写出符合条件的k的整数值． 60．（23-24七年级下·重庆长寿·期末）已知，为常数，对实数，定义，我们规定运算为：，这里等式右边是通常的代数四则运算，例如：．若，． （1）求常数，的值； （2）若关于的不等式组恰好有3个整数解，求实数的取值范围． 61．（23-24七年级下·广东广州·期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． （1）是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ， ， ； （2）若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． （3）若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 62．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： （1）不等式组的“长度”______；“整点”为______； （2）若不等式组的“长度”，求a的取值范围； （3）若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 期末复习——六大常考计算题题型总结 【题型一：幂的运算】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）计算： （1） （2） （3）（m是正整数） （4） （5） （6） 【思路点拨】 本题主要考查了幂的混合计算，负整数指数幂和零指数幂的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂乘法即可； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可； （3）根据同底数幂乘除法计算法则求解即可； （4）先计算幂的乘方，再计算同底数幂乘法即可； （5）先计算幂的乘方，积的乘方和同底数幂乘法，再合并同类项即可得到答案； （6）先计算负整数指数幂，零指数幂和乘方，再计算加减法即可得到答案． 【解题过程】 （1）解； ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解； ； （5）解： ； （6）解； ． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【思路点拨】 该题考查了负整数指数幂、零指数幂、有理数的混合运算，解题的关键是掌握相关运算法则． （1）依次计算负整数指数幂、零指数幂，然后再算乘方，最后求和即可． （2）依次计算负整数指数幂、零指数幂，然后再算乘方，最后求和即可． 【解题过程】 （1）解： ； （2）解： ． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算： （1） （2） （3） （4） 【思路点拨】 本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据负整数指数幂和零指数幂的意义化简，再算乘法即可； （2）先逆用幂的乘方法则变形，再按同底数幂的乘除法法则计算； （3）先算积的乘方、幂的乘方，再算同底数幂的乘法，然后合并同类项即可； （4）先算同底数幂的乘法、幂的乘方，再算同底数幂的除法，然后合并同类项即可 【解题过程】 （1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【思路点拨】 本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法、除法，积的乘方，和负整数指数幂的运算，掌握运算法则，正确化简计算是解题的关键． （1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法； （2）先处理符号，再进行同底数幂的乘法运算； （3）先进行积的、幂的乘方运算，再进行同底数幂的除法运算； （4）先进行积的乘方和同底数幂的乘法运算，再进行合并同类项即可； （5）先计算积的、幂的乘方运算和同底数幂的除法运算，最后进行合并同类项，涉及负整数指数幂的处理． （6）先计算积的、幂的乘方运算和同底数幂的乘除法运算，最后进行合并同类项，涉及负整数指数幂的处理； 【解题过程】 （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【思路点拨】 本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键． （1）先逆用同底数幂的乘法法则变形，再逆用积的乘方法则变形，然后按顺序计算即可； （2）先利用幂的乘方法则化简，再逆用积的乘方法则计算即可； （3）先把后两个因数逆用幂的乘方法则变形，再逆用积的乘方法则计算即可； （1）先把逆用幂的乘方和同底数幂的乘法法则变形，再逆用积的乘方法则计算即可． 【解题过程】 （1） （2） （3） （4） 6．（23-24七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2） 【思路点拨】 本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，正确计算是解题的关键： （1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项法则计算即可； （2）根据同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项法则计算即可 【解题过程】 （1） ； （2） 7．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知：，， （1）求的值； （2）求的值． 【思路点拨】 此题主要考查了幂的乘方运算，同底数幂相除，掌握幂的乘方运算和同底数幂相除法则的逆用是解题关键． （1）先逆用幂的乘方法则变形，然后再把代入计算即可； （2）先逆用同底数幂相除和幂的乘方运算法则变形，然后再把，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴． 8．（23-24七年级下·安徽六安·期末）（1）已知，，求的值； （2）已知，求t的值． 【思路点拨】 本题考查同底数幂的除法和乘法运算和整式的加减运算， （1）根据同底数幂除法的运算法则进行计算即可得到答案； （2）根据同底数幂乘法和整式的加减运算法则进行化简，得到一元一次方程，解方程即可得到答案． 【解题过程】 解：（1）， ∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）计算 （1）已知，，求：的值． （2），求：的值． 【思路点拨】 （1）利用同底数幂的除法的法则进行运算即可； （2）利用同底数幂的乘除法的法则，幂的乘方的法则进行运算即可． 【解题过程】 （1）解：，， ； （2） ， 原式． 10．（24-25八年级上·山东德州·期末）计算： （1）已知，试用含m，n的代数式表示； （2）已知，试用含m，n的代数式表示； （3）已知，试将用含a、b、c的代数式表示出来． 【思路点拨】 本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方及积的乘方的逆运算法则，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方逆运算法则是解答本题的关键． （1）根据幂的乘方和积的乘方逆运算法则变形即可； （2）先根据幂的乘方法则变形，再根据同底数幂的乘法逆运算法则变形即可求解； （3）先根据同底数幂的乘除法法则变形，再根据幂的乘方逆运算法则变形即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴ ． 【题型二：整式的混合运算】 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【思路点拨】 本题考查了多项式乘以多项式、平方差公式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先根据多项式乘以多项式的运算法则去括号，再合并同类项即可得出答案； （2）先根据多项式乘以多项式的运算法则去括号，再合并同类项即可得出答案； （3）先根据多项式乘以多项式的运算法则去括号，再合并同类项即可得出答案； （4）根据平方差公式运算法则去括号，再合并同类项即可得出答案； 【解题过程】 （1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 12．（24-25八年级上·重庆·期中）计算： （1） （2） 【思路点拨】 （1）利用单项式乘多项式，以及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果； （2）利用多项式乘多项式，以及完全平方公式化简，再合并同类项即可． 此题考查了整式的混合运算，平方差公式，完全平方公式以及单项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 【解题过程】 （1）解： ． （2）解： ． 13．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）计算： （1）． （2） 【思路点拨】 本题考查了整式的运算，解题的关键是∶ （1）利用多项式乘以多项式法则，平方差公式展开，然后合并同类项即可； （2）利用多项式乘以多项式法则展开，然后合并同类项即可． 【解题过程】 （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．（24-25七年级下·福建三明·期中）利用整式乘法公式计算： （1） （2） 【思路点拨】 本题考查了乘法公式，解题的关键是对所求的算式合理的进行变形，再利用乘法公式简便计算． （1）运用平方差公式即可简便计算； （2）将变形为，根据平方差公式即可简便计算． 【解题过程】 （1）解： （2）解： 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【思路点拨】 本题考查了整式的混合运算． （1）先根据平方差公式进行计算，再根据单项式乘多项式法则进行计算即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可； （3）先变形，再根据平方差公式进行计算，最后根据完全平方公式进行计算即可； （4）先变形，再根据平方差公式进行计算，最后根据完全平方公式进行计算即可． 【解题过程】 （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）． 【思路点拨】 本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握整式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并即可； （2）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并即可； （3）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并即可． 【解题过程】 （1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 17．（23-24七年级下·全国·单元测试）利用乘法公式计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【思路点拨】 本题考查乘法法则，熟练掌握平方差公式和完全平方公式，是解题的关键： （1）利用平方差公式计算即可； （2）利用完全平方公式进行计算即可； （3）先利用平方差公式进行计算，再利用完全平方公式进行计算即可； （4）先利用平方差公式进行计算，再利用完全平方公式进行计算即可． 【解题过程】 （1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 18．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）化简： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，单项式乘以多项式的计算和乘法公式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先把原式变形为，再利用乘法公式求解即可． 【解题过程】 （1）解： ； （2）解： ． 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【思路点拨】 此题考查了乘法公式． （1）利用平方差公式计算即可； （2）利用平方差公式计算即可； （3）利用平方差公式计算，再利用完全平方公式展开即可； （4）利用平方差公式计算即可． 【解题过程】 （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 20．（24-25八年级上·山东德州·期末）计算： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查了整式乘法的混合运算，全平方公式，平方差公式． （1）根据完全平方公式，单项式乘多项式运算法则，计算化简即可； （2）利用平方差公式简便计算即可． 【解题过程】 （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型三：整式的化简求值】 21．（24-25八年级上·吉林长春·期末）先化简，再求值：，其中，． 【思路点拨】 此题考查了整式的化简求值．利用乘法公式和单项式乘以多项式法则展开，合并同类项得到化简结果，把字母的值代入求解即可． 【解题过程】 解： 当，时， 原式 22．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）先化简，再求值：，其中a、b满足． 【思路点拨】 本题考查了整式的化简求值，非负数的性质，掌握相关运算法则是解题关键．先根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则展开，再合并同类项化简，然后根据非负数的性质，求出、的值代入计算即可． 【解题过程】 解： ， ， ，， ，， ． 23．（24-25八年级上·河南周口·期末）先化简，再求值：，其中x、y满足． 【思路点拨】 本题主要考查整式的混合运算和非负数的性质，先根据乘法公式和单项式乘以多项式运算法则将括号展开，再合并得最简结果，由非负数的性质得出的值代入计算即可． 【解题过程】 解： ， ， 解得， ∴原式 24．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）先化简，再求值： （1），其中，； （2），其中． 【思路点拨】 本题考查整式的化简求值，（1）先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，最后再代入求值即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，最后再代入求值即可． 【解题过程】 （1）解：， ， 把，代入得，； （2）解：∵， ∴， ． 25．（24-25六年级下·全国·期末）先化简，再求值： （1），其中； （2），其中． 【思路点拨】 本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）根据平方差公式，单项式乘以单项式，进行化简，然后将代入，即可求解． （2）直接利用乘法公式以及整式的混合运算法则化简，再把已知整体代入得出答案． 【解题过程】 （1）解：原式 ． 当时，原式． （2）解：原式． 因为， 所以原式． 26．（24-25八年级上·青海海北·期末）已知：，且． （1）求的值； （2）求的值． 【思路点拨】 本题考查了多项式乘多项式，完全平方公式，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式法则将展开，再将代入即可求解； （2）根据完全平方公式将变形为，再将，代入即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵，， ∴； （2）解： ， ∵，， ∴原式． 27．（24-25八年级上·重庆渝北·期末）已知． （1）若此时满足，求+的值； （2）先化简，再求值：．此时满足． 【思路点拨】 （1）利用完全平方公式的变形运算计算即可求解； （2）根据整式的运算法则先化简，再利用完全平方公式的变形运算计算即可求解； 本题考查了完全平方公式的变形运算，整式的混合运算化简求值，掌握完全平方公式的变形运算是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：； （2）解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式 ． 28．（2025·江苏无锡·一模）已知．求下列各式的值： （1）； （2） （3） 【思路点拨】 本题主要考查了完全平方公式，利用配方法对整式进行整理，解题的关键是熟练掌握配方法，并灵活应用． （1）利用配方法对原式进行整理，再代入求值即可； （2）利用配方法对原式进行整理，再代入求值即可； （3）利用配方法对原式进行整理，再代入求值即可． 【解题过程】 （1）解： ， 将代入上式得： 原式； （2）解： ， 将代入上式得： 原式； （3）解： ， 将代入上式得： 原式． 29．（24-25八年级上·河南商丘·期末）（1）已知，． 求的值； 求的值； （2）已知，求的值． 【思路点拨】 （1）根据完全平方公式及其变形即可求出答案； 根据完全平方公式及其变形即可求出答案； （2）根据完全平方公式及其变形即可求出答案； 本题考查了完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【解题过程】 解：（）∵，，， ∴ ； ∵，，， ∴ ； （）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 30．（24-25八年级上·云南昭通·期末）先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称为“降次代换法”．例如：已知，求代数式的值． 解：∵， ∴， ∴原式，∴． 请用“降次代换法”完成下列各小题： （1）若，则代数式的值为______； （2）若，求代数式的值； （3）若，求证：． 【思路点拨】 本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题目中所给的例子进行计算即可； （2）根据题目中所给的例子进行计算即可； （3）根据题目中所给的例子进行计算，即可求证． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； （3）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴原式得证． 【题型四：与实数有关的计算】 31．（24-25八年级下·江苏镇江·开学考试）求下列各式中的值： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查平方根和立方根．掌握一个正数的平方根有两个是解题的关键，不要漏解． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【解题过程】 （1）解：， 整理得， 解得：或； （2）解：， 开方得：， 解得：． 32．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）求下列各式中的x． （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查利用平方根及立方根解方程，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【解题过程】 （1）解：， 移项得：， 开平方得：， 解得：． （2）解：， 移项得：， 开立方得：， 解得：． 33．（24-25八年级上·四川眉山·期末）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【思路点拨】 此题考查了实数的混合运算、利用平方根和立方根解方程等知识． （1）利用算术平方根、立方根、绝对值法则计算即可； （2）利用乘方、算术平方根和立方根计算即可； （3）利用平方根的意义解方程即可； （4）利用立方根的意义解方程即可． 【解题过程】 （1）解： （2） （3） 整理得， ∴ 解得或 （4） ∴ 则， 解得 34．（24-25七年级上·山东东营·期末）计算： （1） （2） 【思路点拨】 本题主要考查了实数的混合运算．注意有理数的运算律在实数范围内仍然适用． （1）依次利用平方根以及立方根定义对原式计算，然后再依次计算，即可得到结果． （2）先计算乘方，立方根，化简绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【解题过程】 （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 35．（23-24七年级上·山东青岛·期末）计算： （1） （2） 【思路点拨】 本题考查实数的混合运算： （1）先进行开方，乘方运算，再进行加减运算即可； （2）先进行开方，乘方运算，再进行加减运算即可． 【解题过程】 （1）解： ； （2） ． 36．（24-25七年级上·山东淄博·期末）计算： （1） （2） 【思路点拨】 本题考查实数的混合运算： （1）先进行开方，去绝对值运算，再进行加减运算即可； （2）先进行乘方，开方，去绝对值运算，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可． 【解题过程】 （1）解： ； （2） ． 37．（24-25七年级下·全国·期末）计算： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查实数的混合运算： （1）先进行开方，去绝对值，乘方运算，再进行加减运算即可； （2）先进行开方，去绝对值运算，再进行加减运算即可． 【解题过程】 （1）解：原式； （2）原式． 38．（23-24七年级下·河南安阳·期末）计算： （1）； （2）． 【思路点拨】 此题考查了实数的混合运算，求一个数的算术平方根，立方根，绝对值，熟练掌握各计算法则是解题的关键： （1）分别计算绝对值，乘方，立方根和算术平方根，再计算加减法； （2）先计算算术平方根，立方根，绝对值，再计算加减法． 【解题过程】 （1）解：； （2） 39．（24-25七年级上·山东淄博·期末）计算： （1）； （2）． 【思路点拨】 此题主要考查实数的混合运算．解题的关键是熟练掌握求算术平方根，立方根，实数的加减法则． （1）先计算算术平方根，立方根，绝对值化简，再算加减即可； （2）先计算算术平方根，，立方根，再算加减即可． 【解题过程】 （1）解： （2） 40．（24-25七年级上·山东烟台·期末）计算： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握乘方的意义、绝对值的性质和算术平方根的定义． （1）根据乘方的意义、绝对值的性质和算术平方根的定义进行计算即可； （2）先根据立方根与算术平方根的定义进行开方运算，再算加减即可． 【解题过程】 （1）解：， ， ； （2）解：原式， ， 【题型五：解一元一次不等式】 41．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）解不等式： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项即可得到一元一次不等式的解集； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项即可得到一元一次不等式的解集． 【解题过程】 （1）解：， 去括号得， 移项得， ∴． （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， ． 42．（24-25七年级下·全国·单元测试）解下列不等式： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题主要考查解一元一次不等式． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【解题过程】 （1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 43．（23-24六年级下·上海·期末）解不等式：． 【思路点拨】 本题考查解一元一次不等式．掌握解不等式的基本步骤是解题的关键．根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得． 【解题过程】 解： ． 44．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）解不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来． 【思路点拨】 本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为，求出解集，表示在数轴上即可． 【解题过程】 解：， 去分母，两边乘以，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 不等式的解集在数轴上表示如下：    45．（2024·陕西西安·模拟预测）求不等式的最小整数解． 【思路点拨】 本题考查解一元一次不等式，通过去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为即可求解，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法． 【解题过程】 解： ， ， ， ， ∴最小整数解为． 46．（23-24七年级下·吉林长春·期末）求满足不等式的所有正整数x． 【思路点拨】 本题考查的是解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再取正整数解即可． 【解题过程】 解： 去分母，得， 去括号得， 移项，合并得， 系数化为1，得，                  ∵x为正整数， ∴x取1，2，3． 47．（24-25七年级下·全国·单元测试）根据不等式的性质，解下列不等式，并在数轴上表示解集： （1）； （2）； （3）． 【思路点拨】 本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解此题的关键． （1）先根据解一元一次不等式的步骤求解，再将解集表示在数轴上即可； （2）先根据解一元一次不等式的步骤求解，再将解集表示在数轴上即可； （3）先根据解一元一次不等式的步骤求解，再将解集表示在数轴上即可． 【解题过程】 （1）解：不等式两边同时减，得． 不等式两边同时减5，得． 不等式两边同时除以，得． 在数轴上表示解集如答图①． （2）解：不等式两边同时加，得． 不等式两边同时除以，得． 在数轴上表示解集如答图②． （3）解：不等式两边同时乘6，得． 不等式两边同时加，得． 不等式两边同时除以，得． 在数轴上表示解集如答图③． 48．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知不等式的解都是不等式的解，求m的取值范围． 【思路点拨】 本题考查的是一元一次不等式的应用及其解法，先分别解不等式与，再结合题意可得，从而可得答案． 【解题过程】 解：∵， ∴， 解得：． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵不等式的解都是不等式的解， ∴， ∴解得． 49．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）定义关于的一种运算：，如． （1）若，求的取值范围． （2）若关于的不等式的解和的解相同，求的值． 【思路点拨】 （1）根据新定义运算列出不等式即可求解； （2）分别求出两个不等式的解集，再根据解集相同即可求解； 本题考查了新定义，解一元一次不等式，理解新定义是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：由题意得，， ∴， ∴； （2）解：解不等式得，， 由得，， ∴， ∵不等式的解和的解相同， ∴， 解得． 50．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）规定新运算：，其中、是常数．已知，． （1）求a、b的值； （2）若，求，的值； （3）若，，且，求的最大整数值． 【思路点拨】 本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等知识点，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入①求出即可； （2）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入②求出即可； （3）根据新运算得出方程组，再①②得出，根据求出的范围，再求出最大整数解即可． 【解题过程】 （1）解：∵，，， ， ①②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：； （2）解：由（1），， ∴， ， ， ①②，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：； （3）解：，，， ， ①②，得，即， ， ， ， 的最大整数值是1． 【题型六：解一元一次不等式组】 51．（24-25九年级上·广东惠州·期末）解不等式组：． 【思路点拨】 本题考查解不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．分别求出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集即可． 【解题过程】 解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式的解集为． 52．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）解下列不等式组． （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先分别解不等式组中两个不等式，然后求两个不等式解集的公共部分即可． 【解题过程】 （1）解：解不等式：， 得，， 解不等式：， 得， ∴原不等式组的解集是：． （2）解：解不等式：， 得，， 解不等式：， 得， ∴原不等式组的解集是：． 53．（24-25七年级下·全国·期末）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【思路点拨】 本题考查求不等式组解集，并在数轴上表示出不等式组的解集．正确的解出每一个不等式，确定不等式组的解集，是解题的关键．分别解两个一元一次不等式，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，在数轴上将解集表示出来即可． 【解题过程】 解： 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 54．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【思路点拨】 本题主要考查了解不等式组、在数轴上表示解集等知识点，正确求得不等式组的解集是解题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可． 【解题过程】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 不等式组的解集在数轴上表示如下： ． 55．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）解不等式组，并在数轴上表示不等式组的解集． （1）； （2）； （3）； （4）． 【思路点拨】 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点． （1）分别求解两个不等式，得到不等式组的解集为，然后将解集表示在数轴上即可； （2）分别求解两个不等式，得到不等式组的解集为，然后将解集表示在数轴上即可； （3）分别求解两个不等式，得到不等式组的解集为，然后将解集表示在数轴上即可； （4）分别求解两个不等式，得到不等式组的解集为，然后将解集表示在数轴上即可． 【解题过程】 （1）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴表示在数轴上为： （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴表示在数轴上为： （3）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴表示在数轴上为： （4）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴表示在数轴上为： 56．（24-25八年级上·广西来宾·期末）解不等式组，并在数轴上表示其解集，然后写出不等式组的非负整数解． 【思路点拨】 本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，一元一次不等式组的解法，掌握解法步骤是解答本题的关键． 先分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，利用数轴确定不等式组的解集即可解答． 【解题过程】 解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 在数轴上表示不等式的解集如下： 不等式组的解集为：， 不等式组的非负整数解为：、． 57．（24-25八年级上·湖南永州·期末）解不等式组并写出它的整数解． 【思路点拨】 先分别解出两个不等式的解集，并表示在数轴上，找到公共解集，再解出其中的整数解即可．本题考查解一元一次不等式组的整数解、将不等式组的解集表示在数轴上等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【解题过程】 解： 解不等式①得： 解不等式②得： 在数轴上表示不等式①，②的解集： 所以不等式组的解集是， 不等式组的整数解为0和1 58．（24-25八年级上·浙江温州·期末）解不等式组，并求出它的所有非正整数解的和． 【思路点拨】 本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，熟练掌握该知识点是解题的关键．先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的非正整数，即可得到答案． 【解题过程】 解： 解①得， 解②得， 原不等式组的解为： 非正整数解为、、、0 所有非正整数解的和为． 59．（23-24七年级下·福建·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足． （1）求k的取值范围； （2）在（1）的条件下，若不等式的解集为，请写出符合条件的k的整数值． 【思路点拨】 本题考查二元一次方程组的解及解一元一次不等式组，根据数量关系列出一元一次不等式组是解决本题的关键． （1）根据题目中方程组的特点，将两个方程作差，即可用含k的代数式表示出，再根据，即可求得k的取值范围，本题得以解决． （2）不等式的解集为，根据不等式得性质得到，得到k的取值范围，再根据（1）中k的范围，求得k最终的取值范围，即可得到答案． 【解题过程】 （1）解：， ，得， ∵， ∴， 解得，； （2）解：不等式移项得：， ∵不等式的解集为， ∴， 解得：， 又∵， ∴k的取值范围为， ∴整数k的值为． 60．（23-24七年级下·重庆长寿·期末）已知，为常数，对实数，定义，我们规定运算为：，这里等式右边是通常的代数四则运算，例如：．若，． （1）求常数，的值； （2）若关于的不等式组恰好有3个整数解，求实数的取值范围． 【思路点拨】 此题考查了新定义，解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）根据新定义得到关于、的方程组，解方程组求出与的值即可； （2）根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，建立关于c的不等式组，求解，即可得出的范围． 【解题过程】 （1）解：由题意得， 解得：． （2）解：由题意得， 解得：． 要使恰有3个整数解，必有， 解得：． 61．（23-24七年级下·广东广州·期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． （1）是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ， ， ； （2）若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． （3）若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 【思路点拨】 本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，解二元一次方程组和一元一次不等式组，理解“梦想解”的定义是解题的关键． （1）分别把代入每个不等式，判断是否是不等式的解即可； （2）求出方程组的解，代入不等式组，再解不等式组求出的取值范围，最后结合为整数即可求解， （3）求出方程的解为，不等式组的解集为，由所有整数“梦想解”的和为可得，解得． 【解题过程】 （1）解：把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴是不等式的解； 故答案为：； （2）解：解方程组得， ∵二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， ∴是不等式组的解， 把代入不等式组得，， 解不等式组得， ∵为整数， ∴或； （3）解：由方程得，， 解不等式组得：， ∵所有整数“梦想解”的和为， ∴整数“梦想解”为1、2、3、4或0、1、2、3、4， ∵关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”， ∴，解得∶． 综上，． 62．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： （1）不等式组的“长度”______；“整点”为______； （2）若不等式组的“长度”，求a的取值范围； （3）若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键． （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）先整理不等式得出，分和两种情况，根据及列不等式完成不等式的解集即可得答案； （3）分情况，根据得出值，得出不等式组，用表示不等式组的解集，根据恰有4个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【解题过程】 （1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为， 故答案为：；，； （2）解： 解不等式得：， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得，, ∴ 当时，方程组解为：， 满足题意， 综上所述：的取值范围． （3）解：存在，理由如下： 当时，不等式的解集为， ∴，不符合， 当时，不等式的解集为， ∵， ∴， 解得：， 当时，不等式的解集为， ∴， 解得：， 当，不等式的解集为， ∴， 解得：，当时，，不符合， 当或，方程组无解， 综上所述：， ∴为， 解不等式组得：， ∵关于y的不等式组恰有4个“整点”， ∴， 解得：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$