专题04 等腰三角形（期末复习知识清单，8常考题型7易错归因4方法技巧）七年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题04 等腰三角形 18.1 等腰三角形的概念与性质 1. 定义：有两边相等的三角形叫等腰三角形；相等的两条边叫做腰，第三条边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 2. 性质1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。 几何语言：在△ABC中，∵ AB=AC，∴ ∠B=∠C。 3. 性质2（三线合一）：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（仅限等腰三角形，普通三角形不成立） 几何语言：在△ABC中，AB=AC，若AD平分∠BAC，则 AD⊥BC，BD=CD； 若AD⊥BC，则AD平分∠BAC，BD=CD； 若BD=CD，则AD⊥BC，AD平分∠BAC。 4. 对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线。 18.2 等腰三角形的判定 1. 定义法判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 2. 定理判定（等角对等边）：有两个角相等的三角形，这两个角所对的边相等，三角形为等腰三角形。 几何语言：在△ABC中，∵ ∠B=∠C，∴ AB=AC。 18.3 等边三角形（特殊等腰三角形） 1. 定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，是特殊的等腰三角形。 2. 性质：三条边全部相等；三个内角都相等，且均为60°；有3条对称轴。 3. 判定方法： 三边对应相等的三角形是等边三角形； 三个内角都相等的三角形是等边三角形； 有一个内角是$60^\circ$的等腰三角形是等边三角形。 18.4 线段垂直平分线（本章关联核心考点） 1. 性质定理：线段垂直平分线上的任意一点，到线段两个端点的距离相等。 2. 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 题型一：等腰三角形边长、周长计算（必考分类讨论） 例1．（24-25七年级下·上海松江·阶段检测）等腰三角形的两条边分别为3和7，则这个三角形的周长是（   ） A．13 B．17 C．20 D．13或17 例2．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）我们知道三角形具有稳定性，但四边形却是不稳定的．已知四边形的边长如图所示．当为等腰三角形时，对角线的长为（　　） A．4或6 B．5 C．4 D．6 例3．（24-25七年级下·上海闵行·期中）已知是等腰三角形，若，那么的周长是______． 变式1．（23-24七年级下·上海青浦·期末）如果等腰三角形一边长为5，另一边长为10，那么它的周长是（    ） A．26 B．25 C．20 D．20或25 变式2．（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知一个等腰三角形的两边长分别为，，其中，满足，那么这个等腰三角形的周长是______． 变式3．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如果等腰三角形的周长等于16厘米，一条边长等于6厘米，那么这个等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值等于______． 变式4．（24-25七年级下·上海闵行·阶段检测）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成了和两部分，则这个等腰三角形的底边长为________． 题型二：等腰三角形角度计算（分类讨论+内角和） 例4．（24-25七年级下·上海·阶段检测）在中，，的垂直平分线交于点D，交直线于点E，，那么等于_______． 变式1．（25-26七年级下·上海·阶段检测）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的顶角为_____． 变式2．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段检测）在中，，边的垂直平分线与边交于点D，与边所在直线分别交于E、，若，则______． 变式3．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，这两个相等的角是底角，另外一个角是顶角．如果一个等腰三角形，其一腰上的高与另一腰的夹角是度，那么这个等腰三角形的顶角等于______度． 题型三：三线合一的基础应用 例5．（24-25七年级下·上海普陀·阶段检测）真如寺作为江南著名的佛教寺院，寺内大雄宝殿为元代建筑，承载着深厚的历史与艺术价值．大殿采用抬梁式结构，粗壮的梁枋构件与古朴的斗拱形制，尽显元代建筑风格，稳固的建筑结构历经岁月修缮，依然保留着原有的韵味，是上海地区现存最古老的木结构建筑之一．其顶端飞檐造型优美，可抽象为如图的等腰三角形，，是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（   ）    A． B． C． D． 例6．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知中，，是的平分线，如果的周长为，的周长为，那么的长是______．    变式1．（24-25七年级下·上海·阶段检测）如图，是等腰三角形的顶角平分线．下列叙述中，不正确的是（   ） A．把分成了两个直角三角形 B．一定大于 C．垂直平分线段 D．平分的面积 变式2．（23-24七年级下·上海闵行·月考）如图，因为______，所以（等腰三角形底边上的高平分顶角）．    变式3．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，点在上，，平分，交于点，点是线段的中点，连接与相等吗？请说明理由． 解：结论：__________ 理由： ∵平分 ∴________ ∵________+________．（________） 又∵， ∴__________+__________ ∴__________ 请完成后面的说理过程： 题型四：等腰三角形的判定证明（等角对等边） 例7．（2026七年级下·上海·专题练习）如图，在中，，D是上一点，且，过B作，分别交于点E，交于点F，如果，请猜想和的数量关系，并证明你的猜想． 变式1．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图1，在中，点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处（点在直线上方），连接. (1)在不添加辅助线的前提下，请找出图1中的一个等腰三角形：________； (2)求证：； (3)如图2，过点作的平行线，交的延长线于点.求证：； (4)连接，当时，如果是等腰三角形，那么的度数为________. 变式2．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，在中，点在线段上，点在线段延长线上，且，，求证：． 解：， （    ）， ， ． 即． （    ）， 在和中， ∵， （SSS）． （    ）， ， （    ）． 变式3．（22-23七年级下·上海·期末）如图，已知点分别在的边上，且，线段与的延长线交于点，的角平分线交于，的角平分线交的延长线于点．那么与的位置关系如何？为什么？ 答：． 证明：延长交于点． 分别平分和（已知） ________，______（角平分线的定义） __________，______ ____（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 又（已知） ______（等式性质） （请自行完成后续的说理过程） 题型五：等边三角形性质与判定综合 例8．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，已知在等边中，，点E、F分别在边、上，将沿翻折，点A正好落在边上的点D处，如果的周长比的周长小，那么________． 变式1．（2026七年级下·上海·专题练习）如图，已知：和都是等边三角形，点在边上，点是边上一点，且．求证：． 变式2．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，等边三角形的边长为6，、分别为、边上的点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则___________． 变式3．（23-24七年级下·上海·阶段检测）阅读并填空： 如图，是等边三角形，是边上的高，延长到点E，使得，那么，为什么？ 解：因为（已知） 所以 又因为是边上的高（已知） 所以（         ） 由 得_______（         ） 因为_______（         ） 所以 得 得 所以（         ） 题型六：垂直平分线与等腰三角形综合（压轴基础） 例9．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）已知：如图，已知中，．求证：． 例10．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段检测）如图，在中，，垂直平分交于点，点在线段上，点在线段上，连接、，若，，则的周长为______． 变式1．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段检测）如图，在等边三角形中，，垂足为点D，点E在线段上，，则______． 变式2．（2026七年级下·上海·专题练习）如图在四边形中，．取中点P，连接，，若． (1)求证：； (2)若，四边形面积为78，，求的长． 变式3．（24-25七年级下·上海松江·期末）已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． (1)如图（1），如果，证明：； (2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：． 题型七：与等腰三角形有关的折叠问题 例11．（24-25七年级下·上海青浦·期末）在中，，点是边上一点，且（如图）．将折叠，使点与点重合，折痕分别交边于点，点是线段上一点，连接，那么周长的最小值为___________． 例12．（2026七年级下·上海·专题练习）如图，中，，，垂直平分线段，平分，将沿（点在上，点在上）折叠，点与点恰好重合，则________． 变式1．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图，将等边三角形分割成4个小等边三角形，沿着等边三角形的任意一条对称轴对折，互相重合的两个小等边三角形中的单项式的值都相等，那么__________． 变式2．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图1，在中，点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处（点在直线上方），连接. (1)在不添加辅助线的前提下，请找出图1中的一个等腰三角形：________； (2)求证：； (3)如图2，过点作的平行线，交的延长线于点.求证：； (4)连接，当时，如果是等腰三角形，那么的度数为________. 变式3．（23-24七年级下·上海长宁·期末）在锐角三角形中，点D、E分别在边上，连接，将沿翻折后，点A落在边上的点P，当和都为等腰三角形时，我们把线段称为的完美翻折线，P为完美点． (1)如图1，在等边三角形中，边的中点P是它的完美点，已知其完美翻折线的长为4，那么等边三角形的周长＝ ． (2)如图2，已知为的完美翻折线，P为完美点，当恰为等腰三角形的顶角时，求此时的度数． (3)如图3，已知为的完美翻折线，P为完美点，当恰为等腰三角形的顶角时，请判断点P到边的距离是否相等？并说明你的判断理由． 题型八：综合作图题 例13．（24-25七年级下·上海·期末）用尺规作图作直角三角形且，边的长为2倍的单位长度，边的长为4倍的单位长度． 例14．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，已知线段、．求作：，使，且，高． 变式1．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，在中，的垂直平分线与交于点． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点要求：不写作法，保留作图痕迹)； (2)连接．如果，与的度数之比为，那么的度数是多少？ 变式2．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）有一个等腰三角形被墨汁污染了，现在只有它的底边和还清楚可见（如图所示）．    (1)请用直尺与圆规画出一个与原来形状一样的等腰三角形；（不写画法，保留画图痕迹，写出结论） (2)在（）的条件下，如果射线与边相交边于点，且射线恰好将分割成两个等腰三角形，请画出射线，并求的度数． 变式3．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，，D是边上的一点．    (1)在边上作点E，使．（保留作图痕迹，不写作法） (2)过点D作的平行线．（保留作图痕迹，不写作法） 变式4．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，在中，平分，交于点． (1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点，，连接，；（不写作法，保留作图痕迹，写出结论） (2)小川判断，以下是他的证明思路，请帮他完善． 证明：平分， ①___________， 是的垂直平分线， ，②___________， ，③___________． ，④___________， ． 易错点1：求等腰三角形边长、周长，遗漏分类讨论，忽略三边关系验证 核心错因：已知等腰三角形两条边长，直接默认腰和底，不分类讨论；算出边长后，不验证“三角形两边之和大于第三边”，保留无效解。 经典例题：等腰三角形两边长为3和6，求该三角形的周长。 常见错解：分两种情况计算，直接得出周长12或15。 正确解析： ① 假设腰长为3，底边长为6，三边长为3、3、6。 ∵ 3+3=6，不满足三角形“两边之和大于第三边”的基本性质，无法构成三角形，故此情况舍去。 ② 假设腰长为6，底边长为3，三边长为6、6、3。 ∵ 6+3＞6，符合三边关系，可构成三角形。 正确答案：15 易错点2：求等腰三角形角度，不区分顶角、底角，漏解 核心错因：已知等腰三角形一个内角度数，默认该角为底角，忽略该角可能是顶角的情况；不清楚等腰三角形底角一定是锐角，钝角只能是顶角。 经典例题：等腰△ABC中，一个内角为70°，求另外两个内角的度数。 常见错解：默认70°为底角，计算得另外两个角为55°、55°。 正确解析： ① 当70°为顶角时，底角度数=(180°−70°)÷2=55°，另外两角为55°、55°。 ② 当70°为底角时，顶角度数=180°−70°×2=40°，另外两角为70°、40°。 正确答案：55°、55° 或 70°、40° 易错点3：滥用三线合一定理，无等腰前提随意使用 核心错因：误以为任意三角形的角平分线、中线、高相互重合；不清楚三线合一仅适用于等腰三角形，且特指顶角平分线、底边上的中线、底边上的高。 经典例题：已知△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，求证：AD⊥BC。 常见错证：∵AD平分∠BAC，∴AD⊥BC（直接套用三线合一，缺少前提条件）。 正确证明： ∵AB=AC（已知，△ABC为等腰三角形），AD平分∠BAC（已知） ∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一：顶角平分线与底边上的高重合） 易错点4：混淆等腰三角形性质与判定，乱用定理前提 核心错因：分不清“等边对等角（性质：由边相等推角相等）”和“等角对等边（判定：由角相等推边相等）”；非等腰三角形随意使用等腰三角形性质。 经典例题：判断正误 1. 在△ABC中，∵AB=BC，∴∠A=∠C（） 2. 在△ABC中，∵∠A=∠B，∴AB=BC（） 正确解析： 1. √ 依据：等边对等角，等腰三角形性质，两边相等则对应底角相等。 2. × 依据：等角对等边，∠A=∠B对应对边为BC、AC，应推出BC=AC，而非AB=BC。 易错点5：忽略等腰三角形腰上的高有内外两种位置，漏顶角解 核心错因：默认三角形为锐角三角形，高全部在三角形内部，忽略钝角等腰三角形的腰上的高在三角形外部，导致遗漏顶角度数。 经典例题：等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的高与另一腰的夹角为40°，求该三角形的顶角度数。 常见错解：仅计算锐角情况，得出顶角为50°。 正确解析： ① 当△ABC为锐角等腰三角形时，高在三角形内部，顶角=90°−40°=50°； ② 当△ABC为钝角等腰三角形时，高在三角形外部，顶角外角为50°，顶角=180°−50°=130°。 正确答案：50° 或 130° 易错点6：概念误解，认为等边三角形不是等腰三角形 核心错因：片面认为等腰三角形只有且仅有两条边相等，忽略定义：有两条及以上边相等的三角形都是等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 经典例题：判断正误：等边三角形不是等腰三角形（） 正确答案：× 解析：等边三角形三边全部相等，满足等腰三角形的定义，属于特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质。 易错点7：中线分周长问题，未分类讨论，混淆周长分段 核心错因：等腰三角形腰上的中线将周长分为两部分，未区分“腰+半腰”和“底+半腰”两种组合，容易漏解，且忘记验证三边关系。 经典例题：等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将三角形周长分为15和12两部分，求三角形的底边长。 正确解析： 设腰长AB=AC=2x，底边长BC=y，∵BD是中线，∴AD=DC=x。周长分为AB+AD和BC+CD两部分。 ① 若2x+x=15，x+y=12，解得x=5，y=7。 三边长为10、10、7，满足三边关系，成立。 ② 若2x+x=12，x+y=15，解得x=4，y=11。 三边长为8、8、11，满足三边关系，成立。 正确答案：7 或 11 1. 遇等腰，作底边高（三线合一首选） 适用场景：题干给出等腰三角形，需要证垂直、平分线段、平分角、求边长和角度。 做法：过等腰三角形顶角的顶点，向底边作垂线。 所得结论：一次性得到垂直关系、底边被平分、顶角被平分，简化证明和计算步骤。 配套例题1：已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AD⊥BC于点D，求∠BAD和∠B的度数。 解析解答：∵AB=AC，AD⊥BC，根据三线合一性质，AD平分∠BAC。∴∠BAD=∠BAC÷2=100°÷2=50°。又∵AB=AC，△ABC为等腰三角形，∠B=∠C=(180°−100°)÷2=40°。 2. 遇中点/中线，倍长中线（构造全等三角形） 适用场景：题干出现腰上中点、底边中线，线段关系难以直接证明。 做法：延长中线至一点，使延长部分与原中线长度相等，连接端点构造全等三角形。 所得结论：转移相等线段和相等角度，将分散的边角条件整合，快速解题。 配套例题2：已知等腰△ABC中，AB=AC，D是AB边上的中点，延长CD至点E，使DE=CD，连接AE。求证：AE∥BC。 解析解答：在△ADE和△BDC中，AD=BD（D为中点），∠ADE=∠BDC（对顶角相等），DE=CD，∴△ADE≌△BDC（SAS）。可得∠EAD=∠B，根据内错角相等，两直线平行，即AE∥BC。 3. 遇角平分线+平行线，构造等腰三角形 适用场景：题干同时出现角平分线、平行线条件。 核心规律：角平分线+平行线→内错角相等，推导等角对等边，直接构造出等腰三角形，是考试高频隐含考点。 配套例题3：已知AD平分∠BAC，且DE∥AC，求证：△ADE是等腰三角形。 解析解答：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD。∵DE∥AC，∴∠EDA=∠CAD（两直线平行，内错角相等）。∴∠EAD=∠EDA，根据等角对等边，AE=DE，即△ADE是等腰三角形。 4. 线段和差问题，用截长补短法 适用场景：求证一条线段等于另外两条线段的和或差。 做法：①截长：在长线段上截取一段等于其中一条短线段，证明剩余部分等于另一条短线段；②补短：延长短线段，使其长度等于长线段，结合等腰、全等性质证明。 配套例题4：已知△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC，求证：BC=AB+CD。 解析解答：采用截长法，在BC上截取BE=AB，连接DE。∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD。可证△ABD≌△EBD（SAS），∴∠BED=∠A=108°，∠CED=72°。由AB=AC得∠C=36°，可推出∠CDE=72°，∴∠CED=∠CDE，CD=CE。∵BC=BE+CE，BE=AB，CE=CD，∴BC=AB+CD。 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 等腰三角形 18.1 等腰三角形的概念与性质 1. 定义：有两边相等的三角形叫等腰三角形；相等的两条边叫做腰，第三条边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 2. 性质1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。 几何语言：在△ABC中，∵ AB=AC，∴ ∠B=∠C。 3. 性质2（三线合一）：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（仅限等腰三角形，普通三角形不成立） 几何语言：在△ABC中，AB=AC，若AD平分∠BAC，则 AD⊥BC，BD=CD； 若AD⊥BC，则AD平分∠BAC，BD=CD； 若BD=CD，则AD⊥BC，AD平分∠BAC。 4. 对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线。 18.2 等腰三角形的判定 1. 定义法判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 2. 定理判定（等角对等边）：有两个角相等的三角形，这两个角所对的边相等，三角形为等腰三角形。 几何语言：在△ABC中，∵ ∠B=∠C，∴ AB=AC。 18.3 等边三角形（特殊等腰三角形） 1. 定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，是特殊的等腰三角形。 2. 性质：三条边全部相等；三个内角都相等，且均为60°；有3条对称轴。 3. 判定方法： 三边对应相等的三角形是等边三角形； 三个内角都相等的三角形是等边三角形； 有一个内角是$60^\circ$的等腰三角形是等边三角形。 18.4 线段垂直平分线（本章关联核心考点） 1. 性质定理：线段垂直平分线上的任意一点，到线段两个端点的距离相等。 2. 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 题型一：等腰三角形边长、周长计算（必考分类讨论） 例1．（24-25七年级下·上海松江·阶段检测）等腰三角形的两条边分别为3和7，则这个三角形的周长是（   ） A．13 B．17 C．20 D．13或17 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，分两种情况讨论：当3是腰时或当7是腰时．根据三角形的三边关系，知3，3，7不能组成三角形，应舍去． 【详解】解：当3是腰时，则，不能组成三角形，应舍去； 当7是腰时，则三角形的周长是． 故选：B． 例2．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）我们知道三角形具有稳定性，但四边形却是不稳定的．已知四边形的边长如图所示．当为等腰三角形时，对角线的长为（　　） A．4或6 B．5 C．4 D．6 【答案】C 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，等腰三角形的定义；根据等腰三角形的定义得到或，再结合三角形的三边关系计算结果即可． 【详解】解：当为等腰三角形时， ∴或； 当时 满足， 在满足； 当时， 在中，，不满足条件，舍掉； ∴； 故选：C． 例3．（24-25七年级下·上海闵行·期中）已知是等腰三角形，若，那么的周长是______． 【答案】11或13 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分为腰和为底两种情况，确定对应情形下三角形三边的长，再根据构成三角形的条件求解即可． 【详解】解：当为腰时，则该三角形的三边长分别为， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该三角形的周长为； 当为底时，则该三角形的三边长分别为， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该三角形的周长为； 综上所述，的周长是或， 故答案为：11或13． 变式1．（23-24七年级下·上海青浦·期末）如果等腰三角形一边长为5，另一边长为10，那么它的周长是（    ） A．26 B．25 C．20 D．20或25 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系定理，掌握等腰三角形的性质、三角形三边关系定理、以及运用分类讨论思想是解题的关键．由于等腰三角形的底边与腰不能确定，故应分5为底边与10为底边两种情况进行讨论． 【详解】解：当腰长为5，底长为10时，，不能组成三角形， 当底边长为5时，腰长为10，，能组成三角形， ∴这个等腰三角形的周长为：． 故选：B． 变式2．（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知一个等腰三角形的两边长分别为，，其中，满足，那么这个等腰三角形的周长是______． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、等腰三角形的定义、运用完全平方公式进行运算、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查了非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形三边的关系，正确求出，的值是解题的关键． 先根据非负数的性质求出，的值，再根据三角形三边的关系结合等腰三角形的定义分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：， ， ，， ，， 分两种情况： 当等腰三角形的腰长为，底边长为时， 这个等腰三角形的周长； 当等腰三角形的腰长为，底边长为时， ， 不能组成三角形； 综上所述：这个等腰三角形的周长为； 故答案为：． 变式3．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如果等腰三角形的周长等于16厘米，一条边长等于6厘米，那么这个等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值等于______． 【答案】或 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 依题意，根据等腰三角形的性质，已知一条边长为6厘米，不明确具体名称，故可分情况讨论腰长的值，还要依据三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：当腰为6厘米时，三边为，能构成三角形； 当底为6厘米时，腰为5，5，能构成三角形， 所以这个等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值等于或． 故答案为：或． 变式4．（24-25七年级下·上海闵行·阶段检测）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成了和两部分，则这个等腰三角形的底边长为________． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形定义和三角形中线的特点，理解三角形一边中线将三角形周长分得的两部分之差就是三角形剩余相邻两边之差，并注意分类讨论和将求得的边长结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可解题． 【详解】解：等腰三角形一腰上的中线，将这个等腰三角形的周长分成和两部分． 又， 等腰三角形的腰与底边相差， 下面分两类讨论： ①腰比底边大， 设腰长为，则底边长为． 由题意得，解得， 当时，等腰三角形腰长，底边长为，三角形三边分别为，满足三角形三边关系，可以构成三角形．    ②底边比腰大， 若腰长为，则底边长为． 由题意得，解得， 当时，等腰三角形腰长，底边长为，三角形三边分别为，满足三角形三边关系，能构成三角形． 综上所述，这个等腰三角形的底边长为或． 故答案为：或． 题型二：等腰三角形角度计算（分类讨论+内角和） 例4．（24-25七年级下·上海·阶段检测）在中，，的垂直平分线交于点D，交直线于点E，，那么等于_______． 【答案】或 【分析】此题主要考查线段的垂直平分线及等腰三角形的判定和性质；线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．分两种情况：为锐角，为钝角，根据线段垂直平分线的性质可求出，然后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：分以下两种情况： 如图1，为锐角， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（此时点E和点C重合）； 如图2，为钝角， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：或． 变式1．（25-26七年级下·上海·阶段检测）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的顶角为_____． 【答案】 或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、三角形的外角的定义及性质 【分析】需要对等腰三角形分类讨论，分为锐角等腰三角形与钝角等腰三角形两种情况，结合图形即可求解． 【详解】解: ①当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部， 由题意得，， ∴； ②当等腰三角形是钝角三角形时,腰上的高在三角形外部， 此时， ∴， 所以它的顶角为或． 变式2．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段检测）在中，，边的垂直平分线与边交于点D，与边所在直线分别交于E、，若，则______． 【答案】50或140 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理和外角的性质，分类思想的运用是解题的关键． 分两种情况，根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图1， ，垂直平分， ， ， ， ， ； 如图2， ，垂直平分， ， ， ， ， ， 当垂直平分线与线段交于点， ，垂直平分， ， ， ， 中不符合三角形的内角和定理，不符合题意， ∴当垂直平分线与线段交于点，此种情况不存在， 综上，或。 故答案为：50或． 变式3．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，这两个相等的角是底角，另外一个角是顶角．如果一个等腰三角形，其一腰上的高与另一腰的夹角是度，那么这个等腰三角形的顶角等于______度． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，关键是分两种情况讨论． 本题需要分两种情况，并画图分析，等腰三角形的高可能在三角形的内部或外部，然后进行计算，即可求解． 【详解】解：当等腰三角形的高在三角形的内部时， 如图：，是的高，， ， ∵是的高， ∴， ； 当等腰三角形的高在三角形的外部时， 如图：，是△ABC的高，， ， ∵是的高， ∴， ∴， 综上所述，这个等腰三角形的顶角等于或． 故答案为：或． 分两种情况，等腰三角形的高可能在三角形的内部或外部，即可求解． 本题考查等腰三角形的性质，关键是分两种情况讨论． 题型三：三线合一的基础应用 例5．（24-25七年级下·上海普陀·阶段检测）真如寺作为江南著名的佛教寺院，寺内大雄宝殿为元代建筑，承载着深厚的历史与艺术价值．大殿采用抬梁式结构，粗壮的梁枋构件与古朴的斗拱形制，尽显元代建筑风格，稳固的建筑结构历经岁月修缮，依然保留着原有的韵味，是上海地区现存最古老的木结构建筑之一．其顶端飞檐造型优美，可抽象为如图的等腰三角形，，是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三线合一 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一“的性质是解题的关键． 根据等腰三角形“三线合一”的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即是的高线， ∵是等腰三角形，， ∴是的角平分线，故A选项不符合题意； 若，不能说明是的角平分线，故B选项符合题意； ∵是等腰三角形，， ∴是的角平分线，故C选项不符合题意； ， ∴， ∴是的角平分线，故D选项不符合题意； 故选：B． 例6．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知中，，是的平分线，如果的周长为，的周长为，那么的长是______．    【答案】 【知识点】三线合一 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的周长即可得到结论． 【详解】解：，是的平分线， ， 的周长为， ， 的周长为， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 变式1．（24-25七年级下·上海·阶段检测）如图，是等腰三角形的顶角平分线．下列叙述中，不正确的是（   ） A．把分成了两个直角三角形 B．一定大于 C．垂直平分线段 D．平分的面积 【答案】B 【知识点】三线合一 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一进行分析即可得到答案． 【详解】解：∵是等腰三角形的顶角平分线． ∴，垂直平分线段，， ∴把分成了两个直角三角形，平分的面积， 故选项A、C、D叙述正确，不符合题意；不一定大于，故B选项叙述不正确，符合题意； 故选：B 变式2．（23-24七年级下·上海闵行·月考）如图，因为______，所以（等腰三角形底边上的高平分顶角）．    【答案】， 【知识点】三线合一 【分析】根据等腰三角形的三线合一性即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为，； 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性，掌握等腰三角形的三线合一性是解题的关键． 变式3．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，点在上，，平分，交于点，点是线段的中点，连接与相等吗？请说明理由． 解：结论：__________ 理由： ∵平分 ∴________ ∵________+________．（________） 又∵， ∴__________+__________ ∴__________ 请完成后面的说理过程： 【答案】见解析 【知识点】三线合一、等腰三角形的性质和判定、角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形的外角，正确得出是解题关键，利用角的平分线的意义，结合三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质分析得出答案． 【详解】解：结论： 理由： ∵平分（已知） ∴（角平分线的意义） ∵．（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和） 又∵， ∴， ∴（等量代换）， （等角对等边）， 点F是线段的中点 ∴（线段中点的意义）， （等腰三角形的三线合一）． 题型四：等腰三角形的判定证明（等角对等边） 例7．（2026七年级下·上海·专题练习）如图，在中，，D是上一点，且，过B作，分别交于点E，交于点F，如果，请猜想和的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】，证明见详解 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】由与得和可得，由得，过D作于G，根据已知条件可证明．再证明，即可得解． 【详解】解：，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 过D作于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 变式1．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图1，在中，点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处（点在直线上方），连接. (1)在不添加辅助线的前提下，请找出图1中的一个等腰三角形：________； (2)求证：； (3)如图2，过点作的平行线，交的延长线于点.求证：； (4)连接，当时，如果是等腰三角形，那么的度数为________. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 (4)或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、折叠问题、根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，折叠的性质，注意分情况讨论． （1）根据中点定义得，再由折叠的性质得，可得答案； （2）根据折叠的性质得，再根据等边对等角得，然后根据平角定义和三角形内角和定义得，最后根据“内错角相等两直线平行”得出答案； （3）根据平行线的性质得，，进而得出，由折叠的性质得，可得，最后根据“等角对等边”得出答案； （4）先根据等腰三角形的对称性可知，进而说明，再分三种情况讨论：当时，当时，当时，结合等腰三角形的性质可得答案． 【详解】（1）解：． ∵点D是的中点， ∴. 根据折叠的性质得， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：； （2）证明：根据折叠的性质得， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）证明：∵， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 根据折叠的性质得， ∴， ∴； （4）解：如图，连接，交于点， 由，根据等腰三角形的对称性可知是的高线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， 此时， 又∵，，， ∴，， ∴点、、重叠， ∵点在直线上方， ∴时，不符合题意． 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 变式2．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，在中，点在线段上，点在线段延长线上，且，，求证：． 解：， （    ）， ， ． 即． （    ）， 在和中， ∵， （SSS）． （    ）， ， （    ）． 【答案】等边对等角，等角对等边，全等三角形的对应角相等，等腰三角形三线合一 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边对等角、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】根据等腰三角形的判定和性质即可解答． 【详解】解：， （等边对等角）， ， ． 即． （等角对等边）， 在和中， ∵， （SSS）． （全等三角形的对应角相等）， ， （等腰三角形三线合一）． 变式3．（22-23七年级下·上海·期末）如图，已知点分别在的边上，且，线段与的延长线交于点，的角平分线交于，的角平分线交的延长线于点．那么与的位置关系如何？为什么？ 答：． 证明：延长交于点． 分别平分和（已知） ________，______（角平分线的定义） __________，______ ____（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 又（已知） ______（等式性质） （请自行完成后续的说理过程） 【答案】见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形的外角的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．根据角平分线的定义得到，，根据三角形的外角的性质得到得到，根据等腰三角形的三线合一证明． 【详解】解：． 如图，延长交于点． 、分别平分和（已知） ，（角平分线定义） ，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 又（已知） （等式性质） （等角对等边） （等腰三角形三线合一）． 题型五：等边三角形性质与判定综合 例8．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，已知在等边中，，点E、F分别在边、上，将沿翻折，点A正好落在边上的点D处，如果的周长比的周长小，那么________． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠性质和等边三角形性质．根据折叠性质可知：，，由等边性质可知，， 因为的周长比的周长小1cm，所以，结合即可求解． 【详解】解：由折叠性质可知：，， ∴的周长， 的周长， ∵在等边中，， ∴，， ∴，． 故答案为： 变式1．（2026七年级下·上海·专题练习）如图，已知：和都是等边三角形，点在边上，点是边上一点，且．求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．根据等边三角形的性质，可得，，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，根据等边三角形的性质，三角形的外角，可得 ，等量代换，得到，根据平行线的判定，即可． 【详解】解：证明如下： ∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式2．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，等边三角形的边长为6，、分别为、边上的点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则___________． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质. 设交于，可得为等边三角形，，即得，，又由旋转得，，即可得到，得到为等边三角形，进而可得，即可得到． 【详解】解：设交于，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形，， ∴，， ∵绕点D逆时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式3．（23-24七年级下·上海·阶段检测）阅读并填空： 如图，是等边三角形，是边上的高，延长到点E，使得，那么，为什么？ 解：因为（已知） 所以 又因为是边上的高（已知） 所以（         ） 由 得_______（         ） 因为_______（         ） 所以 得 得 所以（         ） 【答案】等腰三角形三线合一；；等边对等角；；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；等角对等边． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形三线合一，等腰三角形的性质与判定，外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由是等边三角形，是边上的高，利用等腰三角形三线合一，可以知道，由等边对等角，可以推出，结合外角的性质，可以证明，根据等角对等边，得证． 【详解】因为（已知） 所以 又因为是边上的高（已知） 所以（等腰三角形三线合一） 由 得（等边对等角） 因为（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和） 所以 得 得 所以（等角对等边） 故答案为：等腰三角形三线合一；；等边对等角；；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；等角对等边． 题型六：垂直平分线与等腰三角形综合（压轴基础） 例9．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）已知：如图，已知中，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的判定定理．先根据等腰三角形的性质得出，根据，证明，根据等腰三角形的判定得出，根据线段垂直平分线的判定得出垂直平分，即可得出答案． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点D在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴． 例10．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段检测）如图，在中，，垂直平分交于点，点在线段上，点在线段上，连接、，若，，则的周长为______． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质推出．由线段垂直平分线的性质推出，由等腰三角形的性质推出，由三角形的外角性质推出，得到，因此的周长． 【详解】解：垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 的周长 故答案为： 变式1．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段检测）如图，在等边三角形中，，垂足为点D，点E在线段上，，则______． 【答案】40 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质 【分析】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，关键是由等边三角形三角形的性质推出垂直平分． 由等边三角形的性质推出垂直平分，得到，推出，即可求出的度数． 【详解】解：是等边三角形，， ，， 垂直平分， ， ， ， 故答案为：． 变式2．（2026七年级下·上海·专题练习）如图在四边形中，．取中点P，连接，，若． (1)求证：； (2)若，四边形面积为78，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质 【分析】（1）延长交的延长线于E，根据可知，再根据点为的中点，可证得，结合全等三角形的性质可知，，再由是线段的垂直平分线，可得，再由线段的和差以及等量代换即可得证； （2）由（1），根据梯形面积公式，列方程，求的长． 【详解】（1）证明：延长交的延长线于E， ∵， ∴， ∵取中点P， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即； （2）解：由（1）知，， ∵，， ∴四边形面积， ∴． 变式3．（24-25七年级下·上海松江·期末）已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． (1)如图（1），如果，证明：； (2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质等知识． （1）由线段垂直平分线的性质得，即可得出结论； （2）证明，得，，再证明是等边三角形，得到，然后证明，得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，P是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型七：与等腰三角形有关的折叠问题 例11．（24-25七年级下·上海青浦·期末）在中，，点是边上一点，且（如图）．将折叠，使点与点重合，折痕分别交边于点，点是线段上一点，连接，那么周长的最小值为___________． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、折叠问题 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，折叠的性质，垂直平分线的性质，先证明是等边三角形，根据垂直平分线的性质可得，在上时，取得最小值，进而根据三角形的周长公式计算即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴ ∵是折痕，点与点重合， ∴垂直平分， ∵点是线段上一点， ∴ ∴在上时，取得最小值， 即周长最小值为： 故答案为：． 例12．（2026七年级下·上海·专题练习）如图，中，，，垂直平分线段，平分，将沿（点在上，点在上）折叠，点与点恰好重合，则________． 【答案】 【分析】连接，先根据等腰三角形性质和三角形内角和求出、的度数，再结合角平分线、线段垂直平分线的性质，推导出、，进而求出的度数，最后利用折叠的性质得到，结合等腰三角形内角和求出的度数． 【详解】解：如图，连接、， ∵，， ∴ ∵平分， ∴，直线垂直平分， ∴， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴ ∵折叠，点与点重合， ∴， ∴， ∴ 变式1．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图，将等边三角形分割成4个小等边三角形，沿着等边三角形的任意一条对称轴对折，互相重合的两个小等边三角形中的单项式的值都相等，那么__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，代数式求值，等边三角形的性质，根据对称性得到，解方程组得到a，b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意可得，解得， ∴， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图1，在中，点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处（点在直线上方），连接. (1)在不添加辅助线的前提下，请找出图1中的一个等腰三角形：________； (2)求证：； (3)如图2，过点作的平行线，交的延长线于点.求证：； (4)连接，当时，如果是等腰三角形，那么的度数为________. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 (4)或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，折叠的性质，注意分情况讨论． （1）根据中点定义得，再由折叠的性质得，可得答案； （2）根据折叠的性质得，再根据等边对等角得，然后根据平角定义和三角形内角和定义得，最后根据“内错角相等两直线平行”得出答案； （3）根据平行线的性质得，，进而得出，由折叠的性质得，可得，最后根据“等角对等边”得出答案； （4）先根据等腰三角形的对称性可知，进而说明，再分三种情况讨论：当时，当时，当时，结合等腰三角形的性质可得答案． 【详解】（1）解：． ∵点D是的中点， ∴. 根据折叠的性质得， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：； （2）证明：根据折叠的性质得， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）证明：∵， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 根据折叠的性质得， ∴， ∴； （4）解：如图，连接，交于点， 由，根据等腰三角形的对称性可知是的高线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， 此时， 又∵，，， ∴，， ∴点、、重叠， ∵点在直线上方， ∴时，不符合题意． 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 变式3．（23-24七年级下·上海长宁·期末）在锐角三角形中，点D、E分别在边上，连接，将沿翻折后，点A落在边上的点P，当和都为等腰三角形时，我们把线段称为的完美翻折线，P为完美点． (1)如图1，在等边三角形中，边的中点P是它的完美点，已知其完美翻折线的长为4，那么等边三角形的周长＝ ． (2)如图2，已知为的完美翻折线，P为完美点，当恰为等腰三角形的顶角时，求此时的度数． (3)如图3，已知为的完美翻折线，P为完美点，当恰为等腰三角形的顶角时，请判断点P到边的距离是否相等？并说明你的判断理由． 【答案】(1)24 (2) (3)点P到边的距离相等，理由见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形的折叠问题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握相关内容，根据三角形的内角和定理和外角定理构造等量关系求解． （1）根据翻折的性质可得，根据等边三角形的性质可得，则，是等边三角形，得是等边三角形，进一步得出，从而可得答案； （2）连接，设，根据三角形的外角定理和等腰三角形的性质可得，，最后根据即可求解； （3）连接，过P作于点H，于点N，设，根据可得，则为的平分线，． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵P为的完美点， ∴，和是等腰三角形， ∵ ∴和是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴等边三角形的周长为， 故答案为：24． （2）连接，设， ∵为的完美翻折线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵和是等腰三角形，且都为顶角 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． （3）解：连接，过P作于点H，于点N， ∵为的完美翻折线， ∴，和是等腰三角形， 设， ∴， ∴， ∵为顶角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，为的平分线， ∴， 所以，点P到边的距离相等． 题型八：综合作图题 例13．（24-25七年级下·上海·期末）用尺规作图作直角三角形且，边的长为2倍的单位长度，边的长为4倍的单位长度． 【答案】见解析 【知识点】尺规作图——作三角形、作垂线(尺规作图)、作线段(尺规作图) 【分析】本题考查了尺规作图的基本技能，特别是利用垂直平分线和圆弧截取特定长度的方法构造直角三角形．解题的关键是通过作垂线确定直角，并利用圆规精确截取2单位和4单位长度，最终连接斜边完成三角形． 【详解】如图，任画一条直线，在线上取点B，以B为圆心画弧交直线于两点； 分别以为圆心，大于的等长半径画弧，交于点F； 连接，得直角（依据线段垂直平分线性质）． 在上，以B为圆心、固定长度1为半径，圆规依次截取4单位长度画弧交于C，则边的长为4倍的单位长度； 在直线上，以B为圆心、固定长度1为半径，圆规依次截取2单位长度画弧交于A，则边的长为2倍的单位长度： 最后用直尺连接两点． 则直角三角形就是所作的三角形． 例14．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，已知线段、．求作：，使，且，高． 【答案】见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、作等腰三角形(尺规作图)、作线段(尺规作图) 【分析】作线段，作线段的垂直平分线，交于点，在射线上截取线段，使得，连接、，即可得出结果． 【详解】解：作线段，作线段的垂直平分线，交于点，在射线上截取线段，使得，连接、，则即为所求 变式1．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，在中，的垂直平分线与交于点． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点要求：不写作法，保留作图痕迹)； (2)连接．如果，与的度数之比为，那么的度数是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】本题考查作垂直平分线、线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作线段的垂直平分线，交于点，则点即为所求． （2）由线段垂直平分线的性质可得，则．根据，可得，则，则可得． 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点， 则点即为所求． （2）的垂直平分线与交于点， ， ． ， ． 与的度数之比为：， ， ． 变式2．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）有一个等腰三角形被墨汁污染了，现在只有它的底边和还清楚可见（如图所示）．    (1)请用直尺与圆规画出一个与原来形状一样的等腰三角形；（不写画法，保留画图痕迹，写出结论） (2)在（）的条件下，如果射线与边相交边于点，且射线恰好将分割成两个等腰三角形，请画出射线，并求的度数． 【答案】(1)如解析图； (2)． 【知识点】等边对等角、作等腰三角形(尺规作图)、三角形内角和定理的应用 【分析】（）根据作角等于已知角的基本做法作图； （）根据等腰三角形的性质及三角形的内角和求解． 【详解】（1）如图，     即为所求； （2）∵，都是等腰三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了作角等于已知角的基本做法作图，掌握等腰三角形的性质及三角形的内角和定理是解题的关键． 变式3．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，，D是边上的一点．    (1)在边上作点E，使．（保留作图痕迹，不写作法） (2)过点D作的平行线．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、过直线外一点作已知直线的平行线 【分析】本题考查尺规作图 （1）作线段的垂直平分线交于点E，连接即可； （2）作即可. 【详解】（1）解：如图所示，点E为所求，    由作图得， ∴， ∴； （2）解：如图所示，      ∵ ∴ 变式4．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，在中，平分，交于点． (1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点，，连接，；（不写作法，保留作图痕迹，写出结论） (2)小川判断，以下是他的证明思路，请帮他完善． 证明：平分， ①___________， 是的垂直平分线， ，②___________， ，③___________． ，④___________， ． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、等边对等角 【分析】本题考查了作图−−基本作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角，掌握线段垂直平分线的作法是解题的关键． （1）根据作线段的垂直平分线的基本步骤作图； （2）由角平分线的定义得，由等腰三角形的性质得，，等量代换得，进而可证结论成立． 【详解】（1）如图，即为所求， （2）证明：∵平分， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， ， ， ∴，． 故答案为：，，，． 易错点1：求等腰三角形边长、周长，遗漏分类讨论，忽略三边关系验证 核心错因：已知等腰三角形两条边长，直接默认腰和底，不分类讨论；算出边长后，不验证“三角形两边之和大于第三边”，保留无效解。 经典例题：等腰三角形两边长为3和6，求该三角形的周长。 常见错解：分两种情况计算，直接得出周长12或15。 正确解析： ① 假设腰长为3，底边长为6，三边长为3、3、6。 ∵ 3+3=6，不满足三角形“两边之和大于第三边”的基本性质，无法构成三角形，故此情况舍去。 ② 假设腰长为6，底边长为3，三边长为6、6、3。 ∵ 6+3＞6，符合三边关系，可构成三角形。 正确答案：15 易错点2：求等腰三角形角度，不区分顶角、底角，漏解 核心错因：已知等腰三角形一个内角度数，默认该角为底角，忽略该角可能是顶角的情况；不清楚等腰三角形底角一定是锐角，钝角只能是顶角。 经典例题：等腰△ABC中，一个内角为70°，求另外两个内角的度数。 常见错解：默认70°为底角，计算得另外两个角为55°、55°。 正确解析： ① 当70°为顶角时，底角度数=(180°−70°)÷2=55°，另外两角为55°、55°。 ② 当70°为底角时，顶角度数=180°−70°×2=40°，另外两角为70°、40°。 正确答案：55°、55° 或 70°、40° 易错点3：滥用三线合一定理，无等腰前提随意使用 核心错因：误以为任意三角形的角平分线、中线、高相互重合；不清楚三线合一仅适用于等腰三角形，且特指顶角平分线、底边上的中线、底边上的高。 经典例题：已知△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，求证：AD⊥BC。 常见错证：∵AD平分∠BAC，∴AD⊥BC（直接套用三线合一，缺少前提条件）。 正确证明： ∵AB=AC（已知，△ABC为等腰三角形），AD平分∠BAC（已知） ∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一：顶角平分线与底边上的高重合） 易错点4：混淆等腰三角形性质与判定，乱用定理前提 核心错因：分不清“等边对等角（性质：由边相等推角相等）”和“等角对等边（判定：由角相等推边相等）”；非等腰三角形随意使用等腰三角形性质。 经典例题：判断正误 1. 在△ABC中，∵AB=BC，∴∠A=∠C（） 2. 在△ABC中，∵∠A=∠B，∴AB=BC（） 正确解析： 1. √ 依据：等边对等角，等腰三角形性质，两边相等则对应底角相等。 2. × 依据：等角对等边，∠A=∠B对应对边为BC、AC，应推出BC=AC，而非AB=BC。 易错点5：忽略等腰三角形腰上的高有内外两种位置，漏顶角解 核心错因：默认三角形为锐角三角形，高全部在三角形内部，忽略钝角等腰三角形的腰上的高在三角形外部，导致遗漏顶角度数。 经典例题：等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的高与另一腰的夹角为40°，求该三角形的顶角度数。 常见错解：仅计算锐角情况，得出顶角为50°。 正确解析： ① 当△ABC为锐角等腰三角形时，高在三角形内部，顶角=90°−40°=50°； ② 当△ABC为钝角等腰三角形时，高在三角形外部，顶角外角为50°，顶角=180°−50°=130°。 正确答案：50° 或 130° 易错点6：概念误解，认为等边三角形不是等腰三角形 核心错因：片面认为等腰三角形只有且仅有两条边相等，忽略定义：有两条及以上边相等的三角形都是等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 经典例题：判断正误：等边三角形不是等腰三角形（） 正确答案：× 解析：等边三角形三边全部相等，满足等腰三角形的定义，属于特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质。 易错点7：中线分周长问题，未分类讨论，混淆周长分段 核心错因：等腰三角形腰上的中线将周长分为两部分，未区分“腰+半腰”和“底+半腰”两种组合，容易漏解，且忘记验证三边关系。 经典例题：等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将三角形周长分为15和12两部分，求三角形的底边长。 正确解析： 设腰长AB=AC=2x，底边长BC=y，∵BD是中线，∴AD=DC=x。周长分为AB+AD和BC+CD两部分。 ① 若2x+x=15，x+y=12，解得x=5，y=7。 三边长为10、10、7，满足三边关系，成立。 ② 若2x+x=12，x+y=15，解得x=4，y=11。 三边长为8、8、11，满足三边关系，成立。 正确答案：7 或 11 1. 遇等腰，作底边高（三线合一首选） 适用场景：题干给出等腰三角形，需要证垂直、平分线段、平分角、求边长和角度。 做法：过等腰三角形顶角的顶点，向底边作垂线。 所得结论：一次性得到垂直关系、底边被平分、顶角被平分，简化证明和计算步骤。 配套例题1：已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AD⊥BC于点D，求∠BAD和∠B的度数。 解析解答：∵AB=AC，AD⊥BC，根据三线合一性质，AD平分∠BAC。∴∠BAD=∠BAC÷2=100°÷2=50°。又∵AB=AC，△ABC为等腰三角形，∠B=∠C=(180°−100°)÷2=40°。 2. 遇中点/中线，倍长中线（构造全等三角形） 适用场景：题干出现腰上中点、底边中线，线段关系难以直接证明。 做法：延长中线至一点，使延长部分与原中线长度相等，连接端点构造全等三角形。 所得结论：转移相等线段和相等角度，将分散的边角条件整合，快速解题。 配套例题2：已知等腰△ABC中，AB=AC，D是AB边上的中点，延长CD至点E，使DE=CD，连接AE。求证：AE∥BC。 解析解答：在△ADE和△BDC中，AD=BD（D为中点），∠ADE=∠BDC（对顶角相等），DE=CD，∴△ADE≌△BDC（SAS）。可得∠EAD=∠B，根据内错角相等，两直线平行，即AE∥BC。 3. 遇角平分线+平行线，构造等腰三角形 适用场景：题干同时出现角平分线、平行线条件。 核心规律：角平分线+平行线→内错角相等，推导等角对等边，直接构造出等腰三角形，是考试高频隐含考点。 配套例题3：已知AD平分∠BAC，且DE∥AC，求证：△ADE是等腰三角形。 解析解答：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD。∵DE∥AC，∴∠EDA=∠CAD（两直线平行，内错角相等）。∴∠EAD=∠EDA，根据等角对等边，AE=DE，即△ADE是等腰三角形。 4. 线段和差问题，用截长补短法 适用场景：求证一条线段等于另外两条线段的和或差。 做法：①截长：在长线段上截取一段等于其中一条短线段，证明剩余部分等于另一条短线段；②补短：延长短线段，使其长度等于长线段，结合等腰、全等性质证明。 配套例题4：已知△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC，求证：BC=AB+CD。 解析解答：采用截长法，在BC上截取BE=AB，连接DE。∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD。可证△ABD≌△EBD（SAS），∴∠BED=∠A=108°，∠CED=72°。由AB=AC得∠C=36°，可推出∠CDE=72°，∴∠CED=∠CDE，CD=CE。∵BC=BE+CE，BE=AB，CE=CD，∴BC=AB+CD。 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $