8.1第2课时 算数平方根 （课件） 2024—2025学年人教版数学七年级下册

人教版数学七年级下册 第八章 实数 汇报人：孙老师 汇报班级：X级X班 第2课时 算数平方根 8.1 平方根 目录 壹 学习目标 贰 新课导入 叁 新知探究 肆 随堂练习 伍 课堂小结 第壹章节 学习目标 学习目标 1.了解算术平方根的概念，会表示正数的算术平方根； 2.了解算术平方根的非负性； 3.掌握算术平方根的估算，初步体会无限不循环小数. 第贰章节 新课导入 新课导入 如图，一个正方形的边长为a。如果它的面积为 3，那么 a 究竟是多少呢? a 由正方形的面积公式，得 a2 = 3 由正方形的边长 a >0，得 有多大呢？ 第叁章节 新知探究 新知探究 1 算术平方根的概念和性质 计算下表中各正方形的边长： 正方形的面积/dm2 1 9 16 36 正方形的边长/dm 1 3 4 6 问题 1：结合平方根的概念，回答各正方形的边长 与面积之间有什么关系? 问题 2：以上数据中，正方形的面积和边长的大小有什么关系? 正方形的边长是面积值的正平方根. 面积越大，边长越大. 算术平方根的概念 概念 正数 a 有两个平方根，其中正的平方根 叫作 a 的算术平方根. a 的算术平方根用 来表示 . 规定：0 的算术平方根是 0. 0的算数平方根也记为 性质 1：一个正数的算术平方根是正数. 性质 2：0 的算术平方根是 0. 性质 3：负数没有算术平方根. 性质 4：被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 知识要点 基本条件： 数的角度： 关系的角度： 形的角度： 怎么理解 (a≥0 ， ). 是一个非负数. 的平方是 a； 是 a 的算术平方根； 不计入 0， 是一个面积为正数 a 的正方形的边长. (x≥0，a≥0) (a≥0， ≥0) 咱俩都是非负数； 我是你的方，你是我的根； 根号我就是你； 我是完全平方数，你就是有理数， 否则，根号我就是你的样子 25是5的方，5是25的根 = 5 就是5 →5(有理数) 例1 求下列各数的算术平方根： 被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 总结 从小到大 解：(1) 因为 102 = 100，所以100 的算术平方根是10， (2) 因为 = ，所以 的算术平方根是 ， (3)因为 0.012 = 0.000 1，所以 0.000 1 的算术平方根是 0.01， (2) ； (1) 100； (3) 0.000 1. 即 = . 即 = . 即 = . 典例精析 1. 求下列各数的算术平方根. (3) ； (1) 121； (4) 0.25. (2) 0； 解：(1) 11. (2) 0 . (3) . (4)0.5. 2. 已知 3＋a 的算术平方根是 5，则 a 的值为 . 22 练一练 2 算术平方根的估算及大小比较 剪一剪，拼一拼：能否用两个面积为 1 dm2 的小正方形剪拼成一个面积为 2 dm2 的大正方形？ 填空： 回忆三角形三边之间的关系， 究竟是一个怎么样的数？ 面积 dm2 边长 dm 1 2 1 算一算：估算 的大小. (1) 比较 1，，2 之间的大小； 因为 1² = 1，()² =2，2² = 4. 所以1<<2. (2) 比较1.4，，1.5 之间的大小； 因为1.4² = 1.96，1.5² =2.25. 所以1.4<<1.5. (3) 比较 1.41，，1.42 之间的大小. 因为1.41²=1.988 1，1.42² =2.016 4. 所以1.41<<1.42. 如此反复可确定出 更精确的估计范围，此种方法叫作“夹逼法”. 事实上， =1.414 213 562 373…，它是一个无限不循环小数. 思考：无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数. 你以前见过这样的数吗? 实际上，很多正有理数的算术平方根 (例如等)都是无限不循环小数. 想一想 用“夹逼法”求 近似值的步骤: (1)通过估算，确定 在哪两个连续整数之间； (2) 通过试算，确定 在哪两个连续的一位小数之间； (3)通过试算，确定 在哪两个连续的两位小数之间； ...... 如此反复，可求得 更精确的估计范围. 归纳总结 例2 (1) 估计与 最接近的两个整数是多少？ 解：因为 32 = 9，42 = 16， 所以 3 < < 4． 所以与 最接近的两个整数是 3 和 4. 典例精析 例2 (2) 估计与 最接近的一个整数是多少？ 解：因为 3 < < 4， 而 3.52 = 12.25， 所以 < 3.5 . 所以最接近 的整数是 3 . 太小 太大 3 用计算器求一个数的算术平方根 探索：用计算器求下列各式的值： (1) ；(2) = (精确到0.001) . 1.414 56 显示：56. 所以：56. 解：(1) 依次按键 1 3 3 6 = 显示：1.414213562. 所以：1.414. (2) 依次按键 2 = 当 “天问一号” 火星探测器的速度大于第二宇宙速度 v (单位：m/s) 时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星. v 的大小满足 v² = 2gR，其中 g 是地球表面的重力加速度，g ≈ 9.8 (单位：m/s2)，R 是地球半径， R ≈ 6.4×106 (单位：m). 怎样求 v 呢? 由 v² = 2gR 及 v 的实际意义，得 v = ， 其中 g ≈ 9.8 (单位：m/s2 )，R ≈ 6.4×106 (单位：m). 用计算器求得 v ≈ = 1.12×104. 因此，第二宇宙速度 v 约为 1.12×104 m/s，即 11.2 km/s. 合作探究 … … … … 规律：被开方数的小数点每向右移动 位，它的算术平方根的小数点就向右移动 位；被开方数的小数点每向左移动 位，它的算术平方根的小数点就向左移动 位. (1) 利用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律?你能说出其中的道理吗? 算术平方根的规律 2 2 1 1 (2)用计算器计算 (精确到 0.001)，并利用你在 (1) 中发现的规律说出 的近似值. 你能根据 的近似值直接得到 的近似值是多少吗? 小数点只移动了一位，不符合规律...不能直接得到值. 例3 小丽想用一块面积为 400 cm2 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300 cm2 的长方形纸片，使它的长与宽的比为 3∶2. 但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片!”你同意小明的说法吗?小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗? 一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片. 他说得对吗？ 分析：可根据长宽之比为 3:2 和边长与面积的关系设方程，得到长方形的长和宽，再与正方形的边长作比较.估计边长的大小可用前面学习的方法. 解：设长方形的长为 3x cm，则宽为 2x cm. 根据边长与面积的关系，得 3x·2x = 300， 6x2 = 300， x2 = 50. 由边长的实际意义，得 x = . 因此长方形纸片的长为 cm. 因为 50 > 49，所以 > 7. 由上可知 3 > 21，即长方形纸片的长应该大于 21 cm. 因为 = 20，所以正方形纸片的边长只有 20 cm. 这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长. 答：不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片. 1. 比较下列各组数的大小. (1) 与 2.24； (2) 与 0.5； (3) 与 1. 解：(1) 因为 ()2 = 5，2.242 = 5.0176， 所以 < 2.24． (2) 因为()2 = 5，22 = 4，所以 ＞2. 所以1＞1. 所以 ＞ ，即 ＞0.5. (3) 因为()2 = 5，32 = 9，所以 ＜3. 所以1＜2. 所以 ，即 ＜1. 练一练 第肆章节 随堂练习 随堂练习 算数平方根 表示方法：正数 a 的算数平方根记为： 性质 0 的算数平方根是 0 被开方数越大，对应的算数平方根就越大 用夹逼法估算无限不循环小数的大小 概念：正数 a 有两个平方根，其中正的平方根 叫作 a 的算数平方根。 第伍章节 课堂小结 课堂小结 1.下列选项中，正确的是( ) D A. B. C. D. 2.下列说法正确的是( ) D A.一个整数的平方根是它的算术平方根 B.算术平方根等于它本身的数只有1个 C.1是最小的算术平方根 D.一个非负数的非负平方根是它的算术平方根 32 3.有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的为16时，输出的 的值 是( ) (第3题) D A.8 B.4 C. D. 33 4.0.01的算术平方根是_____. 34 5.比较大小(填“ ”“ ”或“ ”)： ___2；___2； ___2. 35 6.已知的平方根为， 的算术平方根为6. (1)求， 的值； 解：由题可知，，解得 ， ， ， . 36 (2)求 的平方根. 解：， ， ， 则的平方根为 . 37 7.若，则 ______. 3或 38 8.若，，且，则 等于___. 39 9.已知实数，满足 . (1)求， 的值； 解： ， ，，， . (2)求 的平方根. 解： ， 的平方根是 . 40 10.探究题： (1)求，，，，，的值.对于任意实数 ， 等于多少？ 解：，，，6，， ， 对于任意实数， . 41 (2)求，，，，， 的值.对于任意非 负实数， 等于多少？ 解：，，， 36， ， ， 对于任意非负实数， . 42 人教版数学七年级下册 汇报人：孙老师 汇报班级：X级X班 谢谢观看 $$