清单01 两个计数原理与排列组合（考点清单，知识导图+10个考点清单&题型解读）（期末复习知识清单）高二数学下学期人教B版

清单01 两个计数原理与排列组合 清单01 计数原理 1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 拓展：完成一件事有类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，…，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 拓展：完成一件事需要个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法 注意：区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步． 清单02 排列 ①排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. ②排列数、排列数公式：从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示，其中，，且. 清单03 组合 ①组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. ②组合数、组合数公式：从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. 公式：，其中，且 规定： ③排列与组合的关系 相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 （关键是看选出的元素是否与顺序有关,若有关系,则是排列问题，若无关系，则是组合问题） ④组合数的性质 性质1：； 性质2：. 清单04 分类问题 问题 方法 “在”与“不在”的有限制条件的排列问题 既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先. 相邻问题 “捆绑法”：把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列 不相邻问题 “插空法”：先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空挡中 定序问题 先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 正面考虑比较复杂的问题 “间接法”，反面入手 平均分组问题 一般先分堆，再除以. 不平均分组问题 先分堆，其中有组个数一样，再除以 相同元素的“分配”问题 “隔板法”：将个相同的元素分成份,每份至少一个元素,可以用块隔板，插入个元素排成一排的个空隙中， 【考点题型一】两个计数原理综合（） 【例1】乘积展开后的项数为（   ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【详解】从第一个括号中选一个字母有3种方法， 从第二个括号中选一个字母有2种方法， 第三个括号中选一个字母有4种方法， 故根据分步乘法计数原理可知共有（项）． 故选：D 【变式1-1】安排4位顾客去三家餐馆就餐，其中一位顾客由于饮食特殊性，只能安排在餐馆，则不同的安排方案共有 种． 【答案】27 【详解】由题意可知，其中一位顾客由于饮食特殊性，只能安排在餐馆， 则剩下3位顾客每人就餐餐馆有3种安排方案，故不同的安排方案共有种. 故答案为：. 【变式1-2】某校开展社团活动，其中有知识性社团诗词赏析，趣味数学等6个社团，有活动类社团木工、种植等4个社团，甲乙两人按顺序依次选择一社团参加，不得重复.乙选择活动类社团参加的概率为 ． 【答案】/ 【详解】根据题意甲乙两人按顺序依次选择一社团参加有种情况， 其中乙选择活动类社团有， 所以根据古典概型得乙选择活动类社团参加的概率为， 故答案为：. 【变式1-3】某电商推出了A，B，C，D四种红包，活动规定每人可以依次点击5次，每次都会获得四种红包的一种，若集齐四种才能获奖，且每次红包出示的顺序不同对应的奖次也不同.甲按规定依次点击了5次，直到第5次才获奖.则他获得奖次的不同情形种数为 . 【答案】144 【详解】由题意可得直到第5次才获奖，说明前4次点击中恰有其余三种不同类型， 采用分步计算， 第五次共有4种选择， 前四次共有种，减去缺少一种的类型有种；再加上缺少两种的类型共有， 由容斥原理可得前4次点击中恰有其余三种不同类型共有种， 由分步乘法原理可得种. 故答案为：144. 【变式1-4】将标有序号1，2，3的三个小球放入标有序号1，2，3，4的四个盒子里，每个盒子最多一个小球，且要求小球和盒子的序号均不对应相同，则所有放法的种数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【详解】若盒子序号为1，2，3，则球的序号依次为2，3，1或3，1，2，共有2种放法； 若盒子序号为1，2，4或1，3，4，或2，3，4，根据对称性可知不同的方法种数相同， 例如盒子序号为1，2，4，则球的序号依次为2，3，1或2，1，3或3，1，2，共有3种放法； 所以所有放法的种数为. 故选：C. 【考点题型二】排列数和组合数的计算（） 【例2】求值： (1) (2) (3)解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）. （2） . （3）由，得， 即， 即， 而由，知，解得， 所以原方程的解为. 【变式2-1】已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，根据排列数公式，可得，即，解得. 又因为，且，所以，即. 已知全集，根据补集的定义，可得. 故选：C. 【变式2-2】已知，则的值可能为（    ） A．2 B．4 C．7 D．9 【答案】BC 【详解】由于 所以，得或7． 故选：BC． 【变式2-3】已知为正整数，若，则 ． 【答案】3或7 【详解】因为，则，解得， 由组合数性质可知：或，解得或． 故答案为：3或7. 【变式2-4】（1）解不等式； （2）求的值 ． 【答案】（1）的取值集合为；（2）. 【详解】解：（1）由得， 整理得，整理可得，解得， 因为且，故的取值集合为； （2）由已知可得，解得，因为，所以， 因此，. 【考点题型三】捆绑与插空（） 【例3】有4辆车停放在5个并排车位上，客车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与客车甲相邻停放，则共有 种不同的停放方法. 【答案】12 【详解】因为客车甲占两个车位且乙车与客车甲相邻停放. 所以将乙车与客车甲捆绑，看成一个车有种排法，与余下的两辆车全排有种排法， 所以共有种不同的停放方法. 故答案为：12. 【变式3-1】对一排7个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求不能有相邻的格子都染红色，则满足要求的染色的方法共有（    ） A．35种 B．34种 C．33种 D．32种 【答案】B 【详解】因为不能有相邻的格子都染红色，所以我们对红色格子的个数进行分类讨论， 当染个红色格子时，共有种满足要求的染色的方法， 当染个红色格子时，共有种满足要求的染色的方法， 当染个红色格子时，我们采用插空法，先将个蓝色格子排列好，产生了个空， 共有种满足要求的染色的方法， 当染个红色格子时，我们采用插空法，先将个蓝色格子排列好，产生了个空， 共有种满足要求的染色的方法， 当染个红色格子时，我们采用插空法，先将个蓝色格子排列好，产生了个空， 共有种满足要求的染色的方法， 当有个或个以上的红色格子时，红色格子一定会相邻，不符合题意，故排除， 综上，由分类加法计数原理得共有种方法满足，故B正确. 故选：B 【变式3-2】贵阳市某中学举办“贵阳文化”交流活动，计划在校园内用五个展板展示阳明文化，山地文化，民族文化，红色文化和饮食文化五种特色文化．规定阳明文化与红色文化不相邻，饮食文化展板放最后．则展板的不同排列方式有（   ） A．12种 B．14种 C．16种 D．18种 【答案】A 【详解】先排饮食文化展板，有一种放置方法； 再排山地文化展板，民族文化，有种放置方法； 再利用插空法排阳明文化展板与红色文化展板，有种放置方法， 故共有种放置方法， 故选：A. 【变式3-3】DeepSeek软件是我国一款深度求索人工智能软件．现将DeepSeek单词中的字母重新排列，则字母e互不相邻的不同排法种数为（   ） A．24 B．120 C．576 D．2880 【答案】B 【详解】先将除字母外的四个字母排序有种排法， 再将四个字母放到5个空位有种排法， 根据分步乘法计数原理共有种排法， 故选：B. 【变式3-4】某急救小组有1名司机，2名医生和3名护士，6人排成一排合影留念，要求2名医生不相邻，3名护士互不相邻，则不同的排法种数为（   ） A．36 B．48 C．72 D．120 【答案】D 【详解】先排1名司机，2名医生有：①医生、司机、医生；②司机、医生、医生；③医生、医生、司机，共三类. 对于①，3名护士随意插空有种排法，2名医生交换位置有种排法， 所以共有种排法； 对于②，3名护士先选1人插入2名医生之间有种排法， 再在余下的3个空中插入余下的2名护士有种排法， 2名医生交换位置有种排法，所以共有种排法； 对于③，显然和②有相同的排法数. 综上，共有48+2×36=120种. 故选：D 【考点题型四】位置（元素）有限制问题（） 【例4】生命在于运动，小兰给自己制定了周一到周六的运动计划，这六天每天安排一项运动，其中有两天练习瑜伽，另外四天的运动项目互不相同，且运动项目为跑步､爬山､打羽毛球和跳绳，下列说法错误的是（    ） A．若瑜伽被安排在周一和周六，则共有48种不同的安排方法 B．若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则共有216种不同的安排方法 C．若周一不练习瑜伽，周三爬山，则共有36种不同的安排方法 D．若瑜伽不被安排在相邻的两天，则共有240种不同的安排方法 【答案】A 【详解】对于A，若瑜伽被安排在同一和周六，则共有种不同的安排方法，故A不正确； 对于B，若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则由间接法可得， 不同的安排方法种数为，故B正确 对于C，若周一不练习瑜伽，周三爬山，则共有种不同的安排方法，故C正确； 对于D，若瑜伽不被安排在相邻的两天，则先排其他四项运动，共有种不同的安排方法， 再从5个空位里插入2个安排练习瑜伽，故共有种不同的安排方法，故D正确. 故选：A. 【变式4-1】甲、乙、丙三人排成一排，则甲不在排头，且乙或丙在排尾的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】甲､乙､丙三人排成一排，共种情况， 符合题意的有丙､甲､乙或乙､甲､丙两种情况，故概率为． 故选：B． 【变式4-2】甲、乙、丙、丁4名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第4名的名次.甲和乙去向老师询问成绩，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，4人的名次排列的情形有（   ） A．8种 B．18种 C．54种 D．64种 【答案】A 【详解】分三步完成：冠军有种可能，乙的名次有种可能，余下2人有种可能， 所以4人的名次排列有（种）不同情况. 故选：A 【变式4-3】毕业前夕，某高中高三（6）班科技创新兴趣小组的5名同学与1名辅导老师，共6人合影留念，站成前后相对应的两排，每排3人，老师站在前排中间，其中甲、乙两名同学不相邻（相邻仅包括正前后或左右），则不同站法种数为（    ） A．96 B．84 C．72 D．48 【答案】C 【详解】先直接排序，站法种数为； 当甲、乙两名同学为正前后相邻时，其中必有1人站在老师的左侧或右侧， 另1人站在正后面，站法种数为； 当甲、乙两名同学为左右相邻时，两人必都站在后一排，将甲、乙两名同学看成一个元素， 从其余的3人中选2人站在老师的左右两侧，余下的1人与甲、乙两名同学看成的一个元素进行全排列， 所以站法种数为； 所以不同站法种数为. 故选：C. 【变式4-4】为确保学生身心健康，全面发展，高中课程内容覆盖学科教学、体育、艺术等类别，我校按照教育部的指导，安排上午四节课，下午三节课，现在安排我班一天中语文、英语、物理、政治、体育各一节，数学两节，要求两节数学课都排在上午或下午、且连续，体育课排在下午，则不同的排法有 种． 【答案】264 【详解】（1）若两节数学排在下午，有两种情况，1,2节或2,3节，剩下一节对应体育， 第二步，上午4节课全排列即可，有，故共有种， （2）若两节数学排在上午，有1,2或2,3或3,4，共3种排法， 第二步，排体育，易知有3种排法， 第三步，剩下4节课，全排列，有，故共有， 所以共有种， 故答案为：264 【考点题型五】定序问题（） 【例5】高二（1）班5位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，若保持原来5位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（   ） A．42 B．30 C．21 D．15 【答案】A 【详解】7位同学排成一排照相，共有种排法，原来5位同学的排列方法有种， 所以保持原来5位同学的相对顺序不变的排法种数为. 故选：A 【变式5-1】2025年4月12日是成都七中成立120周年校庆日，将2，0，2，5，4，1，2这些数字排成一行拼成7位数，则不同的7位数的有（ ）个. A．480 B．600 C．720 D．840 【答案】C 【详解】数字：2，0，2，5，4，1，2中数字2出现了3次，则7个数字的所有排列情况有种， 当首位为0时，剩下6个数字：2，2，5，4，1，2，其中数字2出现了3次，排列的情况有种， 所以不同的7位数有个. 故选：C 【变式5-2】用1，2，3，4，5，6六个数字组成没有重复数字的六位数，其中百、十、个位的数字按从小到大的顺序排列，这样的六位数共有 个． 【答案】120 【详解】从6个数字中选3个排在最左边的三个数位，共有＝120种选法，剩下的3个数字自动从小到大的顺序排列在百、十、个位，∴这样的六位数共有120个． 故答案为：120 【变式5-3】有两堆集装箱，一堆4个，另一堆3个，要把这7个集装箱搬离原来位置，每次只能搬动一个集装箱，按照从上到下的顺序搬离，则A箱子在第4次搬离的概率是 . 【答案】 【详解】由题意，7个集装箱按照从上到下的顺序搬离共有种， A箱子在第4次搬离时，前3次搬动顺序有3种情况，后3次搬动顺序有3种情况，共种，故所求概率． 故答案为： 【变式5-4】一天的课程表要排入语文，数学，物理，化学，英语，体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？ 【答案】360 【详解】根据题意，将六门课全排共有种排法，又数学排在体育之前， 所以该天的课程表有种排法. 【考点题型六】分组分配问题（） 【例6】每年的3月5日是学雷锋纪念日，某班的5位学生报名参加2025年3月5日的学雷锋社会实践活动，有关爱老人活动、社区卫生活动，协助交警活动这三种可以选择，每位学生只能参加一种活动，并且每种活动至少有1位学生参加，则不同的分配方案种数为（    ） A．120 B．150 C．210 D．240 【答案】B 【详解】将5位学生分为三组，每组至少有1人，每组的人数可以是1，1，3或1，2，2.， 当每组人数是1，1，3时，分组方法有（种）： 当每组人数是1，2，2时，分组方法有（种）， 所以将5位学生分为三组的方法共有（种）， 所以不同的分配方案种数为. 故选：B. 【变式6-1】学校开展班级轮值活动，高二某班有A，B，C，D四个轮值小组负责甲，乙，丙三个地点的站岗值班任务，每个小组负责一个地点，每个地点至少有一个小组负责，且A小组不去甲地点，则不同的任务分配方法种数为（    ） A．36 B．24 C．18 D．12 【答案】B 【详解】若甲地去一组，从B，C，D选一组，剩下3组分成2组去两地即可， 则有， 若甲地去两组，从B，C，D选两组，剩下2组分成2组去两地即可， 则有， 故共有种， 故选：B 【变式6-2】某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养．现准备将7本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙班至少2本，则不同的分配方案有（    ） A．630种 B．840种 C．1470种 D．1480种 【答案】C 【详解】根据题意甲乙丙丁四个班的书可以按照3，1，2，1或者2，1，2，2或者2，1，3，1三种方式分配， 故总的分配方案有种． 故选：C 【变式6-3】2025年3月23日武汉马拉松比赛，其中有6名（4男2女）志愿者，他们决定分成两个小组，到甲乙两个赛道维护秩序，若要求每组至多4人，且女志愿者不能单独成组，则不同的方案共有 种.（用数字作答） 【答案】48 【详解】由题意可得人分两组的人数比为或，则情况数为， 由两位女志愿者单独成组分配的情况数为，则不同的方案共有（种）. 故答案为：. 【变式6-4】解决下列问题，结果用数字表示. (1)有6个不同的小球，全部放入3个相同的盒子里，每个盒子至少放1个，求不同的存放方式； (2)有6个相同的小球，全部放入3个不同的盒子里，允许有空盒情况，求不同的存放方式； (3)有6个相同的小球，全部放入3个相同的盒子里，允许有空盒情况，求不同的存放方式. 【答案】(1)90 (2)28 (3)7 【详解】（1）6个球分为三组有以及以及三种情况， 种； （2）利用隔板法可得， 所以一共有：28种存放方式. （3）①6个小球入一个盒子有1种情况； ②6个小球入两个盒子有，共3种情况； ③6个小球入三个盒子有，共3种情况； 所以一共有：7种存放方式. 【考点题型七】隔板法（） 【例7】2025年央视春晚的四个分会场分别为重庆、武汉、无锡和拉萨，现有11个志愿者名额分配给这四个分会场，其中一个分会场分5个名额，在余下的三个分会场中每个会场至少分一个名额，则名额分配的不同种数为（    ） A．210 B．35 C．40 D．120 【答案】C 【详解】依题意，选择一个分会场获取5个名额，有种方法， 再将余下的6个名额分配到另三个分会场，用隔板法有种， 所以名额分配的不同种数为. 故选：C 【变式7-1】总共有13个大小颜色重量外观等都一样的小球，如图所示①、②、③号三个足够大的杯子，其中①号杯子至少放一个小球，②号杯子至少放两个小球，③号杯子至少放三个小球，问总共有（    ）种放小球方法 A．120 B．84 C．45 D．36 【答案】D 【详解】已知①号杯子至少放一个小球，②号杯子至少放两个小球，③号杯子至少放三个小球. 我们先在②号杯子中放个小球，在③号杯子中放个小球， 这样就满足了每个杯子的最少放置要求.此时总共放了个小球， 还剩下个小球. 将问题转化为标准隔板法问题： 现在要把这10个相同的小球放入①、②、③号三个杯子中，且每个杯子至少放个小球. 这就相当于在10个小球形成的个间隔中插入个隔板， 将其分成组，每组对应一个杯子. 根据隔板法公式，所以方法数为. 根据组合数公式，可得（种）. 故选：D. 【变式7-2】已知，，，则关于，，的方程共有（    ）组不同的解. A．36 B．45 C．50 D．24 【答案】A 【详解】根据题意，对于方程将10看成10个相同的小球，将其分成3组，每组至少1个， 第一组有个，第二组有个，第三组有个，即可得一个方程的解， 所以10个相同的小球形成9个空，从中选2个，插入隔板即可， 所以共有组不同的解. 故选：A 【变式7-3】某停车场有一整排11个空车位．甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两侧都有空车位且甲车在乙、丙两车之间，则共有 种不同的停放方式． 【答案】70 【详解】8个空位的排法有1种，出现了7个空，从中选3个，把三辆车排好的方法有： 种. 其中甲车在乙、丙两车之间的概率为：. 所以满足条件的排法种数为：种. 故答案为：70 【变式7-4】某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养.现准备将一批书籍全部分配给甲､乙､丙､丁4个不同的班级. (1)若这批书是10本相同的书，每个班至少1本，共有多少种不同的分配方法？ (2)若这批书是10本不同的书，每个班至少2本，共有多少种不同的分配方法？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）相同元素分配问题用“隔板法”， 只需从个元素中间的个空中插入块板隔成份即可， 所以共有种不同的分配方法； （2）将本不同的数分成份，每个班至少本，可分为，两种情况； 若为，则有种不同的分配方法； 若为，则有种不同的分配方法； 综上可得一共有种不同的分配方法. 【考点题型八】涂色问题（） 【例8】用五种不同颜色的涂料涂在如图所示的五个区域，相邻两个区域不能同色，且至少要用四种颜色，则不同的涂色方法有（   ）      A．240 B．480 C．420 D．360 【答案】D 【详解】先不考虑至少要用四种颜色，完成涂色需要分5步，按照顺序依次涂区域CADEB， C区域有5种颜色可选，A区域有4种颜色可选，D区域有3种颜色可选； 若E区域与D区域颜色相同，E区域有1种颜色可选，则B区域有3种颜色可选； 若E区域与D区域颜色不同，E区域有2种颜色可选，则B区域有2种颜色可选； 再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得共有种； 如果只使用三种颜色涂色（小于三种无法涂色），则A，B同色且D,E同色，共有种涂色方法； 所以满足题意的不同的涂色方法有种. 故选：D. 【变式8-1】如图（1），由两个半径相等的圆柱体呈直角相交而得到的公共部分对应的几何体称为“牟合方盖”（如图（2）），牟合方盖的表面可以看成四个曲面拼接成的.将一个牟合方盖的四个曲面编号为，然后每个曲面染一种颜色，相邻（有公共图边）的两面颜色不能相同，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数（    ） A．24 B．48 C．60 D．84 【答案】D 【详解】根据牟合方盖的表面可以看成四个曲面拼接成的.将一个牟合方盖的四个曲面编号为，故可转化为有公共点的4个区域，如图所示： 1号小方格可以从4种颜色的染料中任取一种涂色，有4种不同的涂法. ①当2号，3号小方格涂不同颜色的染料时，有种不同的涂法，4号小方格有2种不同的涂法，故由分步乘法计数原理，可知有种不同的涂法. ②当2号，3号小方格涂相同颜色的染料时，有3种不同的涂法，4号小方格也有3种不同的涂法，故由分步乘法计数原理，可知有种不同的涂法. 综上，由分类加法计数原理，可得共有种不同的涂法. 故选：D. 【变式8-2】用四种不同的颜色给图中5个区域染色，要求边界有重合部分的区域（仅顶点与边重合或仅顶点与顶点重合不算)染上不同的颜色，则不同的染色方法有（   ）    A．112种 B．146种 C．192种 D．168种 【答案】D 【详解】对1，4，5染色，有种方法． 若1和3同色，则不同的染色方法有种； 若1和3不同色，则不同的染色方法有种． 综上，不同的染色方法有168种. 故选：D 【变式8-3】英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同.该猜想于1976年由阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明.如图，一个地区分为6个行政区域，现给地图上的行政区域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每个区域涂1种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有 种（用数字作答）. 【答案】216 【详解】如图，将6个行政区标上序号， 区域1有4种颜色可选，共4种方法； 区域2与区域1相邻，不能与区域1同色，有3种颜色可选，共3种方法； 区域3与区域1、2相邻，不能与区域1、2同色，有2种颜色可选，共2种方法； ①若区域4与区域2同色，有1种颜色可选，此时区域5与区域2不同色且有2种涂色方法，此时区域6有2种涂色方法； ②若区域4与区域2不同色，有1种颜色可选，此时若区域5与区域2同色，有1种涂色方法，区域6有3种涂色方法， 若区域5与区域2不同色，有1种涂色方法，区域6有2种涂色方法， 所以一共有种方法. 故答案为：216. 【变式8-4】如图，这是一个平面图形，现提供四种颜色给图中的区域1､区域2､区域3､区域4､区域5､区域6共六个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则共有 种不同的涂色方案． 【答案】96 【详解】若仅用三种颜色涂色，则区域1，6同色，区域2，4同色，区域3，5同色，共有种涂法； 若用四种颜色涂色，则区域1，6，区域2，4，区域3，5中有一组不同色，则有3种情况， 先从四种颜色中取两种涂同色区，有种涂法，剩余两种涂在不同区域，有2种涂法，共有种涂法； 故总的涂色方案有种， 故答案为：96． 【考点题型九】走楼梯及最短路径问题（） 【例9】某教学楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，某同学从二楼到三楼准备用7步恰好走完，则第二步走两级台阶的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】10级台阶要用7步走完，则4步是上一级，三步是上两级， 共种走法， 若第二步走两级台阶，则其余6步中有两步是上两级， 共， 所以第二步走两级台阶的概率为. 故选：C 【变式9-1】如图，小明从街道的处出发，选择最短路径到达处参加志愿者活动，在小明从处到达处的过程中，途经处的路线有（    ）条 A．5 B．6 C．10 D．18 【答案】D 【详解】小明从处到达处的过程中，途经处需要2步：从到处有种方法，再从到有种方法， 所以小明从处到达处的过程中，途经处的路线有（种）. 故选：D 【变式9-2】我们将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架如图所示，小红欲从A处行走到最后再到处，则小红行走路程最近的路线共有（    ）条.    A．10 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【详解】首先：从A到H最近路线需向前1步，向上3步，故有种方法， 其次：从H到B最近路线需向右2步，向前1步，故有种方法， 故共有条路线. 故选：B 【变式9-3】如图：某城市有纵向道路和横向道路若干条，构成如图所示的矩形道路网（图中黑线表示道路），则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有 条.（用数字作答）    【答案】 【详解】由题意，从西南角A地到东北角B地的最短路线，共需要走9步， 其中4步向上，5步向右，共有种不同的走法， 又由中间的矩形中没有道路，所以在向上和向右的走法中，都需要连续走2步， 共有种不同的走法， 所以从西南角A地到东北角B地的最短路线共有种不同的走法. 故答案为：. 【变式9-4】小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶.已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？ 【答案】37种 【详解】考虑走3级台阶的次数： 1）有0次走三级台阶，即每次走2级，走8次，只有1种走法； 2）有1次走三级台阶（不可能）； 3）有2次走三级台阶，则有5次走2级台阶，一共需要走7次，有种走法； 4）有3次走三级台阶（不可能）； 5）有4次走三级台阶，则有2次走两级台阶，一共需要走6次，有种走法； 6）有5次走三级台阶（不可能）； 故总共有：1+21+15=37种， 所以小明从一层到二层共有37种不同的走法. 【考点题型十】“AB”配对问题（） 【例10】某人家的抽屉里有4双不同花色的袜子，从中随机任取3只，则这3只袜子中恰有2只花色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】从4双不同花色的袜子中，随机任取3只，共有（种）不同的选取方法， 其中恰有2只花色相同有（种）不同的选取方法， 所以概率为． 故选：A． 【变式10-1】柜子里有3双不同的鞋，分别用表示6只鞋．如果从中随机地取出2只，记事件“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，求事件的概率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若表示左脚的鞋子，其它表示右脚的鞋子， 所以事件包含，共6种情况， 所以事件的概率. 故选：C 【变式10-2】有两个家庭共8人暑假到新疆结伴旅游（每个家庭包括一对夫妻和两个孩子），他们在乌鲁木齐租了两辆不同的汽车进行自驾游，每辆汽车乘坐4人，要求每对夫妻乘坐同一辆汽车，且该车上至少有一个该夫妻自己的孩子，则满足条件的不同乘车方案种数为 . 【答案】10 【详解】由题意得当每个家庭各乘坐一辆车时，有2种乘车方案； 当每对夫妻乘坐的车上恰有一个自己的孩子时，乘车方案种数为， 故满足条件的不同乘车方案种数为， 故答案为：10 【变式10-3】同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中三人两两不相邻，和是双胞胎必须相邻，这样的排队方法有 种. 【答案】72 【详解】分三步： 第一步，先将除A，B，C三人的其余三人进行排序，有种方法； 第二步，第一步排好后有4个空位，因为A和D必须相邻，所以A只能插入与D相邻的两个空位，有2种方法； 第三步，最后将B，C插入剩余三个空位，有种方法. 由分步乘法计数原理得，共有种方法. 故答案为：. 【变式10-4】大数据时代出现了滴滴打车服务，二孩政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在，某城市关系要好的四个家庭各有两个小孩共8人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自同一个家庭的乘坐方式共有 种. 【答案】 【详解】若户家庭的孪生姐妹乘坐甲车，则需从，，三户中选两户，每户选1人同户两姐妹乘同一辆车，则有种情况； 若户家庭的孪生姐妹不乘坐甲车，则需从，，三户中选1户，2个孩子都乘坐甲车，其余两户每户选1人同乘甲车，则有种情况； 综上，共有种情况. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查组合的应用，考查分类加法计数原理，属于常考题型. 22 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 两个计数原理与排列组合 清单01 计数原理 1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 拓展：完成一件事有类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，…，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 拓展：完成一件事需要个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法 注意：区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步． 清单02 排列 ①排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. ②排列数、排列数公式：从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示，其中，，且. 清单03 组合 ①组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. ②组合数、组合数公式：从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. 公式：，其中，且 规定： ③排列与组合的关系 相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 （关键是看选出的元素是否与顺序有关,若有关系,则是排列问题，若无关系，则是组合问题） ④组合数的性质 性质1：； 性质2：. 清单04 分类问题 问题 方法 “在”与“不在”的有限制条件的排列问题 既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先. 相邻问题 “捆绑法”：把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列 不相邻问题 “插空法”：先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空挡中 定序问题 先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 正面考虑比较复杂的问题 “间接法”，反面入手 平均分组问题 一般先分堆，再除以. 不平均分组问题 先分堆，其中有组个数一样，再除以 相同元素的“分配”问题 “隔板法”：将个相同的元素分成份,每份至少一个元素,可以用块隔板，插入个元素排成一排的个空隙中， 【考点题型一】两个计数原理综合（） 【例1】乘积展开后的项数为（   ） A．9 B．12 C．18 D．24 【变式1-1】安排4位顾客去三家餐馆就餐，其中一位顾客由于饮食特殊性，只能安排在餐馆，则不同的安排方案共有 种． 【变式1-2】某校开展社团活动，其中有知识性社团诗词赏析，趣味数学等6个社团，有活动类社团木工、种植等4个社团，甲乙两人按顺序依次选择一社团参加，不得重复.乙选择活动类社团参加的概率为 ． 【变式1-3】某电商推出了A，B，C，D四种红包，活动规定每人可以依次点击5次，每次都会获得四种红包的一种，若集齐四种才能获奖，且每次红包出示的顺序不同对应的奖次也不同.甲按规定依次点击了5次，直到第5次才获奖.则他获得奖次的不同情形种数为 . 【变式1-4】将标有序号1，2，3的三个小球放入标有序号1，2，3，4的四个盒子里，每个盒子最多一个小球，且要求小球和盒子的序号均不对应相同，则所有放法的种数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【考点题型二】排列数和组合数的计算（） 【例2】求值： (1) (2) (3)解方程：． 【变式2-1】已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知，则的值可能为（    ） A．2 B．4 C．7 D．9 【变式2-3】已知为正整数，若，则 ． 【变式2-4】（1）解不等式； （2）求的值 ． 【考点题型三】捆绑与插空（） 【例3】有4辆车停放在5个并排车位上，客车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与客车甲相邻停放，则共有 种不同的停放方法. 【变式3-1】对一排7个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求不能有相邻的格子都染红色，则满足要求的染色的方法共有（    ） A．35种 B．34种 C．33种 D．32种 【变式3-2】贵阳市某中学举办“贵阳文化”交流活动，计划在校园内用五个展板展示阳明文化，山地文化，民族文化，红色文化和饮食文化五种特色文化．规定阳明文化与红色文化不相邻，饮食文化展板放最后．则展板的不同排列方式有（   ） A．12种 B．14种 C．16种 D．18种 【变式3-3】DeepSeek软件是我国一款深度求索人工智能软件．现将DeepSeek单词中的字母重新排列，则字母e互不相邻的不同排法种数为（   ） A．24 B．120 C．576 D．2880 【变式3-4】某急救小组有1名司机，2名医生和3名护士，6人排成一排合影留念，要求2名医生不相邻，3名护士互不相邻，则不同的排法种数为（   ） A．36 B．48 C．72 D．120 【考点题型四】位置（元素）有限制问题（） 【例4】生命在于运动，小兰给自己制定了周一到周六的运动计划，这六天每天安排一项运动，其中有两天练习瑜伽，另外四天的运动项目互不相同，且运动项目为跑步､爬山､打羽毛球和跳绳，下列说法错误的是（    ） A．若瑜伽被安排在周一和周六，则共有48种不同的安排方法 B．若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则共有216种不同的安排方法 C．若周一不练习瑜伽，周三爬山，则共有36种不同的安排方法 D．若瑜伽不被安排在相邻的两天，则共有240种不同的安排方法 【变式4-1】甲、乙、丙三人排成一排，则甲不在排头，且乙或丙在排尾的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】甲、乙、丙、丁4名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第4名的名次.甲和乙去向老师询问成绩，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，4人的名次排列的情形有（   ） A．8种 B．18种 C．54种 D．64种 【变式4-3】毕业前夕，某高中高三（6）班科技创新兴趣小组的5名同学与1名辅导老师，共6人合影留念，站成前后相对应的两排，每排3人，老师站在前排中间，其中甲、乙两名同学不相邻（相邻仅包括正前后或左右），则不同站法种数为（    ） A．96 B．84 C．72 D．48 【变式4-4】为确保学生身心健康，全面发展，高中课程内容覆盖学科教学、体育、艺术等类别，我校按照教育部的指导，安排上午四节课，下午三节课，现在安排我班一天中语文、英语、物理、政治、体育各一节，数学两节，要求两节数学课都排在上午或下午、且连续，体育课排在下午，则不同的排法有 种． 【考点题型五】定序问题（） 【例5】高二（1）班5位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，若保持原来5位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（   ） A．42 B．30 C．21 D．15 【变式5-1】2025年4月12日是成都七中成立120周年校庆日，将2，0，2，5，4，1，2这些数字排成一行拼成7位数，则不同的7位数的有（ ）个. A．480 B．600 C．720 D．840 【变式5-2】用1，2，3，4，5，6六个数字组成没有重复数字的六位数，其中百、十、个位的数字按从小到大的顺序排列，这样的六位数共有 个． 【变式5-3】有两堆集装箱，一堆4个，另一堆3个，要把这7个集装箱搬离原来位置，每次只能搬动一个集装箱，按照从上到下的顺序搬离，则A箱子在第4次搬离的概率是 . 【变式5-4】一天的课程表要排入语文，数学，物理，化学，英语，体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？ 【考点题型六】分组分配问题（） 【例6】每年的3月5日是学雷锋纪念日，某班的5位学生报名参加2025年3月5日的学雷锋社会实践活动，有关爱老人活动、社区卫生活动，协助交警活动这三种可以选择，每位学生只能参加一种活动，并且每种活动至少有1位学生参加，则不同的分配方案种数为（    ） A．120 B．150 C．210 D．240 【变式6-1】学校开展班级轮值活动，高二某班有A，B，C，D四个轮值小组负责甲，乙，丙三个地点的站岗值班任务，每个小组负责一个地点，每个地点至少有一个小组负责，且A小组不去甲地点，则不同的任务分配方法种数为（    ） A．36 B．24 C．18 D．12 【变式6-2】某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养．现准备将7本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙班至少2本，则不同的分配方案有（    ） A．630种 B．840种 C．1470种 D．1480种 【变式6-3】2025年3月23日武汉马拉松比赛，其中有6名（4男2女）志愿者，他们决定分成两个小组，到甲乙两个赛道维护秩序，若要求每组至多4人，且女志愿者不能单独成组，则不同的方案共有 种.（用数字作答） 【变式6-4】解决下列问题，结果用数字表示. (1)有6个不同的小球，全部放入3个相同的盒子里，每个盒子至少放1个，求不同的存放方式； (2)有6个相同的小球，全部放入3个不同的盒子里，允许有空盒情况，求不同的存放方式； (3)有6个相同的小球，全部放入3个相同的盒子里，允许有空盒情况，求不同的存放方式. 【考点题型七】隔板法（） 【例7】2025年央视春晚的四个分会场分别为重庆、武汉、无锡和拉萨，现有11个志愿者名额分配给这四个分会场，其中一个分会场分5个名额，在余下的三个分会场中每个会场至少分一个名额，则名额分配的不同种数为（    ） A．210 B．35 C．40 D．120 【变式7-1】总共有13个大小颜色重量外观等都一样的小球，如图所示①、②、③号三个足够大的杯子，其中①号杯子至少放一个小球，②号杯子至少放两个小球，③号杯子至少放三个小球，问总共有（    ）种放小球方法 A．120 B．84 C．45 D．36 【变式7-2】已知，，，则关于，，的方程共有（    ）组不同的解. A．36 B．45 C．50 D．24 【变式7-3】某停车场有一整排11个空车位．甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两侧都有空车位且甲车在乙、丙两车之间，则共有 种不同的停放方式． 【变式7-4】某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养.现准备将一批书籍全部分配给甲､乙､丙､丁4个不同的班级. (1)若这批书是10本相同的书，每个班至少1本，共有多少种不同的分配方法？ (2)若这批书是10本不同的书，每个班至少2本，共有多少种不同的分配方法？ 【考点题型八】涂色问题（） 【例8】用五种不同颜色的涂料涂在如图所示的五个区域，相邻两个区域不能同色，且至少要用四种颜色，则不同的涂色方法有（   ）      A．240 B．480 C．420 D．360 【变式8-1】如图（1），由两个半径相等的圆柱体呈直角相交而得到的公共部分对应的几何体称为“牟合方盖”（如图（2）），牟合方盖的表面可以看成四个曲面拼接成的.将一个牟合方盖的四个曲面编号为，然后每个曲面染一种颜色，相邻（有公共图边）的两面颜色不能相同，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数（    ） A．24 B．48 C．60 D．84 【变式8-2】用四种不同的颜色给图中5个区域染色，要求边界有重合部分的区域（仅顶点与边重合或仅顶点与顶点重合不算)染上不同的颜色，则不同的染色方法有（   ）    A．112种 B．146种 C．192种 D．168种 【变式8-3】英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同.该猜想于1976年由阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明.如图，一个地区分为6个行政区域，现给地图上的行政区域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每个区域涂1种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有 种（用数字作答）. 【变式8-4】如图，这是一个平面图形，现提供四种颜色给图中的区域1､区域2､区域3､区域4､区域5､区域6共六个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则共有 种不同的涂色方案． 【考点题型九】走楼梯及最短路径问题（） 【例9】某教学楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，某同学从二楼到三楼准备用7步恰好走完，则第二步走两级台阶的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，小明从街道的处出发，选择最短路径到达处参加志愿者活动，在小明从处到达处的过程中，途经处的路线有（    ）条 A．5 B．6 C．10 D．18 【变式9-2】我们将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架如图所示，小红欲从A处行走到最后再到处，则小红行走路程最近的路线共有（    ）条.    A．10 B．12 C．13 D．14 【变式9-3】如图：某城市有纵向道路和横向道路若干条，构成如图所示的矩形道路网（图中黑线表示道路），则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有 条.（用数字作答）    【变式9-4】小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶.已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？ 【考点题型十】“AB”配对问题（） 【例10】某人家的抽屉里有4双不同花色的袜子，从中随机任取3只，则这3只袜子中恰有2只花色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】柜子里有3双不同的鞋，分别用表示6只鞋．如果从中随机地取出2只，记事件“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，求事件的概率（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】有两个家庭共8人暑假到新疆结伴旅游（每个家庭包括一对夫妻和两个孩子），他们在乌鲁木齐租了两辆不同的汽车进行自驾游，每辆汽车乘坐4人，要求每对夫妻乘坐同一辆汽车，且该车上至少有一个该夫妻自己的孩子，则满足条件的不同乘车方案种数为 . 【变式10-3】同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中三人两两不相邻，和是双胞胎必须相邻，这样的排队方法有 种. 【变式10-4】大数据时代出现了滴滴打车服务，二孩政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在，某城市关系要好的四个家庭各有两个小孩共8人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自同一个家庭的乘坐方式共有 种. 8 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$