临考押题卷02（上海卷）-2025年高考数学冲刺抢押秘籍（上海专用）

临考押题卷02（上海卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷共21题，填空12题，选择4题，解答5题 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 4．回答客观题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知全集，若，，则 . 2．不等式的解集为 ． 3．已知，则 ． 4．设数列为等差数列，其前项和为，已知，则 ． 5．某学校物理兴趣小组有6个男生，4个女生，历史兴趣小组有5个男生，7个女生，先从两个兴趣小组中随机选取一个兴趣小组，再从所取的兴趣小组中随机抽取一个学生，则该学生是男生的概率是 ． 6．已知抛物线C：的焦点为F，P在C上，若以为直径的圆与x轴相切于点，则 . 7．已知数列满足，，则 ． 8．已知点为直线上的点，过点作圆的切线，切点为，则最大值为 . 9．已知复数满足，则的值为 ． 10．已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 . 11．若一个整数数列的首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1，则我们称这个数列为“好数列”，例如：1，2，2，3，4，3，2，1，1是一个好数列，若一个好数列的各项之和是2019，则这个数列至少有 项. 12．在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值 ． 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数是，其中最小的是（    ） A． B． C． D． 14．已知函数对任意的，总有，若时，，且，则当时，的最大值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 15．下面关于函数的叙述中，不正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的对称中心为 C．的单调增区间为 D．的对称轴为 16．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程恰好有个不同的实数根，那么的值为（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，满分78分，第 17-19 每题14分，第 20-21 每题 18分） 17．如图，是一块正四棱台形铁料，上、下底面的边长分别为cm和cm，高cm． (1)求正四棱台的侧面与底面所成二面角的大小； (2)现削去部分铁料（不计损耗），将原正四棱台打磨为一个圆台，使得该圆台的上、下底面分别为原正四棱台上、下底面正方形的内切圆及其内部．求削去部分与原正四棱台的体积之比． 18．已知函数的表达式为，. (1)解不等式：； (2)若存在实数，使得，，成等比数列，求实数的最小值. 19．同程旅游随机调查了年龄在（单位：岁）内的1250人的购票情况，其中50岁以下（不包含50岁）的有900人，50岁以上（包含50岁）的有350人，由调查数据的统计结果显示，有的人参与网上购票，网上购票人数的频率分布直方图如下图所示. （1）已知年龄在，，的网上购票人数成等差数列，求的值； （2）根据题目数据填写列联表，并根据填写数据判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为网上购票与年龄有关系？ 50岁以下 50岁以上 总计 参与网上购票 不参与网上购票 总计 附： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 （3）为鼓励大家网上购票，该平台常采用购票就发放酒店入住代金券的方法进行促销，具体做法如下：年龄在岁的每人发放20元，其余年龄段的每人发放50元，先按发放代金券的金额采用分层抽样的方式从参与调查的1000位网上购票者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访调查，求此3人获得代金券的金额总和的分布列和数学期望. 20．已知点和是双曲线的左、右焦点. (1)若是双曲线的一条渐近线，求的离心率； (2)当时，若双曲线上存在一点满足，求的面积； (3)若在双曲线上分别存在两点和，点在第一象限，点在第二象限，使得四边形的面积为，且存在实数使，求实数的取值范围. 21．设是的一个非空子集，函数的定义域为，若在上不是单调函数，且存在常数，使得对任意的成立，则称函数具有性质，称为该函数的一个下界． (1)设，，判断函数，是否具有性质； (2)设为常数，，，当且仅当满足什么条件时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界； (3)设，，，若函数，具有性质，求的取值范围：当在上述范围内变化时，若总是该函数的下界，求的取值范围． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 临考押题卷02（上海卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷共21题，填空12题，选择4题，解答5题 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 4．回答客观题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知全集，若，，则 . 【答案】 【分析】根据并集、补集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以， 又， 则. 故答案为：. 2．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】转化，且，求解即可 【详解】由题意，，且 解得： 故不等式额解集为： 故答案为： 3．已知，则 ． 【答案】 【分析】写出坐标，由坐标得到. 【详解】，∴. 故答案为： 4．设数列为等差数列，其前项和为，已知，则 ． 【答案】 【分析】根据下标和性质及等差数列求和公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故答案为： 5．某学校物理兴趣小组有6个男生，4个女生，历史兴趣小组有5个男生，7个女生，先从两个兴趣小组中随机选取一个兴趣小组，再从所取的兴趣小组中随机抽取一个学生，则该学生是男生的概率是 ． 【答案】 【分析】根据全概率公式计算可得答案. 【详解】该学生是男生的概率是. 故答案为：. 6．已知抛物线C：的焦点为F，P在C上，若以为直径的圆与x轴相切于点，则 . 【答案】2 【分析】根据题意可得点，再利用抛物线的定义即可得结果. 【详解】由题意得，设，的中点为，则. 因为以为直径的圆与轴相切于点， 则，即，解得，则， 所以 故答案为：2 7．已知数列满足，，则 ． 【答案】 【分析】求出数列的通项公式，然后求解即可． 【详解】数列满足，， 所以数列是等差数列，首项为1，公差为1， 所以，所以，． 故答案为：． 8．已知点为直线上的点，过点作圆的切线，切点为，则最大值为 . 【答案】/ 【分析】结合图象得到，问题转化成求最小值即可求解. 【详解】圆的圆心，半径， ， 当最小时，最大. 的最小值为圆心到直线的距离， 根据点到直线距离公式， 所以. 故答案为：.      9．已知复数满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用复数的几何意义，把复数和平面向量建立一一对应关系，再利用向量的加减运算及平行四边形的性质即可. 【详解】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为， 由平行四边形的性质可得： 所以 故答案为： 10．已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用双曲线定义将转化，用到右焦点的距离表示，由点与右焦点位于双曲线右支异侧，利用两点之间线段最短可得最小值. 【详解】由题意知，. 设双曲线的右焦点为， 由是双曲线右支上的点，则， 则， 当且仅当三点共线时，等号成立. 又，则. 所以，的最小值为. 故答案为：.      11．若一个整数数列的首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1，则我们称这个数列为“好数列”，例如：1，2，2，3，4，3，2，1，1是一个好数列，若一个好数列的各项之和是2019，则这个数列至少有 项. 【答案】89 【分析】[分析] 根据题意得此数列一定含有一个“好数列”，可设这个“好数列”为: 求出这个“好数列”的各项之和为再计算，而拆分成两个数,可得答案. 【详解】根据题意得此数列一定含有一个“好数列”，可设这个“好数列”为: 这个“好数列”的各项之和为而， 而可以表示为小于等于44的相邻的两数之和，即,所以这个数列至少有， 所以这个数列至少有项， 故答案为. 【点睛】本题考查数列新定义和等差数列求和，关键在于理解数列新定义中各项数的特点，严格按照运用定义进行求和和数列的项的探索，属于中档题. 12．在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值 ． 【答案】 【分析】设，根据题意，求得所在圆的圆心和半径；再根据数量投影的意义，数形结合即可求得结果. 【详解】根据题意不妨设，，，， 则， 由可得，由可得； 设，故在以为圆心，为半径的圆上； 在以为圆心，1为半径的圆上； 过作于，则即为在上的数量投影，如下所示： 因为分别为两圆上任意动点，不妨固定，则为定长， 设，即，故， 因为此时为定长，且， 故随着的减小，增大，直至恰好与圆相切时，取得最大值，如下所示： 在与圆相切的基础上，移动点，过作于，故； 在△中，，， 故，因为, 故在直角三角形中，，则，即； 在四边形中，因为，故， 当且仅当时等号成立，从而. 综上所述：在方向上的数量投影的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：处理本题的关键，一是熟悉数量投影的几何意义；二是对两个运动的点，采用一定一动的处理策略，从而求解最大值. 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数是，其中最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用散点图变化趋势，判断相关系数的正负，由散点图的集中程度确定大小，即可得到答案. 【详解】由散点图变化趋势可知， 由第二组散点图更为集中，更接近于一条直线，所以， 故相关系数最小的为. 故选：B 14．已知函数对任意的，总有，若时，，且，则当时，的最大值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】先令，求出，再判断函数的奇偶性，然后利用函数的单调性的定义结合已知条件判断其单调性，再利用单调性可求出函数的最大值. 【详解】令，则，得， 令，则， 所以， 所以为奇函数， 任取，且，则，， 所以 ， 所以， 所以在上递减， 所以当时，的最大值为， 因为，所以， 所以， 故选：D 15．下面关于函数的叙述中，不正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的对称中心为 C．的单调增区间为 D．的对称轴为 【答案】B 【分析】首先求出函数的定义域，再利用二倍角公式将函数解析式化简，最后结合正切函数的性质一一分析即可. 【详解】解：对于，则，即函数的定义域为， 又， 对于A：函数的最小正周期，故A正确， 对于B，D：，为偶函数， ，的对称轴为，， 故B错误，D正确， 对于C，当，，即，时， 单调递增，故C正确， 故选：B． 16．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程恰好有个不同的实数根，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图像如图，令，则原方程可化为，并且结合图像可知，该方程有2个根，再根据韦达定理求出,即可求解. 【详解】由函数是定义域为的偶函数，故图像关于y轴对称，作出图像如图， 令，则原方程可化为， 根据图像可知，当时，方程没有实数根； 当时，方程有3个不同的实数根； 当时，方程有6个实数根； 当时，方程有4个实数根； 当时，方程有2个实数根； 原方程恰好有个不同的实数根，只需有两个不等的实数根､， 由韦达定理得，，解得，，于是， 故选：D. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 三、解答题（本大题共5题，满分78分，第 17-19 每题14分，第 20-21 每题 18分） 17．如图，是一块正四棱台形铁料，上、下底面的边长分别为cm和cm，高cm． (1)求正四棱台的侧面与底面所成二面角的大小； (2)现削去部分铁料（不计损耗），将原正四棱台打磨为一个圆台，使得该圆台的上、下底面分别为原正四棱台上、下底面正方形的内切圆及其内部．求削去部分与原正四棱台的体积之比． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合正四棱台的结构特征，利用几何法求出二面角的平面角. （2）利用圆台、棱台的体积公式计算得解. 【详解】（1）设正方形，的中心分别为，连接，则平面， 分别取，的中点，，连接，则，， 由，分别为等腰梯形底边，的中点，得， 由，得四边形是一个直角梯形， ，又，为侧面与底面所成二面角的平面角， 由条件知，则， 所以侧面与底面所成二面角的大小为. （2）依题意，圆台上底面半径cm，下底面半径cm，高cm， 则圆台的体积为， 又正四棱台的体积， 所以削去部分的体积， 所以削去部分与正四棱台的体积之比为. 18．已知函数的表达式为，. (1)解不等式：； (2)若存在实数，使得，，成等比数列，求实数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用对数函数和指数函数的单调性解不等式即可； (2)利用复合函数思想，由内到外分别求正弦型函数和对钩函数的值域，从而可求最小值. 【详解】（1）由已知代入可得不等式：， 根据对数函数的单调性可得：且， 则且， 解得： （2）由已知可得： 则 令， 因为，所以，即， 则， 此时在上单调递增，则， 要使得等式，则， 故的最小值为. 19．同程旅游随机调查了年龄在（单位：岁）内的1250人的购票情况，其中50岁以下（不包含50岁）的有900人，50岁以上（包含50岁）的有350人，由调查数据的统计结果显示，有的人参与网上购票，网上购票人数的频率分布直方图如下图所示. （1）已知年龄在，，的网上购票人数成等差数列，求的值； （2）根据题目数据填写列联表，并根据填写数据判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为网上购票与年龄有关系？ 50岁以下 50岁以上 总计 参与网上购票 不参与网上购票 总计 附： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 （3）为鼓励大家网上购票，该平台常采用购票就发放酒店入住代金券的方法进行促销，具体做法如下：年龄在岁的每人发放20元，其余年龄段的每人发放50元，先按发放代金券的金额采用分层抽样的方式从参与调查的1000位网上购票者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访调查，求此3人获得代金券的金额总和的分布列和数学期望. 【答案】（1）， （2）在犯错误的概率不超过0.001的前提下，能认为网上购票与年龄有关系，列联表见解析 （3）分布列见解析， 【分析】（1）根据条件列方程，，解方程即可； （2）根据频率分布直方图得到参与网上购票和不参与网上购票的对应年龄的人数，填入表格的相应位置，根据列联表，及的计算公式，计算出的值，并代入临界值表中进行比较，可得到答案； （3）根据分层抽样得到年龄在岁的有6人，其余年龄段的有4人，分别计算等于60，90，120，150时的概率得出分布列，根据分布列得出数学期望. 【详解】（1）依题意，，， 解得，； （2） 50岁以下 50岁以上 总计 参与网上购票 750 250 1000 不参与网上购票 150 100 250 总计 900 350 1250 所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下，能认为网上购票与年龄有关系； （3）利用分层抽样的方式从1000位网上购票者中抽取10人，其中年龄在岁的有6人，其余年龄段的有4人， 从中随机抽取3人，则这3人获得代金券的金额总和的所有可能取值为60，90，120，150， 且，，， ， 故分布列为 60 90 120 150 数学期望. 【点睛】本题考查完善列联表，独立性检验的应用，离散型随机变量的分布列，数学期望，是中档题. 20．已知点和是双曲线的左、右焦点. (1)若是双曲线的一条渐近线，求的离心率； (2)当时，若双曲线上存在一点满足，求的面积； (3)若在双曲线上分别存在两点和，点在第一象限，点在第二象限，使得四边形的面积为，且存在实数使，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程可得出的值，由此可求得该双曲线的离心率的值； （2）不妨设点位于第一象限，利用双曲线的定义和已知条件求出、，结合勾股定理得出，再利用三角形的面积公式即可得解； （3）取点关于原点的对称点，由双曲线的对称性可知，点在双曲线上，连接、，设点、，设直线的方程为，分析可知，可得出，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，结合可得出，令，利用二次方程根的分布可得出关于的不等式组，由此可解得正实数的取值范围. 【详解】（1）若是双曲线的一条渐近线，则，可得， 此时，双曲线的离心率为. （2）若，不妨设点位于第一象限，且，则， 由双曲线的定义可得， 又因为，则，， 所以，， 所以，， 故. （3）取点关于原点的对称点，由双曲线的对称性可知，点在双曲线上， 连接、， 则为、的中点，所以，四边形为平行四边形，所以，， 又因为，则，即、、三点共线， 易知，直线不与轴重合，设直线的方程为， 设点、， 因为， 所以，，则， 联立可得， 由题意可得，可得， 由韦达定理可得，， 所以，， 整理可得， 令，则，则关于的二次方程在上有解， 设，则二次函数在上单调递减， 所以，，解得， 因此，的取值范围是. 21．设是的一个非空子集，函数的定义域为，若在上不是单调函数，且存在常数，使得对任意的成立，则称函数具有性质，称为该函数的一个下界． (1)设，，判断函数，是否具有性质； (2)设为常数，，，当且仅当满足什么条件时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界； (3)设，，，若函数，具有性质，求的取值范围：当在上述范围内变化时，若总是该函数的下界，求的取值范围． 【答案】(1)不具有，理由见解析； (2)； (3)，. 【分析】（1）借助导数，利用“函数具有性质”的定义推理判断. （2）利用导数求出函数的单调区间及极小值，再利用“函数具有性质”的定义求解. （3）求出的导数，按分类，结合“函数具有性质”的定义求出范围，并求出最小值函数，再换元求出最小值函数的最小值即可. 【详解】（1）函数，，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，上单调递减， 于是函数在上不是单调函数，，， 函数在上的值域为， 不存在常数，使得对任意的成立， 所以函数，不具有性质H. （2）函数，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 由函数，具有性质H，且是该函数的一个下界，得， 当时，函数在上不单调，，， 由，即，整理得，解得或， 当时，，当时，， 因此，，则， 所以当且仅当时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界. （3）当时，函数， 求导得， 当时，，，函数在上单调递增，不符合题意； 当时，，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，在上不是单调函数， ，，因此， 令，则，令， 求导得， 函数在上单调递减，， 由当变化时，总是该函数的下界，得， 所以的取值范围是，的取值范围是. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$