2.3三角形的内切圆 同步练习2024－2025学年浙教版数学九年级下册

2.3三角形的内切圆 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE．若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是（　　） A．BD⊥AC B．AC2=2AB•AE C．△ADE是等腰三角形 D．BC=2AD 2．下列命题正确的是（ ） A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 B．三角形的内心不一定在三角形的内部 C．等边三角形的内心，外心重合 D．一个圆一定有唯一一个外切三角形 3．如图，点I是△ABC的内心，点O是△ABC的外心，若∠BOA=140°，则∠BIA的度数是（    ） A．100° B．120° C．125° D．135° 4．如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为r，，，，则的面积为（   ） A． B．12r C．13r D．26r 5．等边三角形的外接圆面积是内切圆面积的（    ） A．3倍 B．5倍 C．4倍 D．2倍 6．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，半径为1的⊙O与OB交于点C，且AB与⊙O相切，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点M是边OA上动点．则△MCD周长最小值为（　　） A．2 B． C． + D． 7．如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则  （    ） A． B．1 C． D． 8．如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是（　　） A．3 B．4 C． D． 9．如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于，则（ ） A． B． C． D． 10．若正方形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r∶R∶a＝…（     ） A． B． C． D． 11．如图，Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点C的距离为（）． A．2.4cm B．2.5cm C．3cm D．4cm 12．如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（    ） A．π B．π C．π D．2π 二、填空题 13．已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于 ． 14．如图，点I是△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，若∠ACB＝70°，则∠DBI＝ °． 15．如果一个三角形的周长为10，面积为S，内切圆的半径为r，那么r∶S＝ ． 16．如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为r，点C在上，CD⊥OA，垂足为D，当△OCD的面积最大时，的长为 . 17．直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为 ． 三、解答题 18．如图所示，在的内接中，，，作于点P，交于另一点B，C是上的一个动点（不与A，M重合），射线交线段的延长线于点D，分别连接和，交于点E． (1)求证：． (2)若，，求的长． (3)在点C运动过程中，当时，求的值． 19．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D． (1)若∠BAC=70°，求∠CBD的度数； (2)求证：DE=DB． 20．问题提出 （1）已知，如图①在ABC中，AB＝4，AC＝3，sinA＝，则　 ． （2）已知，如图②四边形ABCD中，两条对角线AC＝m，BD＝n．AC与BD的夹角为θ（0＜θ≤90）．求四边形ABCD的面积（用含m、n、θ的式子表示S四边形ABCD）． 问题解决 （3）课外活动小组在研究圆内接四边形时提出以下问题：若线段AB、CD是半径为2的⊙O的两条弦，且AB＝2，CD＝2，你认为在以点A、B、C、D为顶点的四边形中，是否存在面积最大的四边形？请利用图③说明理由，若存在，请求出面积最大值． 21．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE是直径，交BC于点H，点D在上，连接AD，CD过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF和CD的长． 22．如图1，为半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆于点D，，交延长线于点E，交半圆于点F，已知．点P，Q分别在线段上（不与端点重合），且满足．设． (1)求半圆O的半径． (2)求y关于x的函数表达式． (3)如图2，过点P作于点R，连结． ①当为直角三角形时，求x的值． ②作点F关于的对称点，当点落在上时，求的值． 23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE． （1）求证：AC＝AE； （2）求△ACD外接圆的直径． 24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC，BD交AC于点E，过点D作DF⊥DB，DF交BA延长线于点F． （1）求证：AF＝BC； （2）如果AB＝3AF，＝　 （直接写出答案） （3）过点F作FG∥BD交CA延长线于点G，求证：AG＝CE． 《2.3三角形的内切圆》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C C C A D C B B 题号 11 12 答案 B A 1．D 【详解】试题分析：利用圆周角定理可得A正确；证明△ADE∽△ABC，可得出B正确；由B选项的证明，即可得出C正确；利用排除法可得D不一定正确． ∵BC是直径， ∴∠BDC=90°， ∴BD⊥AC，故A正确； ∵BD平分∠ABC，BD⊥AC， ∴△ABC是等腰三角形，AD=CD， ∵∠AED=∠ACB， ∴△ADE∽△ABC， ∴△ADE是等腰三角形， ∴AD=DE=CD， ∴= ， ∴AC2=2AB•AE，故B正确； 由B的证明过程，可得C选项正确． 故选D． 考点： 1.圆周角定理；2.等腰三角形的判定；3.相似三角形的判定与性质． 2．C 【详解】试题分析：根据三角形的内心的形成特征依次分析各项即可． A．三角形的内心是三角形内角平分线的交点，到三角形三边的距离相等，故本选项错误； B．三角形的内心是三角形内角平分线的交点，一定在三角形的内部，故本选项错误； C．等边三角形的内心，外心重合，正确； D．一个圆有无数个外切三角形，故本选项错误； 故选C. 考点：本题考查的是三角形的内心的性质，角平分线的性质 点评：解答本题的关键是掌握三角形的内心是三角形内角平分线的交点，角平分线上的点到角两边的距离相等． 3．C 【分析】利用圆周角定理得出，进而得出利用内心的知识得出，即可得出答案． 【详解】解：点为的外心，， ， ， 点为的内心， ， ， 故选：． 【点睛】此题主要考查了三角形的内心和外心，正确把握三角形内心的性质是解题关键． 4．C 【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键； 根据三角形面积=三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半． 计算即可． 【详解】 是的内切圆且半径为r，，， ， ， 则的面积为， 故选：C 5．C 【分析】根据题意画出图形，设是等边的内心，连接，，延长交于，根据等边三角形的性质得出也是的外心，，，推出，分别求出等边三角形的外接圆、内切圆的面积，即可求出答案． 【详解】解：设是等边三角形的内心，连接，，延长交于， 是等边三角形， 也是的外心，，， ， 等边的外接圆的面积是， 等边的内切圆的面积是， 等边的外接圆面积是内切圆面积的4倍， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与外接圆，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是求出，主要考查了学生的计算能力，题型较好，难度也适中． 6．A 【分析】延长CO交⊙O于点E，连接ED，此时周长最小．根据切线性质和勾股定理可求出CD的值，再根据三角形的周长公式可以算出最小值． 【详解】如图，延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点M，此时周长最小． 设AB于⊙O相切于点F，连接OF，则． ． ． ． 且OC为⊙O的半径． 是⊙O的切线． ． ． ． 即：． 解得：． ． 的周长最小值为：． 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、轴对称最短路线等问题，解题的关键在于正确找到M点位置． 7．D 【分析】设的外接圆的圆心为O，连接，，，，根据圆周角定理证得是等边三角形，再根据垂径定理可得，，再根据三角形内心证得，进而解决问题． 【详解】解：如图，设的外接圆的圆心为O，连接，，，， 在中，，，内心为I， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∵I是的内心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形内切圆与内心、三角形外接圆与外心、垂径定理、圆周角定理、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质，证得是等边三角形是解题的关键． 8．C 【分析】延长FO交AB于点G，根据折叠对称可以知道OF⊥CD，所以OG⊥AB，即点G是切点，OD交EF于点H，点H是切点．结合图形可知OG=OH=HD=EH，等于⊙O的半径，先求出半径，然后求出正方形的边长． 【详解】解：如图：延长FO交AB于点G，则点G是切点，OD交EF于点H，则点H是切点， ∵ABCD是正方形，点O在对角线BD上， ∴DF=DE，OF⊥DC， ∴GF⊥DC， ∴OG⊥AB， ∴OG=OH=HD=HE=AE，且都等于圆的半径． 在等腰直角三角形DEH中，DE=2， ∴EH=DH==AE． ∴AD=AE+DE=+2． 故选C． 【点睛】本题考查的是切线的性质，利用切线的性质，结合正方形的特点求出正方形的边长． 9．B 【分析】过点O作，，设圆的半径为r，根据垂径定理可得△OBM与△ODN是直角三角形，根据三角函数值进行求解即可得到结果． 【详解】如图，过点O作，，设圆的半径为r， ∴△OBM与△ODN是直角三角形，， ∵等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于， ∴,， ∴，， ∴，， ∴． 故答案选B． 【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理知识点应用，结合等边三角形和正方形的性质，利用三角函数求解是解题的关键． 10．B 【分析】经过圆心O作正方形一边AB的垂线OC，垂足是C．连接OA，则在直角△OAC中， ∠O=45°．OC是边心距r，OA即半径R．根据三角函数即可求解． 【详解】 作出正方形的边心距，连接正方形的一个顶点和中心可得到一直角三角形． 在中心的直角三角形的角为， ∴内切圆的半径为 ， 外接圆的半径为 ， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查的知识点是正多边形和圆，解题关键是构造直角三角形，把半径和边心距用边长表示出来． 11．B 【详解】试题分析：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm；由勾股定理，得：AB==5cm，斜边上的中线是AB=2.5cm．因而外心到直角顶点的距离即斜边的长为2.5cm．故选B． 考点：1．三角形的外接圆与外心；2．勾股定理． 12．A 【详解】解：设AB的中点为Q，连接NQ，如图所示： ∵N为BM的中点，Q为AB的中点， ∴NQ为△BAM的中位线， ∵AM⊥BP， ∴QN⊥BN， ∴∠QNB＝90°， ∴点N的路径是以QB的中点O为圆心，AB长为半径的圆交CB于D的， ∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°， ∴ABCA＝4，∠QBD＝45°， ∴∠DOQ＝90°， ∴为⊙O的周长， ∴线段BM的中点N运动的路径长为：π， 故选：A． 13． 【分析】连接IA，IA与⊙I半径的差即为点A到圆上的最近距离，只需求出IA和⊙I半径即可得答案． 【详解】解：连接IA，设AC、BC分别切⊙I于E、D，连接IE、ID，如图： ∵BC＝6，AC＝8，AB＝10， ∴BC2+AC2＝AB2 ∴∠C＝90° ∵⊙I为△ABC的内切圆， ∴∠IEC＝∠IDC＝90°，IE＝ID， ∴四边形IDCE是正方形，设它的边长是x， 则IE＝EC＝CD＝ID＝IH＝x， ∴AE＝8﹣x，BD＝6﹣x， 由切线长定理可得：AH＝8﹣x，BH＝6﹣x， 而AH+BH＝10， ∴8﹣x+6﹣x＝10，解得x＝2， ∴AH＝6，IH＝2， ∴IA＝＝2， ∴点A到圆上的最近距离为2﹣2， 故答案为：2﹣2． 【点睛】本题考查勾股定理、切线长定理、三角形的内切圆等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 14．55 【分析】由三角形的内心的性质可得∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，由外角的性质和圆周角的性质可得∠BID＝∠DBI，由三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵点I是△ABC的内心， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI， ∵∠CAD＝∠CBD， ∴∠BAD＝∠CBD， ∵∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠IBD＝∠CBI+∠CBD， ∴∠BID＝∠DBI， ∵∠ACB＝70°， ∴∠ADB＝70°， ∴∠BID＝∠DBI＝＝55° 故答案为：55． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与圆心，圆周角的定理，等腰三角形的性质等知识，证明∠BID=∠DBI是本题的关键． 15．1∶5 【分析】根据三角形的面积与内切圆半径r满足S＝  l×r(l是三角形的周长)求解. 【详解】由题意得：S＝ l ×r，即S＝ ×10×r，∴r:s＝1:5 故答案为1:5. 【点睛】本题考查的是三角形，熟练掌握熟练掌握三角形的内切圆是解题的关键. 16． 【详解】试题解析：，点在上， ∴当，即时,的面积最大， ∴的长为 故答案为 17．2 【分析】先利用勾股定理计算出斜边的长，然后利用直角三角形的内切圆的半径为（其中、为直角边，为斜边）求解． 【详解】直角三角形的斜边， 所以它的内切圆半径. 故答案为2． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角；直角三角形的内切圆的半径为（其中、为直角边，为斜边）． 18．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用圆周角定理得到∠CMA=∠ABC，再利用两角分别相等即可证明相似； （2）连接OC，先证明MN是直径，再求出AP和NP的长，接着证明，利用相似三角形的性质求出OE和PE，再利用勾股定理求解即可； （3）先过C点作CG⊥MN，垂足为G，连接CN，设出再利用三角函数和勾股定理分别表示出PB和PG，最后利用相似三角形的性质表示出EG，然后表示出ME和NE，算出比值即可． 【详解】（1）解：∵AB⊥MN， ∴∠APM=90°， ∴∠D+∠DMP=90°， 又∵∠DMP+∠NAC=180°，∠MAN=90°， ∴∠DMP+∠CAM=90°， ∴∠CAM=∠D， ∵∠CMA=∠ABC， ∴． （2）连接OC， ∵， ∴MN是直径， ∵， ∴OM=ON=OC=5， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴OC⊥MN， ∴∠COE=90°， ∵AB⊥MN， ∴∠BPE=90°， ∴∠BPE=∠COE， 又∵∠BEP=∠CEO， ∴ ∴， 即 由， ∴， ∴， ， ∴． （3）过C点作CG⊥MN，垂足为G，连接CN，则∠CGM=90°， ∴∠CMG+∠GCM=90°， ∵MN是直径， ∴∠MCN=90°， ∴∠CNM+∠DMP=90°， ∵∠D+∠DMP=90°， ∴∠D=∠CNM=∠GCM， ∵， ∴， ∵ ∴设 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，且， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵∠CGE=∠BPE=90°，∠CEG =∠BEP， ∴， ∴， 即 ∴， ∴，， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识，涉及到了动点问题，解题关键是构造相似三角形，正确表示出各线段并找出它们的关系，本题综合性较强，属于压轴题． 19．（1）35°；（2）证明见解析. 【分析】（1）由点E是△ABC的内心，∠BAC=70°，易得∠CAD=，进而得出∠CBD=∠CAD=35°； (2) 由点E是△ABC的内心，可得E点为△ABC角平分线的交点，可得∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD，可推导出∠DBE=∠BED，可得DE=DB. 【详解】（1）∵点E是△ABC的内心，∠BAC=70°， ∴∠CAD=， ∵， ∴∠CBD=∠CAD=35°； （2）∵E是内心， ∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD． ∵∠CBD=∠CAD， ∴∠CBD=∠BAD， ∵∠BAD+∠ABE=∠BED，∠CBE+∠CBD=∠DBE， ∴∠DBE=∠BED， ∴DE=DB. 【点睛】此题考查了圆的内心的性质以及角平分线的性质等知识． 此题综合性较强, 注意数形结合思想的应用. 20．（1）；（2）•sinθ；（3）+2 【分析】（1）如图1中，过点C作CH⊥AB于H．解直角三角形求出CH，可得结论． （2）如图2中，分别过A，C作AM⊥BD于M，CN⊥BD于N．根据S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝•BD•AM+•BD•CN，求解即可． （3）如图③﹣1中，连接OA，OB，OC，OD，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N．解直角三角形求出∠AOB＝120°，∠COD＝90°，推出∠AOD+∠BOC＝150°，把△AOC和△BOC拼在一起，如图③﹣2中，连接AB交OC于J，直线AB与直线OC的较小的夹角为θ，当四边形OACB的面积最大时，图③﹣1中的四边形ABCD的面积最大，利用（2）中结论，求出四边形OACB的面积的最大值，可得结论． 【详解】解：（1）如图1中，过点C作CH⊥AB于H． 在Rt△ACH中，sinA＝，AC＝3， ∴CH＝， ∴S△ABC＝•AB•CH＝×4×＝． 故答案为：． （2）如图2中，分别过A，C作AM⊥BD于M，CN⊥BD于N． ∴sinθ＝， ∴AM＝AO•sinθ，CN＝OC•sinθ， ∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD ＝•BD•AM+•BD•CN ＝•BD•AO•sinθ+•BD•CO•sinθ ＝•BD•（OA+OC）•sinθ ＝•BD•AC•sinθ． ＝ （3）如图③﹣1中，连接OA，OB，OC，OD，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N． ∵OM⊥AB， ∴AM＝BM＝ ， ∴sin∠AOM＝， ∴∠AOM＝∠BOM＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∵ON⊥CD， ∴CN＝DN＝， ∴sin∠CON＝， ∴∠CON＝∠DON＝45°， ∴∠DOC＝90°， ∴OM＝OA•cos60°＝1， ON＝OC•cos45°＝， ∴S△AOB＝•AB•OM ＝×2×1 ＝， S△COD＝•CD•ON＝×2×＝2， ∴∠AOD+∠BOC＝360°﹣120°﹣90°＝150°， 把△AOC和△BOC拼在一起，如图③﹣2中，连接AB交OC于J，直线AB与直线OC的较小的夹角为θ，当四边形OACB的面积最大时，图③﹣1中的四边形ABCD的面积最大， 过点A作AH⊥BO交BO的延长线于H． 在Rt△AOH中，∠H＝90°，OA＝2，∠AOH＝180°﹣∠AOB＝30°， ∴AH＝OA＝1，OH＝， ∴AB＝， ∵S四边形OABC＝•AB•OC•sinθ， ∴当sinθ＝1时，四边形OACB的面积最大， 最大值＝×（+）×2＝+， ∴图③﹣1中，四边形ABCD的面积的最大值＝+2． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了四边形的面积，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，解题关键是学会用数学模型解决问题，用转化的思想思考问题． 21．（1）见解析；（2）， 【分析】（1）因为AE是直径，所以只需证明EFAE即可； （2）因EF∥BG，可利用，将要求的EF的长与已知量建立等量关系；因四边形ABCD是圆内接四边形，可证得，由此建立CD与已知量之间的等量关系． 【详解】（1）证明：∵AB＝AC， ． 又∵AE是O的直径， ． ． ∵AB=AC， ∴AEBC． ∴∠AHC=90°． ∵EF∥BC， ∴∠AEF=∠AHC=90°． ∴EFAE． ∴EF是O的切线． （2）如图所示，连接OC，设O的半径为r． 在Rt△COH中， ∵， 又∵OH=AH-OA=3-r， 解得，． ∵EF∥BC， ∴． ∵四边形ABCD内接于， 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂径定理及推论、相似三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质等知识点，熟知上述各类图形的判定或性质是解题的基础，寻找未知量与已知量之间的等量关系是关键． 22．(1) (2) (3)①或；② 【分析】（1）连接OD，设半径为r，利用，得，代入计算即可； （2）根据CP=AP十AC，用含x的代数式表示 AP的长，再由（1）计算求AC的长即可； （3）①显然，所以分两种情形，当 时，则四边形RPQE是矩形，当 ∠PQR＝90°时，过点P作PH⊥BE于点H， 则四边形PHER是矩形，分别根据图形可得答案； ②连接，由对称可知，利用三角函数表示出和BF的长度，从而解决问题． 【详解】（1）解：如图1，连结．设半圆O的半径为r． ∵切半圆O于点D， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴，即半圆O的半径是． （2）由（1）得：． ∵， ∴． ∵， ∴． （3）①显然，所以分两种情况． ⅰ）当时，如图2． ∵， ∴． ∵， ∴四边形为矩形， ∴． ∵， ∴， ∴． ⅱ）当时，过点P作于点H，如图3， 则四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由得：， ∴． 综上所述，x的值是或． ②如图4，连结， 由对称可知， ∵BE⊥CE，PR⊥CE， ∴PR∥BE， ∴∠EQR=∠PRQ， ∵，， ∴EQ=3-x， ∵PR∥BE， ∴， ∴， 即：， 解得：CR=x+1， ∴ER=EC-CR=3-x， 即：EQ= ER ∴∠EQR=∠ERQ=45°， ∴ ∴，   ∴． ∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，三角函数等知识，利用三角函数表示各线段的长并运用分类讨论思想是解题的关键． 23．（1）证明见解析；（2） 【详解】分析：（1）由，根据90°的圆周角所对的弦为圆的直径得到AD为圆O的直径，再根据直径所对的圆周角为直角可得为直角三角形，又AD是的角平分线，可得一对角相等，而这对角都为圆O的圆周角，根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等可得CD=DE，利用HL可证明Rt△ACD≌Rt△AED,根据全等三角形的对应边相等即可得证； （2）由为直角三角形，根据AC及CB的长，利用勾股定理求出AB的长，由第一问的结论用可求出EB的长，再由（1）∠AED=,得到DE与AB垂直，可得∠BED=，设利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为CD的长，在中，由AC及CD的长，利用勾股定理即可求出AD的长． 详解：(1)∵,且∠ACB为圆O的圆周角， ∴AD为圆O的直径， ∴∠AED=， 又AD是△ABC的∠BAC的平分线， ∴∠CAD=∠EAD， ∴CD=DE， 在Rt△ACD和Rt△AED中， ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)， ∴AC=AE； (2)∵△ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12， ∴根据勾股定理得： 由(1)得到∠AED=,则有∠BED=， 设CD=DE=x，则DB=BC−CD=12−x，EB=AB−AE=AB−AC=13−5=8， 在Rt△BED中,根据勾股定理得： 即 解得： ∴，又AC=5，△ACD为直角三角形， ∴根据勾股定理得： 外接圆的直径为. 点睛：考查了圆周角定理,全等三角形的判定与性质,勾股定理等知识点，综合性比较强，对知识点的考查比较全面，对学生综合能力要求较高. 24．（1）见解析；（2）；（3）见解析． 【分析】（1）根据对角线AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC，得出AD=CD，然后根据圆内接四边形的性质得出∠DAF=∠DCB，最后根据ASA得出△DAF≌△DCB即可证明； （2）设AF=a，AB=3AF=3a，根据△DAF≌△DCB表示出BC的长度，利用勾股定理表示出AC和AD的长度，过点B作BM⊥AC于点M，连接OD，根据面积法和等腰直角三角形的性质表示出OD和BM的长度，最后根据相似即可求出的值． （3）DF交⊙O于点N，在DF上截取DP=DE，连接PA，PG，AN，根据题意证明出，由全等三角形的性质和得出AP=CE，，然后根据圆内接四边形的性质得出，最后由即可证明． 【详解】(1)证明：∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC=∠ADC=90°， 又∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD=45°， ∴AD=CD， ∵DF⊥DB， ∴∠BDF=∠ADC=90° ∴∠ADF=∠CDB， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BCD+∠BAD=180°， 又∵∠BAD+∠DAF=180°， ∴∠DAF=∠DCB， ∴△DAF≌△DCB， ∴AF=BC． （2）设AF=a，AB=3AF=3a， 由（1）△DAF≌△DCB， ∴BC=AF=a， 在Rt△ABC中，， 在Rt△ADC中，， 过点B作BM⊥AC于点M， 则BM=， 连接OD，则OD=， ∵是等腰直角三角形， ∴OD⊥AC， ∴OD∥BM，即， ∴． （3）证明：DF交⊙O于点N，在DF上截取DP=DE，连接PA，PG，AN， 由（1）知，，AD=CD， ∴， ∴AP=CE，， ∴， ∵四边形ABDN内接于⊙O， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，AF=AN， ∴， 又∵FG∥BD， ∴， ∴， ∴， ∴AG=AP=CE． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和证明，相似三角形的性质和判定，圆内接四边形的性质等内容，解题的关键是根据题意作出辅助线构造出全等三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$