精品解析：北京市第五十七中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

2024-2025学年度高一第二学期数学学科期中试卷 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合，然后根据交集的定义计算. 【详解】由题意，，， 根据交集的运算可知，. 故选：A 2. 已知事件、、两两互斥，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件的概率公式求出、. 【详解】因为事件、、两两互斥，， 所以， 所以. 故选：B 3. 如图所示，点是函数的图象与轴的交点，点在之间的图象上运动，若，且当的面积最大时，，则（ ） A. B. C. 的单调增区间为 D. 的图象关于直线对称 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出从而求得此函数表达式，再运用余弦函数的单调性和对称性对各选项逐一分析即可. 【详解】因为当的面积最大时，在最高点，所以， 又，由函数的对称性质知，为等腰直角三角形， 所以在中，， 所以，，即，又，所以， 因为函数经过，则， 所以，即，又因为，所以. 所以函数表达式为. 对于A，，故A错误； 对于B，故B错误； 对于C，令，解得， 所以的单调增区间为，故C错误； 对于D，，取得函数最小值， 所以的图象关于直线对称，故D正确. 故选：D 4. 已知向量，且，那么（  ） A. 4 B. 5 C. 24 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直得到方程，求出，进而得到，求出模长即可. 【详解】由，且，得，解得， 故， 所以. 故选：B 5. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数、正弦函数的性质判断，，的范围，即可比较，，的大小. 【详解】由题可知， ， ， 故， 故选：B. 6. 已知函数．则“”是“为奇函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】若，利用和差角公式求出，即可判断的奇偶性，从而判断充分性，再由奇函数的定义判断必要性. 【详解】因为， 若，即， 即， 所以，又，所以， 所以， 当为偶数时，则为奇函数； 当为奇数时，则为奇函数； 综上可得由可得为奇函数，故充分性成立； 由为奇函数，则，显然满足，故必要性成立； 所以“”是“为奇函数”的充要条件. 故选：C 7. 已知，都是锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简，得，展开计算，结合两角和的余弦公式可得，再由，得，由函数在上单调递减，可得，从而得答案. 【详解】因为，所以，即．因为，所以，，因为在上单调递减，所以，即 故选：B． 8. 当时，函数的零点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】函数，其零点就是方程的解，也就是的解. 作出与在给定区间上的图象，根据图象交点个数来确定函数的零点个数. 【详解】由，得， 作出，，的图象， 由图可知，两函数的图象的交点有4个， 则曲线在上的零点个数为4． 故选：C． 9. 某美妙音乐的模型函数为有下叙述四个结论： ①是偶函数 ②在区间单调递减 ③在上有3个零点 ④周期是，其中所有正确的结论的编号是（ ） A. ①② B. ②④ C. ①④ D. ①③ 【答案】A 【解析】 【分析】先根据奇偶函数定义得偶函数，结合正弦函数图象和偶函数图象性质得到函数图象，然后逐个命题判断即可. 【详解】易知的定义域为R，且，所以偶函数，①对； 当时，，所以当时，的图像与一致， 再结合偶函数的对称性可得整体图象如下图： 由图象可知：在区间单调递减；②对； 在上有1个零点为0，③错；函数不具有周期性，④错； 所以所有正确的结论的编号是①②. 故选：A 10. 2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ） （参考数据：，，） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 【答案】C 【解析】 【分析】利用归纳可知，从年起，到第年，DeepSeek的算力提升至PetaFLOPS，解不等式，即可得出结论. 【详解】由题意可知，截止至2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PetaFLOPS， 到年，其算力提升至PetaFLOPS， 到年，其算力提升至PetaFLOPS，， 以此类推可知，从年起，到第年，DeepSeek的算力提升至PetaFLOPS， 由，可得， 所以，， 所以，DeepSeek的算力预计在年首次突破PetaFLOPS， 故选：C. 二、填空题共8小题，每小题4分，共32分 11. 如图1，这是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”．如图2，这是“潮涌”的平面图，若，则图形的面积与扇形的面积的比值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用扇形面积公式，分别求出扇形和扇形的面积，作差得图形的面积，再求比值即可. 【详解】设扇形的圆心角，，则， 由扇形面积公式可知，， 所以， 所以. 故答案为：. 12. 函数的定义域为______________ 【答案】 【解析】 【分析】根据函数定义域的求法结合正切函数性质进行求解即可. 【详解】由，得， 则，即． 所以函数的定义域为． 故答案为：. 13. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则x的取值范围为______ 【答案】且. 【解析】 【分析】转化为数量积大于0，并去掉共线同方向的情况即可. 【详解】，当，则，解得， 且此时为共线同方向， 若与的夹角为锐角，则，且去掉同方向共线的情况， 则，解得， 则且. 故答案为：且. 14. 在中，点满足，若，则______ 【答案】 【解析】 【分析】由题中所给条件求出，结合及，即可求解，，进而求得． 【详解】由题得， 所以， 又，所以，所以， 所以． 故答案为：． 15. 已知函数，若实数满足，则__________；的取值范围是________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】结合分段函数与绝对值函数的性质，可得，且时，关于对称，即可得解. 【详解】由，故在、上单调递减， 在上单调递增，且有，，，，，； 由，则， 由时，，则关于对称，故， 则. 故答案为：；. 16. 已知是定义在上的偶函数，并且，当时，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】结合已知条件求出的一个周期为6，进而得，代入已知函数求值即可求解. 【详解】由得，又，故， 故的一个周期为6，又当时，， 所以. 故答案为： 17. 在平行四边形中，为边上的动点，为外接圆的圆心，，且，则的最小值为_____. 【答案】4 【解析】 【分析】根据可知为的中点，结合圆的性质可知为直角三角形，故.由可求出线段的长，根据为边上的动点及平面向量共线定理可设，，然后以，为基底去计算的值即可求解. 【详解】 由可知为的中点. 又因为为外接圆的圆心，所以，所以为直角三角形， 所以，即，所以. 又，所以，所以. 又因为为边上的动点，所以，. 所以， 因为，所以，所以，所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题的解题关键是：根据可知为的中点，结合圆的性质可知为直角三角形，故.由，所以.根据为边上的动点及平面向量共线定理可设，，然后以，为基底去计算的值即可求解. 18. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）.若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t分钟后点P距离水面的高度为h米，下列结论正确的有________ ①．h关于t的函数解析式为 ②．点P第一次到达最高点需用时5秒 ③．P再次接触水面需用时10秒 ④．当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据已知代入点计算得出解析式判断①，再根据函数值得出自变量判断②，再根据周期计算判断③，计算函数值判断④. 【详解】由题可设函数， 其中，所以， 时，，解得，因为，所以， 所以，①正确； 由①可知点P第一次到达最高点需用时秒，②正确； 由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），③正确； 当时，，点P距水面的高度为2米，④错误． 故答案为：①②③. 三、解答题共6小题，共78分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 19. 化简求各式的值： （1） （2）已知角的终边经过点，计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式及特殊角的函数值，结合对数的概念及运算性质即可化简求值； （2）先根据正弦函数的定义得，然后利用诱导公式把原式化成计算即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为角的终边经过点， 所以， 故 . 20. 2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象．为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试．根据测试成绩，将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示． （1）求该样本的第75百分位数； （2）试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)； （3）该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在各一人的概率． 【答案】（1）分； （2）分； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求得，再由百分位数的定义求第75百分位数； （2）由频率直方图的平均数求法求平均分； （3）根据分层抽样确定5人中的人数分布，再应用列举法求古典概型的概率. 【小问1详解】 由题设，可得， 由，， 所以样本的第75百分位数位于区间，设为，则， 所以分. 则其第75百分位数为分. 【小问2详解】 由题设分； 则平均分为分. 【小问3详解】 由题设，的频率比为， 故抽取的5人中有2人为、有3人为， 任抽2人有，共10种情况， 其中分数在各一人有，共6种情况， 所以这2名同学分数在各一人的概率. 21. 已知向量，，函数 （1）若，且，求的值； （2）求的单调递增区间； （3）若，求的值 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由及数量积的坐标运算得到，从而得到，即可求解； （2）由数量积的坐标运算及三角恒等变换化简得到，再由正弦函数的性质计算可得； （3）由（2）和题设条件，求得，，利用基本关系式，求得的值，结合两角和的余弦公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意，向量，，函数， 因为，即，可得，所以， 又因为，则，可得，所以. 【小问2详解】 由， 令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，. 【小问3详解】 由（2）知， 因为，所以， 又因为，所以， 因为，可得， ， 所以. 22. 已知下列三个条件：条件①：的图象关于直线对称；条件②：的图象过点；条件③：在区间上单调递增．从这三个条件中选一个作为已知条件，填在下面的横线处，并解答下列问题. 已知函数的最小正周期为，_______. （1）求的值； （2）求函数在区间上的最小值； （3）若关于的方程在上恰好有20个根，请直接写出实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合周期公式即可求解； （2）若选择条件①，根据的对称性及求得，从而，利用两角和差的正余弦公式得，然后根据角的范围结合正弦函数的性质求解即可； 若选择条件②，根据已知得，则，即， 结合求得，从而，利用两角和差的正余弦公式得，然后根据角的范围结合正弦函数的性质求解即可； 若选择条件③，根据正弦函数周期性及单调性得当时，取得最大值，进而求得，结合求得，从而，利用两角和差的正余弦公式得，然后根据角的范围结合正弦函数的性质求解即可； （3）根据已知及两角和差的正弦公式化简方程得，求出的解集，结合在上恰好有20个根及正弦函数的性质分析参数范围． 【小问1详解】 因为函数的最小正周期为， 所以； 【小问2详解】 若选择条件①，因为的图象关于直线对称， 所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以 ， 因为，所以， 所以当，即时，取得最小值； 若选择条件②， 因为的图象过点，所以， 所以，即， 又因为，所以，所以， 所以 ， 因为，所以， 所以当，即时，取得最小值； 若选择条件③， 因为函数的最小正周期为，所以， 因为在区间上单调递增且， 所以当时，取得最大值，所以， 所以， 又因为，所以，所以， 所以 ， 因为，所以， 所以当，即时，取得最小值； 【小问3详解】 由（2）可知， 所以方程等价于等价于， 即， 则或，， 得或，． 由，时，；时，； ；时，． 所以，即的取值范围是. 23. 意大利著名画家达芬奇将两端固定的项链在重力的作用下自然下垂所形成的曲线称为“悬链线”．双曲余弦函数是一种特殊的悬链线函数，其相应的双曲正弦函数为，记函数． （1）判断函数的奇偶性并予以证明； （2）讨论函数的单调性； （3）若对于任意的，不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）奇函数，证明见解析 （2）单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）整理可得，结合奇函数定义分析判断即可； （2）整理可得，利用函数单调性的定义证明即可； （3）换元令，可得，求出最大值可得答案. 【小问1详解】 由题意得，为奇函数． 任意，都有， ，即为奇函数； 【小问2详解】 ， 对于任意的，且，则： 因为在上单调递增，， 所以， 所以， 即， 所以在上单调递增； 【小问3详解】 在上单调递增，， ， 令，即， 有，当时，等号成立 综上，． 24. 对于给定的奇数，设是由个实数组成的行列的数表，且A中所有数不全相同，A中第行第列的数，记为A的第行各数之和，为A的第列各数之和，其中．记．设集合或，记为集合所含元素的个数． （1）对以下两个数表，，写出，，，的值； 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （2）若中恰有个正数，中恰有个正数．求证：； （3）当时，求的最小值． 【答案】（1），；， （2） 当或时，不妨设，即，． 若，结论显然成立； 若，不妨设，，则，，． 所以，结论成立． 当且时，不妨设，，，， 则当时，；当时，． 因为当，时，，， 所以． 所以． 同理可得：，，． 所以． （3） 【解析】 【分析】（1）按定义求出，，，，进行求解即可． （2）分两种情况进行证明，即①或，②且分别证明即可． （3）因为，分情况讨论：①若或时；②若或；③若，进行求解． 【小问1详解】 ，；，． 由定义可知：将数表A中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），，的值不变． 因为为奇数，，所以，均不为0． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，的最小值为．对于如下的数表A，． 1 1 1 1 1 1 1 1 1 下面证明：． 设中恰有个正数，中恰有个正数，． ①若或，不妨设，即，． 所以当时，． 由中所有数不全相同，记数表中1的个数为，则， 且，． 所以． ②由①设且．若或，不妨设， 则由（2）中结论知：． 因为， 所以． ③由①②设且． 若，则由（2）中结论知：． 因为， 所以． 若，，不妨设，，，且， 由（2）中结论知：．所以． 若数表中存在为1，将其替换为后得到数表． 因为，， 所以． 所以将数表中第行第列为1的数替换为后值变小． 所以不妨设． 因为，， 所以，故的最小值为． 【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是读懂、理解题中数表的性质，关键之二是利用分类讨论思想进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度高一第二学期数学学科期中试卷 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知事件、、两两互斥，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，点是函数的图象与轴的交点，点在之间的图象上运动，若，且当的面积最大时，，则（ ） A. B. C. 的单调增区间为 D. 的图象关于直线对称 4. 已知向量，且，那么（  ） A. 4 B. 5 C. 24 D. 25 5. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数．则“”是“为奇函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，都是锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 当时，函数的零点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 某美妙音乐的模型函数为有下叙述四个结论： ①是偶函数 ②在区间单调递减 ③在上有3个零点 ④周期是，其中所有正确的结论的编号是（ ） A. ①② B. ②④ C. ①④ D. ①③ 10. 2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ） （参考数据：，，） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 二、填空题共8小题，每小题4分，共32分 11. 如图1，这是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”．如图2，这是“潮涌”的平面图，若，则图形的面积与扇形的面积的比值是_______． 12. 函数的定义域为______________ 13. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则x的取值范围为______ 14. 在中，点满足，若，则______ 15. 已知函数，若实数满足，则__________；的取值范围是________. 16. 已知是定义在上的偶函数，并且，当时，，则______. 17. 在平行四边形中，为边上的动点，为外接圆的圆心，，且，则的最小值为_____. 18. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）.若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t分钟后点P距离水面的高度为h米，下列结论正确的有________ ①．h关于t的函数解析式为 ②．点P第一次到达最高点需用时5秒 ③．P再次接触水面需用时10秒 ④．当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 三、解答题共6小题，共78分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 19. 化简求各式的值： （1） （2）已知角的终边经过点，计算：． 20. 2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象．为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试．根据测试成绩，将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示． （1）求该样本的第75百分位数； （2）试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)； （3）该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在各一人的概率． 21. 已知向量，，函数 （1）若，且，求的值； （2）求的单调递增区间； （3）若，求的值 22. 已知下列三个条件：条件①：的图象关于直线对称；条件②：的图象过点；条件③：在区间上单调递增．从这三个条件中选一个作为已知条件，填在下面的横线处，并解答下列问题. 已知函数的最小正周期为，_______. （1）求的值； （2）求函数在区间上的最小值； （3）若关于的方程在上恰好有20个根，请直接写出实数的取值范围． 23. 意大利著名画家达芬奇将两端固定的项链在重力的作用下自然下垂所形成的曲线称为“悬链线”．双曲余弦函数是一种特殊的悬链线函数，其相应的双曲正弦函数为，记函数． （1）判断函数的奇偶性并予以证明； （2）讨论函数的单调性； （3）若对于任意的，不等式成立，求实数的取值范围． 24. 对于给定的奇数，设是由个实数组成的行列的数表，且A中所有数不全相同，A中第行第列的数，记为A的第行各数之和，为A的第列各数之和，其中．记．设集合或，记为集合所含元素的个数． （1）对以下两个数表，，写出，，，的值； 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （2）若中恰有个正数，中恰有个正数．求证：； （3）当时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $