精品解析：江苏省天一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

江苏省天一中学2024-2025学年第二学期期中考试 高二数学学科 命题人：谢志平 审阅人：凌家辉 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量，Y服从两点分布，若，，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 3. 展开式中的常数项为（ ） A. 3 B. -3 C. 7 D. -7 4. 青年大学习是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答．某期学习中假设同学小华答对第一、二个问题的概率分别为，且两题是否答对相互之间没有影响，则至少答对一个问题的概率是（ ） A B. C. D. 5. 下列说法不正确的是（ ） A. 在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 B. 若随机变量，且，则 C. 若随机变量，则方差 D. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为和0.89，则乙组数据的线性相关性更强 6. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二进制数(）对应的十进制数记为，即 其中， ，则在中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的总和为（ ） A. 1910 B. 1990 C. 12252 D. 12523 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某种产品的价格x（单位：元/kg）与需求量y（单位：kg）之间的对应数据如下表所示： x 10 15 20 25 30 y 12 11 9 7 6 根据表中的数据可得回归直线方程，则以下正确的是（ ） A. 相关系数 B. 第一个样本点对应残差为-0.2 C. D. 若该产品价格为35元/kg，则日需求量大约为4.2kg 10. 一个不透明箱子中有大小形状均相同的两个红球､两个白球，从中不放回地任取2个球，每次取1个.记事件为“第次取到的球是红球”，事件为“两次取到的球颜色相同”，事件为“两次取到的球颜色不同”，则（ ） A. 与互斥 B. C. D. 与相互独立 11. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，下列选项正确的是（ ） A. 第10行所有数字的和为1024 B. C. 第9行所有数字的平方和等于 D. 若第行第个数记为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布，则______．（精确到0.01） 参考数据：若，则，，． 13. 某高中为开展新质课堂，丰富学生的课余生活，开设了若干个社团，高二年级有5名同学打算参加“书法协会”、“舞动青春”、“红袖添香”和“羽乒协会”四个社团.若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这5个同学中至多有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为__________.（用数字作答） 14. 若存在实数a，b使得，则的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，且当时，有极值－5． （1）求的值； （2）求在上的值域． 16. 为适应社会化安全宣传新形势新要求，充分发挥区域特色和示范效应，深入推进安全宣传进企业、进农村、进社区、进学校、进家庭，普及安全知识、培育安全文化，某单位用简单随机抽样的方法从A，B两个社区中抽取居民进行满意度调查，调查中有“满意”和“不满意”两个选项，调查的部分数据如下表所示： 社区 居民意见 合计 满意 不满意 A社区 30 45 B社区 55 合计 25 （1）完成列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为居民满意度与所在社区有关？ （2）现从已抽取的“不满意”的居民中随机抽取2位居民进行深入调研，用X表示抽取的“不满意”的居民来自A社区的人数，求随机变量X的分布列及数学期望． 附：参考公式：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5024 6.635 17. 某单位有11名外语翻译人员（每名翻译人员都能从事英语或俄语翻译），其中能从事英语翻译人，且满足，能从事俄语翻译6人． （1）问既能从事英语翻译也能从事俄语翻译有几人？ （2）现要从中选出8人组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译俄语，则有多少种不同的选派方式？ 18. 同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗?其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩： 1 2 3 4 5 6 甲 25 21 27 27 23 25 乙 18 25 25 25 25 17 假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立. （1）估计甲队每局获胜的概率； （2）如果甲、乙两队比赛1场，求甲队积分X的概率分布列和数学期望； （3）如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小 19. 已知函数，其中. （1）证明：当时，； （2）若时，有极小值，求实数的取值范围； （3）对任意的恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省天一中学2024-2025学年第二学期期中考试 高二数学学科 命题人：谢志平 审阅人：凌家辉 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的导数为（ ） A. B C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的运算法则以及复合函数求导法则可求出原函数的导数. 【详解】 ． 故选：B. 2. 已知随机变量，Y服从两点分布，若，，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项分布的概率公式可求p,然后利用两点分布概率公式计算可得结果. 【详解】随机变量,， 解得（舍去，注意：），． 故选:C． 3. 展开式中的常数项为（ ） A. 3 B. -3 C. 7 D. -7 【答案】D 【解析】 【分析】求出展开式的通项公式，再分别分析与展开式相乘得到常数项的情况，最后将两部分常数项相加即可得到原式展开式中的常数项． 【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为（其中）．  与展开式中项相乘得到常数项， 令，则，解得． 将代入通项公式可得， 那么与相乘得到的常数项为．  与展开式中常数项相乘得到常数项， 令，则，解得． 将代入通项公式可得， 那么与相乘得到的常数项为．   将上述两部分常数项相加，可得展开式中的常数项为．  展开式中的常数项为． 故选：D． 4. 青年大学习是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答．某期学习中假设同学小华答对第一、二个问题的概率分别为，且两题是否答对相互之间没有影响，则至少答对一个问题的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】依题意，至少答对一个问题的概率是. 故选：A 5. 下列说法不正确的是（ ） A. 在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 B. 若随机变量，且，则 C. 若随机变量，则方差 D. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为和0.89，则乙组数据的线性相关性更强 【答案】D 【解析】 【分析】根据决定系数的概念判断A；根据正态分布的对称性判断B；根据二项分布的方差公式判断C；根据相关系数的定义判断D. 【详解】对于A，决定系数越大，说明模型拟合的效果越好，故A正确； 对于B，随机变量，则， 则，故B正确； 对于C，因为随机变量，则方差，故C正确； 对于D，因为甲、乙两组数据的相关系数分别为和0.89，且， 所以甲组数据的线性相关性更强，故D不正确. 故选：D 6. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数和单调性的关系，得到在区间上恒成立，再利用参变分离，转化为最值问题，即可求解. 【详解】由已知，在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，即，， 所以 故选：D 7. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出事件，利用条件概率和全概率公式得到，使用贝叶斯公式得到答案. 【详解】设检验结果呈现阳性为事件，此人患病为事件， ， ， 则. 故选：C 8. 二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二进制数(）对应的十进制数记为，即 其中， ，则在中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的总和为（ ） A. 1910 B. 1990 C. 12252 D. 12523 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列前n项和以及组合数问题可解 【详解】根据题意得 ，因为在中恰好有2个0的有=28种可能，即所有符合条件的二进制数 的个数为28． 所以所有二进制数对应的十进制数的和中，出现=28次，，…，2，均出现=21次，所以满足中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的和为 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某种产品的价格x（单位：元/kg）与需求量y（单位：kg）之间的对应数据如下表所示： x 10 15 20 25 30 y 12 11 9 7 6 根据表中的数据可得回归直线方程，则以下正确的是（ ） A. 相关系数 B. 第一个样本点对应的残差为-0.2 C. D. 若该产品价格为35元/kg，则日需求量大约为4.2kg 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先根据相关数据的变化关系，即可判断相关系数，计算样本点中心，代入回归直线方程，求解，并根据残差公式，求解残差，并根据回归直线方程，进行预测. 【详解】由对应数据可知，增大，减小，所以相关系数 ，， 由，得，所以， 即， 所以相关系数，故A错误，C正确； 由回归直线方程，当时，， 所以第一个样本点对应的残差为，故B正确； 当时，，故D正确. 故选：BCD 10. 一个不透明箱子中有大小形状均相同的两个红球､两个白球，从中不放回地任取2个球，每次取1个.记事件为“第次取到的球是红球”，事件为“两次取到的球颜色相同”，事件为“两次取到的球颜色不同”，则（ ） A. 与互斥 B. C. D. 与相互独立 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用互斥事件的定义即可判断；对于B，利用古典概型的概率公式即可判断；对于C，利用条件概率的计算公式即可判断；对于D，利用独立事件的概率公式即可判断. 【详解】对于A，与可以同时发生，即两次取到的都是红球，则与不互斥，故A错误； 对于B，箱子中有大小形状均相同的两个红球、两个白球，则，故B正确； 对于C，，， 则，故C正确； 对于D，，，， 则有与相互独立，故D正确. 故选：BCD. 11. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，下列选项正确的是（ ） A. 第10行所有数字的和为1024 B. C. 第9行所有数字的平方和等于 D. 若第行第个数记为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合二项式系数和计算判断A；根据组合数的性质计算判断B；结合的展开式的系数的关系判断C；根据第行的第个数为，结合逆用二项式定理化简求解判断D. 【详解】对于A，在杨辉三角中，第10行的所有的数字之和为，正确； 对于B：由公式得： ，错误； 对于C，在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字， 即， 因 对应相乘可得的系数为， 而二项式展开式的通项公式，， 当时，，则的系数为， 所以， 所以第9行所有数字的平方和等于，正确； 对于D，第行的第个数为， 所以 即，正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布，则______．（精确到0.01） 参考数据：若，则，，． 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的参数，结合参考数据，利用对称性，即可求解. 【详解】， . 故答案为： 13. 某高中为开展新质课堂，丰富学生的课余生活，开设了若干个社团，高二年级有5名同学打算参加“书法协会”、“舞动青春”、“红袖添香”和“羽乒协会”四个社团.若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这5个同学中至多有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为__________.（用数字作答） 【答案】360 【解析】 【分析】依题意，将问题分成0人参加“舞动青春”社团和人参加“舞动青春”社团两种情况讨论，然后分别计算方法数，根据分类加法计数原理，结合排列组合公式计算即得方法数. 【详解】(1)计算0人参加“舞动青春”社团的方法数： 将名同学分配到“书法协会”、“红袖添香”和“羽乒协会”三个社团，且每个社团至多两人参加. 可先将人分成，，三组，有种， 再将这三组在三个社团上全排列，可得，故方法数为种； (2)计算人参加“舞动青春”社团的方法数： 先从人中选人参加“舞动青春”社团，有种. 然后将剩下的人分配到“书法协会”、“红袖添香”和“羽乒协会”三个社团，且每个社团至多两人参加， 可将人按照，或，，分组. ① 若按照，分组，则有种，再将分好的两组全排列，安排到三个社团中的两个， 则有种，故方法数为种； ② 若按照，，分组，则有种，再将这三组在三个社团上全排列， 则有，故方法数为种. 故有人参加“舞动青春”社团的方法数为种. 综上(1)，(2)，这5个同学中至多有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为：种. 故答案为：360. 14. 若存在实数a，b使得，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】变形给定的不等式，构造函数，利用导数求出函数最小值，再借助不等式的性质求出，即可． 【详解】不等式， 令，求导得，当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，，当且仅当时取等号，则，， 于是，结合已知条件， 此时，，即，所以． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，且当时，有极值－5． （1）求的值； （2）求在上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求导函数，再根据极值点列方程求解即可； （2）求出导函数，根据导函数正负得出单调性写出极值和最值即可得出值域. 【小问1详解】 由，得， 又当时，有极值－5，所以，解得 所以，当时，单调递减；当时，单调递增． 所以当时，有极小值． 所以． 【小问2详解】 由（1）知． 令，得， 的值随的变化情况如下表： －4 －1 3 4 + 0 － 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值－5 单调递增 由表可知在上的最大值为，最小值为， 即在上的值域为． 16. 为适应社会化安全宣传新形势新要求，充分发挥区域特色和示范效应，深入推进安全宣传进企业、进农村、进社区、进学校、进家庭，普及安全知识、培育安全文化，某单位用简单随机抽样的方法从A，B两个社区中抽取居民进行满意度调查，调查中有“满意”和“不满意”两个选项，调查的部分数据如下表所示： 社区 居民意见 合计 满意 不满意 A社区 30 45 B社区 55 合计 25 （1）完成列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为居民满意度与所在社区有关？ （2）现从已抽取的“不满意”的居民中随机抽取2位居民进行深入调研，用X表示抽取的“不满意”的居民来自A社区的人数，求随机变量X的分布列及数学期望． 附：参考公式：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】（1）列联表见解析，居民满意度与所在社区无关. （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据列联表，计算值并根据其与的大小比较得出结论； （2）由题意，可分析得出变量服从超几何分布，按照其概率公式写出分布列，计算数学期望即得. 【小问1详解】 根据题目数据可完善列联表： 社区 居民意见 合计 满意 不满意 A社区 30 15 45 B社区 45 10 55 合计 75 25 100 零假设为：居民满意度与所在社区不具有相关性. 根据列联表中的数据， 得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 即认为居民满意度与所在社区无关. 【小问2详解】 已抽取的“不满意”的居民中，A社区有15人，B社区有10人， 所以随机变量的所有可能取值为0，1，2， 则，，， 所以的分布列为 0 1 2 所以. 17. 某单位有11名外语翻译人员（每名翻译人员都能从事英语或俄语翻译），其中能从事英语翻译人，且满足，能从事俄语翻译6人． （1）问既能从事英语翻译也能从事俄语翻译的有几人？ （2）现要从中选出8人组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译俄语，则有多少种不同的选派方式？ 【答案】（1）人 （2）种 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合排列数公式求解即得. （2）由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法及分步乘法计数原理求解． 【小问1详解】 由，得，整理得：， 解得：，又且，，于， 所以既能从事英语翻译也能从事俄语翻译的有人. 【小问2详解】 由（1）知，只能从事英语翻译的5人，只能从事俄语翻译的3人，既能从事英语又能从事俄语的3人， 按“多面手”的参与情况分成三类情况： ①多面手有1人入选，种； ②多面手有2人入选，种； ③多面手有3人入选，种． 综上所述，共有种选人方案． 18. 同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗?其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩： 1 2 3 4 5 6 甲 25 21 27 27 23 25 乙 18 25 25 25 25 17 假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立. （1）估计甲队每局获胜的概率； （2）如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望； （3）如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）两队积分相等的概率小于 【解析】 【分析】（1）计算6场比赛甲赢的频率即可； （2）利用第1问求出的概率，分类列出其分布列，再求期望； （3）设第场甲、乙两队积分分别为，，求两者之间的关系，将问题转化为时的概率，再结合第2问可求其概率. 【小问1详解】 由表可知：6场比赛甲赢了4场，则甲每局获胜的频率为， 用频率估计概率，所以甲队每局获胜的概率为. 小问2详解】 随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 可得：，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以数学期望． 【小问3详解】 记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件， 设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2， 因两队积分相等，所以，即，则， 而，， ， 所以 ， 因为，所以两队积分相等的概率小于 19. 已知函数，其中. （1）证明：当时，； （2）若时，有极小值，求实数的取值范围； （3）对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性，结合单调性分析证明； （2）求导，令，利用导数分析可知在内单调递增，分类讨论的符号，进而分析的极值，即可得结果； （3）构建，分析可知原题意等价于对任意恒成立，根据端点效应可得，并代入检验说明其充分性即可. 【小问1详解】 因为，则对任意恒成立， 可知在内单调递减，则， 所以当时，. 【小问2详解】 因，则， 令，则对任意恒成立， 可知在内单调递增，则， 当，即时，则对任意恒成立，即， 可知在内单调递增，无极值，不合题意； 当，即时，则在内存在唯一零点， 当时，，即；当时，，即； 可知在内单调递减，在内单调递增， 可知存在极小值，符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 【小问3详解】 令， 则， 原题意等价于对任意恒成立， 且，则，解得， 若，因为，则， 则， 可知在内单调递增，则，即符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$