清单02 二项式定理（考点清单，知识导图+11个考点清单&题型解读）（期末复习知识清单）高二数学下学期人教B版

清单02 二项式定理与杨辉三角 清单01 二项式定理 该公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，共有项， 其中各项的系数叫做二项式系数， 展开式的第项为 注意：①是第项，而不是第k项； ②通项公式中a，b的位置不能颠倒． 清单02 二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，由公式得到 增减性与最大值 当时，二项式系数是逐渐增大的；当时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值 ①当n是偶数时，中间的一项的二项式系数最大； ②当n是奇数时，中间的一项的二项式系数最大； 二项式系数的和 二项式系数的和为 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即 清单03 系数之和 ①求各项系数之和，令即可 ②若，则f(x)展开式中各项系数之和为， 奇数项系数之和为， 偶数项系数之和为. 清单04 系数的最大值 求展开式中系数最大的项 情况 方法 可转化成求二项式系数最大的项 待定系数法：设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来 【考点题型一】二项式定理的正用和逆用（） 【例1】化简，其结果等于（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】求的展开式； 【变式1-2】化简（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知，则实数 【变式1-4】根据二项式定理完成下列各题： (1)求的展开式； (2)化简 【考点题型二】求二项式展开式的特定项（） 【例2】在的展开式中，的系数为10，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式2-1】 在的展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数的比为． (1)求的值； (2)求展开式中含的项的二项式系数（用数字作答）. 【变式2-2】一组数据按照从小到大的顺序排列为，记这组数据的上四分位数为，则二项式展开式的常数项为 . 【变式2-3】若，则（   ） A． B．10 C． D．45 【变式2-4】若的展开式中存在常数项，则的最小值为 . 【考点题型三】求二项式展开式的有理项（） 【例3】已知的展开式中，各项的二项式系数的和为. (1)求展开式中所有项的系数之和； (2)求展开式中系数最大的有理项. 【变式3-1】展开式中系数为有理数的项共有（    ） A．2项 B．3项 C．4项 D．5项 【变式3-2】在 的展开式中，系数为有理数的项共有 项． 【变式3-3】在的展开式中有理项的系数的和为 ． 【变式3-4】已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128. (1)求展开式中的系数； (2)求展开式中有理项 【考点题型四】多项式相乘的二项展开式（） 【例4】展开式中的常数项为（   ） A．3 B．-3 C．7 D．-7 【变式4-1】已知的展开式中的系数为，则 . 【变式4-2】的展开式中，含的项的系数为 .（用数字作答） 【变式4-3】展开式中的系数为 ． 【变式4-4】的展开式中的系数为 . 【考点题型五】三项展开式的系数问题（） 【例5】，则 【变式5-1】（多选）在展开式中（    ） A．展开式中不存在含的项 B．展开式所有项系数和为243 C．展开式中含项的系数为30 D．展开式共21项 【变式5-2】的展开式中，的系数是 （用数字作答）． 【变式5-3】的展开式中所有不含的项的系数之和为（    ） A． B． C．1 D．243 【变式5-4】设，则 ，的最小值是 ． 【考点题型六】（奇偶）项的系数和问题（） 【例6】已知二项展开式，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】若，则（   ） A．0 B．1 C．4 D．8 【变式6-3】已知，则 ， . 【变式6-4】已知二项式． (1)求的值； (2)求的值（结果可保留幂的形式）． 【考点题型七】二项式系数之和及二项式系数的最值问题（） 【例7】已知的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式各项的二项式系数之和为 ． 【变式7-1】在的展开式中各二项式系数的和为32，则的系数为（    ） A．10 B．40 C．80 D．120 【变式7-2】在的展开式中含项的系数为15，则展开式中二项式系数最大的是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式7-3】二项式的展开式中，末尾两项的系数之和为9，且二项式系数最大的一项的值为，则在内的值为 ． 【变式7-4】在的展开式中，各二项式系数的和与含的项系数之比为，则的值为 ． 【考点题型九】整除及余数问题（） 【例8】求的展开式中系数最大的项． 【变式8-1】的展开式中系数最大的是（   ） A．的系数 B．的系数 C．的系数 D．的系数 【变式8-2】在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（  ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 【变式8-3】（多选）在二项式的展开式中（    ） A．常数项是第4项 B．所有项的系数和为1 C．第5项的二项式系数最大 D．第4项的系数最小 【变式8-4】已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是. (1)求的值； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式中系数绝对值最大的项. 【考点题型十】杨辉三角的应用（） 【例9】若能被5整除，则x，n的一组值可能为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】已知能被3整除，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式9-2】已知，则：被除的余数是 ． 【变式9-3】设，且，若能被13整除，则 ． 【变式9-4】已知的展开式中常数项为． (1)求n； (2)证明：能被6整除． 【考点题型十一】二项式定理与数列的综合（） 【例10】（多选）如图，“杨辉三角”是二项式系数在压角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（   ）    A．在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为120 B．在“杨辉三角”第行中，从左到右只有第6个数是该行的最大值，则为12 C．记“杨辉三角”第行的第个数为，则 D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 【变式10-1】（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（    ）    A．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数 B． C．第2020行的第1010个数最大 D．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为 【变式10-2】（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（    ）      A．第2025行共有2025个数 B．第3斜列为：，则该数列的前项和为 C．70在杨辉三角中共出现了3次 D．记第行的第个数为，则. 【变式10-3】（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现．在“杨辉三角”中．除每行（不含第0行）两边的数都是1外．其余每个数都是其“肩上”的两个数之和．例如：第4行的6为第3行中两个3的和．则下列说法正确的是（   ） A．第6行从左到右第4个数是20 B．第行的所有数字之和为 C．第2025行中从左到右第1013个数和第1014个数相等，且是该行中最大的数 D．若存在，使得（且）为公差不为0的等差数列，则 【变式10-4】杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数（且），在三角形中的一种几何排列，南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是 ． 【例11】已知数列满足，其前项和为，则 ． 【变式11-1】若的展开式中存在项，则由满足条件的所有正整数m从小到大排列构成的数列的通项公式为 ． 【变式11-2】数列中，，（），则 【变式11-3】对任意正整数，设函数的零点为，数列的前项和为，则使得能被整除的正整数的个数是 ． 【变式11-4】已知数列的通项公式为．求的值． 4 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 二项式定理与杨辉三角 清单01 二项式定理 该公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，共有项， 其中各项的系数叫做二项式系数， 展开式的第项为 注意：①是第项，而不是第k项； ②通项公式中a，b的位置不能颠倒． 清单02 二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，由公式得到 增减性与最大值 当时，二项式系数是逐渐增大的；当时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值 ①当n是偶数时，中间的一项的二项式系数最大； ②当n是奇数时，中间的一项的二项式系数最大； 二项式系数的和 二项式系数的和为 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即 清单03 系数之和 ①求各项系数之和，令即可 ②若，则f(x)展开式中各项系数之和为， 奇数项系数之和为， 偶数项系数之和为. 清单04 系数的最大值 求展开式中系数最大的项 情况 方法 可转化成求二项式系数最大的项 待定系数法：设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来 【考点题型一】二项式定理的正用和逆用（） 【例1】化简，其结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设． 根据组合数的性质，则． 由二项式定理可知， 即． 那么， 因为，所以． 即，则． 故选：A． 【变式1-1】求的展开式； 【答案】 【详解】方法一： ． 方法二： ． 【变式1-2】化简（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将代数式进行变形，结合二项式定理可得结果. 【详解】. 故选：B. 【变式1-3】已知，则实数 【答案】 【详解】因为 ， 所以， 故. 故答案为：. 【变式1-4】根据二项式定理完成下列各题： (1)求的展开式； (2)化简 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 ， 所以. （2）因为 ， 因为 ， 所以 . 【考点题型二】求二项式展开式的特定项（） 【例2】在的展开式中，的系数为10，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】因为的通项为， 令，解得， 则，解方程得：. 故选：D. 【变式2-1】 在的展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数的比为． (1)求的值； (2)求展开式中含的项的二项式系数（用数字作答）. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得，即，即，且， 即，故. （2）， 其展开式的通项公式， 令，解得，故展开式中含的项的二项式系数为. 【变式2-2】一组数据按照从小到大的顺序排列为，记这组数据的上四分位数为，则二项式展开式的常数项为 . 【答案】60 【详解】易知，所以的上四分位数为第5个数，即； 所以二项式为， 设展开式中的第项为常数项，即为常数项， 令，解得， 即常数项为. 故答案为：60 【变式2-3】若，则（   ） A． B．10 C． D．45 【答案】D 【详解】因为 展开式的第三项为：. 所以. 故选：D 【变式2-4】若的展开式中存在常数项，则的最小值为 . 【答案】3 【详解】由二项式的展开式的通项， 令，得，又因为，所以的最小值为3. 故答案为：3. 【考点题型三】求二项式展开式的有理项（） 【例3】已知的展开式中，各项的二项式系数的和为. (1)求展开式中所有项的系数之和； (2)求展开式中系数最大的有理项. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）的展开式中，各项的二项式系数的和为，解得， 所以，展开式中所有项的系数和为. （2）的展开式通项为， 令，可得， 时，；时，；时，. 所以，展开式中系数最大的有理项为. 【变式3-1】展开式中系数为有理数的项共有（    ） A．2项 B．3项 C．4项 D．5项 【答案】D 【详解】展开式的通项公式为（）， 所以展开式中的第1项、第3项、第5项、第7项、第9项的系数均为有理数，共5项. 故选：D 【变式3-2】在 的展开式中，系数为有理数的项共有 项． 【答案】6 【详解】由题意知，展开式的通项公式为， 当（）为整数时，的系数为有理数， 所以，即展开式中系数为有理数的项共有6个. 故答案为：6 【变式3-3】在的展开式中有理项的系数的和为 ． 【答案】 【详解】的展开式的通项为， 当时，展开式为有理项， 所以展开式中有理项的系数的和为. 故答案为：. 【变式3-4】已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128. (1)求展开式中的系数； (2)求展开式中有理项 【答案】(1)448； (2)，，，． 【详解】（1）因为各项的二项式系数之和为128，根据二项式系数之和的性质，可知，即，所以． 在中，则其展开式的通项公式为： 令，解得． 将代入到通项公式的系数中，可得，即展开式中的系数448． （2）当为整数时，该项为有理项． 因为且，则 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 所以展开式中的有理项为，，，． 【考点题型四】多项式相乘的二项展开式（） 【例4】展开式中的常数项为（   ） A．3 B．-3 C．7 D．-7 【答案】D 【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为（其中）． 与展开式中项相乘得到常数项， 令，则，解得． 将代入通项公式可得， 那么与相乘得到的常数项为． 与展开式中常数项相乘得到常数项， 令，则，解得． 将代入通项公式可得， 那么与相乘得到的常数项为． 将上述两部分常数项相加，可得展开式中的常数项为． 展开式中的常数项为． 故选：D． 【变式4-1】已知的展开式中的系数为，则 . 【答案】1 【详解】的展开式的通项，令，得； 令，得. 所以的展开式中的系数为， 则，得或，又，所以. 故答案为：1 【变式4-2】的展开式中，含的项的系数为 .（用数字作答） 【答案】 【详解】的展开式的通项为， 因为， 在中，， 令，可得； 在中，，令，可得. 因此，展开式中含项的系数为. 故答案为：. 【变式4-3】展开式中的系数为 ． 【答案】136 【详解】展开式中的系数． 故答案为：136. 【变式4-4】的展开式中的系数为 . 【答案】 【详解】因为， 其中展开式的通项为， 所以的展开式中含的项为， 所以的展开式中的系数为. 故答案为： 【考点题型五】三项展开式的系数问题（） 【例5】，则 【答案】 【详解】展开式中，每个括号可选， 要得到项，需要满足四个括号中选的项的的指数和为， 可选一次，三次，则项为， 所以. 故答案为： 【变式5-1】（多选）在展开式中（    ） A．展开式中不存在含的项 B．展开式所有项系数和为243 C．展开式中含项的系数为30 D．展开式共21项 【答案】BCD 【详解】表示个相乘， 含的项是在个中选个，个， 所以展开式中含的项的系数为，故A错误； 令，则展开式所有项系数和为，故B正确； 含项是在个中选个，个，个， 所以展开式中含的项的系数为，故C正确； 的展开式的项可以理解为有个盒子，每个盒子中均有、、三个元素， 现在从每个盒子中各取出个元素，再将它们相乘， 若只选一个字母则有种， 若选个字母则有种， 若选个字母则有种， 故展开式共有项，故D正确； 故选：BCD 【变式5-2】的展开式中，的系数是 （用数字作答）． 【答案】 【详解】根据二项式展开式的通项公式，对于，这里，，. 要得到含有的项，令，则该项为，即. 对于二项式，其通项公式为，在中，，，. 设其展开式中第项含有，则该项为，将其化简为. 令，解方程可得，即. 所以含有的项为. 由前面两步可知，展开式中含有的一项为中的，即. 所以，即的系数为. 故答案为： 【变式5-3】的展开式中所有不含的项的系数之和为（    ） A． B． C．1 D．243 【答案】B 【详解】展开式的通项公式为， 若展开式中的项不含，则，此时符合条件的项为展开式中的所有项， 令，得这些项的系数之和为. 故选：B 【变式5-4】设，则 ，的最小值是 ． 【答案】 2 8 【详解】， ∴有，解得，可知，即， ∴， ，（当时等号成立），故最小值为8． 故答案为：2；8 【考点题型六】（奇偶）项的系数和问题（） 【例6】已知二项展开式，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，令，得，故A正确； 对于B，令，得①， 则，故B错误； 对于C，令，得②， 由①②可得，故C错误； 对于D，由可知，， 所以，故D正确. 故选：AD. 【变式6-1】已知，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 其展开式的通项为，， 由于，且的展开式中的次数均为偶次， 所以当为偶数时，对应项的的次数为偶次，且对应项的系数大于0， 当为奇数时，对应项的的次数为奇次，且对应项的系数小于0， 所以为正数，为负数， 由， 令，则， 则， 此时由， 其展开式的通项为，， 而的展开式的通项为，， 要使的展开式中的次数为3， 则或， 则， 故选：A． 【变式6-2】若，则（   ） A．0 B．1 C．4 D．8 【答案】A 【详解】法一：令，则， 所以原式左边为， 原式右边为， 所以. 法二：根据二项式定理，得 所以 所以. 故选：A. 【变式6-3】已知，则 ， . 【答案】 1 【详解】令，得. 令，得， 所以， 故. 故答案为：1， 【变式6-4】已知二项式． (1)求的值； (2)求的值（结果可保留幂的形式）． 【答案】(1)0 (2) 【详解】（1）因为，， 所以； （2）令得，， 令得，. 两式相加得：； 两式相减得：. 所以. 【考点题型七】二项式系数之和及二项式系数的最值问题（） 【例7】已知的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式各项的二项式系数之和为 ． 【答案】 【详解】的展开式有项， 因为只有第项的二项式系数最大，所以展开式共有7项， 所以， 所以展开式各项的二项式系数之和为， 故答案为：64 【变式7-1】（福建省厦门市2025届高三第四次质量检测数学试题）在的展开式中各二项式系数的和为32，则的系数为（    ） A．10 B．40 C．80 D．120 【答案】C 【详解】依题意，，解得， 则二项式的通项为， 取，即得的系数为. 故选：C. 【变式7-2】在的展开式中含项的系数为15，则展开式中二项式系数最大的是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】根据二项式定理可知的展开式的通项为 . 由已知可得，，解得. 根据二项式定理的性质可知，该展开式中二项式系数最大的是第4项. 故选：C. 【变式7-3】二项式的展开式中，末尾两项的系数之和为9，且二项式系数最大的一项的值为，则在内的值为 ． 【答案】或 【详解】因为的展开式的通项为， 令，可得． 令，可得． 由题意可得，解得， 所以二项式系数最大的项为第5项， 则， 且，则，可得， 所以或. 故答案为：或. 【变式7-4】在的展开式中，各二项式系数的和与含的项系数之比为，则的值为 ． 【答案】 【详解】由题可知各二项式系数的和为， 由的展开式中的， 根据它们的比为可得：， 故答案为： 【考点题型九】整除及余数问题（） 【例8】求的展开式中系数最大的项． 【答案】． 【详解】设展开式中第项的系数最大， 又，. 则当时， 由，.即解得． 又因为，，所以，. 当时，，系数为； 当时，，系数为. 综上可知，展开式中第5项的系数最大，为． 故答案为：. 【变式8-1】的展开式中系数最大的是（   ） A．的系数 B．的系数 C．的系数 D．的系数 【答案】B 【详解】设的展开式的通项为，， 由题意可得， 解得，因为 所以， 所以的展开式中系数最大的是的系数. 故选：B. 【变式8-2】在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（  ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 【答案】D 【详解】由的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则， 的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即， 解得，而，因此或，，， 所以展开式中系数最大的项是第3或4项. 故选：D. 【变式8-3】（多选）在二项式的展开式中（    ） A．常数项是第4项 B．所有项的系数和为1 C．第5项的二项式系数最大 D．第4项的系数最小 【答案】BCD 【详解】二项式的展开式的通项为， 对于A，令，得，故常数项是第5项，故A错误； 对于B，令，则所有项的系数和是，故B正确； 对于C，二项式展开式共9项，则由二项式系数的性质知第5项的二项式系数最大，故C正确； 对于D，设第项的系数的绝对值最大，则，解得， 又，所以或， 当时，；当时，， 所以第4项的系数最小，故D正确. 故选：BCD 【变式8-4】已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是. (1)求的值； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式中系数绝对值最大的项. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）依题意可得第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为， 所以，即，则，或（舍去）； （2）展开式的通项为（，）， 令，解得，所以，所以常数项为第5项60. （3）系数的绝对值为 ，则 所以，即，，所以， 因此，系数绝对值最大的项是. 【考点题型十】杨辉三角的应用（） 【例9】若能被5整除，则x，n的一组值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，， 对于A，，，不能被5整除，A不是； 对于B，，，不能被5整除，B不是； 对于C，，，能被5整除，C是； 对于D，，，不能被5整除，D不是. 故选：C 【变式9-1】已知能被3整除，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为, 所以当时，能被3整除，即 又能被3整除时，不一定有,也可能a取其他值，比如，即, 所以是的充分不必要条件. 故选:A. 【变式9-2】已知，则：被除的余数是 ． 【答案】 【详解】因为， 所以令时，， 令时，， 所以， 又， 所以除以的余数是 故答案为： 【变式9-3】设，且，若能被13整除，则 ． 【答案】12 【详解】因为 ， 因为52能被13整除， 所以能被13整除，则能被13整除，且，，故． 故答案为：12. 【变式9-4】已知的展开式中常数项为． (1)求n； (2)证明：能被6整除． 【答案】(1)9 (2)证明见解析 【详解】（1）解：由， 则多项式的展开式的常数项为，解得. （2）解：由 ， 所以能被6整除. 【考点题型十一】二项式定理与数列的综合（） 【例10】（多选）如图，“杨辉三角”是二项式系数在压角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（   ）    A．在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为120 B．在“杨辉三角”第行中，从左到右只有第6个数是该行的最大值，则为12 C．记“杨辉三角”第行的第个数为，则 D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 【答案】AD 【详解】对于A，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为，A正确； 对于B，由从左到右只有第6个数是该行的最大值，得共有11个数，因此，B错误； 对于C，第行的第个数为， ，C错误； 对于D，， 则是展开式中项的系数， 而，展开式中项的系数为， 因此，D正确. 故选：AD 【变式10-1】（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（    ）    A．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数 B． C．第2020行的第1010个数最大 D．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为 【答案】ABD 【详解】对于A：第行，第行，第行的第个数字分别为：，，， 其和为；而第行第个数字就是，故A正确； 对于B：因为，， 所以，故B正确； 对于C：由图可知：第行有个数字， 如果是偶数，则第（最中间的）个数字最大； 如果是奇数，则第和第个数字最大，并且这两个数字一样大， 所以第行的第个数最大，故C错误； 对于D：依题意：第行从左到右第个数为， 第行从左到右第个数为， 所以第行中从左到右第个数与第个数之比为，故D正确. 故选：ABD. 【变式10-2】（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（    ）      A．第2025行共有2025个数 B．第3斜列为：，则该数列的前项和为 C．70在杨辉三角中共出现了3次 D．记第行的第个数为，则. 【答案】BCD 【详解】对于A：行数比每行的个数少1，所以第2025行共有2026个数，所以A错误； 对于B：由公式得： ，所以B正确. 对于C：由组合数可知只有，所以C正确， 对于D，记第行的第个数为，则， 则，D正确； 故选：BCD 【变式10-3】（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现．在“杨辉三角”中．除每行（不含第0行）两边的数都是1外．其余每个数都是其“肩上”的两个数之和．例如：第4行的6为第3行中两个3的和．则下列说法正确的是（   ） A．第6行从左到右第4个数是20 B．第行的所有数字之和为 C．第2025行中从左到右第1013个数和第1014个数相等，且是该行中最大的数 D．若存在，使得（且）为公差不为0的等差数列，则 【答案】ACD 【详解】对A，根据规律，第6行从左到右第4个数等于第5行的第3、第4个数之和， 即，A正确； 对B，第行的数字即为的展开式的二项式系数， 所以其所有数字之和为，B错误； 对C，第2025行从左到右的数分别为展开式中的二项式系数， 其中从左到右第1013个数和第1014个数分别为， 由二项式系数的性质可知，且在中二项式系数中最大，C正确； 对D，因为，，所以的可能取值有， 当时，，此时为常数列，不满足题意； 当时，，此时为公差为1的等差数列； 当时，，显然不是等差数列. 综上，若（且）为公差不为0的等差数列，则. 则 ，D正确. 故选：ACD 【变式10-4】杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数（且），在三角形中的一种几何排列，南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是 ． 【答案】 【详解】根据题意，将锯齿形数列两个一组进行分组，可知其成如下规律： 第一组：； 第二组：； 第三组：； 第四组：； 因此第37项是第19组的第一个数，易知第19组的两个数为； 可得第37项是. 故答案为： 十一、未知 【例11】已知数列满足，其前项和为，则 ． 【答案】/ 【详解】因为， . 故答案为：. 【变式11-1】若的展开式中存在项，则由满足条件的所有正整数m从小到大排列构成的数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】展开式的通项为， 由于展开式中存在项， 令，则， 所以. 故答案为： 【变式11-2】数列中，，（），则 【答案】454 【解析】由，结合等比数列的定义和通项公式可求出，结合二项式定理可求出的值. 【详解】解：因为，所以以为首项， 为公比的等比数列，所以，所以， 则 又 ， ，所以原式， 故答案为：454. 【点睛】关键点睛：本题的关键是求出数列通项公式后，结合二项式定理对所求式子进行合理变形，减少计算量. 【变式11-3】对任意正整数，设函数的零点为，数列的前项和为，则使得能被整除的正整数的个数是 ． 【答案】0 【详解】函数 ，令， 解得 。所以，数列的前项和为， 因为 ， 上式等号右边的最后一个数不能被整除，所以不存在这样的正整数。 【点睛】本题考查对数运算性质及换底公式、函数的零点、二项式定理等知识，难度较大，考查学生综合运用知识解决问题的能力。 【变式11-4】已知数列的通项公式为．求的值． 【答案】 【详解】由于，所以 26 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$