专题03 整式的乘法中相关计算（7个基础题型+3个培优题型+课后巩固）- 2024-2025学年七年级下册数学期末专项培优（苏科2024版）

【精准提分】专题03 整式的乘法中相关计算（苏科2024） 【7个基础题型+3个培优题型】 【基础题型一】整式的乘法混合运算（选填题） 1 【基础题型二】（x+p）（x+q）型多项式乘法求参数的值 5 【基础题型三】整式乘法中不含某一项问题 7 【基础题型四】多项式乘多项式实际应用问题 13 【基础题型五】整式乘除中混合运算（计算题） 20 【基础题型六】多项式乘法中纸片拼接问题 24 【基础题型七】多项式乘法中与图形面积问题 29 【培优题型八】多项式乘法中规律探索类问题 38 【培优题型九】整式乘法中新定义类问题 50 【培优题型十】整式乘法中阅读材料类问题 58 【基础题型一】整式的乘法混合运算（选填题） 例题1（24-25七年级下·广西桂林·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ， 故选：D 【变式1-1】（2025·河南漯河·一模）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 故选：B 【变式1-2】（2025·陕西安康·二模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 故选C． 【变式1-3】（2025·陕西咸阳·一模）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 故选：A． 【变式1-4】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ， 故选：B． 【变式1-5】（2024·陕西西安·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ． 故选B． 【变式1-6】（24-25八年级上·河南南阳·期末）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：、，该选项正确，不合题意； 、，该选项错误，符合题意； 、，该选项正确，不合题意； 、，该选项正确，不合题意； 故选：． 【变式1-7】（24-25七年级下·全国·期中）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 【变式1-8】（2025·辽宁·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A．； B．； C．； D．； 【答案】C 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故原选项错误，不符合题意； B、，故原选项错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，故原选项错误，不符合题意； 故选：C ． 【变式1-9】（24-25七年级下·陕西铜川·期中）下列式子中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A． ，原式错误，不符合题意； B． ，原式错误，不符合题意； C． ，原式错误，不符合题意； D． ，原式正确，符合题意； 故选：D． 【基础题型二】（x+p）（x+q）型多项式乘法求参数的值 例题2（24-25七年级下·广东佛山·期中）若，则m，n的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解： ， 则，， 故选：C 【变式2-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知，若a，b都是整数，则m的值不可能是（   ）． A．5 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】∵，， ∴，， ∵和均为整数， ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上：或， 故不能为5， 故选：A． 【变式2-2】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）已知，则的值等于（    ） A． B．2 C．8 D．7 【答案】A 【详解】解：， 已知，将其代入可得： 原式， 故选：A． 【变式2-3】（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）已知  ， 则的值为（   ） A．11 B．6 C．5 D．1 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2-4】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若，则的值为（   ） A． B．8 C． D．不确定 【答案】C 【详解】解：， ∵， ∴， ∴原式， 故选：C． 【变式2-5】（24-25七年级下·浙江温州·期中）若，则 ． 【答案】 【详解】解：， 可得， ． 故答案为：． 【变式2-6】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若，则 ． 【答案】 【详解】∵ ∴ ∴． 故答案为：． 【变式2-7】（24-25七年级下·湖南常德·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，． 故答案为：． 【变式2-8】（24-25七年级下·福建漳州·期中）若成立，且、、均为整数，则满足条件的的值有 个． 【答案】 【详解】， 因为， 可得：， 因为、、为整数， 所以满足条件的的值为，， 即满足条件的的值为，，，共个， 故答案为： 【基础题型三】整式乘法中不含某一项问题 例题3（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）已知的展开式中不含和，那么 ． 【答案】8 【详解】解： ， ∵的展开式中不含和， ∴，， 解得：， ． 故答案为：8． 【变式3-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）若多项式与的乘积中不含的项，则的值为 ． 【答案】 【详解】解： ， ∵多项式与的乘积中不含的项， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知的展开式中不含x的一次项，且常数项是． (1)求m，n的值； (2)先化简，再根据（1）中的结果求值． 【答案】(1)；(2)，． 【详解】（1）解：，          展开式中不含的一次项，且常数项是， ，， ； （2）解：原式，                     当时， 原式． 【变式3-3】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知计算的结果中不含x的一次项，求的值． 【答案】 【详解】解： ， ∵计算的结果中不含x的一次项， ∴， ∴， ∴． 【变式3-4】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知的展开式中不含项，且常数项是．求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵， ∵的展开式中不含项， ∴， ∵常数项是， ∴，即：， ∴， ∴ （2）解：由（1）得，， ∴， ∴． 【变式3-5】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知的展开式中不含项和常数项，求： (1)m，n的值； (2)的值． 【答案】(1)，(2)1 【详解】（1）解： ， ∵的展开式中不含项和常数项， ∴， ∴ （2）解：∵，， ∴ ． 【变式3-6】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）小明做一道数学题“已知两个多项式、．，，计算”，小明误把“”看成“”，求得的结果为． (1)请求出的正确结果； (2)若多项式且的结果不含项和项，求的值． 【答案】(1)(2)， 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， 的结果不含和项， ∴，， 解得：，． 【变式3-7】（24-25八年级上·四川内江·期中）若的积中不含项和项．求： (1)p、q的值； (2)代数式的值． 【答案】(1)，；(2)． 【详解】（1）解：原式， ， ∵的积中不含项和项， ∴，， ∴，； （2）， ， ， ， ∵，， ∴原式 【变式3-8】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）（1）试说明代数式的值与s，t的取值有无关系； （2）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】解：（1） ， ∴代数式的值与s的取值有关系，与t的取值无关系； （2） ， ∵多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为， ∴，， 解得：， ∴． 【变式3-9】（24-25七年级上·上海宝山·期中）一个关于x的二次三项式，将它与一个关于的二项式相乘，得到一个关于的整式，其中不出现一次项，且三次项系数为1，求、的值． 【答案】 【详解】解： ∵不出现一次项，且三次项系数为1， ∴， 解得： 【基础题型四】多项式乘多项式实际应用问题 例题4（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，某区有一块长为米，宽为米的长方形广场，规划部门计划在广场内部两个正方形区域修建凉亭，其余部分进行绿化，两个正方形区域的边长均为米． (1)用含有的式子表示绿化的总面积；（结果化成最简形式） (2)若，，绿化成本为100元/每平方米，则完成绿化工程共需要多少元？ 【答案】(1)平方米(2)元 【详解】（1）解：由题意可知，绿化的总面积为 （平方米）； （2）解：由（1）知绿化的总面积为平方米， 当，时，原式， 绿化成本为100元/每平方米， 完成绿化工程共需要（元）． 【变式4-1】（24-25七年级下·福建漳州·期中）如图所示，有一块边长为米和米的长方形土地，现准备在这块上地上修建一个长为米，宽为米的游泳池，剩余部分修建成休息区域． (1)请用含和的代数式分别表示游泳池的面积、休息区域的面积；（结果要求化简） (2)若，，求休息区域的面积． 【答案】(1)，；(2)休息区域的面积是325平方米． 【详解】（1）解：由题意可得，游泳池的面积： 休息区域的面积： （2）解：当时， （平方米）． 答：休息区域的面积是325平方米． 【变式4-2】（24-25七年级下·江西抚州·期中）如图，某城市广场是一个长方形，长为米，宽为米．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为米、米（如图所示）． (1)求音乐喷泉池的占地面积（用含，的式子表示）． (2)若，满足，求该广场音乐喷泉的面积． (3)在（2）的条件下，音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平米铺设地砖的费用为元，求市民活动区域铺设地砖的费用 【答案】(1)音乐喷泉池的占地面积为(2) (3)市民活动区域铺设地砖的费用为元 【详解】（1）解：由题可得音乐喷泉池的占地面积为 ． 答：音乐喷泉池的占地面积为． （2）解：， ∴ 解得： ， ∴ （3）解：由题可得市民活动区域的面积为 ． 市民活动区域每平米铺设地砖的费用为80元， ． 当时， 答：市民活动区域铺设地砖的费用为元． 【变式4-3】（24-25七年级下·陕西·期中）如图，李伯伯家有一块长为，宽为的长方形土地，李伯伯准备空出两块长都为，宽都为的小长方形土地以备他用，其余部分用来种植蔬菜． (1)用含的代数式表示种植蔬菜的面积；（结果化到最简） (2)若，且种植蔬菜每平方米的成本为10元，请计算种植蔬菜所需的总成本． 【答案】(1)(2)种植蔬菜所需的总成本为元． 【详解】（1）解：由图知，种植蔬菜的面积为 ； （2）解：若， 则种植蔬菜的面积为（平方米）， 又种植蔬菜每平方米的成本为10元， 所以种植蔬菜所需的总成本为（元）， 答：种植蔬菜所需的总成本为元． 【变式4-4】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，公园有一块长为米．宽为米的空地，图中空白处有一些樱花树，为了能使新栽中的花有充足的阳光，计划在阴影部分栽种牡丹． (1)请用表示牡丹栽种的面积，结果化为最简； (2)若种植牡丹费用为元/平方米．已知米，米．那么栽种牡丹需要的费用为多少元？ 【答案】(1)平方米(2)元． 【详解】（1）解：公园有一块长为米．宽为米的空地， 根据图示，阴影部分的宽为， ∴阴影部分（包括两个空白处）的面积为（平方米）， 阴影部分两个空白部分的面积为：（平方米）， ∵计划在阴影部分栽种牡丹， ∴牡丹栽种的面积为：（平方米）； （2）解：已知米，米， ∴牡丹栽种的面积为（平方米）， ∵种植牡丹费用为元/平方米， ∴（元）， ∴栽种牡丹需要的费用为元． 【变式4-5】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图是一块长方形的小区公共活动场所，长为米，宽为米，中间的正方形是广场舞台．边长为米；舞台两边的通道宽为米． (1)阴影部分是绿化部分，求绿化部分的面积（用含，的代数式表示）； (2)若米，米，求绿化部分的面积． 【答案】(1)平方米(2)2100平方米 【详解】（1）解：依题意得，绿化部分的面积为： 平方米． 答：绿化部分的面积是平方米； （2）解：当米，米时，原式（平方米）． 答：绿化面积是2100平方米． 【变式4-6】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）为了节省材料，某农场水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为a米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块长方形区域，且这三块长方区域的面积相等，若的长为x米． (1)______米；______米；（用含a，x的代数式表示） (2)当，时，求长方形的面积． 【答案】(1)，，(2)675平方米 【详解】（1）解：∵①②③这三块长方形区域面积相等， ∴， ∵的长为x米， ∴， ∴， ∴，即， ∵用总长为a米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块长方形区域， ∴， 即， ∴， 故答案为：，， （2）解：长方形的面积， ∵，， ∴原式（平方米）． 所以长方形的面积为675平方米． 【变式4-7】（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，某乡镇有一块长为米，宽为米的长方形耕地，当地镇响应退耕还林政策，决定只留一块长为米，宽为米的长方形耕地，退耕还林． (1)求退耕还林的面积．（用含a、b的代数式表示，要求化简） (2)当，时，求退耕还林的面积． 【答案】(1)平方米(2)退耕还林的面积平方米 【详解】（1）解：根据题意得： 平方米； （2）解：当，时， ， 答：退耕还林的面积平方米． 【变式4-8】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形，长方形的长为米，宽为米，小正方形的边长为b米． (1)求剩余铁皮（阴影部分）的面积． (2)当时，求剩余铁皮的面积． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：； 答：剩余铁皮（阴影部分）的面积为； （2）当时，； 答：剩余铁皮（阴影部分）的面积为． 【变式4-9】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，一块长方形铁皮的长为，宽为．将这块长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为的正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子． (1)求这个盒子底面的面积；（用含a、b的式子表示） (2)当，时，求这个盒子底面的面积． 【答案】(1)(2)63 【详解】（1）解：盒子底面的面积为： （2）解：当，时，盒子底面的面积为：． 【基础题型五】整式乘除中混合运算（计算题） 例题5（24-25七年级上·上海虹口·期末）计算： 【答案】 【详解】解： ． 【变式5-1】（24-25七年级上·上海虹口·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： 【变式5-2】（23-24八年级上·福建厦门·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5-3】（23-24七年级下·江苏镇江·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1)(2)3 【详解】（1） （2） 【变式5-4】（23-24八年级上·河南商丘·期末）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)(2)0(3)(4) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式； （3）解：原式． （4）解：原式． 【变式5-5】（23-24七年级下·江苏盐城·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式5-6】（23-24七年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式5-7】（23-24七年级下·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 【变式5-8】（23-24八年级上·河南南阳·期中）计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1） ； （2） ． 【基础题型六】多项式乘法中纸片拼接问题 例题6（2025·河北石家庄·一模）如图，有甲、乙、丙三种矩形纸片若干张．若用这三种纸片紧密拼接成一个面积为的矩形，则这个矩形的长和宽分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】解：A、，故该选项不符合题意， B、，故该选项符合题意， C、，故该选项不符合题意， D、，故该选项不符合题意， 故选：B． 【变式6-1】（2024·山东枣庄·二模）现有边长分别为和的类和类正方形纸片、长为宽为的类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要类纸片的张数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【详解】解： ， 若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要类纸片的张数为7张． 故选：A． 【变式6-2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图1，现有边长为和的正方形纸片各一张，长和宽分别为a，b的长方形纸片一张，其中．把三张纸片按图2所示的方式放入另一张边长头的正方形纸片内，已知图2中阴影部分的面积满足，则a，b满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， 整理得：； 故选：B． 【变式6-3】（2024·河北唐山·二模）现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各12张，小明要用这些纸片中的若干张拼接（不重叠、无缝隙）一个长、宽分别为和的长方形．下列判断正确的是（     ） A．甲种纸片剩余5张 B．丙种纸片剩余7张 C．乙种纸片缺少5张 D．甲种和乙种纸片都不够用 【答案】C 【详解】解：， ∴拼接（不重叠、无缝隙）一个长、宽分别为和的长方形，所需甲种纸片12张，乙种纸片17张，丙种纸片6张， ∵现有甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各12张， ∴甲种纸片正好用完，丙种纸片剩余6张，乙种纸片缺少5张． 故选：C． 【变式6-4】（2024七年级下·浙江·期末）如图所示，将两张相同的矩形纸片和三张不同的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内若知道图中阴影部分的面积之和，则一定能求出（　　） A．和的面积之差 B．和的面积之和 C．和的面积之和 D．和的面积之和 【答案】B 【详解】解：如图，设分别交于点， ∵，， ∴， ∴， 设正方形和正方形的边长都是，正方形的边长为， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 整理得， ∵， ∴的结果与值的大小无关，故选项A不符合题意； ∵， ∴和的面积之和可由的值求得，故选项B符合题意； ∵， ∴和的面积之和不能由的值求得，故选项C不符合题意； ∵， ∴和的面积之和不能由的值求得，故D不符合题意． 故选：B． 【变式6-5】（2024·河北保定·一模）现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各张，小明要用这些纸片中的若干张拼接（不重叠、无缝隙）一个长、宽分别为和的长方形．下列判断正确的是（    ） A．甲种纸片剩余张 B．丙种纸片剩余张 C．乙种纸片缺少张 D．甲种和乙种纸片都不够用 【答案】C 【详解】解：， 要拼接一个长、宽分别为和的长方形，需要甲种纸片张，乙种纸片张，丙种纸片张， 乙种纸片缺少张． 故选：C． 【变式6-6】（24-25七年级下·山东青岛·期中）现有三种不同的长方形纸片若干张（边长如图所示），若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A种纸片和C种纸片合计 张． 【答案】 【详解】解： ， ∴需要A种纸片6张，C种纸片7张， ∴需要A种纸片和C种纸片合计张， 故答案为：． 【变式6-7】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）数学活动课上，老师准备了若干张三种型号的纸片，其中A种纸片为边长为a的正方形，B种纸片为边长为b的正方形，C种纸片为长为a、宽为b的长方形，现要拼出一个长为宽为 的长方形，则需要A、B、C三种卡片共 张． 【答案】 【详解】解： ， ∵A种纸片为边长为a的正方形，B种纸片为边长为b的正方形，C种纸片为长为a、宽为b的长方形， ∴要拼出一个长为宽为 的长方形需要A卡片2张，B卡片9张，C卡片9张， ∴一共需要张卡片， 故答案为：． 【基础题型七】多项式乘法中与图形面积问题 例题7（23-24八年级上·四川资阳·期中）在矩形内，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1、图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得： ∴ ∵ ∴ 故选：B 【变式7-1】（24-25七年级下·山西晋中·期中）观察下列图形由左到右的变化，写出相应的代数恒等式应该为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：左图中大正方形的边长为，面积为，小正方形的边长为，面积为， 右图中的面积即为左图中阴影部分的面积，即， ∴， 故选：C ． 【变式7-2】（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分拼成一个梯形，则梯形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分拼成一个梯形， ∴ ， ∴则梯形的面积为， 故选：D 【变式7-3】（24-25八年级上·河南周口·期末）通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个等式．例如，由图1可得等式．小明利用图2完整的图形面积可以得到的等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：图2是一个长为，宽为的长方形，其面积为； 图2也是由一个边长为a的大正方形、两个边长为b的小正方形加三个长为a、宽为b的相同长方形组成，其面积为：， 根据面积相等得：； 故选：C． 【变式7-4】（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，将长为a，宽为b的长方形纸板，在它的四角都切去一个边长为x的正方形，然后将四周突起部分折起，制成一个长方体形状的无盖纸盒．下列说法错误的有（   ） A．纸盒的容积等于 B．纸盒的表面积为 C．纸盒的底面积为 D．若制成的纸盒是正方体，则必须满足 【答案】C 【详解】解：A.纸盒的容积等于，结论正确，不符合题意； B.纸盒的表面积为，结论正确，不符合题意； C.纸盒的底面积为，结论错误，符合题意； D. 若制成的纸盒是正方体，，，结论正确，不符合题意； 故选：C． 【变式7-5】（24-25七年级上·广东东莞·期末）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，当阴影和阴影的面积和为定值时，的值为（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】D 【详解】解：由题意得： 阴影的面积， 阴影的面积， 阴影的面积阴影的面积 ； 阴影与阴影的面积和不会随着的变化而变化， ， ， 故选：D． 【变式7-5】（24-25八年级上·山东泰安·期末）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．若已知，，由图2所表示的数学等式，则的值为（    ） A．1 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【详解】解：由图2可得， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 【变式7-6】（24-25七年级上·陕西西安·期末）三个边长分别为的正方形按如下图位置摆放，则图中3阴影部分的面积可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示： 依题意得：， ，， ， ， 故选：A． 【变式7-7】（24-25八年级上·山东烟台·期末）小明利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题图可得大长方形是由2个边长为b的正方形，3个长为b宽为a的长方形和1个边长为a的正方形组成， ∴大长方形的面积为， 另外大长方形可以看作一般长为宽为的长方形组成， ∴大长方形的面积为， ∴可以得到一个因式分解的等式为，故D正确． 故选：D． 【变式7-8】（24-25八年级上·山西晋城·期中）在学习中，我们接触了很多代数恒等式，知道可以用硬纸片拼成的图形面积来解释这些代数恒等式．例如，图1可以用来解释，则图2可以用来解释（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得图2的面积为， 故选： D． 【变式7-9】（23-24七年级下·北京昌平·期末）如图1的长为a，宽为b的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足的数量关系为 ． 【答案】 【详解】如图， 左上角阴影部分的长为，宽为,右下角阴影部分的长为，宽为a， ∵，即，， ∴，即， ∴阴影部分面积之差 ， ∵S始终保持不变， ∴，即， 故答案为． 【变式7-10】（2025七年级下·全国·期中）已知长方形可以按图所示方式分成九个部分，在a，b变化的过程中，下列说法中，正确的有 （填序号）． ①图中存在三个部分的周长之和恰好等于长方形的周长； ②长方形的长宽之比可能为； ③当长方形为正方形时，九个部分都为正方形； ④当长方形的周长为60时，它的面积可能为100． 【答案】①③ 【详解】解：由图知，九个部分中有四个正方形，有五个长为b，宽为a的长方形， 所以每个长方形的周长为， 所以三个这样的长方形周长为； 而由图知大长方形的一边为，另一边为，则其周长为， 即图中存在三个部分的周长之和恰好等于长方形的周长； 故①正确； 若，则； 若，则； 即或时，长方形的长宽之比为，否则不成立； 故②错误； 当长方形为正方形时，即， 则有，从而九个部分都为正方形； 故③正确； 根据当长方形周长为60时，即， 得， 长方形的面积为 ， 由于均为正数，则， 即大长方形面积不可能为100； 故④错误； 综上，正确的有①③． 故答案为：①③． 【变式7-11】（24-25七年级下·陕西·期中）公园里有一块长为，宽为的长方形花坛，现在要把花坛四周均向外扩展，扩展后的长方形花坛的长为，宽为，则扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加了 ． 【答案】/ 【详解】解： ， ∴扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加了， 故答案为：． 【培优题型八】多项式乘法中规律探索类问题 例题8（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了展开式的系数规律，称为“杨辉三角”．如第5行的5个数是1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中的各项系数．利用上述规律计算关于x的多项式中x6项的系数为（　　） A．80 B．60 C．40 D．20 【答案】B 【详解】根据“杨辉三角”的规律得： ， ， ，， 项的系数为：． 故答案为：B． 【变式8-1】（24-25七年级下·安徽·期中）根据，，，，…的规律，则的个位数字是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【详解】解：第1个等式为， 第2个等式为， 第3个等式为， 第4个等式为， …… 第n个等式为， ∴ ， ∵，，，，，，，……， ∴的末位数是以2、4、8、6每四个一个循环， ∴的末位数是以1、3、7、5每四个一个循环， ∵， ∴即的末位数为3， 故选B． 【变式8-2】（24-25七年级下·四川达州·期中）观察下列各式： ； ； ； 根据规律计算：的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由； ； ； … 观察发现：， 当，时，得 ， ． 故选：A． 【变式8-3】（24-25七年级下·广东深圳·期中）已知，，…，都是正数，设，，那么M与N的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【详解】解：设， 则， ， 所以， 因为，都是正数， 所以， 所以， 故选：C． 【变式8-4】（24-25七年级下·江苏南京·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了的展开式的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数，等等．有如下四个结论，其中正确的是 ． ①； ②当，时，代数式的值是； ③当代数式的值是0时，一定是，； ④的展开式中的各项系数之和为． 【答案】①④ 【详解】解：由图可知：；故①正确； ∵， ∴当，时，；故②错误； ∵， ∴当代数式的值是0时，则：， ∴， ∴互为相反数，不一定是，；故③错误； 的展开式中各项的系数之和为：； 的展开式中各项的系数之和为：； 的展开式中各项的系数之和为：； ∴的展开式中的各项系数之和为．故④正确； 故答案为：①④． 【变式8-5】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）下图是我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出的“杨辉三角”，揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律． 根据以上规律，解答下列问题： (1)的展开式中共有______项，其中第三项是______； (2)利用表中规律计算：；（不按照规律计算不得分） (3)设，在等式中当时，可得的值为_______，从而可求得的值为_______． 【答案】(1)，(2)(3)， 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴的展开式中共有项，其中第三项是； （2）解： ； （3）解：∵， ∴当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴． 【变式8-6】（24-25七年级下·湖南永州·期中）【发现问题】 ， ， …… 小明在学习湘教版七年级下册数学教科书第21页“思考”栏目时，经历了以上计算过程，他发现其中有一定的运算规律． 【提出问题】 （1）上面的运算规律是否可以推广到类似的三位数相乘呢？ （2）如果个位数字不是5，但仍满足两个数的个位数字之和为10且十位数字相同，上面的运算规律是否成立？ 【分析问题】 请你通过计算与思考，完成下面的探究并填空： （1）①_____；②_______________； （2）_______________=_____；…… 【解决问题】 （3）两个两位数相乘，它们十位上的数相同都为a，个位上的数的和为10，设其中一个数的个位上的数字为b，请你用含有a，b的等式表示两数的积的规律，并证明． 【答案】（1）①②10；11；11025（2）5；6；21；3021 （3），证明见解析 【详解】解：（1）① 故答案为：2025； ② 故答案为：10；11；11025． （2） 故答案为：5；6；21；3021． （3）   证明如下： 左边 ， 右边， 左边=右边， ． 【变式8-7】（24-25七年级下·安徽滁州·期中）综合与探究； 下面的式子均是多项式乘以多项式，其中第1个多项式都是； 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 【规律】（1）请根据规律，写出第4个等式：________________； 【猜想】（2）猜想：________（其中n为正整数，且）； 【应用】（3）利用（2）猜想的结论计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1） 故答案为：； （2）根据规律可得： 故答案为：； （3）设（2）式中的，，，则有 即 ∴， ∴． 【变式8-8】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）【观察思考】 观察下列各式． …… 【规律发现】 请根据你发现的规律完成下列各题： （1）根据规律可得： ①______； ②______（其中n为正整数）； 【规律应用】 （2）根据以上规律分解因式：_______； （3）计算：． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【详解】（1）解：① ②； 故答案为：；； （2）解：； 故答案为：． （3）解：由可得： 原式 ． 【变式8-9】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）【阅读理解】 苏科版数学七年级下册课本第44页的“阅读”中介绍了“杨辉三角”．“杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了二项式乘方展开式的规律，在欧洲，这个图表叫做“帕斯卡三角”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比我国迟了近了600年．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把二项式乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题． … 【初步感知】 （1）按以上规则，展开式共有____项，第三项（字母部分为）的系数是____； 【拓展推广】 （2）我们在对的推演过程中，是将中的“”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式___________；进而写出的展开式___________； 【迁移应用】 （3）根据以上规律计算 ． 【答案】（1）5 ，6 （2）；（3） 【详解】解：（1）由题中规律可知，结合杨辉三角形： ，展开式共有5项，第三项（字母部分为）的系数是6， 故答案为：5 ，6； （2）由题中规律可知，结合杨辉三角形： ； 将等式中的“”代换成“”，得到 ； 故答案为：；； （3）由（2）中可知， ． 【变式8-10】（24-25七年级下·江苏常州·期中）阅读材料： 材料1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中记载了源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”（如图1）；材料2：我们知道，，．利用多项式的乘法运算，还可以得到：．当时，将计算结果中多项式（以降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2． (1)请根据材料1和材料2直接写出： ①展开式中的系数是 ； ②展开式中所有项的系数和为 ； ③利用上面的规律计算（结果用乘方表示）：； (2)如图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题：若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是 ． 【答案】(1)①4；②；③(2) 【详解】（1）解：①， ∴的系数为4， 故答案为：4． ②的系数和为1，即， 的系数和为，即， 的系数和为，即， 的系数和为，即， …… ∴的系数和为， ∴展开式中所有项的系数和为， 故答案为：． ③根据题中规律可得： =． （2）解：由题意可知，每行第一个数的分母是该行的行数，即第行第一个数为，并且相邻两个数之和等于它们上方的数， ∴第6行第一个数是 ， ∵第5行第一个数是 ，那么第6行第二个数为 ， 又∵第5行第二个数是 ， ∴第6行第三个数为 ， ∴以表示的数是， 故答案为：． 【培优题型九】整式乘法中新定义类问题 例题9（24-25七年级下·广东深圳·期中）定义：是多项式A化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即），如果，则称B是A的“好多项式”，如果，则称B是A的“极好多项式”．例如多项式，，则，则，，，所以B是A的“好多项式”，但B不是A的“极好多项式”． (1)若，均是关于x的多项式，则B是不是A的“好多项式”？是不是A的“极好多项式”？请判断并说明理由； (2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则______； (3)若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，求m的值． 【答案】(1)B是A的“好多项式”，但不是A的“极好多项式”，理由见解析；(2)3；(3)或． 【详解】（1）B是A的“好多项式”，但不是A的“极好多项式”， 理由如下： ， ∵的项数比A的项数多1项， ∴B是A的“好多项式”，不是A的“极好多项式”； （2） ， ∵B是A的“极好多项式”， ∴且， 解得． 故答案为：3； （3） ， ∵B是A的“极好多项式”， ∴或， 解得或0． ∴的值是或0． 【变式9-1】（24-25七年级上·上海虹口·期中）定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． (1)如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①填空：当时，如果是的“相邻增项式”，那么的值为_____； ②设，，如果关于的整式中不含的二次项，且整式是整式的“相邻增项式”，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析(2)①或；②的值为 【详解】（1）解：是，理由如下： 根据题意可得：， 的项数正好比的项数多1， 是的“相邻增项式”． （2）解：①当时，， ∵是的“相邻增项式”， ∴或， 解得：或． ②根据题意可得， ∴， 由于关于的整式中不含的二次项，， ∴，解得：， ， ∵， ∴， ， 当时，为关于的二项式，而为四项式， 此时不合题意，舍去； 当时，则为关于的三项式， 又是的“相邻增项式”且， ， 综上所述，的值为． 【变式9-2】（24-25八年级上·辽宁大连·期中）定义：多项式化简后的项数记作，例如多项式，则．多项式，，满足．如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”． (1)若，均是关于的多项式，则是不是的“好多项式”？请判断并说明理由； (2)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，求的值． 【答案】(1)是的“好多项式”，理由见解析(2) 【详解】（1）解： ， 是的“好多项式” （2）解： ． 当时，，， ， ， 当时， ， 【变式9-3】（23-24七年级下·全国·期末）定义：对于依次排列的多项式（，，，是常数），当它们满足，且为常数时，则称，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．如对于多项式，因为，所以，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子． (1)已知，，，是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子． (2)若a，b，c，d是一组平衡数，，请写出一组b，c的值， (3)当a，b，c，d之间满足什么数量关系时，它们是一组平衡数？请说明理由． 【答案】(1)(2)（答案不唯一）(3)当时，a，b，c，d是一组平衡数 【详解】（1）解： （2）由题意，得 ， 因为，，是常数，所以，即，所以，的值可以是．（答案不唯一，满足即可） （3）， ，，，都是常数，所以当时，是常数，即当时，，，，是一组平衡数 【变式9-4】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）定义：多项式A，B，C，如果满足，m为常数时，则称多项式A，B，C为一组和谐多项式．其中m是该组和谐多项式的和谐果． 例如：对于多项式，，，因为，所以多项式，，是一组和谐多项式，4是该组和谐多项式的和谐果． (1)判断多项式，，是否为一组和谐多项式？若是，请求出该组和谐多项式的和谐果；若不是，请说明理由； (2)多项式，，（a，b，c是常数）是一组和谐多项式，求a，b，c之间的数量关系； (3)多项式，，（d，e是常数）是一组和谐多项式，请直接写出该组和谐多项式的和谐果m的值． 【答案】(1)多项式，，是一组和谐多项式，和谐果为；(2)；(3)9 【详解】（1）解：， ， ， 故多项式，，是一组和谐多项式，和谐果为 （2）解： ， ， 多项式，，（a，b，c是常数）是一组和谐多项式， ； （3）解： 多项式，，（d，e是常数）是一组和谐多项式， ， 解得， ． 【变式9-5】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）阅读材料：已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如 ，所以43和68与34和86都是“幸福数对”．请解决如下问题： (1)请判断24与63是否是“幸福数对”? 并说明理由： (2)为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且 ；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且，试说明a，b，c，d之间满足怎样的数量关系，并写出证明过程． 【答案】(1)24与63是“幸福数对”，理由见解析(2)，证明见解析 【详解】（1）解：24与63是“幸福数对”，理由如下： ∵，， ∴， ∴24与63是“幸福数对”； （2）解：，理由如下： 由题意得，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【变式9-6】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）一般地，我们把按照确定顺序排列的一列数，，，叫做数列．若数列满足（为非零常数），我们把数列叫做等比数列，叫做公比；若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”；若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”；依次类推，若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”，且为整数． (1)分别写出等比数列1，2，4，8的“2级等比数列”和“3级等比数列”； (2)若等比数列：，，，，． ①求该等比数列的所有数之和． ②设，，分别是该数列的，，级等比数列的所有数之和．若，求证：． 【答案】(1)级等比数列为：，，， 级等比数列为：，，，(2)①②证明见解析 【详解】（1）解：等比数列1，2，4，8的公比为， ∴级等比数列为：，，，； 设3级等比数列为：， ∵， ∴，，，， ∴级等比数列为：，，，； （2）①解：若等比数列：，，，，， ∵，， ∴， 即：； ②证明：根据题意，若数列满足（为非零常数），数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”，且为整数， ∴设数列的公比为，其，，级等比数列分别为，，， ∴，，， ∴，，，， ，，，， ，，，， 又∵， ∴， ， ， ∵，， ∴， ∴． 【变式9-7】（23-24八年级上·湖南长沙·期中）阅读以下材料： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如，所以和与和都是“幸福数对”. 解决如下问题： (1)请判断与是否是“幸福数对”？并说明理由： (2)为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为，个位数字为，且；另一个数的十位数字为，个位数字为，且，试说明，，，之间满足怎样的数量关系，并写出证明过程； (3)若有一个两位数，十位数字为，个位数字为；另一个两位数，十位数字为，个位数字为．若这两个数为“幸福数对”，求出这两个两位数． 【答案】(1)与是“幸福数对”，理由见解析(2)；证明见解析(3)和 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴与是“幸福数对” （2）解： 理由如下，依题意，， ， ， ，， ∴． 即 （3）解：由（2）可得 即 ∴ 解得：， 则， ； ， ∴这两个两位数分别为：和． 【培优题型十】整式乘法中阅读材料类问题 例题10（24-25七年级下·广东茂名·期中）有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题． 例：若，，试比较，的大小． 解：设， 则，， ， ． 请利用上面的方法解答下列问题： (1)若，．试比较，的大小； (2)若，．试比较，的大小． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：设， 则，， ， ． （2）根据题意设，，，，，，， 则 ， ， ． 【变式10-1】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）【阅读材料】爱思考的小李同学发现：两个两位数相乘，如果这两个两位数的个位数字相同，十位数字的和是10，对于这种特殊关系的两位数相乘，计算结果与原来的两位数数位上的数字有一些特殊的关联． 比如，它们乘积的前两位是31，等于，它们乘积的后两位是49，等于，用速算方法计算可得：．又如，它们乘积的前两位是12，等于，它们乘积的后两位是9，等于，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，用速算方法计算可得：．该速算方法可以用我们所学的数学知识说明其合理性． (1)观察与归纳：观察上述例子，请以这种速算方法计算___________； (2)推理与解释：对于这种特殊关系的两位数相乘，设其中一个两位数的十位数字为，个位数字是（表示的整数、表示的整数），则该两位数可表示为，另一个两位数可表示为___________；用速算方法计算这两个两位数相乘得到的结果可以表示为：___________；请运用所学知识，说明满足条件的两个两位数相乘可以用上述速算方法计算结果的理由． 【答案】(1)(2)，，理由见解析 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：由题意得，另外一个两位数的十位数字为，个位数字为b，则另外一个两位数为， ∴用速算方法计算这两个两位数相乘得到的结果可以表示为：； ． 【变式10-2】（24-25七年级下·山西晋中·期中）阅读材料 数学活动—探究日历中的数字规律如图1是2025年2月份的日历，小宇在其中画两个的方框，每个框均框住的位留为四个数，计算“”的值，探索其运结果的规律． a c b d 2025年2月 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 图1 2025年4月 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 图2 (1)计算：________： (2)小宇通过特例分析，猜想所有日历中，方框里“”的结果都不变，并说明理由如下，请你将其过程补充完整； 解：理由如下： 设，则，________，________． 所以________． (3)同学们利用小宇的方法，借助2025年4月份的日历，继续进行如下探究．在日历中用“十字框”框住的位置为五个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． b a o d c 【答案】(1)7(2)见解析3) 【详解】（1）解：； （2）解：理由如下： 设，则，，． 所以； （3）设，则：， ∴． 【变式10-3】（24-25七年级上·上海·期中）阅读材料： 两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是10，该类乘法的速算方法是：将一因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐），比如，它们的乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；再如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；又如，，不足两位，就将6写在百位；，不足两位，就将9写在个位，十位上写零，所以． 该速算方法可以用我们所学的整式的乘法的知识说明其合理性： 设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a，b表示1到9的整数）则该数可表示为，另一因数可表示为．两数相乘可得： ． （注：其中表示计算结果的前两位，表示计算结果的后两位） 问题：两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10．如、、等 (1)探索该类乘法的速算方法，请以为例写出你的计算步骤． (2)设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为________． 设另一因数的十位数字是b，则该数可以表示为________．（a，b表示的正整数） (3)请模仿阅读材料中所用的方法说明你速算方法的合理性． 【答案】(1)两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10，那么将十位数字与个位数字相同的因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐），(2)；(3)见解析 【详解】（1）解：两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10，那么将十位数字与个位数字相同的因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐）， ； （2）解：设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为； 设另一因数的十位数字是b，则该数可以表示为， 故答案为：；； （3）证明： ， ∴两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10，那么将十位数字与个位数字相同的因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐）． 【变式10-4】（24-25八年级上·山西阳泉·期末）阅读与思考．请阅读下列材料，并完成相应的任务． “头同尾合十”的两位数乘法速算所谓“头同尾合十”的两位数是指：两个因数的十位数字相同，个位数字相加刚好为10．其对应的乘法速算方法是： 第一步：用两个因数的个位数字相乘，把得到的乘积作为结果的后两位，如果乘积是一位数，就把这个数作为结果的个位，十位用0表示； 第二步：用相同的十位数字乘以比它大1的数，把得到的乘积放在第一步结果的前面．像这样组成的数就是两位数相乘的结果． 例如： 速算，先算，再算，则； 速算，先算，再算，则． 任务： (1)利用上述速算方法，计算，先算，再算______，则______； (2)用和分别表示两个两位数，其中表示十位数字，和表示它们的个位数字，且， ①依据题意，两位数，则两位数______； ②为说明该速算方法的正确性，请你证明成立． 【答案】(1)，；(2)①；②见解析 【详解】（1）解：，； （2）①； ②证明：， ， ， ， ， 该速算方法的正确性，即正确． 【变式10-5】（24-25七年级下·河南平顶山·期中）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫作特殊到一般如下所示： ［观察］①； ②； ③； … (1)［归纳］由此可得______． (2)［应用］请运用上面的结论计算：______． (3)计算：． 【答案】(1)(2)3) 【详解】（1）解：已知①； ②； ③； ； ∴， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：设，① 则，② ①＋②，得， ． 【变式10-6】（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）【阅读与思考】 下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务： 对于依次排列的多项式是常数），当他们满足 ，且是常数时，则称是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子． 例：对于多项式来说 2，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子． 【任务一】 （1）已知5，6，7，8是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子的值； 【任务二】 （2）若2，4，是一组平衡数，求的值； 【问题解决】 （3）当之间满足怎样的数量关系时，他们是一组平衡数？写出他们之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【详解】解：（1） ； （2）是一组平衡数， 的结果为常数， ； （3）． 证明：是平衡数， 结果为常数， 结果为常数， ． 【变式10-7】（23-24七年级下·江苏扬州·期中）阅读∶ 在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： [观察]①； ②； ③； …… (1)[归纳]由此可得∶ (2)[应用]请运用上面的结论，解决下列问题： 计算∶ (3)计算∶ 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：由题意可得， 故答案为： （2）由题意可得， ， ∴ 故答案为： （3）设① 则② ①＋②得， ∴ 【变式10-8】（23-24七年级下·江苏南京·期中）【阅读材料】周末，小红自学苏科版初中数学七年级下册的课本第9章内容，然后独立做完了第73页上一道例题： 例2计算：． 小红忽然看到弟弟在用竖式乘法计算：，过程如图1；小红想：是否可以用这个方法计算？她尝试写了解题过程如图2，结果正确． 小红还联想到多项式除以多项式是否也可以运用竖式除法的方法进行，于是她先做了一道多位数除以多位数的除法计算题如图3，接着她尝试做了一道多项式除以多项式的习题如图4，爸爸亲自检验结果正确，并表扬了她善于思考、勇于探索的学习精神． 【问题解决】下面请你从用中所学到的方法解决以下问题： (1)小红把多位数竖式乘法运算方法运用在多项式乘法运算上，这里运用的数学思想是 ． A．数形结合 B．方程 C．类比 D．分类讨论 (2)请你尝试用小红的竖式乘法运算方法计算：； (3)请计算的商式与余式． (4)若，那么的值是 ． 【答案】(1)C(2)详见解析(3)，余式为(4)8 【详解】（1）解：因为多项式乘法运算仿照了乘法运算法则，所以运用类比的思想． 故选：C； （2）解： ； 用竖式表示为： （3）解：用竖式表示为： ∴商式为，余式为； （4）解： ， ． 故答案为：8． 1．（2025·广东东莞·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项正确； D、，故此选项错误． 故选：C． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，圆圆同学画了三个面积相等的大正方形和三个面积相等小正方形（两个大小不同的正方形不重合无间隙），她在三个图上分别画出了三块阴影面积．若图1，图2，图3的阴影面积分别记为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设大正方形和小正方形的边长分别为， 根据题意可得：， 即， ， 即，解得：； ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图是某住宅的平面结构图（单位：米），房的主人计划将卧室以外的地面都铺上地砖．如果他选用地砖的价格为元米，则买砖至少需用（   ）元 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可得， 买砖至少需用： （元）， 故选：A． 4．（24-25七年级下·四川甘孜·期中）三个连续偶数，中间一个数为，则这三个数的积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵三个连续偶数，中间一个是, ∴根据偶数的定义可知：这三个连续偶数为， 则. 故选：D． 5．（24-25七年级下·四川成都·期中）若，则m的值为（   ） A． B．8 C．10 D． 【答案】B 【详解】解： ， ∴， 解得：， 故选：． 6．（24-25七年级下·福建漳州·期中）若将展开的结果中不含有的一次项，则满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：依题意， ∵展开的结果中不含有的一次项， ∴， 故选：A 7．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）若且，则代数式的值为（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【详解】解：， 当，时， 原式， 故答案为：A． 8．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）关于x的多项式，，（其 中a，b，c，d，e，f均为常数），下列说法中正确的有（　　） ①当B能被整除时，；②当多项式A与B的乘积中不含项时，；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】解：①当B能被整除时， 设 ∴， ∴，故①正确； ②当多项式A与B的乘积中不含项时， ∴ ∴ ∴，故②正确； ③∵ ∴当时， 当时， ∴ ∴，故③正确误． 综上所述，正确的有3个． 故选：D． 9．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）我国宋朝数学家杨辉在其著作的《详解九章算术》中提出“杨辉三角”（如图），介绍了（n是非负整数）展开式的项数及各项系数有关的规律如下图： 例如：，那么展开式中的系数为（    ） A．27 B． C．108 D． 【答案】D 【详解】解：展开式中第二项为 故选：D． 10．（24-25七年级上·重庆·期末）已知关于字母的次多项式，化简后总是可以表达成的形式，其中都为常数，为正整数．对多项式，任意选择其中两项的系数，先变成其相反数后再交换它们的位置，称为“取反换位”操作，例如：对多项式，进行“取反换位”操作后，所有可能得结果是：，，，则下列说法中正确的个数有（   ） ①当时，若对多项式进行“取反换位”操作后得到的多项式与原多项式之和为0，则关于的方程的解为； ②当时，若，则对多项式进行“取反换位”操作后，所得的所有多项式之和为原多项式的2倍； ③当时，若多项式：无论取何值总是等于，则对多项式进行“取反换位”操作后所得的所有多项式的常数项的和为109． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】解：①当对多项式进行“取反换位”操作后得到的多项式为：， 由题意可得：， ∴，即， ∴，即， ∴，故①正确； ②当时， ∵， ∴，， 多项式“取反换位”操作后可得多项式：， ，， ，即②正确； ③对于无论取何值总是等于，则， 当常数项不参与变换时，可得10多项式； 当常数项与各项均有一次“取反换位”， 则对多项式进行“取反换位”操作后所得的所有多项式的常数项的和为，即③正确． 综上，①②③正确． 故选D． 11．（24-25七年级下·浙江台州·期中）设，则M与N的大小关系为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）若的展开式中不含项，则实数 ． 【答案】 【详解】解：， ∵展开式中不含项， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），面积分别是，． （1）请比较与的大小： ．（填“>”“<”或“=”） （2）若满足条件的整数n有且只有5个，则 ． 【答案】 > 505 【详解】解：（1）∵， ， ∴ ， ∵m为正整数， ∴， ∴， ∴， 故答案为：>； （2）， ∵， ∴的整数n有且只有5个， ∴这四个整数解为2024，2023，2022，2021，2020， ∴， 解得：， ∵m为正整数， ∴． 故答案为：505． 14．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，有正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片 张． 【答案】8 【详解】解：∵ ， ∴需C类卡片8张， 故答案为：8． 15．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）聪聪计算一道整式乘法的题：，由于聪聪将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果为．这道题的正确结果是 ． 【答案】 【详解】解：由题意，， ∴， 解得：； ∴正确的结果是： ， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若等式恒成立，无论t为何值，的值始终为定值，则这个定值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵无论t为何值，的值始终为定值， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（24-25七年级下·四川达州·期中）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【答案】21 【详解】解：由题意得： ， ， ， 当时，原式． 18．（24-25七年级下·福建漳州·期中）如图所示，有一块边长为米和米的长方形土地，现准备在这块上地上修建一个长为米，宽为米的游泳池，剩余部分修建成休息区域． (1)请用含和的代数式分别表示游泳池的面积、休息区域的面积；（结果要求化简） (2)若，，求休息区域的面积． 【答案】(1)平方米，平方米(2)平方米 【详解】（1）解：由题意可得，游泳池的面积是： 休息区域的面积是：， 即游泳池的面积是：平方米，休息区域的面积是：平方米； （2）解：当，时， （平方米）， 即若，，休息区域的面积是平方米． 19．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的“福建土楼”，也有被誉为中国民居建筑典范的“山西大院”，同学们分别对建筑物的进行了数据测量，数据如图所示： (1)若图中阴影部分的面积为建筑物的占地面积，其中“福建土楼”的占地面积用表示，“山西大院”的占地用面积表示，请分别计算这两个建筑物的占地面积；（用含a，b的代数式表示） (2)若，，当时，试探究a，b满足的数量关系． 【答案】(1)，(2)当时，a，b满足的数量关系为 【详解】（1）解：由题意可得：， ； （2）解：当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，a，b满足的数量关系为． 20．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）杨辉三角形是形如（这里）的展开式的系数在三角形中的一种几何排列，记载于1261年他所著的《详解九章算术》中．下图是杨辉三角形与展开式的部分对照：              1             1  1           1  2  1         1  3  3  1        1  4  6  4  1 …… …… 请根据上述材料解决下列问题： (1)的展开式中第三项为___________； (2)的展开式中系数为10的项是___________； (3)求的展开式中含项的系数． 【答案】(1)(2)和(3) 【详解】（1）解：由题意得， ∴第三项为， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴系数为10的项为和， 故答案为：和； （3）解：，，，…， 观察可知：展开式的前两项为， ∴当时，含项的系数为． 21．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）小明在计算一个多项式乘以时，因看错运算符号，算成了加上，得到的结果为． (1)求这个多项式； (2)请你帮助小明计算正确的结果． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：多项式 ； （2）解： ． ∴正确的计算结果是． 22．（24-25八年级下·江西吉安·期中）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图可以用来解释，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些整式进行乘法运算． (1)图可以解释的代数恒等式是_____________ ； (2)现有足够多的正方形和矩形卡片，如图： ①若要拼出一个面积为的矩形，则需要1号卡片 张，2号卡片 张，3号卡片 张； ②试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形，使该矩形的面积为． 【答案】(1)(2)①1，2，3②见解析 【详解】（1）解：根据图形可得， ， 故答案为：； （2）解：① ∴需要1号卡片1张，2号卡片2张，3号卡片3张， 故答案为：①1，2，3； ②， 根据上述恒等式可知需要1号卡片2张，2号卡片2张，3号卡片5张； 画图如下： 1 / 97 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【精准提分】专题03 整式的乘法中相关计算（苏科2024） 【7个基础题型+3个培优题型】 【基础题型一】整式的乘法混合运算（选填题） 1 【基础题型二】（x+p）（x+q）型多项式乘法求参数的值 5 【基础题型三】整式乘法中不含某一项问题 7 【基础题型四】多项式乘多项式实际应用问题 13 【基础题型五】整式乘除中混合运算（计算题） 20 【基础题型六】多项式乘法中纸片拼接问题 24 【基础题型七】多项式乘法中与图形面积问题 29 【培优题型八】多项式乘法中规律探索类问题 38 【培优题型九】整式乘法中新定义类问题 50 【培优题型十】整式乘法中阅读材料类问题 58 【基础题型一】整式的乘法混合运算（选填题） 例题1（24-25七年级下·广西桂林·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·河南漯河·一模）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·陕西安康·二模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·陕西咸阳·一模）计算：（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1-5】（2024·陕西西安·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1-6】（24-25八年级上·河南南阳·期末）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-7】（24-25七年级下·全国·期中）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-8】（2025·辽宁·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A．； B．； C．； D．； 【变式1-9】（24-25七年级下·陕西铜川·期中）下列式子中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【基础题型二】（x+p）（x+q）型多项式乘法求参数的值 例题2（24-25七年级下·广东佛山·期中）若，则m，n的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知，若a，b都是整数，则m的值不可能是（   ）． A．5 B． C．2 D． 【变式2-2】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）已知，则的值等于（    ） A． B．2 C．8 D．7 【变式2-3】（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）已知  ， 则的值为（   ） A．11 B．6 C．5 D．1 【变式2-4】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若，则的值为（   ） A． B．8 C． D．不确定 【变式2-5】（24-25七年级下·浙江温州·期中）若，则 ． 【变式2-6】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若，则 ． 【变式2-7】（24-25七年级下·湖南常德·期中）若，则的值为 ． 【变式2-8】（24-25七年级下·福建漳州·期中）若成立，且、、均为整数，则满足条件的的值有 个． 【基础题型三】整式乘法中不含某一项问题 例题3（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）已知的展开式中不含和，那么 ． 【变式3-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）若多项式与的乘积中不含的项，则的值为 ． 【变式3-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知的展开式中不含x的一次项，且常数项是． (1)求m，n的值； (2)先化简，再根据（1）中的结果求值． 【变式3-3】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知计算的结果中不含x的一次项，求的值． 【变式3-4】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知的展开式中不含项，且常数项是．求下列各式的值： (1)； (2)． 【变式3-5】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知的展开式中不含项和常数项，求： (1)m，n的值； (2)的值． 【变式3-6】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）小明做一道数学题“已知两个多项式、．，，计算”，小明误把“”看成“”，求得的结果为． (1)请求出的正确结果； (2)若多项式且的结果不含项和项，求的值． 【变式3-7】（24-25八年级上·四川内江·期中）若的积中不含项和项．求： (1)p、q的值； (2)代数式的值． 【变式3-8】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）（1）试说明代数式的值与s，t的取值有无关系； （2）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值． 【变式3-9】（24-25七年级上·上海宝山·期中）一个关于x的二次三项式，将它与一个关于的二项式相乘，得到一个关于的整式，其中不出现一次项，且三次项系数为1，求、的值． 【基础题型四】多项式乘多项式实际应用问题 例题4（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，某区有一块长为米，宽为米的长方形广场，规划部门计划在广场内部两个正方形区域修建凉亭，其余部分进行绿化，两个正方形区域的边长均为米． (1)用含有的式子表示绿化的总面积；（结果化成最简形式） (2)若，，绿化成本为100元/每平方米，则完成绿化工程共需要多少元？ 【变式4-1】（24-25七年级下·福建漳州·期中）如图所示，有一块边长为米和米的长方形土地，现准备在这块上地上修建一个长为米，宽为米的游泳池，剩余部分修建成休息区域． (1)请用含和的代数式分别表示游泳池的面积、休息区域的面积；（结果要求化简） (2)若，，求休息区域的面积． 【变式4-2】（24-25七年级下·江西抚州·期中）如图，某城市广场是一个长方形，长为米，宽为米．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为米、米（如图所示）． (1)求音乐喷泉池的占地面积（用含，的式子表示）． (2)若，满足，求该广场音乐喷泉的面积． (3)在（2）的条件下，音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平米铺设地砖的费用为元，求市民活动区域铺设地砖的费用 【变式4-3】（24-25七年级下·陕西·期中）如图，李伯伯家有一块长为，宽为的长方形土地，李伯伯准备空出两块长都为，宽都为的小长方形土地以备他用，其余部分用来种植蔬菜． (1)用含的代数式表示种植蔬菜的面积；（结果化到最简） (2)若，且种植蔬菜每平方米的成本为10元，请计算种植蔬菜所需的总成本． 【变式4-4】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，公园有一块长为米．宽为米的空地，图中空白处有一些樱花树，为了能使新栽中的花有充足的阳光，计划在阴影部分栽种牡丹． (1)请用表示牡丹栽种的面积，结果化为最简； (2)若种植牡丹费用为元/平方米．已知米，米．那么栽种牡丹需要的费用为多少元？ 【变式4-5】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图是一块长方形的小区公共活动场所，长为米，宽为米，中间的正方形是广场舞台．边长为米；舞台两边的通道宽为米． (1)阴影部分是绿化部分，求绿化部分的面积（用含，的代数式表示）； (2)若米，米，求绿化部分的面积． 【变式4-6】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）为了节省材料，某农场水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为a米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块长方形区域，且这三块长方区域的面积相等，若的长为x米． (1)______米；______米；（用含a，x的代数式表示） (2)当，时，求长方形的面积． 【变式4-7】（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，某乡镇有一块长为米，宽为米的长方形耕地，当地镇响应退耕还林政策，决定只留一块长为米，宽为米的长方形耕地，退耕还林． (1)求退耕还林的面积．（用含a、b的代数式表示，要求化简） (2)当，时，求退耕还林的面积． 【变式4-8】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形，长方形的长为米，宽为米，小正方形的边长为b米． (1)求剩余铁皮（阴影部分）的面积． (2)当时，求剩余铁皮的面积． 【变式4-9】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，一块长方形铁皮的长为，宽为．将这块长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为的正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子． (1)求这个盒子底面的面积；（用含a、b的式子表示） (2)当，时，求这个盒子底面的面积． 【基础题型五】整式乘除中混合运算（计算题） 例题5（24-25七年级上·上海虹口·期末）计算： 【变式5-1】（24-25七年级上·上海虹口·期末）计算：． 【变式5-2】（23-24八年级上·福建厦门·期中）计算： (1)； (2)． 【变式5-3】（23-24七年级下·江苏镇江·期中）计算 (1) (2) 【变式5-4】（23-24八年级上·河南商丘·期末）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【变式5-5】（23-24七年级下·江苏盐城·期中）计算： (1) (2) 【变式5-6】（23-24七年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式5-7】（23-24七年级下·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式5-8】（23-24八年级上·河南南阳·期中）计算下列各题 (1) (2) 【基础题型六】多项式乘法中纸片拼接问题 例题6（2025·河北石家庄·一模）如图，有甲、乙、丙三种矩形纸片若干张．若用这三种纸片紧密拼接成一个面积为的矩形，则这个矩形的长和宽分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式6-1】（2024·山东枣庄·二模）现有边长分别为和的类和类正方形纸片、长为宽为的类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要类纸片的张数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式6-2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图1，现有边长为和的正方形纸片各一张，长和宽分别为a，b的长方形纸片一张，其中．把三张纸片按图2所示的方式放入另一张边长头的正方形纸片内，已知图2中阴影部分的面积满足，则a，b满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2024·河北唐山·二模）现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各12张，小明要用这些纸片中的若干张拼接（不重叠、无缝隙）一个长、宽分别为和的长方形．下列判断正确的是（     ） A．甲种纸片剩余5张 B．丙种纸片剩余7张 C．乙种纸片缺少5张 D．甲种和乙种纸片都不够用 【变式6-4】（2024七年级下·浙江·期末）如图所示，将两张相同的矩形纸片和三张不同的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内若知道图中阴影部分的面积之和，则一定能求出（　　） A．和的面积之差 B．和的面积之和 C．和的面积之和 D．和的面积之和 【变式6-5】（2024·河北保定·一模）现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各张，小明要用这些纸片中的若干张拼接（不重叠、无缝隙）一个长、宽分别为和的长方形．下列判断正确的是（    ） A．甲种纸片剩余张 B．丙种纸片剩余张 C．乙种纸片缺少张 D．甲种和乙种纸片都不够用 【变式6-6】（24-25七年级下·山东青岛·期中）现有三种不同的长方形纸片若干张（边长如图所示），若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A种纸片和C种纸片合计 张． 【变式6-7】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）数学活动课上，老师准备了若干张三种型号的纸片，其中A种纸片为边长为a的正方形，B种纸片为边长为b的正方形，C种纸片为长为a、宽为b的长方形，现要拼出一个长为宽为 的长方形，则需要A、B、C三种卡片共 张． 【基础题型七】多项式乘法中与图形面积问题 例题7（23-24八年级上·四川资阳·期中）在矩形内，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1、图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25七年级下·山西晋中·期中）观察下列图形由左到右的变化，写出相应的代数恒等式应该为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分拼成一个梯形，则梯形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25八年级上·河南周口·期末）通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个等式．例如，由图1可得等式．小明利用图2完整的图形面积可以得到的等式为（   ） A． B． C． D． 【变式7-4】（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，将长为a，宽为b的长方形纸板，在它的四角都切去一个边长为x的正方形，然后将四周突起部分折起，制成一个长方体形状的无盖纸盒．下列说法错误的有（   ） A．纸盒的容积等于 B．纸盒的表面积为 C．纸盒的底面积为 D．若制成的纸盒是正方体，则必须满足 【变式7-5】（24-25七年级上·广东东莞·期末）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，当阴影和阴影的面积和为定值时，的值为（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 【变式7-5】（24-25八年级上·山东泰安·期末）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．若已知，，由图2所表示的数学等式，则的值为（    ） A．1 B．12 C．13 D．14 【变式7-6】（24-25七年级上·陕西西安·期末）三个边长分别为的正方形按如下图位置摆放，则图中3阴影部分的面积可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式7-7】（24-25八年级上·山东烟台·期末）小明利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（    ） A． B． C． D． 【变式7-8】（24-25八年级上·山西晋城·期中）在学习中，我们接触了很多代数恒等式，知道可以用硬纸片拼成的图形面积来解释这些代数恒等式．例如，图1可以用来解释，则图2可以用来解释（   ） A． B． C． D． 【变式7-9】（23-24七年级下·北京昌平·期末）如图1的长为a，宽为b的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足的数量关系为 ． 【变式7-10】（2025七年级下·全国·期中）已知长方形可以按图所示方式分成九个部分，在a，b变化的过程中，下列说法中，正确的有 （填序号）． ①图中存在三个部分的周长之和恰好等于长方形的周长； ②长方形的长宽之比可能为； ③当长方形为正方形时，九个部分都为正方形； ④当长方形的周长为60时，它的面积可能为100． 【变式7-11】（24-25七年级下·陕西·期中）公园里有一块长为，宽为的长方形花坛，现在要把花坛四周均向外扩展，扩展后的长方形花坛的长为，宽为，则扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加了 ． 【培优题型八】多项式乘法中规律探索类问题 例题8（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了展开式的系数规律，称为“杨辉三角”．如第5行的5个数是1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中的各项系数．利用上述规律计算关于x的多项式中x6项的系数为（　　） A．80 B．60 C．40 D．20 【变式8-1】（24-25七年级下·安徽·期中）根据，，，，…的规律，则的个位数字是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式8-2】（24-25七年级下·四川达州·期中）观察下列各式： ； ； ； 根据规律计算：的值是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25七年级下·广东深圳·期中）已知，，…，都是正数，设，，那么M与N的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【变式8-4】（24-25七年级下·江苏南京·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了的展开式的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数，等等．有如下四个结论，其中正确的是 ． ①； ②当，时，代数式的值是； ③当代数式的值是0时，一定是，； ④的展开式中的各项系数之和为． 【变式8-5】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）下图是我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出的“杨辉三角”，揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律． 根据以上规律，解答下列问题： (1)的展开式中共有______项，其中第三项是______； (2)利用表中规律计算：；（不按照规律计算不得分） (3)设，在等式中当时，可得的值为_______，从而可求得的值为_______． 【变式8-6】（24-25七年级下·湖南永州·期中）【发现问题】 ， ， …… 小明在学习湘教版七年级下册数学教科书第21页“思考”栏目时，经历了以上计算过程，他发现其中有一定的运算规律． 【提出问题】 （1）上面的运算规律是否可以推广到类似的三位数相乘呢？ （2）如果个位数字不是5，但仍满足两个数的个位数字之和为10且十位数字相同，上面的运算规律是否成立？ 【分析问题】 请你通过计算与思考，完成下面的探究并填空： （1）①_____；②_______________； （2）_______________=_____；…… 【解决问题】 （3）两个两位数相乘，它们十位上的数相同都为a，个位上的数的和为10，设其中一个数的个位上的数字为b，请你用含有a，b的等式表示两数的积的规律，并证明． 【变式8-7】（24-25七年级下·安徽滁州·期中）综合与探究； 下面的式子均是多项式乘以多项式，其中第1个多项式都是； 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 【规律】（1）请根据规律，写出第4个等式：________________； 【猜想】（2）猜想：________（其中n为正整数，且）； 【应用】（3）利用（2）猜想的结论计算：． 【变式8-8】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）【观察思考】 观察下列各式． …… 【规律发现】 请根据你发现的规律完成下列各题： （1）根据规律可得： ①______； ②______（其中n为正整数）； 【规律应用】 （2）根据以上规律分解因式：_______； （3）计算：． 【变式8-9】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）【阅读理解】 苏科版数学七年级下册课本第44页的“阅读”中介绍了“杨辉三角”．“杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了二项式乘方展开式的规律，在欧洲，这个图表叫做“帕斯卡三角”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比我国迟了近了600年．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把二项式乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题． … 【初步感知】 （1）按以上规则，展开式共有____项，第三项（字母部分为）的系数是____； 【拓展推广】 （2）我们在对的推演过程中，是将中的“”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式___________；进而写出的展开式___________； 【迁移应用】 （3）根据以上规律计算 ． 【变式8-10】（24-25七年级下·江苏常州·期中）阅读材料： 材料1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中记载了源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”（如图1）；材料2：我们知道，，．利用多项式的乘法运算，还可以得到：．当时，将计算结果中多项式（以降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2． (1)请根据材料1和材料2直接写出： ①展开式中的系数是 ； ②展开式中所有项的系数和为 ； ③利用上面的规律计算（结果用乘方表示）：； (2)如图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题：若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是 ． 【培优题型九】整式乘法中新定义类问题 例题9（24-25七年级下·广东深圳·期中）定义：是多项式A化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即），如果，则称B是A的“好多项式”，如果，则称B是A的“极好多项式”．例如多项式，，则，则，，，所以B是A的“好多项式”，但B不是A的“极好多项式”． (1)若，均是关于x的多项式，则B是不是A的“好多项式”？是不是A的“极好多项式”？请判断并说明理由； (2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则______； (3)若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，求m的值． 【变式9-1】（24-25七年级上·上海虹口·期中）定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． (1)如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①填空：当时，如果是的“相邻增项式”，那么的值为_____； ②设，，如果关于的整式中不含的二次项，且整式是整式的“相邻增项式”，求的值． 【变式9-2】（24-25八年级上·辽宁大连·期中）定义：多项式化简后的项数记作，例如多项式，则．多项式，，满足．如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”． (1)若，均是关于的多项式，则是不是的“好多项式”？请判断并说明理由； (2)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，求的值． 【变式9-3】（23-24七年级下·全国·期末）定义：对于依次排列的多项式（，，，是常数），当它们满足，且为常数时，则称，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．如对于多项式，因为，所以，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子． (1)已知，，，是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子． (2)若a，b，c，d是一组平衡数，，请写出一组b，c的值， (3)当a，b，c，d之间满足什么数量关系时，它们是一组平衡数？请说明理由． 【变式9-4】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）定义：多项式A，B，C，如果满足，m为常数时，则称多项式A，B，C为一组和谐多项式．其中m是该组和谐多项式的和谐果． 例如：对于多项式，，，因为，所以多项式，，是一组和谐多项式，4是该组和谐多项式的和谐果． (1)判断多项式，，是否为一组和谐多项式？若是，请求出该组和谐多项式的和谐果；若不是，请说明理由； (2)多项式，，（a，b，c是常数）是一组和谐多项式，求a，b，c之间的数量关系； (3)多项式，，（d，e是常数）是一组和谐多项式，请直接写出该组和谐多项式的和谐果m的值． 【变式9-5】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）阅读材料：已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如 ，所以43和68与34和86都是“幸福数对”．请解决如下问题： (1)请判断24与63是否是“幸福数对”? 并说明理由： (2)为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且 ；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且，试说明a，b，c，d之间满足怎样的数量关系，并写出证明过程． 【变式9-6】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）一般地，我们把按照确定顺序排列的一列数，，，叫做数列．若数列满足（为非零常数），我们把数列叫做等比数列，叫做公比；若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”；若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”；依次类推，若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”，且为整数． (1)分别写出等比数列1，2，4，8的“2级等比数列”和“3级等比数列”； (2)若等比数列：，，，，． ①求该等比数列的所有数之和． ②设，，分别是该数列的，，级等比数列的所有数之和．若，求证：． 【变式9-7】（23-24八年级上·湖南长沙·期中）阅读以下材料： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如，所以和与和都是“幸福数对”. 解决如下问题： (1)请判断与是否是“幸福数对”？并说明理由： (2)为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为，个位数字为，且；另一个数的十位数字为，个位数字为，且，试说明，，，之间满足怎样的数量关系，并写出证明过程； (3)若有一个两位数，十位数字为，个位数字为；另一个两位数，十位数字为，个位数字为．若这两个数为“幸福数对”，求出这两个两位数． 【培优题型十】整式乘法中阅读材料类问题 例题10（24-25七年级下·广东茂名·期中）有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题． 例：若，，试比较，的大小． 解：设， 则，， ， ． 请利用上面的方法解答下列问题： (1)若，．试比较，的大小； (2)若，．试比较，的大小． 【变式10-1】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）【阅读材料】爱思考的小李同学发现：两个两位数相乘，如果这两个两位数的个位数字相同，十位数字的和是10，对于这种特殊关系的两位数相乘，计算结果与原来的两位数数位上的数字有一些特殊的关联． 比如，它们乘积的前两位是31，等于，它们乘积的后两位是49，等于，用速算方法计算可得：．又如，它们乘积的前两位是12，等于，它们乘积的后两位是9，等于，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，用速算方法计算可得：．该速算方法可以用我们所学的数学知识说明其合理性． (1)观察与归纳：观察上述例子，请以这种速算方法计算___________； (2)推理与解释：对于这种特殊关系的两位数相乘，设其中一个两位数的十位数字为，个位数字是（表示的整数、表示的整数），则该两位数可表示为，另一个两位数可表示为___________；用速算方法计算这两个两位数相乘得到的结果可以表示为：___________；请运用所学知识，说明满足条件的两个两位数相乘可以用上述速算方法计算结果的理由． 【变式10-2】（24-25七年级下·山西晋中·期中）阅读材料 数学活动—探究日历中的数字规律如图1是2025年2月份的日历，小宇在其中画两个的方框，每个框均框住的位留为四个数，计算“”的值，探索其运结果的规律． a c b d 2025年2月 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 图1 2025年4月 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 图2 (1)计算：________： (2)小宇通过特例分析，猜想所有日历中，方框里“”的结果都不变，并说明理由如下，请你将其过程补充完整； 解：理由如下： 设，则，________，________． 所以________． (3)同学们利用小宇的方法，借助2025年4月份的日历，继续进行如下探究．在日历中用“十字框”框住的位置为五个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． b a o d c 【变式10-3】（24-25七年级上·上海·期中）阅读材料： 两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是10，该类乘法的速算方法是：将一因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐），比如，它们的乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；再如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；又如，，不足两位，就将6写在百位；，不足两位，就将9写在个位，十位上写零，所以． 该速算方法可以用我们所学的整式的乘法的知识说明其合理性： 设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a，b表示1到9的整数）则该数可表示为，另一因数可表示为．两数相乘可得： ． （注：其中表示计算结果的前两位，表示计算结果的后两位） 问题：两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10．如、、等 (1)探索该类乘法的速算方法，请以为例写出你的计算步骤． (2)设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为________． 设另一因数的十位数字是b，则该数可以表示为________．（a，b表示的正整数） (3)请模仿阅读材料中所用的方法说明你速算方法的合理性． 【变式10-4】（24-25八年级上·山西阳泉·期末）阅读与思考．请阅读下列材料，并完成相应的任务． “头同尾合十”的两位数乘法速算所谓“头同尾合十”的两位数是指：两个因数的十位数字相同，个位数字相加刚好为10．其对应的乘法速算方法是： 第一步：用两个因数的个位数字相乘，把得到的乘积作为结果的后两位，如果乘积是一位数，就把这个数作为结果的个位，十位用0表示； 第二步：用相同的十位数字乘以比它大1的数，把得到的乘积放在第一步结果的前面．像这样组成的数就是两位数相乘的结果． 例如： 速算，先算，再算，则； 速算，先算，再算，则． 任务： (1)利用上述速算方法，计算，先算，再算______，则______； (2)用和分别表示两个两位数，其中表示十位数字，和表示它们的个位数字，且， ①依据题意，两位数，则两位数______； ②为说明该速算方法的正确性，请你证明成立． 【变式10-5】（24-25七年级下·河南平顶山·期中）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫作特殊到一般如下所示： ［观察］①； ②； ③； … (1)［归纳］由此可得______． (2)［应用］请运用上面的结论计算：______． (3)计算：． 【变式10-6】（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）【阅读与思考】 下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务： 对于依次排列的多项式是常数），当他们满足 ，且是常数时，则称是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子． 例：对于多项式来说 2，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子． 【任务一】 （1）已知5，6，7，8是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子的值； 【任务二】 （2）若2，4，是一组平衡数，求的值； 【问题解决】 （3）当之间满足怎样的数量关系时，他们是一组平衡数？写出他们之间的关系，并说明理由． 【变式10-7】（23-24七年级下·江苏扬州·期中）阅读∶ 在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： [观察]①； ②； ③； …… (1)[归纳]由此可得∶ (2)[应用]请运用上面的结论，解决下列问题： 计算∶ (3)计算∶ 【变式10-8】（23-24七年级下·江苏南京·期中）【阅读材料】周末，小红自学苏科版初中数学七年级下册的课本第9章内容，然后独立做完了第73页上一道例题： 例2计算：． 小红忽然看到弟弟在用竖式乘法计算：，过程如图1；小红想：是否可以用这个方法计算？她尝试写了解题过程如图2，结果正确． 小红还联想到多项式除以多项式是否也可以运用竖式除法的方法进行，于是她先做了一道多位数除以多位数的除法计算题如图3，接着她尝试做了一道多项式除以多项式的习题如图4，爸爸亲自检验结果正确，并表扬了她善于思考、勇于探索的学习精神． 【问题解决】下面请你从用中所学到的方法解决以下问题： (1)小红把多位数竖式乘法运算方法运用在多项式乘法运算上，这里运用的数学思想是 ． A．数形结合 B．方程 C．类比 D．分类讨论 (2)请你尝试用小红的竖式乘法运算方法计算：； (3)请计算的商式与余式． (4)若，那么的值是 ． 1．（2025·广东东莞·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，圆圆同学画了三个面积相等的大正方形和三个面积相等小正方形（两个大小不同的正方形不重合无间隙），她在三个图上分别画出了三块阴影面积．若图1，图2，图3的阴影面积分别记为，且，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图是某住宅的平面结构图（单位：米），房的主人计划将卧室以外的地面都铺上地砖．如果他选用地砖的价格为元米，则买砖至少需用（   ）元 A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·四川甘孜·期中）三个连续偶数，中间一个数为，则这三个数的积为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·四川成都·期中）若，则m的值为（   ） A． B．8 C．10 D． 6．（24-25七年级下·福建漳州·期中）若将展开的结果中不含有的一次项，则满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）若且，则代数式的值为（   ） A． B． C．3 D．2 8．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）关于x的多项式，，（其 中a，b，c，d，e，f均为常数），下列说法中正确的有（　　） ①当B能被整除时，；②当多项式A与B的乘积中不含项时，；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）我国宋朝数学家杨辉在其著作的《详解九章算术》中提出“杨辉三角”（如图），介绍了（n是非负整数）展开式的项数及各项系数有关的规律如下图： 例如：，那么展开式中的系数为（    ） A．27 B． C．108 D． 10．（24-25七年级上·重庆·期末）已知关于字母的次多项式，化简后总是可以表达成的形式，其中都为常数，为正整数．对多项式，任意选择其中两项的系数，先变成其相反数后再交换它们的位置，称为“取反换位”操作，例如：对多项式，进行“取反换位”操作后，所有可能得结果是：，，，则下列说法中正确的个数有（   ） ①当时，若对多项式进行“取反换位”操作后得到的多项式与原多项式之和为0，则关于的方程的解为； ②当时，若，则对多项式进行“取反换位”操作后，所得的所有多项式之和为原多项式的2倍； ③当时，若多项式：无论取何值总是等于，则对多项式进行“取反换位”操作后所得的所有多项式的常数项的和为109． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11．（24-25七年级下·浙江台州·期中）设，则M与N的大小关系为 ． 12．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）若的展开式中不含项，则实数 ． 13．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），面积分别是，． （1）请比较与的大小： ．（填“>”“<”或“=”） （2）若满足条件的整数n有且只有5个，则 ． 14．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，有正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片 张． 15．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）聪聪计算一道整式乘法的题：，由于聪聪将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果为．这道题的正确结果是 ． 16．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若等式恒成立，无论t为何值，的值始终为定值，则这个定值为 ． 17．（24-25七年级下·四川达州·期中）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 18．（24-25七年级下·福建漳州·期中）如图所示，有一块边长为米和米的长方形土地，现准备在这块上地上修建一个长为米，宽为米的游泳池，剩余部分修建成休息区域． (1)请用含和的代数式分别表示游泳池的面积、休息区域的面积；（结果要求化简） (2)若，，求休息区域的面积． 19．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的“福建土楼”，也有被誉为中国民居建筑典范的“山西大院”，同学们分别对建筑物的进行了数据测量，数据如图所示： (1)若图中阴影部分的面积为建筑物的占地面积，其中“福建土楼”的占地面积用表示，“山西大院”的占地用面积表示，请分别计算这两个建筑物的占地面积；（用含a，b的代数式表示） (2)若，，当时，试探究a，b满足的数量关系． 20．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）杨辉三角形是形如（这里）的展开式的系数在三角形中的一种几何排列，记载于1261年他所著的《详解九章算术》中．下图是杨辉三角形与展开式的部分对照：              1             1  1           1  2  1         1  3  3  1        1  4  6  4  1 …… …… 请根据上述材料解决下列问题： (1)的展开式中第三项为___________； (2)的展开式中系数为10的项是___________； (3)求的展开式中含项的系数． 21．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）小明在计算一个多项式乘以时，因看错运算符号，算成了加上，得到的结果为． (1)求这个多项式； (2)请你帮助小明计算正确的结果． 22．（24-25八年级下·江西吉安·期中）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图可以用来解释，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些整式进行乘法运算． (1)图可以解释的代数恒等式是_____________ ； (2)现有足够多的正方形和矩形卡片，如图： ①若要拼出一个面积为的矩形，则需要1号卡片 张，2号卡片 张，3号卡片 张； ②试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形，使该矩形的面积为． 1 / 97 学科网（北京）股份有限公司 $$