专题03 三角形（考点串讲，8考点+5技巧+4模型+8易错）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（沪教版2024）

七年级数学下学期·期末复习大串讲 专题03 三角形 （8考点+5技巧+4模型+8易错） 沪教版2024 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 八大常考点：知识梳理+针对训练 五大技巧点拨+四大模型 八大易错易混经典例题+针对训练 精选4道期末真题对应考点练 腰和底不等的等腰三角形 1.三角形的三边关系： 2. 三角形的分类 三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 按边分 按角分 不等边三角形 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 知识梳理 知识点一：三角形的有关概念 3. 三角形的高、中线与角平分线 高：过顶点向其对边所在直线引垂线，所得垂线段为高.三条高或其延长线相交于一点，如图. 中线：连接顶点与其对边中点所得线段为中线.三条中线相交于一点（重心），如图. 角平分线：内角的平分线与其对边相交所得线段为角平分线.三条角平分线相交于一点，如图. 三角形的内角和与外角的性质 (1)三角形的内角和等于180°； (2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内 角的和； (3)三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角. 知识点二：三角形的内角和 能够完全重合的两个图形叫全等图形，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点， 重合的角叫做对应角. 重合的边叫做对应边， 1.全等三角形 知识点三：全等三角形及其性质 B C E F 如图，若△ABC≌△DEF： 其中点A和 ，点B和 ，点C和 是对应顶点. AB和 ，BC和 ，AC和 是对应边. ∠A和 ，∠B和 ， ∠C和 是对应角. A D 点D 点E 点F DE EF DF ∠D ∠E ∠F A B C D E F 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 如图：∵△ABC≌△DEF， ∴AB=DE，BC=EF，AC=DF （ ）， ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F （ ）. 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等 应用格式： 2.全等三角形的性质 1.三边对应相等的两个三角形全等(可以简写为“边边边”或“SSS”). A B C D E F 在△ABC和△ DEF中， ∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）. AB=DE， BC=EF， CA=FD， 用符号语言表达为： 知识点四：三角形全等的判定 用符号语言表达为： 在△ABC与△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（SAS）. 2.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (可以简写成“边角边”或“SAS”). F E D C B A AC=DF， ∠C=∠F， BC=EF， ∠A=∠D ， AB=DE， ∠B=∠E， 在△ABC和△DEF中， ∴ △ABC≌△DEF（ASA）. 3.有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”). 用符号语言表达为： F E D C B A 4.有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”). 考点1　三角形的三边关系 1. 如图①， M 是铁丝 AD 的中点，将该铁丝首尾相接折成 △ ABC ，且∠ B ＝30°，∠ C ＝100°，如图②，则下列说 法正确的是(　C　) C A. 点 M 在 AB 上 B. 点 M 在 BC 的中点处 C. 点 M 在 BC 上，且距点 B 较近，距点 C 较远 D. 点 M 在 BC 上，且距点 C 较近，距点 B 较远 针对训练 2. [2024杭州期末]圆圆要用一根笔直的铁丝从两处弯曲后围 成一个三角形.如图，铁丝 AB 的长度为1 m，圆圆从 M ， N 两处弯曲，其中 AM ＜ AN ，她不能成功的是(　D　) A. 20 cm＜ AM ＜30 cm B. 30 cm＜ AM ＜40 cm C. 40 cm＜ AM ＜50 cm D. 50 cm＜ AM ＜60 cm D 考点2　三角形的重要线段 3. 如图， CD ⊥ AD 于点 D ，已知∠ ABC 是钝角，则(　B　) A. 线段 CD 是△ ABC 的 AC 边上的高线 B. 线段 CD 是△ ABC 的 AB 边上的高线 C. 线段 AD 是△ ABC 的 BC 边上的高线 D. 线段 AD 是△ ABC 的 AC 边上的高线 B 4. 如图， AD 是△ ABC 的中线， AB ＝4， AC ＝3.若△ ACD 的周长为8，则△ ABD 的周长为 ⁠. 9　 考点3　三角形的内角和 5. [2023聊城中考]如图，分别过△ ABC 的顶点 A ， B 作 AD ∥ BE . 若∠ CAD ＝25°，∠ EBC ＝80°，则∠ ACB 的 度数为(　B　) A. 65° B. 75° C. 85° D. 95° B 6. 如图，在△ ABC 中，∠ A ＝70°，∠ C ＝30°， BD 平分 ∠ ABC 交 AC 于点 D ， DE ∥ AB ，交 BC 于点 E ，则∠ BDE 的度数是(　B　) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° B 考点4　利用三角尺解三角形外角 7. 一副三角尺如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是 (　B　) A. 80° B. 95° C. 100° D. 110° B 8. [2023十堰中考]一副三角尺按如图所示放置，点 A 在 DE 上，点 F 在 BC 上，若∠ EAB ＝35°，则∠ DFC ＝ ⁠. 100°　 考点5　三角形的折叠问题 9. [2023淄博期末]如图，将△ ABC 沿 DE ， EF 翻折，顶点 A ， B 均落在点 O 处，且 EA 与 EB 重合于线段 EO ，若 ∠ CDO ＋∠ CFO ＝100°，则∠ C 的度数为(　A　) A. 40° B. 41° C. 42° D. 43° A 10. 【新考法·操作探究】如图，一个四边形纸片 ABCD ，∠ B ＝∠ D ＝90°，把纸片按如图所示折叠，使点 B 落在 AD 边上的点B'处， AE 是折痕.如果∠ C ＝130°，求 ∠ AEB 的度数. 解：由折叠的性质可知∠AB'E＝∠ B ＝90°，∠ AEB ＝ ∠BEB'，∴∠DB'E＝90°. ∵∠ B ＝∠ D ＝90°，∠ C ＝130°，∠DB'E＋∠ D ＋ ∠ C ＋∠B'EC＝360°， ∴∠B'EC＝360°－∠DB'E－∠ D －∠ C ＝50°. ∵∠B'EC＋∠BEB'＝180°， ∴∠BEB'＝130°.∴∠ AEB ＝65°. 考点6　全等三角形的性质 11. 如图，已知△ ABC ≌△ DBE ，∠ EBC ＝40°，若 AB ⊥ DE 于点 F ，则∠ A 的度数为(　D　) A. 35° B. 40° C. 45° D. 50° D 考点7　全等三角形的判定 12. 【新考法·操作探究】[2024石家庄期末]在△ ABC 中，∠ B ＝∠ C ＝50°，将△ ABC 按下列方式沿虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是(　D　) D A B C D 13. [2023重庆开州区月考]如图，已知 AB ⊥ BC ， AD ⊥ DE ， AB ＝ AD ， AE ＝ AC ， AE ， BC 交于点 F ， AC ， DE 交于点 G . (1)求证：∠ BAE ＝∠ DAC ； (1)证明：∵ AB ⊥ BC ， AD ⊥ DE ， ∴∠ B ＝∠ D ＝90°. 在Rt△ ABC 和Rt△ ADE 中， ∴Rt△ ABC ≌Rt△ ADE (HL)，∴∠ BAC ＝∠ DAE ， ∴∠ BAC －∠ EAC ＝∠ DAE －∠ EAC ， 即∠ BAE ＝∠ DAC . 13. [2023重庆开州区月考]如图，已知 AB ⊥ BC ， AD ⊥ DE ， AB ＝ AD ， AE ＝ AC ， AE ， BC 交于点 F ， AC ， DE 交于点 G . (2)若 AC ＝7， AF ＝4，求 CG 的长. (2)解：在△ ABF 和△ ADG 中， ∴△ ABF ≌△ ADG (ASA)，∴ AF ＝ AG ＝4. ∵ AC ＝7，∴ CG ＝ AC － AG ＝7－4＝3. 考点8　全等三角形性质与判定的综合应用 14. 【新考法·结论辨析】[2024邢台期末]如图， PA ＝ PB ， 在证明∠ A ＝∠ B 时，需要添加辅助线，下面有甲、乙两 种辅助线的作法： 甲：作底边 AB 的中线 PC ； 乙：作 PC 平分∠ APB 交 AB 于点 C . 则(　A　) A A. 甲、乙两种作法都正确 B. 甲正确，乙不正确 C. 甲不正确，乙正确 D. 甲、乙两种作法都不正确 15. [2024遵义期末]如图，点 E ， A ， B ， F 在同一条直线 上，已知∠ CAE ＝∠ DBF ， AC ＝ BD . 求证： (1) BC ＝ AD ； 证明：(1)∵∠ CAE ＝∠ DBF ， ∠ CAB ＋∠ CAE ＝180°，∠ DBF ＋∠ DBA ＝180°， ∴∠ CAB ＝∠ DBA . 在△ CAB 和△ DBA 中， ∴△ CAB ≌△ DBA (SAS)，∴ BC ＝ AD . 15. [2024遵义期末]如图，点 E ， A ， B ， F 在同一条直线 上，已知∠ CAE ＝∠ DBF ， AC ＝ BD . 求证： (2)∠ CAD ＝∠ DBC . 证明：(2)∵△ CAB ≌△ DBA ， ∴∠ ABC ＝∠ BAD . 又∵∠ CAB ＝∠ DBA ， ∴∠ CAB －∠ BAD ＝∠ DBA －∠ ABC ， 即∠ CAD ＝∠ DBC . 技巧1 运用全等三角形法说明线段相等 1.[2023·天津一中期末]如图，在五边形ABCDE中，∠BCD＝ ∠EDC＝90°，BC＝ED，AC＝AD.试说明：AB＝AE. 【解】因为AC＝AD，所以∠ACD＝∠ADC. 又因为∠BCD＝∠EDC＝90°， 所以∠ACB＝∠ADE. 在△ABC和△AED中， 所以△ABC≌△AED(SAS). 所以AB＝AE. 技巧点拨 技巧2 运用全等三角形法说明线段的数量关系 2.在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB交AB于 点D，E，F分别在AC，BC上，且∠EDF＝108°. (1)求∠ADC的度数； 【解】因为AB＝AC，∠A＝36°， 所以∠B＝∠ACB＝×(180°－36°)＝72°. 因为CD平分∠ACB， 所以∠ACD＝∠BCD＝36°. 所以∠ADC＝180°－(∠A＋∠ACD)＝180°－(36°＋36°)＝108°. (2)试说明：AE＋BF＝BC. 【解】由(1)得∠ACD＝∠BCD＝36°＝∠A，∠ADC＝108°，易知AD＝CD.因为∠EDF＝108°，所以∠ADC＝∠EDF. 所以∠ADE＝∠CDF. 在△ADE和△CDF中， 所以△ADE≌△CDF(ASA).所以AE＝CF. 因为CF＋BF＝BC，所以AE＋BF＝BC. 技巧3 运用等线段代换法说明线段的和差关系 3.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为BC延长 线上一点，BF⊥AD于点F，交AC于点E. 【解】因为BF⊥AD，∠ACB＝90°， 所以∠CBF＋∠D＝∠CAD＋∠D＝90°. 所以∠CBE＝∠CAD. 在△CBE和△CAD中 所以△CBE≌△CAD(ASA).所以BE＝AD. (1)试说明：BE＝AD； (2)过点C作CM∥AB交AD于点M，连接EM，试说明：BE ＝AM＋EM. 【解】因为△CBE≌△CAD，所以CE＝CD. 因为AC＝BC，∠ACB＝90°，所以∠ABC＝45°. 因为CM∥AB，所以∠DCM＝∠ABC＝45°. 所以∠ACM＝45°.所以∠DCM＝∠ECM. 在△ECM和△DCM中， 所以△ECM≌△DCM(SAS).所以EM＝DM. 所以BE＝AD＝AM＋MD＝AM＋EM. 技巧4 运用截长补短法说明线段的和差关系 4.如图，在四边形ABDE中，C是BD边的中点.若AC平分 ∠BAE，∠ACE＝90°，猜想线段AE，AB，DE满足的数量 关系，并说明理由. 【解】AE＝AB＋DE. 理由：如图，在AE上截取AF＝AB，连接CF. 因为AC平分∠BAE，所以∠BAC＝∠FAC. 又因为AC＝AC，所以△BAC≌△FAC(SAS). 所以BC＝FC，∠ACB＝∠ACF. 因为∠ACE＝90°， 所以∠ACF＋∠FCE＝90°，∠ACB＋∠DCE＝90°. 所以∠FCE＝∠DCE. 因为C为BD边的中点，所以BC＝DC. 所以DC＝FC. 又因为CE＝CE， 所以△FCE≌△DCE(SAS).所以DE＝FE. 所以AE＝AF＋FE＝AB＋DE. 技巧5 运用倍长中线法说明三边关系 5.如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的中线. 试说明：(AB－AC)＜AD＜(AB＋AC). 【解】如图，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE. 因为AD是BC边上的中线，所以CD＝BD. 在△ACD和△EBD中， 所以△ACD≌△EBD(SAS).所以AC＝EB. 在△ABE中，AB－BE＜AE＜AB＋BE， 即AB－AC＜2AD＜AB＋AC， 所以(AB－AC)＜AD＜(AB＋AC). 模型一平移型 1.[2023·重庆一中月考]如图，在△ABC和△DEF中，边AC， DE交于点H，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF. (1)若∠B＝55°，∠ACB＝100°，求∠CHE的度数； 【解】因为∠B＝55°，∠ACB＝100°， 所以∠A＝180°－∠B－∠ACB＝25°. 因为AB∥DE，所以∠CHE＝∠A＝25°. 基本模型 (2)试说明：△ABC≌△DEF. 【解】因为AB∥DE，所以∠B＝∠DEF. 因为BE＝CF， 所以BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF. 在△ABC和△DEF中， 所以△ABC≌△DEF(SAS). 模型二翻折型 2.[2023·福建]如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB. 试说明：AB＝CD. 【证明】因为∠AOD＝∠COB， 所以∠AOD－∠BOD＝∠COB－∠BOD， 即∠AOB＝∠COD. 在△AOB和△COD中， 所以△AOB≌△COD(SAS).所以AB＝CD. 模型三旋转型 3.如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB ＝AC，AD＝AE，点C，D，E在同一直线上，连接BD. (1)试说明：△BAD≌△CAE； 【解】因为∠BAC＝∠DAE＝90°， 所以∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE. 在△BAD和△CAE中， 所以△BAD≌△CAE(SAS). (2)请判断BD，CE有何数量、位置关系，并说明理由. 【解】BD＝CE，BD⊥CE.理由如下： 由(1)知△BAD≌△CAE， 所以BD＝CE，∠ABD＝∠ACE. 因为∠ABD＋∠DBC＋∠ACB＝90°， 所以∠DBC＋∠ACE＋∠ACB＝90°. 所以∠BDC＝90°.所以BD⊥CE. 模型四一线三等角型 4.[新考法 等线段代换法]如图，AD⊥AB于点A，BE⊥AB于 点B，点C在AB上，且CD⊥CE，CD＝CE.试说明：AB＝ AD＋BE. 【解】因为AD⊥AB，BE⊥AB，CD⊥CE， 所以∠A＝∠B＝∠DCE＝90°. 所以∠D＋∠ACD＝90°，∠ECB＋∠ACD＝90°. 所以∠D＝∠ECB. 在△ACD和△BEC中， 所以△ACD≌△BEC(AAS). 所以AC＝BE，AD＝BC. 所以AB＝AC＋BC＝AD＋BE. 易错点1. 忽略三角形存在的条件 【例1】一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A. 7 B. 9 C. 12 D. 9或12 错解：D. ①设腰为2，底为5，则周长为9；②设腰为5，底为2，则周长 为12.所以等腰三角形的周长为9或12. 错解分析：错解中分类讨论后忽略了①中2＋2＜5，不满足三角形的三 边关系，因此不能组成三角形，而5＋5＞2，所以只有②符合情况，故 三角形的周长为5＋5＋2＝12. 正解：C. 易混易错 【针对训练】用一根长为24 cm的铁丝围成一个等腰三角形. （1）如果腰长是底边长的2倍，那么底边长是多少？ 解：设底边长为 x cm，则腰长为2 x cm. 由题意，得 x ＋2 x ＋2 x ＝24.解得 x ＝4.8. ∴底边长为4.8 cm. （2）能围成一边是6 cm的等腰三角形吗？请说明理由. 解：能.理由如下： ①当底边长为6 cm时，腰长为（24－6）÷2＝9（cm），因为9＋6＞9，所以此时能围成三角形； ②当腰长为6 cm时，底边长为24－6×2＝12（cm），因为6＋6＝12，所以此时不能围成三角形. 综上所述，能围成底边长为6 cm，腰长为9 cm的等腰三角形. 易错点2. 未完全掌握高的定义 【例2】数学课上，同学们在练习本上画钝角三角形 ABC 的高 BE 时，有一部分学生画出如图所示的四种图形，其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 错解：B. 错解分析：错解中只认为图②和图③出现了错误，而图④的高实际上也不符合高的定义，高是从顶点向对边做垂线段，其中垂足落在对边上或对边的延长线上. 正解：A. 【针对训练】如图， AE ⊥ BC 于点 E ， BF ⊥ AC 于点 F ， CD ⊥ AB 于 点 D ，则△ ABC 中 AC 边上的高是（　 　） C A. 线段 AE B. 线段 CD C. 线段 BF D. 线段 AF 易错点3. 未完全理解三角形内角、外角的性质 【例3】如图，直线 a ， b ， c ， d 互不平行，对它们截出的一些角的数量关系描述错误的是（　　） A. ∠1＋∠6＝∠2 B. ∠4＋∠5＝∠2 C. ∠1＋∠3＋∠6＝180° D. ∠1＋∠5＋∠4＝180° 错解：B或C或D. 错解分析：∠1＋∠6与∠2没有关系，结论不成立，故A选项描述错误；由三角形的外角性质，∠4＋∠5＝∠2成立，故B选项描述正确； 由三角形的内角和定理与对顶角相等，∠1＋∠3＋∠6＝180°，∠1＋∠5＋∠4=180°成立，故C，D选项描述正确.故选A. 正解：A. （1）如果∠ D ＞∠ A ，比较∠ AEF 与∠ A 的大小，并说明理由； 解：∠ AEF ＞∠ A . 理由如下：∵∠ AEF 为△ BED 的外角， ∴∠ AEF ＝∠ B ＋∠ D . ∴∠ AEF ＞∠ D . 又∵∠ D ＞∠ A ，∴∠ AEF ＞∠ A . 【针对训练】如图，在△ ABC 中， E 是 AB 上的一点， D 是 BC 延长线上的一点， DE 交 AC 于点 F . （2）试探究∠ AFD 与∠ A ，∠ B ，∠ D 之间的关系. 解：∵∠ AFD ＝∠ A ＋∠ AEF ， ∠ AEF ＝∠ B ＋∠ D ， ∴∠ AFD ＝∠ A ＋∠ B ＋∠ D . 易错点4. 因考虑不全面出现漏解或增加不符合题意的解 【例4】在△ ABC 中，∠ ABC ＝∠ ACB ， BD 是 AC 边上的高，且∠ ABD ＝30°，求∠ BAC 的度数. 错解：如图Z11－1－8，∠ BAC ＝90°－30°＝60°. 错解分析：错解中只考虑了△ ABC 是锐角三角形的情况，遗漏了△ ABC 还可能是钝角三角形的情况. 正解：有以下两种情况： 若△ ABC 是锐角三角形，如图Z11－1－9①，∠ BAC ＝90°－30°＝60°； 若△ ABC 是钝角三角形，如图Z11－1－9②，易得∠ BAC ＝90°＋30°＝120°. 综上所述，∠ BAC 的度数为60°或120°. 【针对训练】 在△ ABC 中，∠ ACB 为最大角且∠ ACB ≠90°，高 BD 和 CE 所在的直线交于点 H . （1）∠ BHC 与∠ A 有什么关系？写出探究过程； 解：∠ BHC ＋∠ A ＝180°或∠ BHC ＝∠ A . 当∠ ACB ＜90°时，△ ABC 为锐角三角形，如答图①. ∵ CE ⊥ AB ， BD ⊥ AC ， ∴∠ ABD ＋∠ BHE ＝90°，∠ ABD ＋∠ A ＝90°. ∴∠ BHE ＝∠ A . ∵∠ BHC ＋∠ BHE ＝180°， ∴∠ BHC ＋∠ A ＝180°； 当∠ ACB ＞90°时，△ ABC 为钝角三角形，如答图②. ∵ CE ⊥ AB ， BD ⊥ AC ， ∴∠ BHC ＋∠ ABD ＝90°，∠ A ＋∠ ABD ＝90°. ∴∠ BHC ＝∠ A . （2）探究归纳：非直角三角形的两条边上高线所夹的角与第三边所对 的角 ​； 相等或互补　 （3）模型应用：在钝角三角形 ABC 中，∠ A ＝45°，高 BD 和 CE 所在 的直线交于点 H ，则∠ BHC 的度数为 ​. 45°　 易错点5. 找错对应关系 【例5】已知△ ABC 与△A'B'C'全等，且∠ A ＝70°，∠B'＝30°， ∠A'＝80°， BC ＝3，则A'B'的值为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 不确定 错解：D. 错解分析：本题容易受惯性思维影响，把∠ A 的对应角看成∠A'，把 ∠ B 的对应角看成∠B'.本题根据已知条件，应该得到△ ABC ≌△C'A'B'或△ ABC ≌△C'B'A'，因此对应边相等，即A'B'＝ BC ＝3. 正解：A. 【针对训练】如图，已知△ ABC ≌△ DCB ，点 A ， B 的对应顶点分别为点 D ， C . 若 AB ＝7 cm， BC ＝12 cm， AC ＝9 cm，则 BD 的长为 ​. 9cm 【针对训练】如图，如果图中的两个三角形全等，根据图中所标数据，可以推理得到∠α的度数为 ​. 68°　 易错点6. 判定全等时找错对应角 【例6】如图， AC ⊥ BC ， DC ⊥ EC ， AC ＝ BC ， DC ＝ EC . 求证：∠ D ＝∠ E . ∴∠ D ＝∠ E . 【针对训练】 如图，∠ BAC ＝∠ DAE ＝90°，∠ B ＝∠ C ， AD ＝ AE . 求证：△ ABD ≌△ ACE . 易错点7. 错误套用等式性质 【例7】如图，已知 AC ， BD 相交于点 E ，∠ A ＝∠ B ， ∠1＝∠2. 求证： AE ＝ BE . 【针对训练】如图， AB ＝ AC ， AD ⊥ BC . 求证： BE ＝ CE . 易错点8. 把“AAA”或“SSA”当成判定三角形全等的条件来使用 【例8】如图， ∠ CAB ＝∠ DBA ， ∠ C ＝∠ D ， E 为 AC 和 BD 的交点.△ ADB 与△ BCA 全等吗？请说明理由. 【针对训练】如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， D ， E 分别是 AB ， AC 的中点，且 CD ＝ BE ，△ ADC 与△ AEB 全等吗？请说明理由. 解：△ ADC ≌△ AEB . 理由如下： ∵ AB ＝ AC ， D ， E 分别是 AB ， AC 的中点， ∴ AD ＝ AE . 1.(2023春·黄浦区期末 )现有2cm,3cm,5cm,6cm长的四根木棒，任选其中的三根组成三角形，那么可以组成三角形的个数有( ____ ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】解：四条木棒的所有组合：2，3，5和2，3，6和2，5，6和3，5，6； 只有2，5，6和3，5，6能组成三角形． 故选：B． B 押题预测 67 2.(2023春·黄浦区期末)如图，点P是AB上任一点，∠ABC=∠ABD，从下列各条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是( ____ ) A.BC=BD B.∠ACB=∠ADB C.AC=AD D.∠CAB=∠DAB 【解析】解：A、补充BC=BD，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故此选项错误； B、补充∠ACB=∠ADB，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故此选项错误． C、补充AC=AD，不能推出△APC≌△APD，故此选项正确； D、补充∠CAB=∠DAB，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故此选项错误； 故选：C． C 68 3.(2023春·浦东新区校级期末)将一副三角板如图所示摆放(其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在一直线上)，那么图中∠α= ____ 度． 【解析】解：∵∠1=45°，∠2=60°， ∴∠α=180°-45°-60°=75°， 故答案为75． 75 69 4.(2023春·嘉定区期末)如图，已知△ABC≌△ADE，且点B与点D对应，点C与点E对应，点D在BC上，∠BAE=114°，∠BAD=40°，则∠E的度数是 ____ °． 【解析】解：∵△ABC≌△ADE，∴AB=AD，∴∠ABD=∠ADB， ∵∠BAD=40°，∴∠ABD=∠ADB= (180°-∠BAD)=70°， ∵△ABC≌△ADE， ∴∠ADE=∠ABD=70°，∵∠BAE=114°，∠BAD=40°， ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=114°-40°=74°， ∴∠E=180°-∠ADE-∠DAE=180°-70°-74°=36°， 故答案为：36． 36 70 5. [2024上海期末]如图所示，已知△ ABD ≌△ CFD ， AD ⊥ BC 于点 D ，延长 CF 交 AB 于点 E . (1)求证： CE ⊥ AB ； (1)证明：∵ AD ⊥ BC ， ∴∠ CDF ＝90°，∵△ ABD ≌△ CFD ， ∴∠ BAD ＝∠ DCF . 又∵∠ AFE ＝∠ CFD ， ∴∠ AEF ＝∠ CDF ＝90°，∴ CE ⊥ AB . 5. [2024上海期末]如图所示，已知△ ABD ≌△ CFD ， AD ⊥ BC 于点 D ，延长 CF 交 AB 于点 E . (2)已知 BC ＝7， AD ＝5，求 AF 的长. (2)解：∵△ ABD ≌△ CFD ， ∴ BD ＝ DF ， AD ＝ DC . 又∵ BC ＝7， DC ＝ AD ＝5，∴ BD ＝ BC － CD ＝2， ∴ AF ＝ AD － DF ＝ AD － BD ＝5－2＝3. 错解：∵ AC ⊥ BC ， DC ⊥ EC ， ∴∠ ACB ＝∠ ECD ＝90°. 在△ BCD 和△ ACE 中， ∴△ BCD ≌△ ACE （SAS）. ∴∠ D ＝∠ E . 错解分析：上面的证明中，找错对应角，∠ ACB 与∠ ECD 并不是△ BCD 和△ ACE 的内角. 正解：∵ AC ⊥ BC ， DC ⊥ EC ， ∴∠ ACB ＝∠ ECD ＝90°. ∴∠ ACB ＋∠ ACD ＝∠ ECD ＋∠ ACD ，即∠ BCD ＝∠ ACE . 在△ BCD 和△ ACE 中， ∴△ BCD ≌△ ACE （SAS）. 证明：∵∠ BAC ＝∠ DAE ＝90°， ∴∠ BAC －∠ CAD ＝∠ DAE －∠ CAD ， 即∠ BAD ＝∠ CAE . 在△ ABD 和△ ACE 中， ∴△ ABD ≌△ ACE （AAS）. 错解：在△ ADC 和△ BCD 中， ∴△ ADC ≌△ BCD （AAS）. ∴△ ADC －△ DEC ＝△ BCD －△ DEC . ∴△ ADE ≌△ BCE . ∴ AE ＝ BE . 错解分析：在证明三角形全等时，一定要按判定定理进行证明.上面的 证明中，将等式性质错误地搬到了三角形全等中，这是完全错误的. 正解：在△ ADC 和△ BCD 中， ∴△ ADC ≌△ BCD （AAS）.∴ AD ＝ BC . 在△ ADE 和△ BCE 中， ∴△ ADE ≌△ BCE （AAS）.∴ AE ＝ BE . 证明：∵ AD ⊥ BC ， ∴∠ ADB ＝∠ ADC ＝90°. 在Rt△ ABD 和Rt△ ACD 中， ∴Rt△ ABD ≌Rt△ ACD （HL）. ∴ BD ＝ CD . 在△ BDE 和△ CDE 中， ∴△ BDE ≌△ CDE （SAS）.∴ BE ＝ CE . 错解：△ ADB ≌△ BCA . 理由如下： ∵∠ C ＝∠ D ，∠ CAB ＝∠ DBA ，∴∠ DAB ＝∠ CBA . 在△ ADB 和△ BCA 中， ∴△ ADB ≌△ BCA （AAA）. 错解分析：两个三角形全等是对的，但说明的理由不正确.判定两个三 角形全等的条件中，至少要有一边对应相等，三个角对应相等不能作为 三角形全等的判定方法. 正解：△ ADB ≌△ BCA . 理由如下： 在△ ADB 和△ BCA 中， ∴△ ADB ≌△ BCA （AAS）. 方法一：在△ ADC 和△ AEB 中， ∴△ ADC ≌△ AEB （SSS）. 方法二：在△ ADC 和△ AEB 中， ∴△ ADC ≌△ AEB （SAS）. $$