精品解析：湖北省宜昌市部分省级示范高中2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

宜昌市部分省级示范高中2025春季学期高一年级 期中考试数学试卷 命题学校：三峡高中 命题人：杨莉 审题学校：三峡高中 审题人：祁宇涛 龙耒 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式化简运算即可. 【详解】. 故选：A. 2. 若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数单调性求集合B，再结合Venn图运算求解即可. 【详解】因为，且 图中阴影部分表示的集合为. 故选：C. 3. 已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，结合中间值，利用指数函数、对数函数单调性比较大小即可. 【详解】依题意，， 因此实数的大小关系是. 故选：B 4. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则△ABC的形状为（ ） A 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】先用余弦定理代换后得到，利用勾股定理，即可判断. 【详解】由余弦定理得：，则，所以，由此知△ABC为直角三角形. 故选：B 5. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和正弦公式可判断A选项；利用二倍角的正切公式可判断B选项；利用二倍角的余弦公式可判断CD选项. 【详解】对于A选项， ，A不满足； 对于B选项，，B不满足； 对于C选项， ，C满足； 对于D选项，，D不满足. 故选：C. 6. 如图，在四边形中，，，设，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得. 【详解】因为， 所以 . 故选：C. 7. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义、复合函数的单调性逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为， 因为，，故， 所以，函数不是奇函数，A不满足； 对于B选项，对于函数，由可得，解得， 所以，函数的定义域为， 因为，故函数为奇函数， 因为内层函数在上单调递减， 外层函数为增函数，故函数在定义域上单调递减，B不满足； 对于C选项，函数的定义域为，， 故函数为偶函数，C不满足； 对于D选项，对任意的，，即函数的定义域为， ，即函数为奇函数， 因为， 内层函数为增函数，外层函数在上为增函数， 所以，在定义域上为增函数，D满足. 故选：D. 8. 已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简得出，由计算得出，根据已知条件得出，解出的范围，再对整数赋值可得结果. 【详解】因为， 因为且，则， 因为函数在上无零点，故， 所以，，解得， 由，解得， ，当时，可得，当时，可得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若、可以作为基底，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则 D. 若与的夹角为，则或 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用平面向量基底的定义可判断A选项；利用平面向量的模长公式可判断B选项；利用投影向量的定义可判断C选项；利用平面向量数量积的坐标运算和定义可判断D选项. 【详解】已知向量，，易知、均为非零向量， 对于A选项，若、可以作为基底，则、不共线，可得，解得，所以A对； 对于B选项，，则，解得或，所以B错； 对于C选项，在上的投影向量为， 即，解得，所以C对； 对于D选项，因为与的夹角为，则， 即，整理可得，解得或，所以D对. 故选：ACD. 10. 函数的部分图象如图，图象与轴交于点，与轴交于点，点在图象上，点、关于点对称，则下列正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上单调递增 D. 函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为偶函数 【答案】BC 【解析】 【分析】求出点的坐标，可得出函数的最小正周期，可判断A选项；求出、的值，利用正弦型函数的对称性可判断B选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用三角函数图象变换结合正弦型函数的奇偶性可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为点与点关于点对称，则点， 结合图形可知，函数的最小正周期为，A错； 对于B选项，，且函数在附近单调递增， 故，所以， 又因为，故，所以，， 因为，所以函数的图象关于点对称，B对； 对于C选项，当时，， 所以函数上单调递增，C对； 对于D选项，函数的图象向右平移后，得到的图象， 则函数为奇函数，D错. 故选：BC. 11. 设表示不超过的最大整数，如：，，又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ） A. ， B. ，若，则 C. ， D. 不等式的解集为或 【答案】BCD 【解析】 【分析】 通过反例可得A错误，根据取整函数的定义可证明BC成立，求出不等式的解后可得不等式的解集，从而可判断D正确与否. 【详解】对于A，，则，故，故A不成立. 对于B，，则， 故，所以，故B成立. 对于C，设，其中， 则，， 若，则，，故； 若，则，，故，故C成立. 对于D，由不等式可得或， 故或，故D正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部分和小数部分的关系，本题属于较难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则______． 【答案】 【解析】 【分析】由函数解析式可得再求出即可. 【详解】因为函数 因为， ， 即，故答案为. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰. 13. 在中，分别为的中点，则__________. 【答案】－4 【解析】 【分析】由向量的线性运算得，，然后计算数量积可得． 【详解】由已知，， ． 故答案为：． 14. 记的内角、、所对的边分别为、、，已知，，点在边上，若，，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，结合平面向量的减法可得出，利用平面向量数量积的运算性质、余弦定理以及已知条件可求出的值. 【详解】如下图所示： 由题意可知，则，所以，， 所以，， 即①， 由余弦定理可得②， 又因为，联立①②可得，代入②可得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足，且与的夹角为. （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直得出数量积为零，结合夹角和模长可求答案； （2）先求数量积和模长，代入夹角公式可得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 即，即， 所以，解得. 【小问2详解】 因为， ， 所以， 即与的夹角的余弦值为. 16. （1）已知，均为锐角且，，求的值； （2）已知，，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由，利用两角差的正弦公式结合平方关系展开即可求解； （2）由得，利用二倍角公式即可求解. 【详解】（1）， ，  则， . （2）， 即又， 即. 17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角； （2）若，边上的中线，求的面积及BC边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理及诱导公式化简结合两角和正弦公式计算求解； （2）由题意可得，两边平方化简可求出，从而可求出的面积，再利用三角形面积公式可求出BC边上的高. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 所以， 所以， 所以， 因为，所以，即， 所以， 因为，所以； 【小问2详解】 因为为边上中线， 所以，两边同时平方得， 因为，， 所以，得， 所以，解得或（舍去）， 所以的面积， 由余弦定理得，所以 设BC边上的高为，因为的面积， 所以，得. 18. 已知，，函数，的最小正周期为. （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，求的最值及取到最值时的值； （3）若函数在上有两个不同的零点、，求实数的取值范围，并求的值. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）的取值范围是， 【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算、三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式求出的值，即可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的单调性可得出函数的增区间； （2）由可求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求出的最大值、最小值及其对应的值； （3）分析函数在上的单调性，根据函数的零点个数可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围，利用正弦型函数的对称性可求得的值，即可得出的值. 【小问1详解】 因为，， 所以，，， ， 因为函数的最小正周期为，则，可得，故. 由可得， 因此，函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 令，由可得，即， 故当时，即当时，取得最大值， 当时，即当时，取得最小值. 【小问3详解】 函数所在上有两个不同的零点、， 由可得，由可得， 所以，函数在区间上单调递增，在上单调递减， 所以，，解得， 故实数的取值范围是， 由可得，所以，直线为函数图象的一条对称轴， 因为，所以点、关于直线对称， 所以，因此. 19. 意大利著名画家、数学家、物理学家达芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，悬链线在工程上有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类曲线的函数表达式可以为，其中、为非零实数. （1）利用单调性定义证明：当时，在上单调递增； （2）当时，若不等式对恒成立，求实数的取值范围； （3）若为奇函数，函数，，探究是否存在实数，使的最小值为？ 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用增函数的定义，结合指数函数单调性推理得证. （2）利用偶函数的性质及函数的单调性脱去法则“f”，转化成恒成立问题求解. （3）由奇函数的定义可得，再配方换元，转化为在闭区间上的二次函数最小值为的问题求解. 【小问1详解】 当时，，， 则 ，由，得， 则，，于是，即， 所以在上单调递增. 【小问2详解】 函数的定义域为R，，则为偶函数， 不等式， 函数在上单调递增，则 依题意，不等式对恒成立， 当时，，， 因此对恒成立， 令，而， 则，当时，， ，当时，，于是， 所以取值范围为. 【小问3详解】 由函数为奇函数，得恒成立， 即恒成立，则， 于是，， 令，，由函数在上单调递增，得， 则函数化为，， 假设存在实数，使即的最小值为， 当，即时，在上单调递增，，不符合要求； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ，此时； 当，即时，在上单调递减，， 解得，不满足， 所以当时，的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜昌市部分省级示范高中2025春季学期高一年级 期中考试数学试卷 命题学校：三峡高中 命题人：杨莉 审题学校：三峡高中 审题人：祁宇涛 龙耒 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则实数a，b，c大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则△ABC的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 5. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，，，设，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若、可以作为基底，则 B 若，则 C. 若在上的投影向量为，则 D. 若与的夹角为，则或 10. 函数的部分图象如图，图象与轴交于点，与轴交于点，点在图象上，点、关于点对称，则下列正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上单调递增 D. 函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为偶函数 11. 设表示不超过最大整数，如：，，又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ） A. ， B ，若，则 C. ， D. 不等式的解集为或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则______． 13. 在中，分别为中点，则__________. 14. 记的内角、、所对的边分别为、、，已知，，点在边上，若，，则的值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足，且与的夹角为. （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值. 16. （1）已知，均为锐角且，，求的值； （2）已知，，求的值. 17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角； （2）若，边上的中线，求的面积及BC边上的高. 18. 已知，，函数，的最小正周期为. （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，求的最值及取到最值时的值； （3）若函数在上有两个不同的零点、，求实数的取值范围，并求的值. 19. 意大利著名画家、数学家、物理学家达芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，悬链线在工程上有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类曲线的函数表达式可以为，其中、为非零实数. （1）利用单调性定义证明：当时，在上单调递增； （2）当时，若不等式对恒成立，求实数的取值范围； （3）若为奇函数，函数，，探究是否存在实数，使的最小值为？ 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $