第9章 二元一次方程组 易错训练与压轴训练（15易错+6压轴）-2024-2025学年六年级数学下册单元速记·巧练（沪教版2024）

第9章 二元一次方程组易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　二元一次方程的相关概念 1 易错题型二　二元一次方程组的相关概念 3 易错题型三　二元一次方程组的解 5 易错题型四　二元一次方程组的特殊解法 7 易错题型五　二元一次方程组的错解复原 10 易错题型六　构造二元一次方程组 13 易错题型七　已知二元一次方程组的解求参数 15 易错题型八　方程组同解问题 18 易错题型九　三元一次方程组的相关概念 21 易错题型十　方案问题 25 易错题型十一　行程问题 29 易错题型十二　工程问题 33 易错题型十三　分配问题 38 易错题型十四 销售利润问题 42 易错题型十五　几何问题 51 压轴题型一　二元一次方程组的求参压轴 57 压轴题型二　二元一次方程组的特殊解压轴 63 压轴题型三　销售问题压轴 69 压轴题型四　方案问题压轴 78 压轴题型五　二元一次方程组的新定义问题 86 压轴题型六　二元一次方程组的综合 94 02 易错题型 易错题型一　二元一次方程的相关概念 例题： 1．已知是关于的二元一次方程的解，则代数式的值是（   ） A．13 B．11 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的解，求代数式的值，将代入方程，得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：把代入方程，得：， ∴； 故选：C． 巩固训练 2．是关于x，y的二元一次方程，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程满足的条件是解题的关键． 根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，即可求得m的值． 【详解】解：是关于x，y的二元一次方程， ，， 解得： 故选B． 3．小明解方程组，得出的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数和，则 ； 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的意义是解题的关键．先把代入第二个方程求出，即可得到答案． 【详解】解：方程组的解为， 把代入②，得， ， 故答案为：． 4．我们规定，关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“最佳”方程．例如：方程，其中，，，满足，则方程是“最佳”方程． 根据上述规定，回答下列问题． (1)判断方程_______“最佳”方程（填“是”或“不是”）． (2)若关于x，y的二元一次方程是“最佳”方程，求k的值． 【答案】(1)是 (2)3 【分析】本题考查二元一次方程，解一元一次方程，掌握“最佳”方程的定义是解题的关键． （1）根据“最佳”方程的定义进行判断即可； （2）根据是“最佳”方程，列出关于k的一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：方程，其中，，，满足， 故方程是“最佳”方程． 故答案为：是； （2）解：∵二元一次方程是“最佳”方程， ∴， 解得， 故的值是3． 易错题型二　二元一次方程组的相关概念 例题： 5．下列方程组：①②，③，其中是二元一次方程组的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．③ 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键．根据二元一次方程组的定义逐项分析判断即可，二元一次方程组：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 【详解】解：①是三元一次方程组，故不符合题意， ②中的第一个方程不是整式方程，故不符合题意， ③是二元一次方程组，故符合题意， 故选：D． 巩固训练 6．已知是方程组的解，则的值是（　　） A． B．2 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，涉及已知含参数二元一次方程组的解求参数、解二元一次方程组等知识，先由是方程组的解，代入得到新的方程组求解即可得到的值，代值求解即可得到答案．熟记二元一次方程组解的定义是解决问题的关键． 【详解】解：是方程组的解， ，解得， ， 故选：B． 7．若关于x，y的方程组的解满足，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．先把方程组中的两个方程相加消去m，得到关于x，y的方程，再把代入求出x，然后求出y，最后把x，y的值代入②得到关于m的方程，解方程求出m即可． 【详解】解：， 得：③， 把代入③得：， 解得：， 把代入得：， 把和代入②得：， 解得：， 故答案为：． 8．已知二元一次方程． (1)直接写出它所有的正整数解； (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为． 【答案】(1)所有的正整数解为或 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解； （1）将方程变形，写出满足方程的正整数解即可； （2）写出满足解的一个二元一次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴所有的正整数解为或； （2）解：∵， ∴， ∴方程组的解为． 易错题型三　二元一次方程组的解 例题： 9．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用代入消元法解二元一次方程组即可得解； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可得解． 【详解】（1）解：， 将②代入①可得：， 解得：， 将代入②可得：， ∴原方程组的解为； （2）解：整理可得， 由可得：， 将代入①可得， ∴， ∴原方程组的解为． 巩固训练 10．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 由①得：③， 把③代入②得：， 解得： 把代入③得：， 则方程组的解为； （2）解： 得：， 解得：， 把代入①得：， 则方程组的解为． 11．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用代入消元法求解即可； （2）用加减消元法求解即可． 【详解】（1）， 把②代入①，得， 解得， 把代入②，得， ∴； （2）， ，得 ， ∴， ∴把代入①，得 ， ∴， ∴． 12．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用加减法解答即可； （）先化简方程组，再利用加减法解答即可； 本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， 得，， ∴， 把代入①，得， ∴， ∴方程组的解为； （2）解：方程组化简得，， 得，， ∴， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为． 易错题型四　二元一次方程组的特殊解法 例题： 13．已知关于x，y的二元一次方程组（a，b为常数）的解为，则关于x，y的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是利用整体思想． 根据二元一次方程组的解的定义，利用整体的思想得到，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故选：C． 巩固训练 14．已知关于的二元一次方程组的解为，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解．利用关于，的二元一次方程组的解为得到，，据此求解即可． 【详解】解：关于，的二元一次方程组的解为， ， ，即， ， 故答案为：． 15．已知二元一次方程组的解适合方程，求k的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解二元一次方程组，以及解会解二元一次方程组是解题的关键．得，结合可求出k的值． 【详解】解： 得 ， ∵， ∴， ∴． 16．问题：已知关于，的方程组的解满足方程，求的值． 同学们正在讨论着不同的解题思路： 甲同学说：可以先解关于，的方程组，再求的值． 乙同学说：可以先将方程组中的两个方程相加，再求的值； 丙同学说：可以先解方程组，再求的值． ．．． 请选择一种合适的方法解决上面的问题． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握加减法是解题的关键．选择一种合适的方法求解即可． 【详解】解：甲同学解法： 得，， 解得， 把代入②得，， 解得， ∴， ∵， ∴， 解得； 利用乙同学的解法：， ③+①得，， 即④， ④代入②得，， 解得． 利用丙同学的解法： 先解方程组， ①②得，， 把代入①得， 解得， 所以方程组的解为， 把代入方程得，，解得． 易错题型五　二元一次方程组的错解复原 例题： 17．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了，解得，则、、正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键是理解题意得出正确的方程组．把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a，b，c的值，即可求出所求． 【详解】解：把代入方程组得： ， 把代入得：， 联立得：，解得：， 由，得到， 故选：A． 巩固训练 18．已知关于x，y的方程组，小明看错a得到的解为，小亮看错了b得到的解为，则原方程组正确的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组错解复原问题．根据甲看错则求得的解满足，乙看错了则求得的解满足，据此求出、的值进而得到原方程组，再利用代入消元法求解即可． 【详解】解：∵在解方程组时， 小明看错了，解得， ∴，解得， ∵小亮看错了，解得， ∴，解得， ∴原方程组为， 由①得：， 把③代入②得，解得， 将代入③得， ∴方程组的解为． 故答案为：． 19．甲乙两人同时解关于，的方程组，甲看错了，求得的解为；乙看错了，求得的解为，求原方程组的解． 【答案】 【分析】将代入得，，求得 ；将代入得，，求得 ，构造新方程组是计算即可． 本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：由题意知：将代入得，， 将代入得，， 方程组是 得， 将代入得， 原方程组的解是 20．综合与实践 小李和小张共同解关于的二元一次方程组由于粗心，小李看错了方程①中的，得到方程组的解为小张看错了方程②中的，得到方程组的解为 (1)求正确的值． (2)求原方程组的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的错解问题； （1）首先根据甲看错方程①中的a说明甲所解出的结果满足方程②，所以把代入方程②可得：即可求出b；而乙看错方程②中的b说明乙所解出的结果满足方程①，所以把代入方程①可得：即可求出a； （2）根据的值得到原方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：依题意，把代入②得：， 解得：； 把代入①得：， 解得：； （2） 得， 解得：， ，代入①得，， 解得：， ∴． 易错题型六　构造二元一次方程组 例题： 21．如下表，在的方格中做填字游戏，要求每行，每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中x，y的值是（    ） 5 0 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答的关键是仔细审题，根据题意列出方程组，难度一般． 根据每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，可得出方程组，求解即可． 【详解】解：由题意得： 解得． 故选：C． 巩固训练 22．对于有理数，规定新运算：，其中、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知：，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查二元一次方程组的解法和新运算的问题，解题的关键是要弄明白新的运算顺序及运算规律． 根据运算顺序结合已知条件得到方程组，求出a、b的值，然后代入求解即可． 【详解】由题意得：， 解得：，， 则 故答案为： ． 23．阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为识，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部．b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算： (1)填空：___________，___________； (2)计算：①    ② (3)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：（x，y为实数），求x，y的值． 【答案】(1) (2)①10；② (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，乘法公式，解二元一次方程组，准确理解题意是解题的关键． （1）根据材料所给的方法计算即可； （2）①利用平方差公式运算即可；②利用完全平方公式计算即可； （3）根据两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，得出，求解即可 【详解】（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）① ； ② ； （3）∵， ∴， 解得， 即． 24．在等式中，当时，；当时，； (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把已知的数据代入等式可得关于k、b的方程组，解方程组即可； （2）把代入（1）的等式中求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 解得：； （2）解：因为， 所以， 所以当时，， 解得：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、得出关于k、b的方程组是解题的关键． 易错题型七　已知二元一次方程组的解求参数 例题： 25．已知关于，的方程组，若，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查解含参数的二元一次方程组．把两个方程相加，得，结合，即可求解． 【详解】解：， ，得，即， 又∵， ∴， 解得：， 故选：D． 巩固训练 26．已知关于的方程组下列结论正确的有（　　） ①当时，该方程组的解也是方程的解；②当时，；③不论取什么实数，的值始终不变． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的方法和二元一次方程的解的定义是正确解题的关键．直接利用二元一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案． 【详解】解：①当时，原方程组可整理得： ， 解得：， 把代入得：， ∴当时，该方程组的解也是方程的解， 故①正确， ②解方程组得：， ∵， 则， 解得：， 故②正确， ∵解方程组得：， ∴不论取什么实数，的值始终不变． 故③正确， 故选：A． 27．若关于，的二元一次方程组的解满足，则 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查二元一次方程组的求解，解题的关键是熟知方程组的解法； 本题先通过得到，然后把代入，即可求解； 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， 解得：； 故答案为：3 28．是否存在一个数，使关于x，y的方程组的解满足？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】存在， 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法求出，再把，代入中得到关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：解方程组得， 将代入，得 解得， ∴当时，方程组的解满足． 易错题型八　方程组同解问题 例题： 29．如果方程组的解也是方程的解，那么m的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌了二元一次方程组的解法是解题的关键． 先根据同解方程将运用加减消元法求出方程组解，再将解代入方程①得到一个关于的等式，求解即可． 【详解】解：∵方程组的解也是方程的解， ∴，得， 将代入②，得， 将，代入①得， 解得， 故选：B． 巩固训练 30．已知x，y的方程组与有相同的解，则a和b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为方程组与有相同的解，所以把和联立解之求出x、y，再代入其他两个方程即可得到关于a、b的方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：∵方程组与有相同的解， ∴方程组的解也是它们的解， 解得：， 代入其他两个方程得， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解及二元一次方程组的解法，正确理解题意，然后根据题意得到关于待定系数的方程组，解方程组是解答此题的关键． 31．若关于x、y的二元一次方程组和有相同的解，则的值= ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，方程运算，理解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键．将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，代入，含有的两个方程中联立求得的值，再代入代数式中求解即可． 【详解】解：根据题意， 得：， 将代入①得：， 将代入得： ， 得：， 将代入④得：， 当时， 故答案为：． 32．已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求这个相同的解． (2)求的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了方程组相同解问题，加减消元法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先建立方程组，再运用加减消元法解出，即可作答． （2）先把代入得，再相加得，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于，的方程组和有相同的解， ∴ ，得 解得， 把代入，得， 解得， ∴这个相同的解为； （2）解：由（1）得， 把分别代入， ∴， 把上式两式子相加得， ∴． 易错题型九　三元一次方程组的相关概念 例题： 33．解下列三元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 巩固训练 34．已知a、b、c是三角形的三边长． (1)化简； (2)，，，求这个三角形的三边长． 【答案】(1) (2)这个三角形的三边长为6，5，4 【分析】（1）根据三角形三边关系定理可得，，，再去绝对值符号即可； （2）解三元一次方程组求出a，b，c的值即可． 【详解】（1）解：∵a、b、c是三角形的三边长， ∴，，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴，即， 又∵， ∴，即， 解得：， 把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴这个三角形的三边长为6，5，4． 【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，化简绝对值，解三元一次方程组，熟练掌握三角形三边关系定理以及加减消元法是解题的关键． 35．已知，当时，，当时，；当时，，求当时，的值． 【答案】28 【分析】根据题意先得到关于，，的三元一次方程组，进而即可求解． 【详解】根据题意，得    ，得 解得 把代入，得          把代入，得                     和组成二元一次方程组 解得    所以． 将代入，得 ． 【点睛】本题主要考查解三元一次方程组，牢记解三元一次方程组的方法（通过代入法或加减法进行消元，将解三元一次方程组转化为解二元一次方程组）是解题的关键． 36．感悟思想：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x，y满足①，②，求和的值． 思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值． 如①－②可得；可得． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 体会思想： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)已知方程组：，则______； (3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需______元． 【答案】(1)，5 (2)6 (3)30 【分析】（1）把两个方程相加可求，相减可求； （2）把3个方程相加得； （3）设未知数列出方程组，用整体思想求解即可． 【详解】（1）解：， ①+②得，解得， ①-②得， 故答案为：，5； （2）解：， ①+②+③得，，即； 故答案为：6； （3）解：设购买1支铅笔a元，1块橡皮b元，1本日记本c元, 根据题意列方程组得，． ①②得，，则； 答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元． 故答案为：30． 【点睛】本题考查了利用整体思想解方程组，解题关键是熟练利用整体思想，通过整体运算求解． 易错题型十　方案问题 例题： 37．已知，用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有27吨货物，计划同时租用A型车辆，B型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆车B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你直接写出该公司的租车方案． 【答案】(1)1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货3吨，4吨． (2)①型车1辆，型车6辆；②型车5辆，型车3辆． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是： （1）设1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货吨，吨，根据“用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）由（1）的结论结合某物流公司现有27吨货物，即可得出，即，由、均为正数即可得出各租车方案． 【详解】（1）解：设1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货吨，吨， 根据题意得：， 解得：． 答：1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货3吨，4吨． （2）解：设分别租辆型车和辆型车， 由题意可得：， ． ，均为整数，（要求既有型车又有型车） 有和两种情况． 故共有两种租车方案，分别为： ①型车1辆，型车6辆； ②型车5辆，型车3辆． 巩固训练 38．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆型新能源汽车、3辆型新能源汽车共需85万元；购进3辆型新能源汽车、2辆型新能源汽车共需90万元． (1)问、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你设计出符合要求的购买方案． (3)销售1辆型汽车可获利1.8万元，销售1辆型汽车可获利1.2万元．假如这些新能源汽车全部售出，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为20万元，15万元 (2)共有两种购买方案：方案一：购进3辆型号的新能源汽车，购进8辆型号的新能源汽车；方案二：购进6辆型号的新能源汽车，购进4辆型号的新能源汽车 (3)第二种方案获得的利润最大，为15.6万元 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的运用，理解数量关系，正确列出方程（组）求解是关键． （1）设、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为万元和万元，根据数量关系列二元一次方程组求解即可； （2）设购进辆型号的新能源汽车，购进辆型号的新能源汽车，由数量关系列二元一次方程，根据二元一次方程的解的方法代入求值即可； （3）根据题意，分别算出方案一、二的利润即可． 【详解】（1）解：设、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为万元和万元， 根据题意可列方程组为，解得， ∴、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为20万元，15万元． （2）解：设购进辆型号的新能源汽车，购进辆型号的新能源汽车， 根据题意得：，且，均为正整数， 或， 共有两种购买方案：方案一：购进3辆型号的新能源汽车，购进8辆型号的新能源汽车；方案二：购进6辆型号的新能源汽车，购进4辆型号的新能源汽车． （3）解：方案一：获得的利润为：（万元）， 方案二：获得的利润为：（万元）， ∴第二种方案获得的利润最大，为15.6万元． 39．“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，现有脐橙，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案，并写出所有方案； (3)若1辆A型车需租金90元/次，1辆B型车需租金100元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A型车和1辆B型车都载满脐橙一次可分别运送、； (2)共有三种方案：方案一：租A型车1辆，B型车8辆；方案二：租A型车5辆，B型车5辆；方案三：租A型车9辆，B型车2辆； (3)租A型车1辆，B型车8辆费用最少，最少费用为890元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）设1辆A型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，根据2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走，用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，列出方程组，解方程组即可； （2）根据1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，现有脐橙，列出二元一次方程，再求出二元一次方程的正整数解即可； （3）分别求出三种方案的租车费用，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：设1辆 A 型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，依题意得： 解得：， 答：1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送； （2）解：依题意得：， ∵a，b均为正整数， ∴或或， ∴一共有3种租车方案： 方案一：租A型车1辆，B型车8辆； 方案二：租A型车5辆，B 型车5辆； 方案三：租A 型车 9辆，B 型车2辆． （3）解：方案一所需租金为：（元）； 方案二所需租金为：（元）； 方案三所需租金为： （元）； ∵， ∴最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为890元． 40．某面粉加工厂要加工一批小麦，台大面粉机和台小面粉机同时工作加工小麦吨；台大面粉机和台小面粉机同时工作共加工小麦26吨． (1)台大面粉机和台小面粉机每小时各加工小麦多少吨？ (2)该厂现有450吨小麦需要加工，计划使用台大面粉机和台小面粉机同时工作，能否全部加工完？请你帮忙计算一下． 【答案】(1)1台大面粉机每小时加工小麦6吨，1台小面粉机每小时加工小麦4吨 (2)不能全部加工完 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找准各数量间的关系列出方程组是解题的关键． （1）设1台大面粉机每小时加工小麦x吨，1台小面粉机每小时加工小麦y吨，根据2台大面粉机和5台小面粉机同时工作共加工小麦32吨；3台大面粉机和2台小面粉机同时工作共加工小麦26吨，列方程组求解即可得； （2）根据（1）中求得的值求出8台大面粉机和10台小面粉机同时工作加工的量进行比较即可得． 【详解】（1）解：设1台大面粉机每小时加工小麦x吨，1台小面粉机每小时加工小麦y吨， 根据题意得： ， 解得：， 答：1台大面粉机每小时加工小麦6吨，1台小面粉机每小时加工小麦4吨； （2）解：（吨）， ∵， ∴不能全部加工完． 易错题型十一　行程问题 例题： 41．一列快车长为，一列慢车长为．若两车同向而行，则快车从追上慢车开始直到完全超过慢车需要；若两车相向而行，则快车从与慢车相遇开始到完全离开慢车只需要．快车和慢车的速度分别是多少？ 【答案】快车和慢车的速度分别是和 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组求解是解题关键． 设快车和慢车的速度分别是和，根据题意，列出方程组求解即可． 【详解】解：设快车和慢车的速度分别是和． 根据题意，得 解得 答：快车和慢车的速度分别是和． 巩固训练 42．某船在静水中的速度为，该船于下午1点从A地出发，逆流而上，下午到达B地，停泊后返回，下午4点回到A地．求A，B两地的距离及水流的速度． 【答案】两地的距离为，水流的速度为 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组求解是解题关键． 设两地的距离为，水流的速度为，根据题意，列出方程组求解即可． 【详解】解：由题知，从A地出发逆流而上到达B地所用时间为， 从B地出发顺流而下到达A地所用时间为， 设两地的距离为，水流的速度为． 根据题意，得 解得， ∴两地的距离为，水流的速度为． 43．平泽唯搭乘电车外出游玩，电车正要经过一条1000m长的桥，电车从车头上桥到车尾离桥共用时，整列电车完全在桥上的时间为，求电车的行驶速度． 【答案】电车的行驶速度为 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设电车的行驶速度为，电车的长为，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设电车的行驶速度为，电车的长为，由题意，得： ，解得：； 答：电车的行驶速度为． 44．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2小时，从乙码头到甲码头逆流而行，用了2.5小时，已知轮船在静水中的平均速度为27千米/时，求水流的速度和甲、乙码头间的距离？（顺水速度静水速度水流速度；逆水速度静水速度水流速度，用二元一次方程组的知识解答） 【答案】水流的速度是3千米/时，甲、乙码头间的距离为60千米 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设水流的速度为千米/时，甲、乙码头间的距离为千米，则顺流的速度为千米/时，逆流的速度为千米/时，根据顺流、逆流时行驶路程相等列方程组，解方程即可．根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】设水流的速度是千米/时，甲、乙码头间的距离为千米， 根据题意得： 解得： 答：水流的速度是3千米/时，甲、乙码头间的距离为60千米. 易错题型十二　工程问题 例题： 45．某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍．请问一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成960亩的打药任务，并说明理由． 【答案】无人机和人工共同作业8小时不能完成960亩的打药任务，理由见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设人工每小时作业面积是亩，无人机每小时作业面积是亩，根据题意列出方程组并接方程组即可． 【详解】解：设人工每小时作业面积是亩，无人机每小时作业面积是亩， 根据题意得：， 解得：， 所以无人机和人工共同作业8小时不能完成960亩的打药任务． 巩固训练 46．一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要12天完成．按原计划这项工程要求在7天内完成，现在乙、丙两队先合作若干天，后来为加快进度，甲队也同时加入这项工程，这样比原定时间提前一天完成任务．乙、丙两队合作了多少天？甲队加入后又做了多少天？ 【答案】4天；2天 【分析】本题考查了二元一次方程组在工程问题中的应用，解题的关键是审清题意，正确列出方程组． ①工程类问题中相等关系一般都比较明显，常见的一组相等关系是：两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量之和等于工作总量．2在工程类问题中如果没有工作总量，一般情况下把工作总量设为单位“1”． 根据题目中提供的信息找出两个相等关系建立方程求解即可． 【详解】解：设乙、丙两队合作了天，甲队加入后又做了天 根据题意有解得 答：乙、丙两队合作了4天，甲队加入后又做了2天． 47．数学老师要求同学们列二元一次方程组解决问题：在我市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后为扶贫村修建3000米的村路，甲队每天修建150米，乙队每天修建200米，共用18天完成．求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)嘉嘉同学根据题意，列出了二元一次方程组，那么这个方程组中未知数x表示的是______，未知数y表示的是______； (2)淇淇同学设甲工程队修建了p天，乙工程队修建了q天，请你按照她的思路解答老师的问题． 【答案】(1)甲工程队修建的米数，乙工程队修建的米数 (2)甲工程队修建了天，乙工程队修建了天 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用， （1）根据方程组中的等量关系结合题意，即可求解； （2）设甲队修建了p天，乙队修建了q天，根据题意，建立方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）根据二元一次方程组可知：组中未知数x表示的是甲工程队修建的米数，未知数y表示的是乙工程队修建的米数， 故答案为：甲工程队修建的米数，乙工程队修建的米数 （2）根据题意得：， 解得，． 答：甲工程队修建了天，乙工程队修建了天． 48．某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆，由于熟练工不够，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装，生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车． (1)求每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)如果工厂招聘n名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，求所抽调的熟练工的人数． 【答案】(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装4辆，2辆电动汽车； (2)所抽调的熟练工的人数为人． 【分析】此题主要考查了二元一次方程（组）的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． （1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装x、y辆电动汽车，根据关键语句：①1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车，②名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车，列出方程组即可； （2）设需熟练工m名，根据题意可得等量关系n名新工人一年安装的电动汽车数名熟练工一年安装的电动汽车数辆，根据等量关系列出方程即可． 【详解】（1）解：每名熟练工和新工人每月分别可以安装x、y辆电动汽车， 根据题意可列方程，， 解得． 答：每名熟练工和新工人每月分别可以安装4、2辆电动汽车； （2）解：设需熟练工m名， 依题意有：， 整理得：． 所抽调的熟练工的人数为人． 易错题型十三　分配问题 例题： 49．一套仪器由1个A部件和2个B部件构成．用钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应分别用多少立方米钢材做A部件和B部件？恰好配成这种仪器多少套？ 【答案】用钢材做A部件，钢材做B部件，恰好配成这种仪器240套 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设用钢材做A部件，用钢材做B部件，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】设用钢材做A部件，用钢材做B部件， 根据题意，得 解得 所以． 答：用钢材做A部件，钢材做B部件，恰好配成这种仪器240套． 巩固训练 50．春季是传染病高发的季节，同学们要勤通风常洗手，为了同学们的身体健康，李老师为全年级师生购买洗手液，根据市场调研，李老师发现某品牌的洗手液的大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量（按瓶计算）比为，某厂每天生产这种洗手液22.5吨，请同学们利用二元一次方程组的数学思想，帮助李老师估计一下这些洗手液应该分装多少个大瓶，多少个小瓶才是最合理的？（请同学们注意单位换算） 【答案】这些消毒液应该分装20000大瓶，50000小瓶 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系，准确列方程组进行计算是解题关键．设这些消毒液应该分装x大瓶，y小瓶，根据题意列出方程组，解方程组求出x，y的值，即可求解． 【详解】解：依题意，22.5吨千克克， 设这些消毒液应该分装x大瓶，y小瓶， 由题意得 ， 解得 ， 答：这些消毒液应该分装20000大瓶，50000小瓶． 51．某酒店客房部有三人间和双人间两种普通客房，收费标准为三人间300元/间，双人间280元/间，为了吸引游客，酒店实行团体人住五折优惠措施，一个46人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去2620元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房各多少间? 【答案】该旅游团住了三人间普通客房10间，双人间普通客房8间 【分析】本题考查二元一次方程组的应用；理解题意，设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间，根据题意列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间， 依题意，得， 解这个方程组，得， 答：该旅游团住了三人间普通客房10间，双人间普通客房8间． 52．列一元一次方程解应用题： 某家具加工车间准备组装一批双人桌椅，即张桌子配把椅子，为提前完成任务，在原有名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的倍少人． (1)求调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，若每名工人每天可以组装张桌子或把椅子，为使每天组装的桌椅刚好配套，应该安排组装桌子和椅子的工人各多少名？ 【答案】(1)名工人 (2)应该安排组装桌子和椅子的工人分别为人和人． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）设调入名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的倍少人”进行列式，得，可解得答案； （2）设名工人生产桌子，由“张桌子配把椅子”进行列式，可得，即可解得答案． 【详解】（1）解：设调入名工人， 根据题意得：， 解得：， 答：调入名工人； （2）解：由（1）知，调入名工人后，车间有工人（人）， 设名工人生产桌子，则名工人生产椅子， ∵每天组装的桌椅刚好配套， ∴， 解得：， ∴， 答：应该安排组装桌子和椅子的工人分别为人和人． 易错题型十四　销售利润问题 例题： 53．中国动画电影《哪吒之魔童闹海》作为中国影史首部百亿票房电影，成功登顶全球动画电影票房榜，创造了中国动画电影新的里程碑．某儿童福利院组织孩子们去电影院观看《哪吒之魔童闹海》，电影票的票价比普通电影票的票价多20元，购买50张电影票和70张普通电影票共需4600元．求电影票和普通电影票的票价． 【答案】电影票得票价为50元，普通电影票的票价为30元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，准确理解题意是解题的关键．设电影票得票价为x元，普通电影票的票价为y元，根据等量关系列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设电影票得票价为x元，普通电影票的票价为y元，由题意得 ， 解得， 答：电影票得票价为50元，普通电影票的票价为30元． 巩固训练 54．菜农王大叔在蔬菜批发市场上了解到以下信息内容： 蔬菜品种 辣椒 黄瓜 西红柿 茄子 批发价（元/公斤） 零售价（元/公斤） 他共用116元钱从市场上批发了辣椒和西红柿共44公斤到菜市场去卖，当天卖完，请你计算出王大叔一天能赚多少钱？ 【答案】王大叔一天赚211元钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据共用116元钱从市场上批发了辣椒和西红柿共44公斤到菜市场去卖，列出二元一次方程组，再解得，即可作答． 【详解】解：设买辣椒，西红柿， ， 解得， ∴（元） 答：王大叔一天赚211元钱． 55．为开展“阳光大课间”活动，顺迈学校准备一次性购买若干副乒乓球拍和羽毛球拍（每副乒乓球拍的价格相同，每副羽毛球拍的价格相同），若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍，则需420元；若购买2副乒乓球拍和5副羽毛球拍，则需720元． (1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？ (2)若顺迈学校实际需要一次性购买乒乓球拍和羽毛球拍共60副，要求购买乒乓球拍和羽毛球拍的总费用不超过4800元，顺迈学校最多可以购买多少副羽毛球拍？ 【答案】(1)购买一副乒乓球拍需60元，一副羽毛球拍需120元； (2)最多可以购买20副羽毛球拍． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，找出等量关系及不等关系． （1）设购买一副乒乓球拍需x元，一副羽毛球拍需y元，根据等量关系：若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍，则需420元；若购买2副乒乓球拍和5副羽毛球拍，则需720元，列出方程组求解即可； （2）设可以购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍副，根据不等关系：购买乒乓球拍和羽毛球拍的总费用不超过4800元，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购买一副乒乓球拍需x元，一副羽毛球拍需y元，依题意得： ，解得， 答：购买一副乒乓球拍需60元，一副羽毛球拍需120元． （2）解：设可以购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍副，依题意得： ． 解得． 答：最多可以购买20副羽毛球拍． 56．清明果是上饶的特色美食之一．某美食商铺推出了萝卜馅清明果和肉馅清明果．下表列出了小李、小艺在该美食商铺的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）． 萝卜馅清明果／个 肉馅清明果／个 付款金额／元 小李 40 10 85 小艺 20 20 80 根据上表，求萝卜馅清明果和肉馅清明果的单价． 【答案】萝卜馅清明果的单价是1.5元，肉馅清明果的单价是2.5元． 【分析】本题考查二元一次方程组，解题的关键是找准等量正确列出方程组． 设萝卜馅清明果的单价是元，肉馅清明果的单价是元，根据表格信息可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 【详解】（1）解：设萝卜馅清明果的单价是元，肉馅清明果的单价是元， 根据题意，得， 解得， 答：萝卜馅清明果的单价是1.5元，肉馅清明果的单价是2.5元． 易错题型十五　几何问题 例题： 57．列二元一次方程组解应用题． 小刚在游览雕塑公园时，发现平地上有刚好用6块完全相同的长方形石材铺成周长为的大长方形（如图所示），求每块小长方形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设每块小长方形的长为，宽为，根据长方形周长计算公式可得，根据图形可知小长方形的长的2倍等于长加上宽的2倍，即，据此列出方程组求解即可． 【详解】解：设每块小长方形的长为，宽为， 由题意得，， 解得， ∴每块小长方形的长为，宽为， ∴每块小长方形的面积为． 巩固训练 58．七年级某数理兴趣小组在开展活动中，组长小明裁剪了16张一样大小的长方形硬纸片，组员小亮用其中的8张恰好拼成一个大的长方形，小聪用另外的8张拼成一个大的正方形，但中间留下一个边长为的正方形（见如图中间的阴影方格），请你算出小明裁剪的每张长方形硬纸片长与宽分别是多少？ 【答案】小明裁剪的长方形硬纸片的长、宽分别为、． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设小长方形的长、宽分别为，，结合图形性质可得，再解方程即可. 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，， 由题意得， 解得：， 经检验， 符合题意． 答：小明裁剪的长方形硬纸片的长、宽分别为、． 59．数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究． (1)小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为，周长为，请求出该长方形纸片的长和宽： (2)小葵在长方形内画出边长为的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条边在大正方形的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30，由此她判断大正方形的面积为100，问：小葵的判断正确吗?请说明理由． 【答案】(1)这个长方形纸片的长为，宽为 (2)正确，理由见解析 【分析】本题主要考查一元一次方程，二元一次方程组的计算，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）设该长方形纸片的长为，宽为，由周长的计算公式列式求解即可； （2）根据题意，列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：设该长方形纸片的长为，宽为， ∴， ∴， ∴， ∴这个长方形纸片的长为9，宽为6． （2）解：正确．理由如下： 根据题意，得，， 解得． ∴大正方形的面积为． 60．根据表中的素材，完成下面的任务： 制作无盖长方体纸盒 素材1 裁剪长方形纸板 将某种规格的长方形纸板按图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板． 素材2 制作无盖长方体纸盒 4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒；3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图4所示的无盖长方体纸盒． 问题解决 任务 制作图3、图4规格的纸盒若干个 若有21张长方形纸板，且恰好能够完成制作（纸板无剩余），则能做成图3、图4规格的纸盒各多少个？ 【答案】能做成图3规格的纸盒9个，图4规格的纸盒0个 【分析】设需要图1长方形纸板张，图2长方形纸板张，则有小长方形纸板张，小正方形纸板张；再设可制作图3规格的纸盒个，图4规格的纸盒个，则需小长方形纸板张，需小正方形纸板张，根据题意列式再分析代入数值即可得到本题答案． 本题考查二元一次方程组的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 【详解】解：设需要图1长方形纸板张，图2长方形纸板张，则有小长方形纸板张，小正方形纸板张； 再设可制作图3规格的纸盒个，图4规格的纸盒个，则需小长方形纸板张，需小正方形纸板张， 由题意得， 解得， ， ， 为整数， ， 由，得， ， 、都是正整数， 能做成图3规格的纸盒9个，图4规格的纸盒0个． 03 压轴题型 压轴题型一　二元一次方程组的求参压轴 例题： 61．已知关于x，y的方程组，给出下列说法：①当时，方程组的解也是方程的一个解；②当x与y互为相反数时，；③不论a取什么实数，的值始终不变；④若，则．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．利用二元一次方程的解及方程组的解定义判断即可． 【详解】解：①当时，方程组为 ①②得， 解得： 将代入②得， 解得： 方程组的解为：， ∴是方程的一个解，符合题意； ②关于，的方程组 ①②得， 解得： 将代入②得， 方程组的解为：， 当当x与y互为相反数时，， 解得：，故②不符合题意； ③，不论取什么实数，的值始终不变，③符合题意； ④当时，方程组的解为：， 则，④不符合题意． 所以以上四种说法中正确的有①③． 故选：B． 62．关于x，y的方程组的解满足不等式组，则m的取值范围 ． 【答案】m＞﹣ 【分析】利用方程组中两个式子加减可得到和x-3y用m来表示，根据等量代换可得到关于m的一元一次不等式组，解出来即可得到答案． 【详解】将两个方程相加可得5x﹣y＝3m+2， 将两个方程相减可得x﹣3y＝﹣m﹣4， 由题意得， 解得：m＞， 故答案为m＞． 【点睛】此题考查含参数的二元一次方程组与不等式组相结合的题目，注意先观察，通过二元一次方程的加减得到不等式组的相关式子，再进行等量代换. 63．已知关于，的方程组（是常数）． (1)当时，则方程组可化为． ①请直接写出方程的所有非负整数解． ②若该方程组的解也满足方程，求的值． (2)当时，如果方程组有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①，② (2)或0 【分析】（1）①根据，为非负数即可求得方程的所有非负整数解；②先解方程组，然后将，的值代入方程中即可获得答案； （2）将代入原方程组，利用加减消元法得到，再根据方程组有整数解，且为整数，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：①∵，为非负整数， ∴方程的所有非负整数解为 ，； ②∵根据题意可得， 解得， 将代入中， 解得 ； （2）当时，原方程组可化为， 由，可得 ， 整理可得， ∵方程组由整数解，且为整数， ∴或， 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）； 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）． 综上所述，整数的值为或0． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组的知识，熟练掌握解二元一次方程组的方法，并根据题意确定的值是解题关键． 压轴题型二　二元一次方程组的特殊解压轴 例题： 64．已知关于，的方程组，下列说法中正确的有（    ）个． ①当时，；②当时，的最小值为2；③取任意实数，的值始终不变；④不存在实数，使成立． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解二元一次方程组．熟练掌握以上知识是解题关键．由，可得原方程组为，求解即可判断①；由原方程组可得出，结合，即得出，求解即可判断②；由原方程组可得出，即说明取任意实数，的值始终不变，可判断③；由原方程组可得出，整理，得：．结合，即可求出，，从而可求出，即存在实数，使成立，可判断④． 【详解】解：①当时，原方程组为， 解得：，故该项正确； ②， 由，得：． ∵，即， ∴， 解得：，即的最大值为2，故该项错误； ③， 由，得：， ∴取任意实数，的值始终不变，故该项正确； ④原方程组可改为：， ∴， 整理，得：． ∵，即， ∴， 解得：， ， ∴，即存在实数，使成立，故该项错误． 综上可知正确的有2个． 故选B． 65．若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程组的解，方程组之间的关系，熟练掌握方程组之间的关系是解题的关键． 根据两方程组各方程间的关系，可得出方程组的解为，进而可得出结论． 【详解】解：∵关于x，y的方程组（a，b是常数）的解为， ∴方程组的解为，即． 故答案为：． 66．规定；形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”. (1)方程的“共轭二元一次方程”为________，它们组成的“共轭一方程组”的解为_____． (2)若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可，解方程组即可； （2）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可求出“共轭系数”． 本题主要考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据定义，得方程的“共轭二元一次方程”为， 由题意，得， 解得， 故答案为：，． （2）解：由二元一次方程组为“共轭方程组”， 得， 解得， 故， 故此“共轭方程组”的共轭系数为． 压轴题型三　销售问题压轴 例题： 67．新年将至，小宏记录了他家连续两天购买两种年货（两次购买年货时单价不变）的名目：第一天购买5个A种年货和4个B种年货共元；第二天购买3个A种年货和2个B种年货共元． (1)小宏的爸爸看了后，说他的记录错误，请帮他说明错误理由； (2)原来，小宏把第一天的费用元写成了元，修正后求出每个A种年货单价元，每个种年货单价元，小宏一家决定再次购买两种年货共个，设总费用元，且总费用低于元但不少于元，请问有几种购买方案？并请求出花费最高的购买方案． 【答案】(1)见解析 (2)有5种购买方案，当时，，花费最高 【分析】本题考查二元一次方程组的实际问题和一元一次不等式的实际问题，正确理解题意，找出数量关系并列出方程组或不等式是解题的关键． （1）根据题意，设、两种年货单价分别为、元，列出方程组求解，然后结合实际说明即可； （2）设购买种年货个，列出不等式组求解，然后结合实际情况即可求解； 【详解】（1）解：设、两种年货单价分别为、元， 即， 解得：， ∵种年货单价不应为负， ∴小宏记录错误． （2）解：设购买种年货个，则种年货个， 即：， 即， 解得：， ∵年货个数为正数， ∴可以取、、、、， ∴共有5种购买方案； ∵是关于的一次函数， ∴随的增大而减小， 即当时，取最大值，， ∴当时，花费最高； 68．2022年12月7日，国务院联防联控机制综合组发布《关于进一步优化落实新冠肺炎疫情防控措施的通知》，发布了优化落实疫情防控的新十条规定，疫情防控迎来新的转折点．为了防治“新型冠状病毒”，小明妈妈准备购买医用口罩和洗手液用于家庭防护．若医用口罩买100个，洗手液买6瓶，则需300元；若医用口罩买200个，洗手液买4瓶，则需400元． (1)求医用口罩和洗手液的单价； (2)小明妈妈准备了600元，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为3元的口罩a个．医用口罩和口罩共200个，购买洗手液b瓶，钱恰好全部用完，可列出等量关系______．小明的妈妈一共有几种购买方案？ 【答案】(1)医用口罩的单价为1.5元，洗手液的单价为25元 (2)，有3种购买方案：①购买口罩50个，购买医用口罩150个，购买洗手液9瓶；②购买口罩100个，购买医用口罩100个，购买洗手液6瓶；③购买口罩150个，购买医用口罩50个，购买洗手液3瓶 【分析】此题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用——购买问题．解题的关键是熟练掌握总价与单价和数量的关系，解二元一次方程组，二元一次方程的解的定义，是解决问题的关键． （1）设医用口罩的单价为x元，洗手液的单价为y元，根据医用口罩买100个，洗手液买6瓶，则需300元；若医用口罩买200个，洗手液买4瓶，则需400元，列二元一次方程组求解即可； （2）首先根据题意得到，整理得到，根据都为正整数，赋值a，求出对应的b值即可． 【详解】（1）设医用口罩的单价为元/个，洗手液的单价为元/瓶， 根据题意得，． 解得：， 答：医用口罩的单价为1.5元，洗手液的单价为25元． （2）购买口罩a个，为正整数，购买洗手液瓶，则买医用口罩个， 根据题意得，， 整理得：， 即有， ∵都为正整数， ∴，，， 即有3种购买方案． 答：有3种购买方案： ①购买口罩50个，购买医用口罩150个，购买洗手液9瓶； ②购买口罩100个，购买医用口罩100个，购买洗手液6瓶； ③购买口罩150个，购买医用口罩50个，购买洗手液3瓶． 故答案为：． 69．某超市从厂家购进两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表： 进货批次 型水杯（个） 型水杯（个） 总费用（元） 一 二 (1)求两种型号的水杯进价各是多少元？ (2)第三次进货用元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个型水杯可获利元，售出一个型水杯可获利元，超市决定每售出一个型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐元用于购买防控物资．若、两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时为多少？利润为多少？ 【答案】(1)种型号的水杯进价为元，种型号的水杯进价为元 (2)为元，利润为元 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，一次函数的实际应用，整式加减中的无关型问题，解题的关键在于能够正确理解题意． （1）设种型号的水杯进价为x元，种型号的水杯进价为y元，然后根据表格列二元一次方程组，求解即可； （2）设总利润为元，购进种水杯个，根据题意可以得到，再由捐款后所得的利润始终不变，可知值与值无关，所以，得到的值，再代入可得，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：（1）设种型号的水杯进价为x元，种型号的水杯进价为y元， 根据题意得：，                                 解得：．                                                     答：种型号的水杯进价为元，种型号的水杯进价为元； （2）∵设总利润为元，购进种水杯个， 依题意，得：，        ∵捐款后所得的利润始终不变， ∴值与值无关， ∴， 解得：， ∴，                                      答：捐款后所得的利润始终不变，此时为元，利润为元． 压轴题型四　方案问题压轴 例题： 70．某广告公司要利用长为240cm、宽为40cm的板裁切甲、乙两种广告牌，已知甲广告牌尺寸为，乙广告牌尺寸为． (1)若该广告公司用1块板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3倍，在不造成板材浪费的前提下，求此时裁切出的甲、乙广告牌的数量； (2)求1块板的所有无浪费裁切方案； (3)现需要甲、乙两种广告牌各500块，该公司仓库已有488块乙广告牌，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？写出购买数量，并说明如何裁切． 【答案】(1)裁切甲广告牌9块，乙广告牌3块 (2)有三种裁切方案：方案1：甲广告牌16块，乙广告牌0块；方案2：甲广告牌9块，乙广告牌3块；方案3：甲广告牌2块，乙广告牌6块 (3)需要购买该型号板材33张；裁切办法：用其中29张板材裁切甲广告牌464张，用4张板材裁切甲广告牌36张和乙广告牌12块；或者用其中31张板材裁切甲广告牌496块，用2张板材裁切甲广告牌4块和乙广告牌12块 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出二元一次方程和二元一次方程组． （1）根据“甲乙广告牌的尺寸”和“用1块板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3倍”，建立等量关系，列出二元一次方程求解即可； （2）设一张该板裁切甲广告牌m块，乙广告牌n块，可得，求出非负整数解即可； （3）根据题意，需裁切甲广告牌500块，乙广告牌块，且板材恰好全部用完，可分三种情况讨论，①单独采用方案3，直接列示求解即可得购买板材数量；②采用方案1和2相结合，设用x张板材裁切，每张裁切甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌9块和乙广告牌3块，可得二元一次方程组，解方程组可得答案；③采用方案1和3相结合，设用x张板材裁切，每张甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌2块和乙广告牌6块，同样的方法求解即可．最后对比即可得出结论． 【详解】（1）解：设裁切甲广告牌x块，乙广告牌y块， 依题意得： 解得 答：裁切甲广告牌9块，乙广告牌3块． （2）解：设该板材裁切甲广告牌m块，乙广告牌n块， 根据题意得： 可得， ∵，为非负整数， ∴或或 答：有以下三种裁切方案： 方案1：甲广告牌16块，乙广告牌0块； 方案2：甲广告牌9块，乙广告牌3块； 方案3：甲广告牌2块，乙广告牌6块． （3）解：①采用方案3，根据题意，得： （张） （张） （张） 需要购买该型号板材252张，用其中250张板材裁切甲广告牌500块，用2张板材裁切乙广告牌12块． ②采用方案1和2相结合，设用x张板材裁切，每张裁切甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌9块和乙广告牌3块， 根据题意，得： 解得： （张） （张） （张） （张） 需要购买该型号板材33张，用其中29张板材裁切甲广告牌464张，用4张板材裁切甲广告牌36张，乙广告牌12块． ③采用方案1和3相结合，设用x张板材裁切，每张甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌2块和乙广告牌6块 根据题意,得： 解得： （张） （张） （张） （张） 需要购买该型号板材33张，用其中31张板材裁切甲广告牌496块，用2张板材裁切甲广告牌4块和乙广告牌12块． 综上，采用②③两种情况购买，需要购买该型号板材33张；裁切办法：用其中29张板材裁切甲广告牌464张，用4张板材裁切甲广告牌36张和乙广告牌12块；或者用其中31张板材裁切甲广告牌496块，用2张板材裁切甲广告牌4块和乙广告牌12块． 71．图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块． （2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案： 方案一：裁切靠背板______块和座板______块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 （3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材． 【答案】（1）30；（2）23，2；16，4；9，6；（3）需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程和二元一次方程组． 任务一：（1）画出图形，即可求解； （2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，再设一张该板材裁切靠背板块，座板块，可得：，求出正整数解即可； 任务二：分三种情况讨论，设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块，可得二元一次方程组，解方程组可得答案；或设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块；或设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块，同样的方法求解即可． 【详解】解：任务一： （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，如图， 则可裁切靠背板块． 故答案为：30； （2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，如图， 余下的，设一张该板材裁切靠背板块，座板块， 根据题意得：， ， ，为正整数， 或或， 方案一：裁切靠背板23块和座板2块． 方案二：裁切靠背板16块和座板4块． 方案三：裁切靠背板9块和座板6块； 故答案为：23，2；16，4；9，6； 任务二： 设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块， 根据题意得：， 解得：， 张， 需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块． 设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块， 根据题意得：， 解得：， 张， 需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块， 根据题意得：， 解得：(不合题意，舍去)， 综上，需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 72．根据以下素材，探索完成任务． 如何合理搭配消费券？ 素材一 我市在2024年发放了如图所示的南太湖消费券．规定每人可领取一套消费券（共4张）：包含型消费券（满50减20元）1张，型消费券（满100减30元）2张，型消费券（满300减100元）1张．    素材二 在此次活动中，小明一家4人各领到了一套消费券．某日小明一家在超市使用消费券共减了420元，请完成以下任务． 任务一 若小明一家用了2张型消费券，2张型消费券，则用了___________张型消费券，此时实际消费最少为____________元． 任务二 若小明一家用8张、、型的消费券消费，已知型比型的消费券多1张，求、、型的消费券各多少张？ 任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券组合消费，请问该如何使用消费券，才能使得实际消费金额最小，并求出此时实际最小消费金额． 【答案】任务一：6；880；任务二：型的消费券3张，型的消费券2张，则型的消费券3张；任务三：使用1张型消费券、4张型消费券时实际消费金额最小，最小金额为830元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程的应用； 任务一：根据消费券规则求解； 任务一：根据“小明一家在超市使用消费券共减了元”列方程求解； 任务一：先分类讨论，列关系式，再根据二元一次方程的整数解即可求解． 【详解】解：任务一：用型的消费券数量为：， 满减前至少消费（元）， 实际消费最少为（元）． 故答案为：6；880； 任务二：设型的消费券张，则型的消费券张，型的消费券张， 由题意可得， 解得． 型的消费券3张，型的消费券2张，则型的消费券3张； 任务三：设小明一家共使用型的消费券张，型的消费券张，型的消费券张，则，，都是正整数，，，， ①、型：． ， ，都是正整数，，， 无解； ②、型：， ， ，都是正整数，，， ． 实际消费金额：，（元）； ③、型：， ， ，都是正整数，，， ． 实际消费金额：，（元）； 综上所述，使用1张型消费券、4张型消费券时实际消费金额最小 压轴题型五　二元一次方程组的新定义问题 例题： 73．请根据李老师所给的内容，完成下列各小题： 我们定义一个关于非零常数a，b的新运算，规定：． 例如：． (1)如果，求y的值； (2)若，求x，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解二元一次方程．理解题意正确的列方程是解题的关键． （1）由题意知，，计算求解即可； （2）由题意可得，，加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 解得，， ∴y的值为； （2）解：由题意可得，， 得，， 解得，， 将代入①得，， 解得，， ∴， ∴． 74．定义：可化为其中一个未知数的系数都为，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项互为相反数的二元一次方程组，称为“相关倒反方程组”．如 ． (1)若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则 ， ． (2)若关于的方程组 可化为“相关倒反方程组”，求该方程组的解． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据“相关倒反方程组”的定义即可求解； （2）先把化为“相关倒反方程组”或，根据“相关倒反方程组”的定义求出的值，然后解二元一次方程组即可； 本题考查了二元一次方程组的解法及新定义，理解新定义，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则，， 故答案为：，； （2）解：根据题意 得：原方程组化为“相关倒反方程组”是 或， ①当“相关倒反方程组”是时， ，， ∴，， 所以原方程组为 ， 解得 ； ②当“相关倒反方程组”是时， ，， ∴，， 所以原方程组为 ， 解得 ． 综上所述，该方程组的解为或． 75．定义：当两个实数x，y，满足，则称这两实数x与y具有“友好关系”． (1)判断方程组的解x与y是否具有“友好关系”？说明你的理由． (2)若方程组中方程组的解x与y具有“友好关系”，请求出方程组的解及a，b的正整数值． 【答案】(1)x与y具有“友好关系”，理由见解析 (2)a，b的正整数值为或 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据方程组的解的情况，求参数的值： （1）用，得到，即可得出结论； （2）根据x与y具有“友好关系”，得到，结合组成新的方程组，求出的值，得到关于的二元一次方程，进而求出其正整数值即可． 【详解】（1）解：x与y具有“友好关系”，理由如下： 由方程组，②－①得 ∴方程组的解x与y具有“友好关系”； （2）∵方程组的解x与y具有“友好关系”， ∴③ 联立，解得 把代入中得 则a，b的正整数值为或． 压轴题型六　二元一次方程组的综合 例题： 76．已知关于的方程组，给出下列说法： ①当时，方程组的解也是的解； ②若，则； ③无论取何值：的值不可能互为相反数； ④都为自然数的解有2对． 以上说法中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了消元法解二元一次方程组，二元一次方程解的定义，二元一次方程的自然数解等知识，理解消元法解二元一次方程组的根据是等式的性质，掌握以上知识是解题关键． 将代入原方程组得，解得，经检验得是的解，故①正确；方程组两方程相加得，根据，解得，故②正确；设，代入解得，故③错误解方程，解得：，当 时，，，当 时，，，当 时，，，因此存在三对自然数解，④错误； 【详解】解：将代入原方程组得，解得：，将其代入，解得：， ∴当时，方程组的解也是的解，①正确； 方程组，得：，当，解得：；故②正确； 设，代入解得，此时，，互为相反数，故③错误； 解方程，解得：， 当 时，，， 当 时，，， 当 时，，， 因此存在三对自然数解，④错误； 综上所述：①②正确， 故选：A； 77．对于两个整数和，定义一种新运算“”，若为偶数，则；若为奇数，则．若对整数和，有，且，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了列方程组及解二元一次方程组，解决本题的关键是要熟练掌握分类讨论解决问题，由题意进行讨论分别列出方程组，并进行求解，再验证即可． 【详解】解：分析第二个方程 1.若为偶数， 则, 化简得： ， 2.若为奇数， 则, 化简得： ， 处理第一个方程， 情况1：， 1.计算内层运算， ， 因此，。 2.计算外层运算，和为： 奇偶性分析： 为奇数（因为奇数)，为偶数，故和为偶数。 因此，外层运算结果为： ， 根据方程： ，整理得：， 3.联立方程1和方程3， ， 解得：。 情况2：， 1.计算内层运算， ， 因此，。 2.计算外层运算，和为：(必为奇数)， 因此，外层运算结果为：， 根据方程： ， 解得： (非整数，不符合题意)， 综上所述，的值为3． 78．对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与 （填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出、的值；如果不具有，请说明理由． 【答案】(1)具有，理由见解析 (2)或 (3)具有“友好关系”，或 【分析】（1）求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； （2）求出方程组的解，根据“友好关系”的定义列出方程解答即可求解； （3）由方程组可得，再根据都是正整数求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，方程组的解，理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：具有“友好关系”，理由如下： ， ①②得，， 解得， 将代入②得，， 解得， ∴方程组的解为， ， 方程组的解与具有“友好关系”， 故答案为：具有； （2）解：， ②①得，， ∴ 方程组的解与具有“友好关系”， ， 解得或， 的值为或； （3）解：， ①得，， 解得， 由②得， ∴ ∵方程组的解具有“友好关系”； ∴ ∴ ∴其中与都是正整数， ∴或 ∴或时，此时方程组的解具有“友好关系”． 46 / 72 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 二元一次方程组易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　二元一次方程的相关概念 1 易错题型二　二元一次方程组的相关概念 3 易错题型三　二元一次方程组的解 5 易错题型四　二元一次方程组的特殊解法 7 易错题型五　二元一次方程组的错解复原 10 易错题型六　构造二元一次方程组 13 易错题型七　已知二元一次方程组的解求参数 15 易错题型八　方程组同解问题 18 易错题型九　三元一次方程组的相关概念 21 易错题型十　方案问题 25 易错题型十一　行程问题 29 易错题型十二　工程问题 33 易错题型十三　分配问题 38 易错题型十四 销售利润问题 42 易错题型十五　几何问题 51 压轴题型一　二元一次方程组的求参压轴 57 压轴题型二　二元一次方程组的特殊解压轴 63 压轴题型三　销售问题压轴 69 压轴题型四　方案问题压轴 78 压轴题型五　二元一次方程组的新定义问题 86 压轴题型六　二元一次方程组的综合 94 02 易错题型 易错题型一　二元一次方程的相关概念 例题： 1．已知是关于的二元一次方程的解，则代数式的值是（   ） A．13 B．11 C．7 D．9 巩固训练 2．是关于x，y的二元一次方程，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．小明解方程组，得出的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数和，则 ； 4．我们规定，关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“最佳”方程．例如：方程，其中，，，满足，则方程是“最佳”方程． 根据上述规定，回答下列问题． (1)判断方程_______“最佳”方程（填“是”或“不是”）． (2)若关于x，y的二元一次方程是“最佳”方程，求k的值． 易错题型二　二元一次方程组的相关概念 例题： 5．下列方程组：①②，③，其中是二元一次方程组的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．③ 巩固训练 6．已知是方程组的解，则的值是（　　） A． B．2 C．5 D． 7．若关于x，y的方程组的解满足，则 ． 8．已知二元一次方程． (1)直接写出它所有的正整数解； (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为． 易错题型三　二元一次方程组的解 例题： 9．解下列方程组： (1)； (2)． 巩固训练 10．解下列方程组： (1)； (2)． 11．解方程组： (1)； (2)． 12．解下列方程组： (1) (2) 易错题型四　二元一次方程组的特殊解法 例题： 13．已知关于x，y的二元一次方程组（a，b为常数）的解为，则关于x，y的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 14．已知关于的二元一次方程组的解为，且，则的值为 ． 15．已知二元一次方程组的解适合方程，求k的值． 16．问题：已知关于，的方程组的解满足方程，求的值． 同学们正在讨论着不同的解题思路： 甲同学说：可以先解关于，的方程组，再求的值． 乙同学说：可以先将方程组中的两个方程相加，再求的值； 丙同学说：可以先解方程组，再求的值． ．．． 请选择一种合适的方法解决上面的问题． 易错题型五　二元一次方程组的错解复原 例题： 17．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了，解得，则、、正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 巩固训练 18．已知关于x，y的方程组，小明看错a得到的解为，小亮看错了b得到的解为，则原方程组正确的解为 ． 19．甲乙两人同时解关于，的方程组，甲看错了，求得的解为；乙看错了，求得的解为，求原方程组的解． 20．综合与实践 小李和小张共同解关于的二元一次方程组由于粗心，小李看错了方程①中的，得到方程组的解为小张看错了方程②中的，得到方程组的解为 (1)求正确的值． (2)求原方程组的解． 易错题型六　构造二元一次方程组 例题： 21．如下表，在的方格中做填字游戏，要求每行，每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中x，y的值是（    ） 5 0 A． B． C． D． 巩固训练 22．对于有理数，规定新运算：，其中、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知：，，则 ． 23．阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为识，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部．b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算： (1)填空：___________，___________； (2)计算：①    ② (3)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：（x，y为实数），求x，y的值． 24．在等式中，当时，；当时，； (1)求的值； (2)当时，求的值． 易错题型七　已知二元一次方程组的解求参数 例题： 25．已知关于，的方程组，若，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 巩固训练 26．已知关于的方程组下列结论正确的有（　　） ①当时，该方程组的解也是方程的解；②当时，；③不论取什么实数，的值始终不变． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 27．若关于，的二元一次方程组的解满足，则 ． 28．是否存在一个数，使关于x，y的方程组的解满足？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 易错题型八　方程组同解问题 例题： 29．如果方程组的解也是方程的解，那么m的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 巩固训练 30．已知x，y的方程组与有相同的解，则a和b的值为（    ） A． B． C． D． 31．若关于x、y的二元一次方程组和有相同的解，则的值= ． 32．已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求这个相同的解． (2)求的值． 易错题型九　三元一次方程组的相关概念 例题： 33．解下列三元一次方程组： (1) (2) 巩固训练 34．已知a、b、c是三角形的三边长． (1)化简； (2)，，，求这个三角形的三边长． 35．已知，当时，，当时，；当时，，求当时，的值． 36．感悟思想：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x，y满足①，②，求和的值． 思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值． 如①－②可得；可得． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 体会思想： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)已知方程组：，则______； (3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需______元． 易错题型十　方案问题 例题： 37．已知，用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有27吨货物，计划同时租用A型车辆，B型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆车B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你直接写出该公司的租车方案． 巩固训练 38．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆型新能源汽车、3辆型新能源汽车共需85万元；购进3辆型新能源汽车、2辆型新能源汽车共需90万元． (1)问、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你设计出符合要求的购买方案． (3)销售1辆型汽车可获利1.8万元，销售1辆型汽车可获利1.2万元．假如这些新能源汽车全部售出，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 39．“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，现有脐橙，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案，并写出所有方案； (3)若1辆A型车需租金90元/次，1辆B型车需租金100元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 40．某面粉加工厂要加工一批小麦，台大面粉机和台小面粉机同时工作加工小麦吨；台大面粉机和台小面粉机同时工作共加工小麦26吨． (1)台大面粉机和台小面粉机每小时各加工小麦多少吨？ (2)该厂现有450吨小麦需要加工，计划使用台大面粉机和台小面粉机同时工作，能否全部加工完？请你帮忙计算一下． 易错题型十一　行程问题 例题： 41．一列快车长为，一列慢车长为．若两车同向而行，则快车从追上慢车开始直到完全超过慢车需要；若两车相向而行，则快车从与慢车相遇开始到完全离开慢车只需要．快车和慢车的速度分别是多少？ 巩固训练 42．某船在静水中的速度为，该船于下午1点从A地出发，逆流而上，下午到达B地，停泊后返回，下午4点回到A地．求A，B两地的距离及水流的速度． 43．平泽唯搭乘电车外出游玩，电车正要经过一条1000m长的桥，电车从车头上桥到车尾离桥共用时，整列电车完全在桥上的时间为，求电车的行驶速度． 44．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2小时，从乙码头到甲码头逆流而行，用了2.5小时，已知轮船在静水中的平均速度为27千米/时，求水流的速度和甲、乙码头间的距离？（顺水速度静水速度水流速度；逆水速度静水速度水流速度，用二元一次方程组的知识解答） 易错题型十二　工程问题 例题： 45．某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍．请问一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成960亩的打药任务，并说明理由． 巩固训练 46．一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要12天完成．按原计划这项工程要求在7天内完成，现在乙、丙两队先合作若干天，后来为加快进度，甲队也同时加入这项工程，这样比原定时间提前一天完成任务．乙、丙两队合作了多少天？甲队加入后又做了多少天？ 47．数学老师要求同学们列二元一次方程组解决问题：在我市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后为扶贫村修建3000米的村路，甲队每天修建150米，乙队每天修建200米，共用18天完成．求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)嘉嘉同学根据题意，列出了二元一次方程组，那么这个方程组中未知数x表示的是______，未知数y表示的是______； (2)淇淇同学设甲工程队修建了p天，乙工程队修建了q天，请你按照她的思路解答老师的问题． 48．某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆，由于熟练工不够，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装，生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车． (1)求每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)如果工厂招聘n名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，求所抽调的熟练工的人数． 易错题型十三　分配问题 例题： 49．一套仪器由1个A部件和2个B部件构成．用钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应分别用多少立方米钢材做A部件和B部件？恰好配成这种仪器多少套？ 巩固训练 50．春季是传染病高发的季节，同学们要勤通风常洗手，为了同学们的身体健康，李老师为全年级师生购买洗手液，根据市场调研，李老师发现某品牌的洗手液的大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量（按瓶计算）比为，某厂每天生产这种洗手液22.5吨，请同学们利用二元一次方程组的数学思想，帮助李老师估计一下这些洗手液应该分装多少个大瓶，多少个小瓶才是最合理的？（请同学们注意单位换算） 51．某酒店客房部有三人间和双人间两种普通客房，收费标准为三人间300元/间，双人间280元/间，为了吸引游客，酒店实行团体人住五折优惠措施，一个46人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去2620元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房各多少间? 52．列一元一次方程解应用题： 某家具加工车间准备组装一批双人桌椅，即张桌子配把椅子，为提前完成任务，在原有名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的倍少人． (1)求调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，若每名工人每天可以组装张桌子或把椅子，为使每天组装的桌椅刚好配套，应该安排组装桌子和椅子的工人各多少名？ 易错题型十四　销售利润问题 例题： 53．中国动画电影《哪吒之魔童闹海》作为中国影史首部百亿票房电影，成功登顶全球动画电影票房榜，创造了中国动画电影新的里程碑．某儿童福利院组织孩子们去电影院观看《哪吒之魔童闹海》，电影票的票价比普通电影票的票价多20元，购买50张电影票和70张普通电影票共需4600元．求电影票和普通电影票的票价． 巩固训练 54．菜农王大叔在蔬菜批发市场上了解到以下信息内容： 蔬菜品种 辣椒 黄瓜 西红柿 茄子 批发价（元/公斤） 零售价（元/公斤） 他共用116元钱从市场上批发了辣椒和西红柿共44公斤到菜市场去卖，当天卖完，请你计算出王大叔一天能赚多少钱？ 55．为开展“阳光大课间”活动，顺迈学校准备一次性购买若干副乒乓球拍和羽毛球拍（每副乒乓球拍的价格相同，每副羽毛球拍的价格相同），若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍，则需420元；若购买2副乒乓球拍和5副羽毛球拍，则需720元． (1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？ (2)若顺迈学校实际需要一次性购买乒乓球拍和羽毛球拍共60副，要求购买乒乓球拍和羽毛球拍的总费用不超过4800元，顺迈学校最多可以购买多少副羽毛球拍？ 56．清明果是上饶的特色美食之一．某美食商铺推出了萝卜馅清明果和肉馅清明果．下表列出了小李、小艺在该美食商铺的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）． 萝卜馅清明果／个 肉馅清明果／个 付款金额／元 小李 40 10 85 小艺 20 20 80 根据上表，求萝卜馅清明果和肉馅清明果的单价． 易错题型十五　几何问题 例题： 57．列二元一次方程组解应用题． 小刚在游览雕塑公园时，发现平地上有刚好用6块完全相同的长方形石材铺成周长为的大长方形（如图所示），求每块小长方形的面积． 巩固训练 58．七年级某数理兴趣小组在开展活动中，组长小明裁剪了16张一样大小的长方形硬纸片，组员小亮用其中的8张恰好拼成一个大的长方形，小聪用另外的8张拼成一个大的正方形，但中间留下一个边长为的正方形（见如图中间的阴影方格），请你算出小明裁剪的每张长方形硬纸片长与宽分别是多少？ 59．数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究． (1)小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为，周长为，请求出该长方形纸片的长和宽： (2)小葵在长方形内画出边长为的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条边在大正方形的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30，由此她判断大正方形的面积为100，问：小葵的判断正确吗?请说明理由． 60．根据表中的素材，完成下面的任务： 制作无盖长方体纸盒 素材1 裁剪长方形纸板 将某种规格的长方形纸板按图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板． 素材2 制作无盖长方体纸盒 4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒；3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图4所示的无盖长方体纸盒． 问题解决 任务 制作图3、图4规格的纸盒若干个 若有21张长方形纸板，且恰好能够完成制作（纸板无剩余），则能做成图3、图4规格的纸盒各多少个？ 03 压轴题型 压轴题型一　二元一次方程组的求参压轴 例题： 61．已知关于x，y的方程组，给出下列说法：①当时，方程组的解也是方程的一个解；②当x与y互为相反数时，；③不论a取什么实数，的值始终不变；④若，则．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 62．关于x，y的方程组的解满足不等式组，则m的取值范围 ． 63．已知关于，的方程组（是常数）． (1)当时，则方程组可化为． ①请直接写出方程的所有非负整数解． ②若该方程组的解也满足方程，求的值． (2)当时，如果方程组有整数解，求整数的值． 压轴题型二　二元一次方程组的特殊解压轴 例题： 64．已知关于，的方程组，下列说法中正确的有（    ）个． ①当时，；②当时，的最小值为2；③取任意实数，的值始终不变；④不存在实数，使成立． A．1 B．2 C．3 D．4 65．若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ． 66．规定；形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”. (1)方程的“共轭二元一次方程”为________，它们组成的“共轭一方程组”的解为_____． (2)若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数． 压轴题型三　销售问题压轴 例题： 67．新年将至，小宏记录了他家连续两天购买两种年货（两次购买年货时单价不变）的名目：第一天购买5个A种年货和4个B种年货共元；第二天购买3个A种年货和2个B种年货共元． (1)小宏的爸爸看了后，说他的记录错误，请帮他说明错误理由； (2)原来，小宏把第一天的费用元写成了元，修正后求出每个A种年货单价元，每个种年货单价元，小宏一家决定再次购买两种年货共个，设总费用元，且总费用低于元但不少于元，请问有几种购买方案？并请求出花费最高的购买方案． 68．2022年12月7日，国务院联防联控机制综合组发布《关于进一步优化落实新冠肺炎疫情防控措施的通知》，发布了优化落实疫情防控的新十条规定，疫情防控迎来新的转折点．为了防治“新型冠状病毒”，小明妈妈准备购买医用口罩和洗手液用于家庭防护．若医用口罩买100个，洗手液买6瓶，则需300元；若医用口罩买200个，洗手液买4瓶，则需400元． (1)求医用口罩和洗手液的单价； (2)小明妈妈准备了600元，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为3元的口罩a个．医用口罩和口罩共200个，购买洗手液b瓶，钱恰好全部用完，可列出等量关系______．小明的妈妈一共有几种购买方案？ 69．某超市从厂家购进两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表： 进货批次 型水杯（个） 型水杯（个） 总费用（元） 一 二 (1)求两种型号的水杯进价各是多少元？ (2)第三次进货用元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个型水杯可获利元，售出一个型水杯可获利元，超市决定每售出一个型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐元用于购买防控物资．若、两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时为多少？利润为多少？ 压轴题型四　方案问题压轴 例题： 70．某广告公司要利用长为240cm、宽为40cm的板裁切甲、乙两种广告牌，已知甲广告牌尺寸为，乙广告牌尺寸为． (1)若该广告公司用1块板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3倍，在不造成板材浪费的前提下，求此时裁切出的甲、乙广告牌的数量； (2)求1块板的所有无浪费裁切方案； (3)现需要甲、乙两种广告牌各500块，该公司仓库已有488块乙广告牌，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？写出购买数量，并说明如何裁切． 71．图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块． （2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案： 方案一：裁切靠背板______块和座板______块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 （3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材． 72．根据以下素材，探索完成任务． 如何合理搭配消费券？ 素材一 我市在2024年发放了如图所示的南太湖消费券．规定每人可领取一套消费券（共4张）：包含型消费券（满50减20元）1张，型消费券（满100减30元）2张，型消费券（满300减100元）1张．    素材二 在此次活动中，小明一家4人各领到了一套消费券．某日小明一家在超市使用消费券共减了420元，请完成以下任务． 任务一 若小明一家用了2张型消费券，2张型消费券，则用了___________张型消费券，此时实际消费最少为____________元． 任务二 若小明一家用8张、、型的消费券消费，已知型比型的消费券多1张，求、、型的消费券各多少张？ 任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券组合消费，请问该如何使用消费券，才能使得实际消费金额最小，并求出此时实际最小消费金额． 压轴题型五　二元一次方程组的新定义问题 例题： 73．请根据李老师所给的内容，完成下列各小题： 我们定义一个关于非零常数a，b的新运算，规定：． 例如：． (1)如果，求y的值； (2)若，求x，y的值． 74．定义：可化为其中一个未知数的系数都为，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项互为相反数的二元一次方程组，称为“相关倒反方程组”．如 ． (1)若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则 ， ． (2)若关于的方程组 可化为“相关倒反方程组”，求该方程组的解． 75．定义：当两个实数x，y，满足，则称这两实数x与y具有“友好关系”． (1)判断方程组的解x与y是否具有“友好关系”？说明你的理由． (2)若方程组中方程组的解x与y具有“友好关系”，请求出方程组的解及a，b的正整数值． 压轴题型六　二元一次方程组的综合 例题： 76．已知关于的方程组，给出下列说法： ①当时，方程组的解也是的解； ②若，则； ③无论取何值：的值不可能互为相反数； ④都为自然数的解有2对． 以上说法中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④ 77．对于两个整数和，定义一种新运算“”，若为偶数，则；若为奇数，则．若对整数和，有，且，则的值为 ． 78．对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与 （填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出、的值；如果不具有，请说明理由． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$