精品解析：黑龙江省哈尔滨市道外区2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年度下学期期中考试 高一数学试卷 试时间：120分钟 满分：150分 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 两个单位向量一定相等 B. 两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同 C. 共线的单位向量必相等 D. 若与不共线，则与都是非零向量 【答案】D 【解析】 【分析】根据单位向量的定义，向量相等，向量共线的概念分析各个选项即可得到答案. 【详解】对选项A，根据单位向量的定义，单位向量的方向不确定，故A选项错误；对选项B，两个向量相等只需要长度相等，方向相同，但起点不一定相同，故B错误；对选项C，共线的单位向量可能方向相反，此时两向量不相等，故C错误；对选项D，因为零向量与任意向量都共线，故若与不共线，则与都是非零向量，D正确. 故选：D 2. 复数的虚部为（ ） A. B. 4 C. D. 4i 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的减法及复数的有关概念求解. 【详解】依题意，，其虚部为. 故选：A 3. 在中，已知角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理和余弦定理求得结果. 【详解】因为， 则由正弦定理可设，. 由余弦定理得. 故选：C. 4. 已知三点，则等于（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的坐标表示进行线性运算和数量积运算即可. 【详解】由题意知，， 所以. 故选：C 5. 如图，测量河对岸的塔高AB时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理可求答案. 【详解】因为，，所以， 由正弦定理可得，即， 因为点C测得塔顶A的仰角为，所以. 故选：C 6. 在△ABC中，边BC上的中线为AD，点O满足，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算可求. 【详解】 ， 故， 故选：A. 7. 如图，高为的圆锥形容器里装了一定量的水，下列容器内水的体积最接近容器容积一半的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥的顶点到水面的距离为，利用圆锥的体积公式以及水的体积等于容器容积的一半的条件即可求得，则答案可求. 【详解】设圆锥的顶点到水面的距离为，圆锥的底面半径为，则水面半径为． 当水的体积等于容器容积的一半时，有，整理得． 因为，，，，则D选项更接近． 故选：D． 8. 如果复数z满足，那么的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用复数模的几何意义求出z的轨迹．然后画图求解即可． 【详解】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，， 因为，， 所以复数z对应的点Z的集合线段，如图所示， 所以求的最小值的问题转化为：动点Z在线段上移动，求的最小值． 因此作于，则与的距离即为所求的最小值，， 故的最小值是1． 故选：A． 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A B，根据向量平行、垂直的坐标关系列方程即可求解；对于C，根据模的定义列方程可求解；对于D，根据数量积的坐标运算求解即可. 【详解】对于A，若，则，解得，故A错误； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，若，则，解得，故C错误； 对于D，若，则，所以，故D正确. 故选：BD. 10. 已知圆锥的顶点为，为底面直径，是面积为1的直角三角形，则（ ） A. 该圆锥的母线长为 B. 该圆锥的体积为 C. 该圆锥的侧面积为 D. 该圆锥的侧面展开图的圆心角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据圆锥轴截面的形状以及面积可得A正确，求出母线长以及底面半径可计算出B正确，C错误，由侧面展开图计算即可求出D正确. 【详解】设该圆锥的母线长为，如下图所示： 因为轴截面是面积为1的直角三角形，即为直角； 所以，解得，A正确； 设该圆锥的底面圆心为，在中，，所以， 则圆锥的高，所以该圆锥的体积， 侧面积为，B正确、C错误； 设该圆锥的侧面展开图的圆心角为，则， 所以，D正确． 故选：ABD． 11. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论证确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是直角三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦定理判断A；利用正弦定理边化角结合两角差的余弦公式判断B；根据数量积的定义判断C；结合图形得到三角形中的不等关系化简判断D. 【详解】对于A，在中，，则，由正弦定理得，A正确； 对于B，，则， 在中，，则， 即，则，，即是直角三角形，B正确； 对于C，由，得，即，而为内角， 因此为钝角，即是钝角三角形，C错误； 对于D，，同理， 则，即， 而，因此，即，D正确. 故选：ABD 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数是纯虚数（为虚数单位），则实数的值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，化简复数为，结合复数是纯虚数，得到，即可求解. 【详解】由复数， 因为复数是纯虚数，所以， 解得，经检验符合题意，. 故答案为：. 13. 在中，内角所对的边分别为，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，计算可得，可求. 【详解】因为，所以由正弦定理可得． 又，所以，故．又因为，所以． 故答案为：. 14. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示.若此正八面体的棱长为4，则它的内切球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正八面体的特征可知内切球的球心为，进而根据等体积法即可求解半径. 【详解】设正八面体内切球半径R，给正八面体标出字母如图所示， 连接和交于点， 因为，，所以，， 又和交于点，平面，所以平面ABCD， 所以为正八面体的中心，所以到八个面的距离相等， 距离即为内切球半径，设内切球与平面EBC切于点H， 所以平面，所以即为正八面体内切球半径，所以， 因为正八面体的棱长为4， 所以，，， 所以，， 因为，，所以， 即，所以正八面体内切球的表面积为：． 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设复数，． （1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求的共轭复数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知求得a，再由复数代数形式的乘除运算化简求得； （2）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由其实部为0且虚部不为0求得a值，进一步得到的共轭复数． 【小问1详解】 ，是实数， ，即， ． 【小问2详解】 ． 是纯虚数， ，即， ，的共轭复数为． 16. 已知与是平面内的两个向量，，，与的夹角为. （1）求； （2）求； （3）在平面直角坐标系下，若，求在方向上的投影向量的坐标. 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的定义计算即可； （2）根据向量数量积的运算律，直接平方计算即可； （3）根据投影向量的计算公式即可得到答案. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 因为， 所以； 【小问3详解】 在方向上的投影向量为. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，且三角形的面积为，求的周长l． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由所给等式结合余弦定理进行求解； （2）联立面积公式及可求出b、c，再利用余弦定理求出a，即可求得周长. 【详解】（1）∵，∴， 又，所以． （2），即， 由余弦定理得：．解得： 所以的周长. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，截去三棱锥. （1）求截去的三棱锥的表面积与剩余的几何体的体积； （2）在剩余的几何体中连接，求四棱锥的体积. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用三角形面积公式，求得各个面的面积，即可求解；根据题意，结合割补法，利用柱体和锥体的体积公式，即可求解； （2）根据（1）中结果结合结合割补法即可求解． 【小问1详解】 在正方体中，因为棱长为，可得， 所以截去的三棱锥的表面积为： . 在正方体中，因为棱长为，可得正方体的体积为， 又因为平面，即为三棱锥的高， 可得， 所以几何体的体积为. 【小问2详解】 由（1）可得：四棱锥的体积. 19. 在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且． （1）若边，，的平分线交边于点．求的长； （2）若为边上任意一点，，．求的最小值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据条件可得，，利用余弦定理得，根据等面积法可得结果. （2）利用向量的线性运算表示，进而得到，结合基本不等式中“1”的代换可得的最小值． 【小问1详解】 由得，，即， ∴，由得，， ∵，∴ 由余弦定理得，，即，得， ∵为的平分线，∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 由已知得，，即， ∴，故， ∵，∴， ∵，，∴，即， ∴，当且仅当时等号成立， ∴的最小值为． 【点睛】关键点点睛：解决第（2）的关键是利用向量的数量积运算得到，利用“1”的代换结合基本不等式可求最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期期中考试 高一数学试卷 试时间：120分钟 满分：150分 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 两个单位向量一定相等 B. 两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同 C. 共线的单位向量必相等 D. 若与不共线，则与都是非零向量 2. 复数的虚部为（ ） A. B. 4 C. D. 4i 3. 在中，已知角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知三点，则等于（ ） A. B. C. D. 1 5. 如图，测量河对岸的塔高AB时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（ ） A. B. C. D. 6. 在△ABC中，边BC上的中线为AD，点O满足，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，高为的圆锥形容器里装了一定量的水，下列容器内水的体积最接近容器容积一半的是（ ） A. B. C. D. 8. 如果复数z满足，那么的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知圆锥的顶点为，为底面直径，是面积为1的直角三角形，则（ ） A. 该圆锥的母线长为 B. 该圆锥的体积为 C. 该圆锥的侧面积为 D. 该圆锥的侧面展开图的圆心角为 11. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论证确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是直角三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数是纯虚数（为虚数单位），则实数的值为______. 13. 在中，内角所对的边分别为，，则______． 14. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示.若此正八面体的棱长为4，则它的内切球的表面积为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设复数，． （1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求的共轭复数． 16. 已知与是平面内的两个向量，，，与的夹角为. （1）求； （2）求； （3）在平面直角坐标系下，若，求在方向上的投影向量的坐标. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，且三角形的面积为，求的周长l． 18. 如图，在棱长为2的正方体中，截去三棱锥. （1）求截去的三棱锥的表面积与剩余的几何体的体积； （2）在剩余的几何体中连接，求四棱锥的体积. 19. 在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且． （1）若边，，的平分线交边于点．求的长； （2）若为边上任意一点，，．求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $