第9章 二元一次方程组【单元卷·考点卷】（18大核心考点）-2024-2025学年六年级数学下册单元速记·巧练（沪教版2024）

第9章 二元一次方程组【单元卷·考点卷】（18大核心考点） 考点一 二元一次方程的相关概念（共5题） 1．已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 2．方程在正整数范围内的解（    ） A．有无数对 B．只有一对 C．只有三对 D．以上都不对 3．若为二元一次方程，则 ． 4．已知是关于的二元一次方程，则 ． 5．已知二元一次方程． (1)把方程写成用含x的代数式表示y的形式，即______； (2)填表，使x，y的值是方程的解； x 1 2 3 4 5 y (3)求方程的非负整数解． 考点二 二元一次方程组的相关概念（共5题） 6．若关于，的二元一次方程组的解为则被遮住的两个数和分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 7．已知是二元一次方程组的解，则的值是（    ） A． B．5 C． D．1 8．已知关于，的二元一次方程组的解为，则的值为 ． 9．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，则的值 ． 10．已知关于x，y的二元一次方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)若，求m的值． 考点三 二元一次方程组的解 （共5题） 11．解二元一次方程组： (1)； (2)． 12．解方程： (1) (2) 13．解下列方程组： (1)； (2) 14．解方程组： (1) (2) 15．解方程： (1) (2) 考点四 二元一次方程组的特殊解法（共5题） 16．若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 17．已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为 ． 18．先阅读下列材料，解方程组时，如果我们直接消元，那么会很麻烦，但若用下面的解法，则要简便得多． 解方程组 解：，得，③ ，得，④ ，得， 将代入③得， 所以原方程组的解是， 根据上述材料，解答问题： (1)解方程组； (2)在（1）的条件下，求式子的值． 19．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形为，即，③ 把方程①代入③得，∴， 把代入①得， ∴方程组的解为 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程组 (2)已知x，y满足方程组求整式的值． 20．下面是李明同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，在解方程组时，运用“整体思想”通常会使解题更加简便快捷． 例1：解方程组 分析：在这个方程组中，方程②中的在方程①中也存在，此时运用整体思想，把看作一个整体，就可以直接代入方程①进行计算，避免了先去括号等复杂操作． 解：把②代入①，得，解得． 把代入②，得．所以原方程组的解为 例2：解方程组 解：将方程②变形为，即③ 把①代入③，得． ． 把代入①，得． 方程组的解为 任务： (1)利用“例1”的方法，解方程组 (2)已知利用“例2”的方法，求的值． 考点五 二元一次方程组的错解复原（共5题） 21．两位同学在解方程组 时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得 ，则a，b，c正确的值应为（    ） A． B． C． D． 22．甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则 ． 23．甲、乙两人解关于，的方程组，甲因看错了，解得，乙将方程②中的写成了它的相反数，解得．求原方程组的解． 24．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为 (1)甲把看成了什么，乙把看成了什么； (2)求出原方程组的正确解． 25．在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解． 考点六 构造二元一次方程组（共5题） 26．对于有理数x、y，定义新运算：，其中是常数，例：．已知，，那么（   ） A． B． C． D． 27．已知，，，…，中每一个数值只能取、0、1中的一个，且满足，，则 ． 28．已知正实数，，，，满足，，如图是以，，，为边长作正方形或矩形．若图1阴影部分的面积为6，求图2阴影部分的面积为 ． 29．如果，且，求，的值． 30．对实数，定义一种新运算，规定（其中，均为常数），例如：，． (1)求，的值； (2)求关于，的方程的正整数解． 考点七 已知二元一次方程组解的情况求参数（共5题） 31．已知关于的二元一次方程组的解均为整数，则符合条件的整数的值有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．8 32．若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 33．若关于x，y的方程组的一个解为，则k的值是 ． 34．已知关于的方程组，以下结论： ①当时，方程组的解也是方程的解； ②存在实数，使得； ③不论取什么实数，的值始终不变； 其中正确的序号是 ． 35．已知关于，的方程组． (1)方程有一个正整数解，还有一个正整数解为________． (2)若方程组的解满足，求的值； (3)无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，请求出这个解为________． 考点八 方程组同解问题（共5题） 36．已知方程组和方程组的解相同，求的值． 37．已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)请求出这个相同的解； (2)求a，b的值； (3)请判断“无论m取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程的解”，这句话是否正确？并说明理由． 38．已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求的值． 39．已知关于的方程组与同解，求的值． 40．若方程组和方程组有相同的解． (1)求方程组的解． (2)求a，b的值． 考点九 三元一次方程组的相关概念（共5题） 41．我国古代数学家张丘建在《张丘建算经）里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题．用100个钱买100只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，小鸡的只数可能是（    ） A．78 B．87 C．88 D．89 42．若整数，，满足，则的值为（   ） A． B． C．0 D．1 43．“一马当先，当仁不让”，2025年仁寿举办中国首个白金标半马赛，引来世界各地朋友前来参赛，某酒店有二人间，三人间，四人间客房供参赛者租住．某地区20人组团参赛，准备租住客房7间，若每种房型均有居住且房间都住满，则租住方案有 种． 44．已知等式，且当时；当时；当时； (1)求a、b、c的值； (2)当时，y的值又是多少？ 45．解下列三元一次方程组： (1) (2) 考点十 方案问题 （共5题） 46．某校组织350名学生去研学，已知1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人；3辆A型车和1辆B型车可以载学生130人． (1)A型、B型车每辆可分别载学生多少人？ (2)如果350名学生一次送完，且每辆车都坐满，请你设计租车方案； (3)若租一辆型车需要1000元，一辆型车需1200元，怎样租车费用最少？ 47．某运输公司现有190吨防疫物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的两次运输记录，如下表： A货车（辆） B货车（辆） 防疫物资（吨） 第一次 12 8 360 第二次 5 4 160 (1)请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资多少吨？ (2)请你通过计算说明现在运输190吨物资所有可行的运输方案． 48．综合与实践：阅读下列材料，回答问题． “校安工程”全称为“全国中小学校舍安全工程”，是党中央、国务院做出的一项重大决策．某中学校安工程需要制作个矩形铝合金窗框，每个窗框由根长管（长度米/根）和根短管（长度米/根）组成，这些铝合金管用长度足够的铝合金型材作为原材料进行切割获得，切割后剩余的原材料（长度小于米）称为废料．已知有型材（长度为米/根）、型材（长度为米/根）两种铝合金型材可供选择，它们的价格均为元/米，且只能整根购买． 数学综合实践小组对如何节约原材料的购买成本展开讨论，各自发表了意见： 小聪：需要使用的铝合金管的总长度是确定的，而原材料购买成本只与购买的总长度有关，因此废料最少时原材料的购买成本最低； 小颖：若全部采用型材比全部采用型材的购买成本更高； 小亮：除了选择原材料，还要制定合理的切割方法，才能使得购买原材料的成本最低． (1)分别写出，两种型材所有符合要求的切割方法及对应的废料长度； (2)为了使这个矩形铝合金窗框所需原材料的购买成本最低，请设计方案，方案应说明，两种型材的购买数量及对应切割方法，但不必说明理由． 49．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆型汽车，3辆型汽车的进价共计70万元；3辆型汽车，2辆型汽车的进价共计105万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案． 50．初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，某校欲购置规格为的甲品牌消毒液和规格为的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买1瓶甲品牌消毒液和3瓶乙品牌消毒液需要85元；购买3瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要130元． (1)求甲、乙两种品牌消毒液每瓶的价格． (2)若该校需要购买甲、乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲、乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请求出所有的购买方案． (3)若该校采购甲、乙两种品牌消毒液共花费5000元，该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用的消毒液，则这批消毒液可使用多少天？ 考点十一 行程问题（共5题） 51．甲从南向北走，乙从西向东走，甲从南距交叉点米的地方开始行走，乙从交叉点开始行走，分钟后甲、乙距交叉点的距离一样，分钟后又一样，问甲、乙的速度分别为多少？ 52．绍兴是个鱼米之乡，物产丰富，每天将新鲜蔬菜61吨运往省城杭州，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（t/辆） 1 3 4 汽车运费（元/辆） 100 250 300 (1)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费5300元，问分别需甲、乙两种车型各多少辆； (2)如果打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，且它们的总辆数为20辆，请你设计一种满足条件的运输方案，并求出该方案的总费用．（每个档次的得分不同，优秀>良好>合格） 车型 甲 乙 丙 总费用 注意：4800元总费用元为良好总费用元为合格 汽车辆数 　 　 　 　 53．列二元一次方程组解应用题： 小明早上骑自行车上学，中途因道路施工步行了一段路，到学校共用20分钟．他骑自行车的平均速度是200米/分，步行的平均速度是70米/分，他从家到学校的路程是3350米．求小明骑自行车和步行的时间分别为多少分钟？ 54．已知一辆快车长，一辆慢车长，若两车同向而行，快车从追上慢车到离开慢车共用；若两车相向而行，快车从与慢车相遇到离开慢车共用．求两车的速度． 55．综合与实践 探究操场跑道的设计与分析 素材 标准田径跑道的设计如图． 直道长度：84.39米； 跑道数量：8条； 弯道半径：最内圈为36.5米； 跑道宽度：1.22米； 注：由内圈向外圈数，最内圈跑道记为第1道，以此类推，最外圈跑道记为第8道； 任务一 计算第1道跑道的长（实际跑线在分道线外侧，所以跑道长比实际跑线略短）（取3.14） 任务二 计算第8道与第1道的长度之差．（取3.14，保留一位小数） 任务三 小明从点沿第1圈跑道逆时针跑，小方从点的正上方（垂直于）沿第4圈跑道顺时针跑，两人同时出发，21秒后在跑道的段相遇，已知小方的速度比小明的速度快1.03米/秒，分别求出小明与小方的速度．（取3，保留两位小数） 考点十二 工程问题（共5题） 56．穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？ 57．一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付费用元，问： (1)甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？ (2)已知甲组单独完成需天，乙组单独完成需天，单独请哪个组，商店所需费用最少？ (3)若装修完后，商店每天可赢利元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．（可用（1）（2）问的条件及结论） 58．安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天． (1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天； (2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的． 59．（应用意识）琳琳家准备装修一套新房．若甲、乙两家装修公司合作，需6周完成，共需装修费5.4万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费5.1万元，琳琳的爸爸妈妈商量后决定只选一家公司单独完成． (1)如果从节约时间的角度考虑应该选择哪家公司？ (2)如果从节约开支的角度考虑呢？ 60．下面是学习二元一次方程组时，老师提出的问题和两名同学所列的方程． 问题：某个工人一天工作6个小时，可以生产零件一整箱和不足一箱的20个；由于特殊情况，今天他只工作4个小时，生产零件一整箱和不足一箱的4个，问这一箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是多少？ 小明所列方程：；小亮所列方程：； 根据以上信息，解答下列问题． (1)以上两个方程（组）中x意义是否相同？________（填“是”或“否”）； (2)小亮的方程所用等量关系是________（填序号，“①每个小时生产的零件数相等”或“②4个小时生产的零件数相等”）； (3)根据小明所列的方程组完整解答老师提出的问题． 考点十三 分配问题（共5题） 61．某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）．加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片______张，正方形铁片______张； (2)现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖则可以加工成为铁盒．现准备用33张铁板先做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板有两种裁法： 方法1：可以裁出3个长方形铁片； 方法2：可以裁出4个正方形铁片． 若充分利用这些铁板加工成铁盒，则可以加工成多少个铁盒？ 62．【问题情景】 南宁的种植大户李大叔，在武鸣区通过土地流转承包了320亩农田种植沃柑．到了沃柑成熟的季节，看着满园金灿灿的果实，李大叔满心欢喜，可在租用沃柑采摘设备的问题上犯了难，请你帮李大叔设计租赁方案． 【调研发现】 市场上有大型和小型两种沃柑采摘设备可供租赁．一台大型采摘设备每小时采摘沃柑的数量是一台小型采摘设备每小时采摘沃柑的数量的2倍，2台大型采摘设备和3台小型采摘设备每小时共采摘沃柑28亩． 【解决问题】 (1)设一台大型采摘设备每小时采摘沃柑x亩，一台小型采摘设备每小时采摘沃柑y亩． 请填空：2台大型采摘设备每小时采摘沃柑______亩；3台小型采摘设备每小时采摘沃柑______亩． (2)大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘多少亩沃柑？ (3)由于要保证新鲜成熟的沃柑能够尽快送到市场销售，李大叔要求一天把沃柑正好全部采摘完，两种采摘设备都要租用，并且租来的设备都工作满10小时，现计划租用大型采摘设备m台，小型采摘设备n台，请你帮李大叔设计一下有哪几种租赁方案． 63．甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下： 人数 人 人 人以上 票价 元/人 元/人 元/人 (1)若甲公司有人游览，则共付门票费______元； 若乙公司共付门票费元，则乙公司有______人游览； (2)若甲、乙两家公司共有人游览，其中甲公司不超过人，两家公司先后共付门票费元，求甲、乙两家公司游览的人数． 64．优秀文化是文创产品的灵魂．西安肉夹馍、天水麻辣烫本身就是“圈粉”需求的地方代表性特色美食，以其为原型和载体创新文创产品“绒馍馍”和“麻辣烫”，生动展示了本土美食的独特韵味．一盒“绒馍馍”234元，一锅“麻辣烫”108元，某网友一次购买相应规格的“绒馍馍”和“麻辣烫”共10盒（锅），两种产品均享受七五折的优惠，共花费1188元，则该网友购买“绒馍馍”多少盒，购买“麻辣烫”多少锅？ 65．（应用意识）用如图①所示的长方形和正方形纸板作为侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒． (1)若有正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，则当竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个时，恰好能将这些纸板全部用完？ (2)若一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，请求出a所有可能的值． 考点十四 销售利润问题 （共5题） 66．科技节期间，小智负责记录班级购买实验耗材和的情况（两次采购单价相同，且按整件购买），第一天购买7件和4件，小智记为189元；第二天购买5件和2件，小智记为84元． (1)学习委员检查后指出小智记录矛盾，请通过计算说明错误原因； (2)修正数据后，根据正确数据算得的价格为每件15元，的价格为每件21元．另一班级用300元以同样价格购买这两种实验耗材（要求两种实验耗材均需购买）．请求出所有满足条件的购买方案． 67．为了进一步加强学生的校园安全意识，某班开展校园安全知识竞赛活动，去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖品．若买10杯A款奶茶，15杯B款奶茶，共需230元；若买25杯A款奶茶，25杯B款奶茶，共需450元．奶茶店为了满足市场的需求，推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． (1)求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元； (2)在不加料的情况下，购买A，B两种款式的奶茶（两种都买），刚好用了200元，请问有几种购买方案？ (3)若小华恰好用了268元购买A，B两款奶茶，其中A款不加料的数量是总数量的，则B款加料的奶茶买了多少杯？（直接写出结果） 68．某文具店决定购进某一品牌的水彩笔和笔记本，已知购进一盒水彩笔的价格是购进一本笔记本价格的2倍多4元，购买3盒水彩笔和2本笔记本共需76元． (1)求该品牌的每盒水彩笔，每本笔记本的进价各是多少元； (2)若该文具店打算购进的笔记本本数是水彩笔盒数的3倍少10，且购买水彩笔和笔记本的总费用为1240元，那么该文具店可购买多少盒该品牌的水彩笔？ 69．亚洲冬季运动会于 2025 年 2 月 7 日在我国哈尔滨举行，某经销商销售带有“滨滨”吉祥物标志的甲、乙两种纪念品，已知甲、乙两种纪念品的进价和售价如表： 种类 种类进价（元/件） 售价（元/件） 甲 50 80 乙 70 90 (1)经销商第一次购进甲类和乙类纪念品共 200 个，全部销售完后总利润（利润＝售价－进价）为 4700 元，求甲类和乙类纪念品分别购进多少个？ (2)经销商第二次购进了与第（1）问中第一次购进一样多的甲类和乙类纪念品，由于两类纪念品进价都比上次优惠了，甲类纪念品进行打折出售，乙类纪念品价格不变，全部销售完后总利润比上次还多赚 1400 元，求甲类纪念品打了几折？ 70．第届冬季奥运会于年月日至年月日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会．冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”陶制品分为小套装和大套装两种．已知购买个小套装比购买个大套装少用元；购买个小套装和个大套装，共需元． (1)求这两种套装的单价分别为多少元？ (2)某校计划正好用元的资金购买这种陶制品小套装和大套装作为奖品，则该校最多可以购买大套装多少个？ 考点十五 和差倍分问题（共5题） 71．在一次小组竞赛中，遇到了这样的情况：如果每组7人，就会余3人；如果每组8人，会少5人．问竞赛人数和小组的组数各是多少？ 72．“绿水青山就是金山银山”，大家对生态环境的保护意识不断提高．某学校开展植树护林活动，据了解1棵种树苗、4棵种树苗的售价共计130元；2棵种树苗、3棵种树苗的售价共计160元． (1)求，两种树苗每棵的售价分别为多少元？ (2)若学校某班计划用400元购进以上两种树苗（两种树苗均要购买，且400元全部用完），问该班有几种购买方案，请通过计算列举出来． 73．用一根绳子环绕一棵大树．若环绕大树3周，则绳子还多；若环绕大树4周，则绳子少．这根绳子有多长？环绕大树1周需要多少米绳子？ 74．某校七年级举行百科知识竞赛，参加竞赛的人数是未参加人数的倍，如果该年级学生减少人且未参加竞赛的学生增加人，那么参加竞赛的与未参加的人数的比为．求原来参加竞赛的人数及未参加的人数． 75．根据以下素材，完成任务． 解决学校打印机与耗材的购买问题 素材一 校总务处公示前两年学校购进的A型打印机与B型打印机的购买清单，如表所示： A型打印机数量（台） B型打印机数量（台） 购进所需总费用（元） 2022年 10 20 26000 2023年 15 10 19000 素材二 今年校总务处又向学校申请了3800元经费用于采购两种打印机．通过向店家进行咨询，得知今年A型打印机单价不变，B型打印机打八折优惠． 素材三 打印机的耗材包含A4纸以及黑色墨水．校总务处根据统计前两年购买的A4纸以及黑色墨水的总费用，预估今年耗材费用为w元．若购买75本A4纸和105盒黑色墨水，则耗材费用还缺75元；若购买110本A4纸和90盒黑色墨水，则耗材费用还剩50元． 问题解决 任务一 计算商品单价 若2022年与2023年购进的A型与B型打印机的单价不变，求购进A型打印机与B型打印机的单价分别是多少元？ 任务二 探究购买方案 总务处预计将3800元采购经费正好用完，请问有哪几种采购方案？ 任务三 确定耗材费用 在任务二的采购方案中，学校采用购入打印机总数最多的方案．在此基础上，为今年新购入的打印机配置耗材，每台打印机配置3本A4纸与1盒黑色墨水，求学校今年需为这几台新购入的打印机支出多少元的耗材费用？（结果用含w的代数式表示） 考点十六 几何问题（共5题） 76．小明在拼图时，发现8个大小一样的长方形，恰好可以拼成如图①所示的一个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图②所示的正方形．但是中间还留下了一个小洞，恰好是边长为3 mm的小正方形！求每个小长方形的面积． 77．某学校开发一块试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，由大小形状完全相同的8块小长方形试验田组成，如图所示，经测量，该实践基地的宽为80米． (1)求小长方形的长和宽； (2)求该实践基地的面积． 78．根据以下素材，完成任务． 如何生产纸盒 素材1 某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位） 素材2 工厂仓库内现存有的正方形纸板150张，的长方形纸板300张，用库存纸板制作两种无盖纸盒． 素材3 库存纸板用完后，采购部重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有400张，乙纸板有300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为1和4．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒． 任务一 求两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完，且每张纸板利用率均为． 任务二 若用本次重新采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，纸板恰好用完，且每张纸板利用率均为．请你帮助工厂确定丙纸板的张数． 79．学校举办“数学艺术周”创意设计展览．小明、小聪、小方用一张大正方形纸片和四张相同的小正方形纸片，分别设计了图①、图②、图③三种图案： (1)根据图①、图②，求大正方形纸片和小正方形纸片的边长； (2)若图③中四个小正方形的重叠部分是三个相同的正方形，求图③阴影部分的面积． 80．某厂要制作一些玻璃窗，如图，一扇窗户由甲、乙、丙型玻璃片组成，厂家购置了一批相同的长方形大玻璃（如长方形），并按如图所示的两种方案进行无废料切割，同种型号玻璃片大小、形状都一样． (1)若大玻璃的长为2米，则乙玻璃的边______米，________米． (2)若厂家已有足够多的甲玻璃片，再购入26块大玻璃片，并按以上两种方案进行切割成乙、丙两种玻璃片．设其中有x块大玻璃片按方案一切割，y块按方案二进行切割．若所购大玻璃片无剩余，且恰好可以与甲玻璃搭成若干扇窗户，请求出x与y的值． 考点十七 古代问题（共5题） 81．我国明代数学著作《算法统宗》记截：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤”（注：古秤十六两为一斤，故有“半斤八两”这一成语）．其大意是：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知人数不知银两的数量，若每人分七两，还多四两；若每人分九两，则还差八两”．问客人数和银两分别是多少？ 82．我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了“二果问价”问题： 九百九十九文钱，甜果苦果买一千． 甜果九个十一文，苦果七个四文钱． 试问甜苦果几个，又问各该几个钱． 意思是：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可以买九个甜果，四文钱可以买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？每个甜果、苦果分别卖多少文钱？请你解决这个问题． 83．《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你用方程组的知识解答这个问题． 84．《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 85．阅读下列材料，解决问题． 《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．” 译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (1)【尝试】若设公鸡有x只，母鸡有y只． ①小鸡有________只，买小鸡一共花费________文钱（用含x，y的式子表示）． ②根据题意，列出一个含有x，y的方程________． (2)【探索】若对“百鸡问题”增加一个条件：公鸡数量是母鸡数量的3倍，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (3)【拓展】除了问题（2）中的解之外，请写出两组符合“百鸡问题”的解，并简要说明理由． 考点十八 二元一次方程组的新定义问题（共5题） 86．定义：当两个数x，y满足，则称x与y具有“友好关系”． (1)判断方程组的解x，y是否具有“友好关系”？说明你的理由． (2)若方程组的解x，y具有“友好关系”，请求出方程组的解及a，b的正整数值． 87．对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 88．定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)方程的“变更方程”为________； (2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为________； (3)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 89．定义：关于x，y的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，其中如二元一次方程与二元一次方程互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程” ； (2)二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，求出m，n的值． 90．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”为：____________； (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 二元一次方程组【单元卷·考点卷】（18大核心考点） 考点一 二元一次方程的相关概念（共5题） 1．已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键． 先将方程组的解代入第一个方程可求出的值，从而可得这个方程组的解，再在四个选项中，找出满足这个解的方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：，解得，所以这个方程组的解为， A、将代入得：，则此项不符合题意； B、将代入得：，则此项不符合题意； C、将代入得：，则此项不符合题意； D、将代入得：，则此项符合题意； 故选：D． 2．方程在正整数范围内的解（    ） A．有无数对 B．只有一对 C．只有三对 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键．根据题意得到方程的正整数解，即可得到答案． 【详解】解：方程在正整数范围内的解有或或， 故选C． 3．若为二元一次方程，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查二元一次方程的概念，解题的关键是能够熟练的掌握二元一次的基本概念即可． 根据二元一次方程的概念分析解答即可． 【详解】解：∵方程是二元一次方程， ， ， 故答案为：2． 4．已知是关于的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解答本题的关键． 根据二元一次方程的定义解答即可． 【详解】解：是关于的二元一次方程， 且， 解得：， 故答案为：． 5．已知二元一次方程． (1)把方程写成用含x的代数式表示y的形式，即______； (2)填表，使x，y的值是方程的解； x 1 2 3 4 5 y (3)求方程的非负整数解． 【答案】(1) (2)填表见解析 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的解，以及方程的非负整数解，学会用含一个未知数的代数式表示另一个未知数是解题的关键． （1）要用含的代数式表示，就要把方程中含有的项和常数项移到方程的右边，再把的系数化为1即可． （2）将分别代入，求出的值即可； （3）根据表格，直接写出方程的非负整数解即可； 【详解】（1）解：， 得， 所以， 故答案为：； （2）解：将的值分别代入中得到y的值分别为：； ∴填表如下： x 1 2 3 4 5 y 4 （3）解：当时，不符合题意， 当时，不符合题意， 结合上表可知：方程的非负整数解为：． 考点二 二元一次方程组的相关概念（共5题） 6．若关于，的二元一次方程组的解为则被遮住的两个数和分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握方程组的解满足方程组，是解答本题的关键． 将代入，解出的值，即为，再将，同时代入，即可求得的值． 【详解】解：已知，将代入，得， 解得，即为， 将，同时代入，得，即， 故选：C． 7．已知是二元一次方程组的解，则的值是（    ） A． B．5 C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程的解以及解一元二次方程，熟练掌握解二元一次方程是解题的关键．根据题意得到关于的二元一次方程解出的值即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：， 解得， ， 故选C． 8．已知关于，的二元一次方程组的解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入原方程组中求出a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴， 解得， ∴， 故答案为；． 9．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，则的值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，解题的关键是掌握二元一次方程组的解的定义．根据方程的解的概念得出是方程②的解，是方程①的解，从而得到、满足，，解之求出、的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：将代入， 可得：，， 解得：， 将代入， 可得：， 解得：， 当，时，． 故答案为：． 10．已知关于x，y的二元一次方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)若，求m的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组、代数式求值等知识点． （1）将代入得到关于a、b的二元一次方程组，然后再运用加减消元法求解即可； （2）将a、b的代入，计算即可． 【详解】（1）解：把代入关于，的二元一次方程组， 得：， 解得：； ∴，； （2）解：由（1）得：，，， ∴， 解得，， ∴的值为． 考点三 二元一次方程组的解 （共5题） 11．解二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握代入消元法和加减消元法，是解题的关键． （1）利用代入消元法，即可求解； （2）整理后，利用加减消元法，即可求解． 【详解】（1）解：， 把①代入②得：， 解得， 把代入①得：， ∴方程组的解为：； （2）解：方程组整理得 ， 得：③， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 12．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握二元一次方程组的求解方法是解题关键． （1）利用代入消元法进行求解即可； （2）利用代入消元法进行求解即可． 【详解】（1）解：， 将①代入②，得， 解得：， 将代入①，得， 方程组的解为：； （2）解：， 整理得， 将②代入①，得， 解得：， 将代入②，得， 方程组的解为：． 13．解下列方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）用代入消元法解方程组即可； （2）用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 把代入得， 解得， 将代入得， 原方程组的解为； （2）解： 得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为． 14．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由①得， 把③代入②得：，解得， 把代入③得：， ∴原方程组的解为； （2）解： 整理得： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 15．解方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握用加减消元法，代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）利用代入消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 把①代入②，得：， 解得：， 将带入①，得：， 解得：， ∴原方程组的解是； （2）解：， ，得：， 解得：， 将带入②，得， 解得：， ∴原方程组的解是． 考点四 二元一次方程组的特殊解法（共5题） 16．若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解， 先将原方程组整理为，根据题意可得，再求出方程组的解即可． 【详解】解：将原方程组整理为：， ∵方程组的解是， ∴方程组的解是， 解得． 故选：A． 17．已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组解的定义和解二元一次方程组的一般步骤． 先利用等式的基本性质把方程组变形为：，然后根据已知条件，列出关于，的方程组，解方程组即可． 【详解】解：方程组变形为：， ∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴方程组的解为， 由①得：， 由②得：， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 18．先阅读下列材料，解方程组时，如果我们直接消元，那么会很麻烦，但若用下面的解法，则要简便得多． 解方程组 解：，得，③ ，得，④ ，得， 将代入③得， 所以原方程组的解是， 根据上述材料，解答问题： (1)解方程组； (2)在（1）的条件下，求式子的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，代数式求值，正确理解题中消元的方法是解题的关键； （1）仿照题中消元方法解方程组即可； （2）根据（1）所求代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解： 得：，即③， 得：④， 得：， 把代入③得：，解得， ∴原方程组的解为； （2）解：当时，． 19．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形为，即，③ 把方程①代入③得，∴， 把代入①得， ∴方程组的解为 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程组 (2)已知x，y满足方程组求整式的值． 【答案】(1) (2)19 【分析】本题考查解二元一次方程组等知识． （1）将方程②变形为，即③，把方程①代入③得，即可求出y，进而可得解； （2）由①得，即③，把方程③代入②得，即可求出，进而可求，再整体代入所求式子即可得解． 【详解】（1）解：将方程②变形为，即③， 把方程①代入③得， ∴， 把代入①得， ∴方程组的解为； （2）解：由①得，即③， 把方程③代入②得， 解得， 把代入③得， ∴， 答：整式的值为19． 20．下面是李明同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，在解方程组时，运用“整体思想”通常会使解题更加简便快捷． 例1：解方程组 分析：在这个方程组中，方程②中的在方程①中也存在，此时运用整体思想，把看作一个整体，就可以直接代入方程①进行计算，避免了先去括号等复杂操作． 解：把②代入①，得，解得． 把代入②，得．所以原方程组的解为 例2：解方程组 解：将方程②变形为，即③ 把①代入③，得． ． 把代入①，得． 方程组的解为 任务： (1)利用“例1”的方法，解方程组 (2)已知利用“例2”的方法，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）类比于“例1”的方法可进行求解； （2）将方程①变形为，然后可得，，进而问题可求解 【详解】（1）解：， 把②代入①，得，解得． 把代入②，得． 所以原方程组的解为； （2）解：， 将方程①变形为③， 将②代入③，得， 解得． 把代入②，得． 所以． 考点五 二元一次方程组的错解复原（共5题） 21．两位同学在解方程组 时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得 ，则a，b，c正确的值应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键理解题意得出正确的方程组．把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a， b，c的值，即可求出所求． 【详解】解：把代入方程组得： 把代入得： ， 联立得解得： ， 由，得到， 故选：． 22．甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查含参的二元一次方程组的错解问题，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键，根据甲将①中的看成了它的相反数解得的值，代入可得到，的值，再根据乙抄错②中的得到的值，代入可得到的值，结合两个式子的值即可得到答案． 【详解】解：∵甲将①中的看成了它的相反数解得，代入原式得到：， ∴③，， ∵乙抄错②中的解得，代入原式的①得到：， ∴④， ∴， 解得： ∴， 故答案为：5． 23．甲、乙两人解关于，的方程组，甲因看错了，解得，乙将方程②中的写成了它的相反数，解得．求原方程组的解． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，加减消元法解二元一次方程组； 根据二元一次方程组的解的定义，将分别代入，可以求出的值，再将 代入求出的值，进而得出，再代入原方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：将分别代入得：， 解得：， 将，代入后，左右两边不相等， 故：，将，代入后可得： ，解得：， 原方程组为 ①+②得， 解得： 将代入①得， 解得： ∴原方程组的解为： 24．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为 (1)甲把看成了什么，乙把看成了什么； (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)甲把看成了，乙把看成了； (2) 【分析】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键． （1）甲看错了方程组中的，把代入①，②，乙看错了方程组中的，把代入①，②，从而求出、正确的值和错误的值； （2）把，代入原方程组，然后用加减消元法解出方程组的解． 【详解】（1）解：， 把代入①，②得， ， ， ． ； 把代入①、②得， ， ， ， ； 甲把看成了，乙把看成了； （2）把，代入原方程组， 原方程组为， 由②，得③， ，得， 把代入①，得， 原方程组的解：． 25．在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组， （1）把代入方程组可求出、的值，再根据乙看错了方程组中的，得解为，可知是方程的解，继而求出的值； （2）将，，的值代入原方程组后，再解这个二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：由题意知，是方程组的解， ∴， 解得， ∵乙看错了方程组中的，求得的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴正确的，，的值为：，，； （2）解：当，，时，原方程组变为： ， ①＋②，得：， 解得：， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 考点六 构造二元一次方程组（共5题） 26．对于有理数x、y，定义新运算：，其中是常数，例：．已知，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是得出关于a、b的方程组，难度一般，根据题意求出，即可求解． 【详解】由题意得：，解得 ∴ 故选：C． 27．已知，，，…，中每一个数值只能取、0、1中的一个，且满足，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，根据题意列出关于p、q的二元一次方程组是解答此题的关键．先设有个取，个取，其余的取，根据，可得出关于，的二元一次方程组，求出，的值，再把，及的值代入求解． 【详解】解：设有p个x取1，q个x取， 则有， 解得， ∴． 故答案为：． 28．已知正实数，，，，满足，，如图是以，，，为边长作正方形或矩形．若图1阴影部分的面积为6，求图2阴影部分的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意由图形1得，联立方程组，解得，，由方程组得，即可得，从而可得图2阴影部分的面积． 【详解】解：根据题意得图1阴影部分的面积为， ∴， ∵正实数，，，，满足，， ∴联立方程组得， 解得，， 由方程组得 ∴， ∴， ∴图2阴影部分的面积为8． 故答案为：8． 29．如果，且，求，的值． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程，熟练掌握解二元一次方程是解答本题的关键．化简得，再联立，解方程组即可求出、的值． 【详解】解：化简得， ， 解得： ，． 30．对实数，定义一种新运算，规定（其中，均为常数），例如：，． (1)求，的值； (2)求关于，的方程的正整数解． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了新运算、二元一次方程组的解法、二元一次方程的正整数解，解决本题的关键是把规定的新运算转化为一般的方程组，通过解方程组求出字母的值． 把和分别代入，可得关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值即可； 由可知，可得：、，根据，可得关于、的方程组，整理可得，再根据、为正整数，分情况讨论确定于、的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ， 可得方程组:， 得：， 解得， 把代入得：， 解得：， 方程组的解为：， 的值为，的值为； （2）解：把，代入， 可得：， ， ， 原方程可化为， 整理得：， ， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，； 当时，为负数，不符合题意，舍去； 方程的正整数解为． 考点七 已知二元一次方程组解的情况求参数（共5题） 31．已知关于的二元一次方程组的解均为整数，则符合条件的整数的值有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法，代入消元法的计算是关键． 运用加减消元法，代入消元法解二元一次方程组，再根据解均为整数列式判定即可． 【详解】解：， 得，， 整理得，， 把代入②得，， 解得，， ∴原方程组的解为， ∵方程组的解均为整数， ∴的值可为， ∴符合条件的整数的值有个， 故选：D ． 32．若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键，根据题意两式相加得，根据，可解得，即而得到答案． 【详解】解： 得：， 整理得：， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 33．若关于x，y的方程组的一个解为，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解一元一次方程，由题意可得，从而得出，将，代入可得，解关于的一元一次方程即可得解． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的一个解为， ∴， ∴， 将，代入可得， 解得：， 故答案为：． 34．已知关于的方程组，以下结论： ①当时，方程组的解也是方程的解； ②存在实数，使得； ③不论取什么实数，的值始终不变； 其中正确的序号是 ． 【答案】②③/③② 【分析】本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的方法和二元一次方程的解的定义是解题的关键． 当时，得，可判断结论①；由得，求出，可判断结论②，解方程组得到，继而得到，可判断结论③，即可得到答案． 【详解】解： 当时，得， 方程组的解不是方程的解， 故结论①错误； 得， ， ， ， 存在实数，使得， 故结论②正确； 解方程组得， ， 不论取什么实数，的值始终不变； 故结论③正确； 综上所述，结论正确的序号是②③， 故答案为：②③． 35．已知关于，的方程组． (1)方程有一个正整数解，还有一个正整数解为________． (2)若方程组的解满足，求的值； (3)无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，请求出这个解为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了解二元一次方程组、二元一次方程的解等知识，熟练掌握二元一次方程的解的定义是关键． （1）求出二元一次方程的正整数解即可； （2）解得到，再代入即可求出答案； （3）无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，与的取值无关，则，即可求出这个解． 【详解】（1）解：一个正整数解为， 故答案为： （2）由题知， 解得， 将代入， 解得 （3）∵无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解， ∴与的取值无关，则， 则 ∴ 故答案为． 考点八 方程组同解问题（共5题） 36．已知方程组和方程组的解相同，求的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二元一次方程组．根据方程组与方程组的解相同可组成方程组，解出x，y的值再代入可得出a，b的值，最后求的值即可求解． 【详解】解：∵方程组与方程组的解相同， ∴， 解得， 将代入得： ，解得， ∴． 37．已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)请求出这个相同的解； (2)求a，b的值； (3)请判断“无论m取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程的解”，这句话是否正确？并说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)正确，理由见解析 【分析】本题考查了同解方程组，解二元一次方程组． （1）联立，利用加减消元法解方程组即可； （2）将代入含有a，b的方程得到方程组再求解即可； （3）将代入原方程，可得恒等式，进而与m无关，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵关于x，y的方程组与有相同的解， ∴， 解得， 这个相同的解是； （2）解：将代入含有a，b的方程得： ， 解得：， ∴a，b的值分别为6，4； （3）解：正确，理由如下： 将代入中，得： ， ∴无论m取何值，都是方程的解． 38．已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组以及代数式求值，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键． （1）将两方程组中的第一个方程联立求出与的值； （2）将第二个方程联立，把与的值代入求出与的值，进而求出所求式子的值． 【详解】（1）由题意得：， 解得：； （2）把代入， 得：， 解得： ， ； 39．已知关于的方程组与同解，求的值． 【答案】 【分析】此题考查同解方程组的意义，利用两个方程组的解相同联立方程组，进一步利用方程组解决问题． 先把和联立方程组，求得x、y的数值，再进一步代入原方程组的另一个方程，再进一步联立关于a、b的方程组，进一步解方程组求得答案即可． 【详解】解：根据题意，四个方程同时成立，所以有方程组 解得， 代入其余两个方程，得 解得． 40．若方程组和方程组有相同的解． (1)求方程组的解． (2)求a，b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解，解题的关键是要知道两个方程组之间解得关系． （1）由题意得，解方程组即可解答． （2）首先联立两个方程组不含a、b的两个方程求得方程组的解，然后代入两个方程组含a、b的两个方程从而得到关于a、b的方程组，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵方程组和方程组有相同的解， ∴， 得，解得， 将代入①得，解得 ∴方程组的解为． （2）解：由（1）可得是方程和方程的解， ∴， 解得 考点九 三元一次方程组的相关概念（共5题） 41．我国古代数学家张丘建在《张丘建算经）里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题．用100个钱买100只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，小鸡的只数可能是（    ） A．78 B．87 C．88 D．89 【答案】A 【分析】本题考查列三元一次不定方程解古代数学问题的运用，不定方程组的解法的运用，解答时根据条件建立方程是关键． 设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据条件建立三元一次不定方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据题意得， ， 整理得： ， ，，且都是自然数， ， ，是7的倍数， ，7，14，21， ，18，11，4； 共有4种情况： ①公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只； ②公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只； ③公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只； ④公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只． ∴小鸡的只数可能是78， 故选：A． 42．若整数，，满足，则的值为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】利用幂的乘方与积的乘方法则和同底数幂的乘除法则将已知条件适当变形，得到关于，，的等式，并组成方程组，解方程组求得，，的值，将，，的值代入计算即可． 【详解】解：整数，，满足， ， ． ． ， 解得：， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方法则和同底数幂的乘除法则，利用幂的乘方与积的乘方法则和同底数幂的乘除法则将已知条件适当变形，得到关于，，的等式，并组成方程组是解题的关键． 43．“一马当先，当仁不让”，2025年仁寿举办中国首个白金标半马赛，引来世界各地朋友前来参赛，某酒店有二人间，三人间，四人间客房供参赛者租住．某地区20人组团参赛，准备租住客房7间，若每种房型均有居住且房间都住满，则租住方案有 种． 【答案】 【分析】此题考查了三元一次方程组的应用．首先设宾馆有客房：二人间间、三人间间、四人间间，根据题意可得方程组：，解此方程组可得，又由，，是非负整数，即可求得答案． 【详解】解：设宾馆有客房：二人间间、三人间间、四人间间，根据题意得： ； 解得：， ， ，，是正整数， 当时，，； 当时，，； 当时，，；(不符合题意，舍去) 租房方案有种． 故答案为：． 44．已知等式，且当时；当时；当时； (1)求a、b、c的值； (2)当时，y的值又是多少？ 【答案】(1)a、b、c的值分别是2，，1 (2)当时， 【分析】本题考查了三元一次方程组的运用，需要注意对应代值． （1），得，，得，然后求出a、b的值，再代入①即可求出c的值； （2）把a、b、c的值代入等式，得到，再将x的值代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ，得， ，得，即， ④与⑤组成方程组得， 解得， 把代入①，得， ∴a、b、c的值分别是2，，1； （2）解：由（1）知a、b、c的值分别是2，，1， ∴， 当时，． 45．解下列三元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是利用加减消元法将方程组转化为一元一次方程进行解答． （1）将①代入②消去y，与③联立得到关于x，z的二元一次方程组求解，再求y的值即可； （2）由，，消去y，得到关于x，z的二元一次方程组求解，再求y的值即可． 【详解】（1）， 将①代入②，得 ， ∴， ， 解得， 把代入①，得， ∴； （2）， 由，得， ，得， 由④⑤得到 将代入①可得， ， ∴原方程组的解为． 考点十 方案问题 （共5题） 46．某校组织350名学生去研学，已知1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人；3辆A型车和1辆B型车可以载学生130人． (1)A型、B型车每辆可分别载学生多少人？ (2)如果350名学生一次送完，且每辆车都坐满，请你设计租车方案； (3)若租一辆型车需要1000元，一辆型车需1200元，怎样租车费用最少？ 【答案】(1)A型车每辆载学生30人，B型车每辆载学生40人 (2)见解析 (3)租用1辆A型8辆B型车花费最少，为10600元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设型车每辆载学生人，型车每辆载学生人，根据题意列方程组求解即可； （2）设租用型辆，型辆，根据题意列方程求解即可； （3）根据（1）的方案分别计算即可． 【详解】（1）设A型车每辆载学生人，B型车每辆载学生人， 可得： 解得：， 答：A型车每辆载学生30人，B型车每辆载学生40人． （2）设租用A型辆，B型辆， 可得：， 因为a，b为正整数，所以方程的解为：，， 所以有三种方案： 方案一：A型1辆，B型8辆； 方案二：A型5辆，B型5辆； 方案三：A型9辆，B型2辆． （3）方案一：费用：元； 方案二：费用：元； 方案三：费用：元； 所以租用1辆A型8辆B型车花费最少，为10600元． 47．某运输公司现有190吨防疫物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的两次运输记录，如下表： A货车（辆） B货车（辆） 防疫物资（吨） 第一次 12 8 360 第二次 5 4 160 (1)请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资多少吨？ (2)请你通过计算说明现在运输190吨物资所有可行的运输方案． 【答案】(1)A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资20吨、15吨； (2)①A货车2辆，B货车10辆；②A货车5辆，B货车6辆；③A货车8辆，B货车2辆，共三种可行的运输方案． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用． （1）设A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资x吨、y吨，则根据题意列出方程组，求解即可； （2）设A、B两种货车各需要m辆、n辆，根据题意得到，当时，；当时，；当时，．共三种运输方案． 【详解】（1）解：设A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资x吨、y吨， 则根据题意，得， 解得， 答：A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资20吨、15吨； （2）解：设A、B两种货车各需要m辆、n辆， 则， ∴， ①当时，； ②当时，； ③当时，． ∴①A货车2辆，B货车10辆；②A货车5辆，B货车6辆；③A货车8辆，B货车2辆，共三种可行的运输方案． 48．综合与实践：阅读下列材料，回答问题． “校安工程”全称为“全国中小学校舍安全工程”，是党中央、国务院做出的一项重大决策．某中学校安工程需要制作个矩形铝合金窗框，每个窗框由根长管（长度米/根）和根短管（长度米/根）组成，这些铝合金管用长度足够的铝合金型材作为原材料进行切割获得，切割后剩余的原材料（长度小于米）称为废料．已知有型材（长度为米/根）、型材（长度为米/根）两种铝合金型材可供选择，它们的价格均为元/米，且只能整根购买． 数学综合实践小组对如何节约原材料的购买成本展开讨论，各自发表了意见： 小聪：需要使用的铝合金管的总长度是确定的，而原材料购买成本只与购买的总长度有关，因此废料最少时原材料的购买成本最低； 小颖：若全部采用型材比全部采用型材的购买成本更高； 小亮：除了选择原材料，还要制定合理的切割方法，才能使得购买原材料的成本最低． (1)分别写出，两种型材所有符合要求的切割方法及对应的废料长度； (2)为了使这个矩形铝合金窗框所需原材料的购买成本最低，请设计方案，方案应说明，两种型材的购买数量及对应切割方法，但不必说明理由． 【答案】(1)见解析； (2) 为了使这个矩形铝合金窗框所需原材料的购买成本最低，应购买根型材和根型材，切割方法如下：根型材按方法④切割，得到根长管；根型材按方法⑤切割，得到根短管；根型材按方法①切割，得到根长管和根短管． 【分析】（1）结合两种型材的长度和所需长管、短管的长度分析即可得解； （2）根据三位同学的意见，通过设采用方法④的共根，推出不同情况下的废料长度，结合购买成本最低的要求分类讨论即可得解． 【详解】（1）解：依题得： 方法①：每根型材切割出长管、短管各根，废料长度为每根米； 方法②：每根型材切割出短管根，废料长度为每根米； 方法③：每根型材切割出长管、短管各根，废料长度为每根米； 方法④：每根型材切割出长管根，废料长度为每根米； 方法⑤：每根型材切割出短管根，无废料． （2）解：购买数量：应购买根型材和根型材，切割方法如下： 根型材按方法④切割，得到根长管； 根型材按方法⑤切割，得到根短管； 根型材按方法①切割，得到根长管和根短管． 理由如下： 依题意，共需切割出长管、短管各根， 比较方法①与方法③，因为，方法①比方法③的废料更少，因此不必考虑方法③； 设采用方法④的共根，可得到根长管，另有根长管只能采用方法①切割根型材获得，这样共可获得长管根和短管根，废料为（米）； 另外还需要方法②或方法⑤得到短管根， 比较方法②与方法⑤，当需要获得的短管数量为的倍数时，应采用方法⑤， 所以要使得购买成本最低，采用方法②的最多为根， （）若都不采用方法②，则采用方法⑤的根数为，且为整数，废料的总长度为米，当时，废料的总长度最小，其值为米； （）若采用方法②的为根，则采用方法⑤的为根，且为整数，废料的总长度为（米），当时，废料的总长度最小，其值为米； （）若采用方法②的为根，则采用方法⑤的为根，且为整数，废料总长度为，当时，废料的总长度最小，其值为米． 因为，所以当时，废料的总长度最小，此时所需原材料的购买成本最低， 即购买成本最低的方案是： 根型材按方法④切割，得到根长管； 根型材按方法⑤切割，得到根短管； 根型材按方法①切割，得到根长管和根短管． 【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的应用，逻辑推理，解题关键是利用分类讨论求解． 49．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆型汽车，3辆型汽车的进价共计70万元；3辆型汽车，2辆型汽车的进价共计105万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案． 【答案】(1)型号的汽车每辆进价为25万元，型号的汽车每辆进价为15万元 (2)方案一：购买型号的汽车7台，型号的汽车5台，方案二：购买型号的汽车4台，型号的汽车10台，方案三：购买型号的汽车1台，型号的汽车15台． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用和二元一次方程的解，理解题意并解二元一次方程组是解题的关键． （1）根据题意列出二元一次方程组并进行求解即可； （2）根据题意列出二元一次方程，并根据解的情况求出解即可． 【详解】（1）解：设型号的汽车每辆进价为万元，型号的汽车每辆进价为万元， ， 解得， 答：型号的汽车每辆进价为25万元，型号的汽车每辆进价为15万元． （2）解：设购买型号的汽车台，型号的汽车台， ，即， 、均为正整数， 或或， 方案一：购买型号的汽车7台，型号的汽车5台， 方案二：购买型号的汽车4台，型号的汽车10台， 方案一：购买型号的汽车1台，型号的汽车15台． 50．初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，某校欲购置规格为的甲品牌消毒液和规格为的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买1瓶甲品牌消毒液和3瓶乙品牌消毒液需要85元；购买3瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要130元． (1)求甲、乙两种品牌消毒液每瓶的价格． (2)若该校需要购买甲、乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲、乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请求出所有的购买方案． (3)若该校采购甲、乙两种品牌消毒液共花费5000元，该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用的消毒液，则这批消毒液可使用多少天？ 【答案】(1)甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元 (2)见解析 (3)10天 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用． （1）设每瓶甲品牌消毒液的价格为x元，每瓶乙品牌消毒液的价格为y元，根据“购买1瓶甲品牌消毒液和3瓶乙品牌消毒液需要85元；购买3瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要130元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设需要购买甲消毒液a瓶，购买乙消毒液b瓶，根据该校需要购买甲、乙两种品牌消毒液总共，可列出关于a、b的二元一次方程，再根据a、b均为正整数，即可得出购买方案； （3）设购买甲消毒液m瓶，购买乙消毒液n瓶，设使用t天，根据“校采购甲、乙两种品牌消毒液共花费5000元，该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用的消毒液”，列出对应的方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元， 根据题意得：， 解得， 答： 甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元； （2）解：设需要购买甲消毒液 a 瓶，购买乙消毒液 b 瓶， 根据题意得：， 整理得，， 当时，， 当时，， 当时，， 共有三种方案： 方案一：购买15瓶甲消毒液，2瓶乙消毒液； 方案二：购买10瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液； 方案三：购买5瓶甲消毒液，6瓶乙消毒液； （3）解：设购买甲消毒液m瓶，购买乙消毒液n瓶，设使用t天， 则 ， 由①得③， 把③代入②得：， 解得， 答：这批消毒液可使用10天． 考点十一 行程问题（共5题） 51．甲从南向北走，乙从西向东走，甲从南距交叉点米的地方开始行走，乙从交叉点开始行走，分钟后甲、乙距交叉点的距离一样，分钟后又一样，问甲、乙的速度分别为多少？ 【答案】甲的速度为45米/分，乙的速度为35米/分 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，列二元一次方程组解决实际问题的关键是找相等关系，本题中含有个相等关系，第一个相等关系是：分钟后甲未到达交叉口，甲到交叉口的距离与乙到交叉口的距离相等；第二个相等关系是甲超过交叉口，甲到交叉口的距离与乙到交叉口的距离相等． 【详解】解：设甲的速度为米/分，乙的速度为米/分． 由题意，得， 解得， 答：甲的速度为米/分，乙的速度为米/分． 52．绍兴是个鱼米之乡，物产丰富，每天将新鲜蔬菜61吨运往省城杭州，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（t/辆） 1 3 4 汽车运费（元/辆） 100 250 300 (1)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费5300元，问分别需甲、乙两种车型各多少辆； (2)如果打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，且它们的总辆数为20辆，请你设计一种满足条件的运输方案，并求出该方案的总费用．（每个档次的得分不同，优秀>良好>合格） 车型 甲 乙 丙 总费用 注意：4800元总费用元为良好总费用元为合格 汽车辆数 　 　 　 　 【答案】(1)需要甲13辆，乙16辆； (2)共有6种运输方案，详见解析． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系，列出方程是解答关键． （1）设需要辆甲种车，辆乙种车，根据题意列出方程组，解此方程组即可求解； （2）设使用辆甲种车，辆乙种车，则使用辆丙种车，根据辆甲种车运送的蔬菜辆乙种车运送的蔬菜辆丙种车运送的蔬菜列出方程，再根据、、都是正整数，进而即可求解． 【详解】（1）解：设需要辆甲种车，辆乙种车， ∴ ∴， ∴需要甲13辆，乙16辆． （2）解：设使用辆甲种车，辆乙种车，则使用辆丙种车， ∴ ∴ 又∵，，均为正整数， ∴或或或或或， ∴共有6种运输方案，所需费用如下表， 车型 甲 乙 丙 总费用 等级 汽车辆数 6 1 13 4750 优秀 5 4 11 4800 良好 4 7 9 4850 良好 3 10 7 4900 良好 2 13 5 4950 合格 1 16 3 5000 合格 53．列二元一次方程组解应用题： 小明早上骑自行车上学，中途因道路施工步行了一段路，到学校共用20分钟．他骑自行车的平均速度是200米/分，步行的平均速度是70米/分，他从家到学校的路程是3350米．求小明骑自行车和步行的时间分别为多少分钟？ 【答案】骑自行车的时间为15分钟，步行的时间为5分钟 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系列出方程跟组是解答本题的关键．设小明骑自行车的时间为x分钟，步行的时间为y分钟，利用路程＝速度×时间，结合小明到校所用时间及从家到学校的路程，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设小明骑自行车的时间为x分钟，步行的时间为y分钟， 根据题意得：， 解得：． 答：小明骑自行车的时间为15分钟，步行的时间为5分钟． 54．已知一辆快车长，一辆慢车长，若两车同向而行，快车从追上慢车到离开慢车共用；若两车相向而行，快车从与慢车相遇到离开慢车共用．求两车的速度． 【答案】快车速度为，慢车速度为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设快车的速度为，慢车的速度为，根据同向行驶快车比慢车多行驶的距离是快车车长，相向行驶时，从相遇到离开，两车所走距离之和为两车车身之和，从而列出方程组求解即可． 【详解】解：设快车的速度为，慢车的速度为， 由题意得，， 解得：． 答：快车的速度为，慢车的速度为． 55．综合与实践 探究操场跑道的设计与分析 素材 标准田径跑道的设计如图． 直道长度：84.39米； 跑道数量：8条； 弯道半径：最内圈为36.5米； 跑道宽度：1.22米； 注：由内圈向外圈数，最内圈跑道记为第1道，以此类推，最外圈跑道记为第8道； 任务一 计算第1道跑道的长（实际跑线在分道线外侧，所以跑道长比实际跑线略短）（取3.14） 任务二 计算第8道与第1道的长度之差．（取3.14，保留一位小数） 任务三 小明从点沿第1圈跑道逆时针跑，小方从点的正上方（垂直于）沿第4圈跑道顺时针跑，两人同时出发，21秒后在跑道的段相遇，已知小方的速度比小明的速度快1.03米/秒，分别求出小明与小方的速度．（取3，保留两位小数） 【答案】任务一：第1跑道的长为398米 任务二：第8道与第1道的长度之差为53.6米 任务三：小方的速度为8米/秒，小明的速度为6.97米/秒 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解答本题的关键． 任务一：用第1道跑道圆的周长加上两个直道的长即可求解； 任务二：根据弯道半径相差求解即可； 任务三：设小方的速度为米/秒，小明的速度为米/秒，根据21秒后在跑道的段相遇，小方的速度比小明的速度快1.03米/秒列方程组求解即可． 【详解】任务一：米 答：第1跑道的长为398米． 任务二： 答：第8道与第1道的长度之差为53.6米． 任务三：设小方的速度为米/秒，小明的速度为米/秒． 解得 答：小方的速度为8米/秒，小明的速度为6.97米/秒． 考点十二 工程问题（共5题） 56．穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？ 【答案】(1)甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、米； (2)能比原来少用天． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意是解本题的关键； （1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，根据题意列方程组，解方程组即可；（2）设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a天、b天完成任务，分别计算出施工进度改进前和改进后完成任务还需的天数，再作差即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米， 由题意得， 解得． 答：甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、米； （2）解：设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a天、b天完成任务，则 （天）， （天）， 则（天）． 答：能比原来少用天． 57．一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付费用元，问： (1)甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？ (2)已知甲组单独完成需天，乙组单独完成需天，单独请哪个组，商店所需费用最少？ (3)若装修完后，商店每天可赢利元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．（可用（1）（2）问的条件及结论） 【答案】(1)甲、乙两组工作一天，商店各应付元和元 (2)单独请乙组需要的费用少 (3)甲、乙两组合作同时施工8天损失费用最少 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数加法、乘法的实际应用．熟练掌握二元一次方程组的应用，有理数加法、乘法的实际应用是解题的关键． （1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元．依题意得， ，计算求解，然后作答即可； （2）由题意知，单独请甲组需要的费用：（元），单独请乙组需要的费用：（元），由，判断作答即可； （3）分别计算甲、乙单独完成时的损失，然后计算甲乙合作完成时的损失，最后比较大小并作答即可． 【详解】（1）解：设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元． 依题意得， ， 解得 ， 答：甲、乙两组工作一天，商店各应付元和元； （2）解：由题意知，单独请甲组需要的费用：（元）， 单独请乙组需要的费用：（元）， ∵， ∴单独请乙组需要的费用少； （3）解：由题意知，甲组单独做天，需费用元，少赢利（元），相当于损失（元）； 乙组单独做天，需费用元，少赢利（元），相当于损失（元）； 甲乙两组合作同时施工8天，需费用元，少赢利（元），相当于损失（元）； ∵， ∴甲、乙两组合作同时施工8天损失费用最少． 58．安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天． (1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天； (2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的． 【答案】(1)甲队单独完成此项工程需要40天，乙队单独完成此项工程需要15天 (2)与公司派来的乙工程队再合作6天可完成此项工程 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程（组）． （1）设甲队单独完成此项工程需要天，乙队单独完成此项工程需要天，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解； （2）设与公司派来的乙工程队再合作天可完成此项工程的，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设甲队单独完成此项工程需要天，乙队单独完成此项工程需要天， 根据题意得 解得 答：甲队单独完成此项工程需要40天，乙队单独完成此项工程需要15天 （2）解：设与公司派来的乙工程队再合作天可完成此项工程的， 根据题意得， 解得， 答：与公司派来的乙工程队再合作6天可完成此项工程． 59．（应用意识）琳琳家准备装修一套新房．若甲、乙两家装修公司合作，需6周完成，共需装修费5.4万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费5.1万元，琳琳的爸爸妈妈商量后决定只选一家公司单独完成． (1)如果从节约时间的角度考虑应该选择哪家公司？ (2)如果从节约开支的角度考虑呢？ 【答案】(1)从节约时间的角度考虑应该选择甲公司 (2)从节约开支的角度考虑应该选择乙公司 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设设工作总量为1，甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n．依题意列出二元一次方程组，再解得，即可作答． （2）设甲公司每周费用为a万元，乙公司每周费用为b万元．依题意列出二元一次方程组，再解得，即可作答． 【详解】（1）解：设工作总量为1，甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n． 根据题意，得， 解得， ， ∴甲公司的工作效率高． 故从节约时间的角度考虑应该选择甲公司． （2）解：设甲公司每周费用为a万元，乙公司每周费用为b万元． 根据题意，得， 解得， 由（1）可知，甲公司单独完成需要10周，乙公司单独完成需要15周， ∴甲公司共需（万元），乙公司共需（万元）． ∵4.5万元万元， ∴从节约开支的角度考虑应该选择乙公司． 60．下面是学习二元一次方程组时，老师提出的问题和两名同学所列的方程． 问题：某个工人一天工作6个小时，可以生产零件一整箱和不足一箱的20个；由于特殊情况，今天他只工作4个小时，生产零件一整箱和不足一箱的4个，问这一箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是多少？ 小明所列方程：；小亮所列方程：； 根据以上信息，解答下列问题． (1)以上两个方程（组）中x意义是否相同？________（填“是”或“否”）； (2)小亮的方程所用等量关系是________（填序号，“①每个小时生产的零件数相等”或“②4个小时生产的零件数相等”）； (3)根据小明所列的方程组完整解答老师提出的问题． 【答案】(1)是 (2)② (3)一箱零件数是28个，该工人每小时能生产的零件数是8个 【分析】本题主要考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，正确理解所列方程的意义是解题的关键． （1）根据所列方程分别得到小明和小亮所列方程中x的意义即可得到答案； （2）根据小亮所列方程的意义求解即可； （3）利用解二元一次方程组的方法求解即可． 【详解】（1）解：由小明所列方程的意义可知，小明方程中x表示的是这一箱零件的个数， 而由小亮所列方程的意义可知，小亮方程中的x表示的是这一箱零件的个数， ∴以上两个方程（组）中x意义相同， 故答案为：是； （2）解：根据小亮所列方程的意义可知小亮的方程所用等量关系为4个小时生产的零件数相等， 故答案为：②； （3）解：设一箱零件数是个，该工人每小时能生产的零件数是个， 根据题意得，， 得：， 解得， 把代入①得：， 解得， ∴这一箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是28个、8个． 考点十三 分配问题（共5题） 61．某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）．加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片______张，正方形铁片______张； (2)现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖则可以加工成为铁盒．现准备用33张铁板先做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板有两种裁法： 方法1：可以裁出3个长方形铁片； 方法2：可以裁出4个正方形铁片． 若充分利用这些铁板加工成铁盒，则可以加工成多少个铁盒？ 【答案】(1)7，3 (2)加工的竖式铁容器有10个，横式铁容器各有20个 (3)18个 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，掌握解二元一次方程的方法是解题的关键． （1）如图得加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1 张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2 张，即可求解． （2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器各有y个，根据题意列出方程组求解即可． （3）设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：如图，加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1 张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2 张． 故如果加工竖式铁容器与横式铁容器各 1 个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张， 故答案为：7，3； （2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器各有y个，由题意得 解得 故加工的竖式铁容器有10个，横式铁容器各有20个； （3）解：设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，由题意得 解得 ∴在这33张铁板中，24张做长方形铁片可做（片），9张做正方形铁片可做（片）， ∴可做铁盒（个）． 62．【问题情景】 南宁的种植大户李大叔，在武鸣区通过土地流转承包了320亩农田种植沃柑．到了沃柑成熟的季节，看着满园金灿灿的果实，李大叔满心欢喜，可在租用沃柑采摘设备的问题上犯了难，请你帮李大叔设计租赁方案． 【调研发现】 市场上有大型和小型两种沃柑采摘设备可供租赁．一台大型采摘设备每小时采摘沃柑的数量是一台小型采摘设备每小时采摘沃柑的数量的2倍，2台大型采摘设备和3台小型采摘设备每小时共采摘沃柑28亩． 【解决问题】 (1)设一台大型采摘设备每小时采摘沃柑x亩，一台小型采摘设备每小时采摘沃柑y亩． 请填空：2台大型采摘设备每小时采摘沃柑______亩；3台小型采摘设备每小时采摘沃柑______亩． (2)大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘多少亩沃柑？ (3)由于要保证新鲜成熟的沃柑能够尽快送到市场销售，李大叔要求一天把沃柑正好全部采摘完，两种采摘设备都要租用，并且租来的设备都工作满10小时，现计划租用大型采摘设备m台，小型采摘设备n台，请你帮李大叔设计一下有哪几种租赁方案． 【答案】(1)， (2)大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘8亩和4亩沃柑 (3)方案一：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台； 方案二：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台； 方案三：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和方程组，是解题的关键： （1）根据题意，直接列出代数式即可； （2）根据一台大型采摘设备每小时采摘沃柑的数量是一台小型采摘设备每小时采摘沃柑的数量的2倍，2台大型采摘设备和3台小型采摘设备每小时共采摘沃柑28亩，列出方程组进行求解即可； （3）根据题意，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：由题意，2台大型采摘设备每小时采摘沃柑亩，3台小型采摘设备每小时采摘沃柑亩； 故答案为：，； （2）解：由题意，得：，解得：； 答：大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘8亩和4亩沃柑． （3）解：由题意，得：， ∴， ∵均为正整数， ∴，，； 故共有3种租赁方案： 方案一：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台； 方案二：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台； 方案三：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台． 63．甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下： 人数 人 人 人以上 票价 元/人 元/人 元/人 (1)若甲公司有人游览，则共付门票费______元； 若乙公司共付门票费元，则乙公司有______人游览； (2)若甲、乙两家公司共有人游览，其中甲公司不超过人，两家公司先后共付门票费元，求甲、乙两家公司游览的人数． 【答案】(1)；； (2)甲公司有人游览，乙公司有人游览． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键． （1）根据表格信息，利用费用人数票价求解即可； （2）设甲公司有人游览，则乙公司有人游览，根据题意分两种情况讨论，列方程组求解即可． 【详解】（1）解：若甲公司有人游览，则共付门票费：（元）， ， 乙公司人数超过人， 则乙公司游览人数为：（人）， 故答案为：；； （2）解：设甲公司有人游览，则乙公司有人游览， 若时， 根据题意，得， 解得，； 若时， 根据题意，得， 解得，， 甲公司不超过人， 此情况不符合题意，舍去； 答：甲公司有人游览，乙公司有人游览． 64．优秀文化是文创产品的灵魂．西安肉夹馍、天水麻辣烫本身就是“圈粉”需求的地方代表性特色美食，以其为原型和载体创新文创产品“绒馍馍”和“麻辣烫”，生动展示了本土美食的独特韵味．一盒“绒馍馍”234元，一锅“麻辣烫”108元，某网友一次购买相应规格的“绒馍馍”和“麻辣烫”共10盒（锅），两种产品均享受七五折的优惠，共花费1188元，则该网友购买“绒馍馍”多少盒，购买“麻辣烫”多少锅？ 【答案】该网友购买“绒馍馍”4盒，购买“麻辣烫”6锅 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．设该网友购买“绒馍馍”盒，购买“麻辣烫”锅，根据题意建立方程组，解方程组即可得． 【详解】解：设该网友购买“绒馍馍”盒，购买“麻辣烫”锅， 由题意得：， 解得， 答：该网友购买“绒馍馍”4盒，购买“麻辣烫”6锅． 65．（应用意识）用如图①所示的长方形和正方形纸板作为侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒． (1)若有正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，则当竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个时，恰好能将这些纸板全部用完？ (2)若一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，请求出a所有可能的值． 【答案】(1)当竖式纸盒加工500个，横式纸盒加工480个时，恰好能将这些纸板全部用完 (2)所有可能的值为155，160，165 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程或方程组求解． （1）设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1460张、长方形纸板3440张，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板80张、长方形纸板a张，列出m、n的二元一次方程组，解之即可用含a的代数式表示出n值，再根据n、a为正整数结合求出a的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个．根据题意，得： ， 解得， 故当竖式纸盒加工500个，横式纸盒加工480个时，恰好能将这些纸板全部用完． （2）解：设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个．根据题意，得： ， ，得 ， 均为正整数， 为5的倍数． 又， 所有可能的值为155，160，165． 考点十四 销售利润问题 （共5题） 66．科技节期间，小智负责记录班级购买实验耗材和的情况（两次采购单价相同，且按整件购买），第一天购买7件和4件，小智记为189元；第二天购买5件和2件，小智记为84元． (1)学习委员检查后指出小智记录矛盾，请通过计算说明错误原因； (2)修正数据后，根据正确数据算得的价格为每件15元，的价格为每件21元．另一班级用300元以同样价格购买这两种实验耗材（要求两种实验耗材均需购买）．请求出所有满足条件的购买方案． 【答案】(1)小智的记录矛盾，理由见解答 (2)共有2种购买方案，方案1：购买了13件实验耗材，5件实验耗材；方案2：购买了6件实验耗材，10件实验耗材 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（二元一次方程）是解题的关键． （1）设实验耗材的单价为元件，实验耗材的单价为元件，根据“第一天购买7件和4件，小智记为189元；第二天购买5件和2件，小智记为84元”，可列出关于，的二元一次方程组，利用②①，可求出的值，结合实验耗材的单价不能为负，可得出小智的记录矛盾； （2）设另一班级购买了件实验耗材，件实验耗材，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：小智的记录矛盾，理由如下： 设实验耗材的单价为元件，实验耗材的单价为元件， 根据题意得：， 解得：， 实验耗材的单价不能为负， 小智的记录矛盾； （2）设另一班级购买了件实验耗材，件实验耗材， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 或， 共有2种购买方案， 方案1：购买了13件实验耗材，5件实验耗材； 方案2：购买了6件实验耗材，10件实验耗材． 67．为了进一步加强学生的校园安全意识，某班开展校园安全知识竞赛活动，去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖品．若买10杯A款奶茶，15杯B款奶茶，共需230元；若买25杯A款奶茶，25杯B款奶茶，共需450元．奶茶店为了满足市场的需求，推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． (1)求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元； (2)在不加料的情况下，购买A，B两种款式的奶茶（两种都买），刚好用了200元，请问有几种购买方案？ (3)若小华恰好用了268元购买A，B两款奶茶，其中A款不加料的数量是总数量的，则B款加料的奶茶买了多少杯？（直接写出结果） 【答案】(1)A款奶茶的销售单价是8元，B款奶茶的销售单价是10元 (2)有4种购买方案：①购买A种款式的奶茶20杯，购买B种款式的奶茶4杯；②购买A种款式的奶茶15杯，购买B种款式的奶茶8杯；③购买A种款式的奶茶10杯，购买B种款式的奶茶12杯；④购买A种款式的奶茶5杯，购买B种款式的奶茶16杯； (3)B款加料的奶茶买了8杯 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用．解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据买10杯A款奶茶，15杯B款奶茶，共需230元；若买25杯A款奶茶，25杯B款奶茶，共需450元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，根据在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花200元，列出二元一次方程，求出正整数解即可； （3）设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯，则B款加料的奶茶买了杯，根据小华恰好用了268元购买A、B两款奶茶，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A款奶茶的销售单价是8元，B款奶茶的销售单价是10元； （2）设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯， 由题意得：， 解得：， 、n均为正整数， ，，，， ∴有4种购买方案： ①购买A种款式的奶茶20杯，购买B种款式的奶茶4杯； ②购买A种款式的奶茶15杯，购买B种款式的奶茶8杯； ③购买A种款式的奶茶10杯，购买B种款式的奶茶12杯； ④购买A种款式的奶茶5杯，购买B种款式的奶茶16杯； （3）设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯， 则B款加料的奶茶买了杯，即杯， 由题意得：， 整理得：， ，，均为正整数， ， ， 解得：， ，， ， 答：B款加料的奶茶买了8杯． 68．某文具店决定购进某一品牌的水彩笔和笔记本，已知购进一盒水彩笔的价格是购进一本笔记本价格的2倍多4元，购买3盒水彩笔和2本笔记本共需76元． (1)求该品牌的每盒水彩笔，每本笔记本的进价各是多少元； (2)若该文具店打算购进的笔记本本数是水彩笔盒数的3倍少10，且购买水彩笔和笔记本的总费用为1240元，那么该文具店可购买多少盒该品牌的水彩笔？ 【答案】(1)每盒水彩笔20元，每本笔记本8元 (2)可购买30盒水彩笔 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找到等量关系，列出方程组． （1）设每本笔记本的进价为元，每盒水彩笔的进价为元．根据购进一盒水彩笔的价格是购进一本笔记本价格的2倍多4元，购买3盒水彩笔和2本笔记本共需76元，即可得出方程组，解之即可得出结论； （2）设购进水彩笔盒，笔记本本 ．根据购进的笔记本本数是水彩笔盒数的3倍少10，且购买水彩笔和笔记本的总费用为1240元，列出方程组，再求解即可． 【详解】（1）解：设每本笔记本的进价为元，每盒水彩笔的进价为元． 根据题意列出方程组： ， 解得， 答：每盒水彩笔20元，每本笔记本8元； （2）解：设购进水彩笔盒，笔记本本 ．根据题意列出方程组： 解得：， 答：可购买30盒水彩笔． 69．亚洲冬季运动会于 2025 年 2 月 7 日在我国哈尔滨举行，某经销商销售带有“滨滨”吉祥物标志的甲、乙两种纪念品，已知甲、乙两种纪念品的进价和售价如表： 种类 种类进价（元/件） 售价（元/件） 甲 50 80 乙 70 90 (1)经销商第一次购进甲类和乙类纪念品共 200 个，全部销售完后总利润（利润＝售价－进价）为 4700 元，求甲类和乙类纪念品分别购进多少个？ (2)经销商第二次购进了与第（1）问中第一次购进一样多的甲类和乙类纪念品，由于两类纪念品进价都比上次优惠了，甲类纪念品进行打折出售，乙类纪念品价格不变，全部销售完后总利润比上次还多赚 1400 元，求甲类纪念品打了几折？ 【答案】(1)70 ；130 (2)八折 【分析】本题主要考查了一元一次方程和二元一次方程的应用，明确题意，找准等量关系是解答本题的关键． （1）设甲类x个，则乙类个，根据题意列出关于x的一元一次方程，解方程即可求解； （2）设甲类打y折，根据题意列出关于y的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设甲类x个，则乙类y个，由题意得： ， 解得： ∴（个）， 答：甲类纪念品购进70个，乙类纪念品购进130个． （2）设甲类打y折，由题意得： ， 解得：． 答：甲类纪念品打了八折． 70．第届冬季奥运会于年月日至年月日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会．冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”陶制品分为小套装和大套装两种．已知购买个小套装比购买个大套装少用元；购买个小套装和个大套装，共需元． (1)求这两种套装的单价分别为多少元？ (2)某校计划正好用元的资金购买这种陶制品小套装和大套装作为奖品，则该校最多可以购买大套装多少个？ 【答案】(1)小套装的单价为元，大套装的单价为元 (2)最多可以购买大套装个 【分析】本题考查二元一次方程组，二元一次方程，根据题意列方程是解题的关键； （1）设小套装的单价为x元，大套装的单价为y元，列方程求解即可； （2）设购买小套装个，大套装个，得，进而求解； 【详解】（1）解：设小套装的单价为x元，大套装的单价为y元． 依题意得； 解得； 答：小套装的单价为元，大套装的单价为元． （2）解：设购买小套装个，大套装个． 得， ， 所以方程得非负整数解为，，． 答：最多可以购买大套装个． 考点十五 和差倍分问题（共5题） 71．在一次小组竞赛中，遇到了这样的情况：如果每组7人，就会余3人；如果每组8人，会少5人．问竞赛人数和小组的组数各是多少？ 【答案】竞赛人数为59，小组组数为8 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，此题中的等量关系有：①若每组7人，则余下3人；②若每组8人，则少5人．据此可列方程组求解． 【详解】解：设竞赛人数为x，小组组数为y， 由题意得， 解得， 答：竞赛人数为59，小组组数为8． 72．“绿水青山就是金山银山”，大家对生态环境的保护意识不断提高．某学校开展植树护林活动，据了解1棵种树苗、4棵种树苗的售价共计130元；2棵种树苗、3棵种树苗的售价共计160元． (1)求，两种树苗每棵的售价分别为多少元？ (2)若学校某班计划用400元购进以上两种树苗（两种树苗均要购买，且400元全部用完），问该班有几种购买方案，请通过计算列举出来． 【答案】(1)A，B两种树木每棵的售价分别为50元，20元 (2)答：共有以下3种购买方案：方案1：A种树木购进2棵，B种树木购进15棵；方案2：A种树木购进4棵，B种树木购进10棵；方案3：A种树木购进6棵，B种树木购进5棵． 【分析】本题考查了二元一次方程整数解和二元一次方程组的应用，解题关键是根据题意设未知数，列出方程或方程组； （1）设A，B两种树木每棵的售价分别为x元，y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设A，B两种树木分别购进a棵和b棵，列出方程，再求正整数解即可． 【详解】（1）解：设A，B两种树木每棵的售价分别为x元，y元， 根据题意，得， 解得； 答：A，B两种树木每棵的售价分别为50元，20元． （2）解：设A，B两种树木分别购进a棵和b棵， 根据题意，得，即， ∵两种树木均要购买，且a，b均为正整数， ∴或或， 答：共有以下3种购买方案： 方案1：A种树木购进2棵，B种树木购进15棵； 方案2：A种树木购进4棵，B种树木购进10棵； 方案3：A种树木购进6棵，B种树木购进5棵． 73．用一根绳子环绕一棵大树．若环绕大树3周，则绳子还多；若环绕大树4周，则绳子少．这根绳子有多长？环绕大树1周需要多少米绳子？ 【答案】这根绳子有，环绕大树1周需要绳子 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，准确找出等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键； 设这根绳子有，环绕大树1周需要绳子，根据绕大树3周，则绳子还多；若环绕大树4周，则绳子少，列出关于x和y的二元一次方程组，解之即可． 【详解】设这根绳子有，环绕大树1周需要绳子．根据题意，得 解得 这根绳子有，环绕大树1周需要绳子． 74．某校七年级举行百科知识竞赛，参加竞赛的人数是未参加人数的倍，如果该年级学生减少人且未参加竞赛的学生增加人，那么参加竞赛的与未参加的人数的比为．求原来参加竞赛的人数及未参加的人数． 【答案】原来参加竞赛的人数为人，未参加的人数为人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设原来未参加的学生有人，则参赛人数便是人，于是全年级共有人，根据题意列方程组即可求解． 【详解】解：设原来未参加的学生有人，则参赛人数便是人，于是全年级共有人． 根据题意可得：， 解得：， 答：原来参加竞赛的人数为人，未参加的人数为人． 75．根据以下素材，完成任务． 解决学校打印机与耗材的购买问题 素材一 校总务处公示前两年学校购进的A型打印机与B型打印机的购买清单，如表所示： A型打印机数量（台） B型打印机数量（台） 购进所需总费用（元） 2022年 10 20 26000 2023年 15 10 19000 素材二 今年校总务处又向学校申请了3800元经费用于采购两种打印机．通过向店家进行咨询，得知今年A型打印机单价不变，B型打印机打八折优惠． 素材三 打印机的耗材包含A4纸以及黑色墨水．校总务处根据统计前两年购买的A4纸以及黑色墨水的总费用，预估今年耗材费用为w元．若购买75本A4纸和105盒黑色墨水，则耗材费用还缺75元；若购买110本A4纸和90盒黑色墨水，则耗材费用还剩50元． 问题解决 任务一 计算商品单价 若2022年与2023年购进的A型与B型打印机的单价不变，求购进A型打印机与B型打印机的单价分别是多少元？ 任务二 探究购买方案 总务处预计将3800元采购经费正好用完，请问有哪几种采购方案？ 任务三 确定耗材费用 在任务二的采购方案中，学校采用购入打印机总数最多的方案．在此基础上，为今年新购入的打印机配置耗材，每台打印机配置3本A4纸与1盒黑色墨水，求学校今年需为这几台新购入的打印机支出多少元的耗材费用？（结果用含w的代数式表示） 【答案】任务一：2023年购进A型打印机的单价为600元，B型打印机的单价是1000元；任务二：有两种购买方案，①购买A型打印机5台，B型打印机1台，②购买A型打印机1台，B型打印机4台 任务三：学校今年需为这几台新购入的打印机支出元的耗材费用 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键． 任务一：根据素材一的表格列方程组求解； 任务二：根据“总务处预计将3800元采购经费正好用完”列方程，再求正整数解； 任务三：先根据“购买75本A4纸和105盒黑色墨水，则耗材费用还缺75元；若购买110本A4纸和90盒黑色墨水，则耗材费用还剩50元．”列方程组，再代入求解． 【详解】解：任务一：设2023年购进A型打印机的单价为x元，B型打印机的单价是y元， 则：， 解得：， 答：2023年购进A型打印机的单价为600元，B型打印机的单价是1000元； 任务二：设购买A型打印机a台，B型打印机b台， 则：， ∴方程组的正整数解为：或， ∴有两种购买方案，①购买A型打印机5台，B型打印机1台，②购买A型打印机1台，B型打印机4台； 任务三：方案①共6台打印机，方案②共5台打印机， ∴买6台打印机共需要配置18本A4纸与6盒黑色墨水， 设购买1本A4纸需要m元和1盒黑色墨水需要n元， 则， 方程组可化为：， ∴， ∴学校今年需为这几台新购入的打印机支出元的耗材费用． 考点十六 几何问题（共5题） 76．小明在拼图时，发现8个大小一样的长方形，恰好可以拼成如图①所示的一个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图②所示的正方形．但是中间还留下了一个小洞，恰好是边长为3 mm的小正方形！求每个小长方形的面积． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设每个长方形的宽为，长为，据长和宽的关系得到二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设每个长方形的宽为，长为．根据题意，得 解得 ∴面积为， 答：每个小长方形的面积为． 77．某学校开发一块试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，由大小形状完全相同的8块小长方形试验田组成，如图所示，经测量，该实践基地的宽为80米． (1)求小长方形的长和宽； (2)求该实践基地的面积． 【答案】(1)小长方形的长和宽分别为60米，20米 (2)该实践基地的面积为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，根据图形的摆放建立方程组，再解方程组求出、的值，从而可得大长方形的长与宽，然后根据长方形的面积公式即可得．关键是根据题意找到等量关系式． 【详解】（1）解：设小长方形的长为米，宽为米， 由题意得：， 解得． 答：小长方形的长和宽分别为60米，20米； （2）解：大长方形的长为米，宽为80米， 所以大长方形的面积． 答：该实践基地的面积为． 78．根据以下素材，完成任务． 如何生产纸盒 素材1 某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位） 素材2 工厂仓库内现存有的正方形纸板150张，的长方形纸板300张，用库存纸板制作两种无盖纸盒． 素材3 库存纸板用完后，采购部重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有400张，乙纸板有300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为1和4．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒． 任务一 求两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完，且每张纸板利用率均为． 任务二 若用本次重新采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，纸板恰好用完，且每张纸板利用率均为．请你帮助工厂确定丙纸板的张数． 【答案】任务一：做了竖式无盖纸盒30个，横式无盖的纸盒60个；任务二：丙纸板有140张或145张 【分析】本题考查长方体和正方体展开图，二元一次方程组应用等． 任务一：设竖式无盖纸盒个，横式无盖纸盒个，再结合题意列出方程组即可求解； 任务二：设竖式无盖纸盒个，横式无盖纸盒个，丙种纸板为张，根据题意列式再分析代入数值即可得到本题答案． 【详解】任务一：解：设做了竖式无盖纸盒个，横式无盖纸盒个， 依题意得， 解得， 答：做了竖式无盖纸盒30个，横式无盖的纸盒60个； （2）设做了竖式无盖纸盒个，横式无盖纸盒个，丙纸板有张， 依题意得， 解得：， 为非负整数，， 或5， 丙纸板有140张或145张． 79．学校举办“数学艺术周”创意设计展览．小明、小聪、小方用一张大正方形纸片和四张相同的小正方形纸片，分别设计了图①、图②、图③三种图案： (1)根据图①、图②，求大正方形纸片和小正方形纸片的边长； (2)若图③中四个小正方形的重叠部分是三个相同的正方形，求图③阴影部分的面积． 【答案】(1)大正方形纸片边长为，小正方形纸片边长为； (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程组和方程是解题的关键． （1）设大正方形纸片的边长为，小正方形纸片的边长为，得到，解得，即可得到答案； （2）设重叠部分小正方形的边长为，得到，解得，求出阴影部分的面积为． 【详解】（1）解：设大正方形纸片的边长为，小正方形纸片的边长为， 根据题意，得 解得， 大正方形纸片边长为，小正方形纸片边长为； （2）解：设重叠部分小正方形的边长为， 根据题意，得． 解得， 阴影部分的面积为． 80．某厂要制作一些玻璃窗，如图，一扇窗户由甲、乙、丙型玻璃片组成，厂家购置了一批相同的长方形大玻璃（如长方形），并按如图所示的两种方案进行无废料切割，同种型号玻璃片大小、形状都一样． (1)若大玻璃的长为2米，则乙玻璃的边______米，________米． (2)若厂家已有足够多的甲玻璃片，再购入26块大玻璃片，并按以上两种方案进行切割成乙、丙两种玻璃片．设其中有x块大玻璃片按方案一切割，y块按方案二进行切割．若所购大玻璃片无剩余，且恰好可以与甲玻璃搭成若干扇窗户，请求出x与y的值． 【答案】(1)0.4，0.6； (2)，． 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，解题的关键是理解题意，读懂图形，找到等量关系，列出方程（组）． （1）根据方案一可得，由方案一、二可得乙和丙的宽相等，从而可得； （2）从窗户中得出丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，根据题意列出方程组，解之即可； 【详解】（1）（米）， （米）； （2）由图可知：丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍， 可得：， 解得：． 考点十七 古代问题（共5题） 81．我国明代数学著作《算法统宗》记截：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤”（注：古秤十六两为一斤，故有“半斤八两”这一成语）．其大意是：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知人数不知银两的数量，若每人分七两，还多四两；若每人分九两，则还差八两”．问客人数和银两分别是多少？ 【答案】共有名客人，两银子 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，设共有名客人，两银子，根据每人分七两，还多四两；若每人分九两，则还差八两，构建方程组即可．解题的关键是理解题意，正确列出方程组． 【详解】解：设共有名客人，两银子， 由题意可得， 解得， 答：共有名客人，两银子． 82．我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了“二果问价”问题： 九百九十九文钱，甜果苦果买一千． 甜果九个十一文，苦果七个四文钱． 试问甜苦果几个，又问各该几个钱． 意思是：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可以买九个甜果，四文钱可以买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？每个甜果、苦果分别卖多少文钱？请你解决这个问题． 【答案】购买甜果、苦果的个数分别为个，每个甜果、苦果分别卖文钱和文钱． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、有理数的除法运算的应用等知识点，根据题意正确列出方程组成为解题的关键． 设购买甜果、苦果的个数分别为个，然后根据题意列二元一次方程组即可求得购买甜果、苦果的个数，然后再根据题意求得每个甜果、苦果的价格即可． 【详解】解：设购买甜果、苦果的个数分别为个， 由题意可得：，解得：． ∴购买甜果、苦果的个数分别为个， ∵十一文钱可以买九个甜果，四文钱可以买七个苦果， ∴每个甜果、苦果分别卖文钱和文钱． 答：购买甜果、苦果的个数分别为个，每个甜果、苦果分别卖文钱和文钱． 83．《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你用方程组的知识解答这个问题． 【答案】客人30个，盘子13个 【分析】本题考查二元一次方程，设有个客人，个盘子，根据题意列二元一次方程组并求解，找到正确的等量关系是解题的关键． 【详解】解：设有x个客人，y个盘子． 根据题意，得 , 解得 ， 答∶有30个客人，13个盘子． 84．《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 【答案】个客人，个盘子 【分析】本题考查二元一次方程，设有个客人，个盘子，根据题意列二元一次方程组并求解，找到正确的等量关系是解题的关键． 【详解】解：设有个客人，个盘子． 根据题意，得 ， 解得 ， 答∶有个客人，个盘子． 85．阅读下列材料，解决问题． 《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．” 译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (1)【尝试】若设公鸡有x只，母鸡有y只． ①小鸡有________只，买小鸡一共花费________文钱（用含x，y的式子表示）． ②根据题意，列出一个含有x，y的方程________． (2)【探索】若对“百鸡问题”增加一个条件：公鸡数量是母鸡数量的3倍，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (3)【拓展】除了问题（2）中的解之外，请写出两组符合“百鸡问题”的解，并简要说明理由． 【答案】(1)①，；② (2)公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只 (3)①公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只．理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）①由购买鸡的只数找出购买小鸡的只数；②找准等量关系，正确列出二元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）结合、均为整数求出二元一次方程的解． （1）①根据共买鸡100只，即可求出小鸡购买的只数，结合小鸡的价格即可求出购买小鸡的总花费； ②根据总价单价数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于、的二元一次方程； （2）根据（1）中②的结论结合公鸡数量是母鸡数量的3倍，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）根据总价单价数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于、的二元一次方程，结合、均为整数，即可求出结论． 【详解】（1）解：①要买100只鸡，且小鸡每三只值一文钱， 买了只小鸡，买小鸡花了文钱． 故答案为：；． ②根据题意得：． 故答案为：． （2）解：设公鸡有只，母鸡有只，则小鸡有只， 根据题意得：， 解得：， ． 答：公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只． （3）解：根据题意得：， 化简得：， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，舍去． 故除了问题（2）中的解之外，以下三组答案，写出其中任意两组即可：①公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只． 考点十八 二元一次方程组的新定义问题（共5题） 86．定义：当两个数x，y满足，则称x与y具有“友好关系”． (1)判断方程组的解x，y是否具有“友好关系”？说明你的理由． (2)若方程组的解x，y具有“友好关系”，请求出方程组的解及a，b的正整数值． 【答案】(1)具有友好关系．理由见解析 (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据方程组的解的情况，求参数的值： （1）用，得到，即可得出结论； （2）根据x与y具有“友好关系”，得到，结合组成新的方程组，求出的值，得到关于的二元一次方程，进而求出其正整数值即可． 【详解】（1）解：x与y具有“友好关系”，理由如下： 由方程组， 得， ∴方程组的解x与y具有“友好关系”； （2）解：∵方程组的解x与y具有“友好关系”， ∴③ 联立， 解得， 把代入中得， 则a，b的正整数值为或． 87．对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【答案】(1)1， (2)5 (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， 解得：； 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ∴， 解得：． 88．定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)方程的“变更方程”为________； (2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为________； (3)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得方程即可； （2）联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：方程的“变更方程”为， 故答案为：； （2）解：， ①②的：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 方程与它的“变更方程”组成的方 程组为，解得， ∴把代入可得，即， ∴， 89．定义：关于x，y的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，其中如二元一次方程与二元一次方程互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程” ； (2)二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，求出m，n的值． 【答案】(1) (2)m的值为405，n的值为405 【分析】（1）利用“对称二元一次方程”的定义，可找出二元一次方程的“对称二元一次方程”是； （2）利用“对称二元一次方程”的定义，可找出二元一次方程的“对称二元一次方程”是，结合二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值． 本题考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，根据“对称二元一次方程”的定义，找出给定二元一次方程的“对称二元一次方程”是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：二元一次方程的“对称二元一次方程”是． 故答案为：； （2）解：二元一次方程的“对称二元一次方程”是， ∵二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为， ∴， 解得：． 答：m的值为405，n的值为405． 90．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”为：____________； (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值． 【答案】(1) (2)m的值为1，n的值为5 【分析】本题考查的是新定义的含义，二元一次方程的解的含义，二元一次方程组的解法； （1）根据定义直接可得答案； （2）由题意得，二元一次方程的“反对称二元一次方程”是，再利用方程的解的含义建立方程组解题即可． 【详解】（1）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为：； （2）解：由题意得，二元一次方程的“反对称二元一次方程”是， 二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解， ∴把代入、 得， 解得， ∴m的值为1，n的值为5． 1 / 84 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$