专题04 平行四边形（考点清单，6考点11题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（浙教版）

清单04 平行四边形 （6个考点梳理+11种题型解读+提升训练） 清单01 多边形 1. 多边形的概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 2. 多边形的相关概念： 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点. 多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 【补充】 1）多边形的边数、顶点数及角的个数相等； 2）把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线； 3）多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线. 3. 多边形内角和定理：n边形的内角和为. 4. 多边形外角和：在多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角地和叫做多边形的外角和. 5. 多边形外角和定理：多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系. 清单02 中心对称 中心对称与中心对称图形： 中心对称 中心对称图形 图形 定义 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 区别 两个图形间的位置关系 具有某种特性的一个图形 对称点在两个图形上 对称点在一个图形上 对称中心在两个图形之间 对称中心在图形上或图形内部 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称． 中心对称的性质：中心对称是一种特殊的旋转变换，具有旋转的一切性质， 1）中心对称的两个图形是全等图形； 2）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心所平分； 3）中心对称的两个图形，对应线段平行（或在一条直线上）且相等. 中心对称图形的性质： 1）中心对称图形上的对称点之间的连线都经过对称中心，且被对称中心平分，即过对称中心的直线与中心对称图形的两个对应交点是对称点. 2）过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分周长与面积都分别相等. 清单03 三角形的中位线 1.三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线. 【补充】 1）三角形的中位线是一条线段，不是直线或射线. 2）三角形的中位线与三角形的中线是不一样的，三角形中位线是两条边中点的连线，而三角形中线是顶点与对边中点的连线. 2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 清单04 平行四边形的性质 1.平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 符号表示：平行四边形用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 2. 平行四边形的性质定理 性质 符号语言 图示 边 平行四边形两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 平行四边形对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,BO=DO=BD 3. 平行线间的距离 定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离 性质：1）两条平行线间的距离处处相等. 2）两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 清单05 平行四边形的判定 判定 符号语言 定义 一组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形 边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵OA=OC，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形 清单06 反证法 反证法的定义：先假设原命题的结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，这种证明的方法叫做反证法. 【注意】 1）当命题的结论含有“至多”“至少”“无数”“唯一”等语言描述时，常用反证法. 2）矛盾的类型:①与已知定义、定理、公理相矛盾;②与已知条件相矛盾:③推出自相矛盾. 3）用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，有哪些情况，不要遗漏;利用反证法证明时，每一步都要有依据，直到推出矛盾的结果. 反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确． 【考点题型一】多边形对角线问题（） 1．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）若n边形共有9条对角线，则n为 . 【答案】6 【分析】本题主要考查了多边形的对角线的公式，熟记公式是解题的关键． 根据多边形的对角线公式列出方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形是n边形， 则， 解得， 故答案为：6． 2．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知一个多边形的内角和为，则这个多边形的对角线的总条数为（    ） A．40 B．30 C．20 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形对角线计算公式，先根据多边形内角和计算公式求出这个多边形是八边形，再根据多边形对角线计算公式求解即可，熟知n边形的对角线条数是是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形为n边形， 由题意得，， ∴， ∴这个多边形为八边形， ∴这个多边形可连对角线的条数是 故选：C． 3．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）一个多边形每个外角都等于，则从这个多边形的某个顶点画对角线，最多可以画出几条 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角和外角性质，先计算出多边形的边数，再根据边形从一个点的作对角线条计算即可，熟练掌握外角和为是解题的关键． 【详解】解：∵多边形外角和都为， ∴该多边形为边形， ∴从这个多边形的某个顶点画对角线最多可以画出条， 故答案为：． 4．（22-23七年级上·河南郑州·期末）一个正八边形，从它的一个顶点可引出m条对角线，并把这个正八边形分成n个三角形，则 ． 【答案】 【分析】过八边形的一个顶点可以引出5条对角线，过八边形的一个顶点画出所有的对角线，可以将这个八边形分成6个三角形，据此求得的值，继而即可求解． 【详解】解：过八边形的一个顶点可以引出5条对角线，过八边形的一个顶点画出所有的对角线，可以将这个八边形分成6个三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，掌握过多边形的一个顶点的对角线条数为是解题的关键． 【考点题型二】与多边形内角和问题（） 5．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，图案对称精美，图中正八边形的每个内角度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是求正八边形的内角，掌握多边形的内角和公式是解决此题的关键． 根据多边形的内角和求出内角和，再除以边数即可得到答案． 【详解】解：正八边形的内角和为：， ∴正八边形的每个内角度数为 故选：C． 6．（24-25八年级上·甘肃陇南·期末）如图，在五边形中，，，，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，多边形内角和定理，关键是利用平行线的性质得到． 根据平行线的性质可得，再根据多边形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵五边形中，，， ∴． 故选：B． 7．（2025·重庆·模拟预测）若一个正多边形内角和的度数为，则这个正多边形边数是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键；根据多边形的内角和公式即可求得多边形的边数． 【详解】解：设正多边形的边数为n， ∵正多边形的内角和为， ∴， 解得， ∴正多边形的边数为：9， 故答案为：9． 8．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图1所示的是一把木工使用的六角尺．它能提供常用的几种测量角度，如图2中的六角尺示意图中，x的值应是（　　） A．100 B．112.5 C．120 D．125 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的内角和，根据多边形的外角和列出方程式，进而得出答案． 【详解】解： 解得：． 故答案为：B． 【考点题型三】多边形的外角问题（） 9．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·期末）正六边形每一个外角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的外角和，根据多边形的外角和等于求解即可． 【详解】解：． 故选B． 10．（2025·河北沧州·模拟预测）一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形的内角和外角，如图，根据正多边形的外角和为360度求出的度数，进而求出的度数，周角求出的度数，再求出的等度数即可． 【详解】解：如图， ∵正多边形的每个内角度数相等，每个外角的度数相等， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故选D． 11．（24-25八年级上·江西南昌·期中）五边形的外角和为 度． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的外角和定理．根据多边形的外角和等于解答． 【详解】解：一个五边形的外角和是． 故答案为：360． 12．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，随着科技的不断进步，人工智能机器人逐渐走进人们的生活，在完成某项任务时，机器人小胖从点O出发，沿直线前进8米后向左转，再沿直线前进8米向左转相同的度数，……照这样走下去，当机器人小胖第一次回到了出发点时，共走过了160米，则机器人小胖每次转过的角度n的值为（       ） A．10 B．18 C．20 D．30 【答案】B 【分析】根据多边形的外角和等于解决此题．本题主要考查多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和等于是解决本题的关键． 【详解】解：由题意得：． 小明每次转过的角度． 故选：B 【考点题型四】中心对称图形的识别（） 13．（24-25八年级下·浙江温州·期中）以下是我国一些博物馆标志的图案，其中是中心对称图形的是（　　） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项B、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：A． 14．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．据此逐项进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意； B、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意； C、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意； D、图形是轴对称图形，是中心对称图形，本选项符合题意． 故选：D． 15．（22-23八年级下·浙江·单元测试）如图，把标有序号中某个小正方形涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形但不是轴对称图形，那么该小正方形的序号是 ． 【答案】①或⑥ 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，中心对称图形的定义，根据沿着某条直线折叠，两边的图形能够重合的图形是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形；据此进行逐项判断即可 【详解】解：结合上图，把标有序号①或⑥的小正方形涂上阴影，可以与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形但不是轴对称图形； 把标有序号②的小正方形涂上阴影，是中心对称图形也是轴对称图形； 把标有序号③或④或⑤的小正方形涂上阴影，是轴对称图形； 则满足题意，该小正方形的序号是①或⑥， 故答案为：①或⑥． 【考点题型五】求关于原点对称的点的坐标（） 16．（24-25九年级上·山西阳泉·期中）若点与点关于原点对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数进行求解即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， ， 故选A． 17．（22-23九年级上·福建·期中）已知点与点关于原点对称，那么（　　） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 本题主要考查了关于原点对称的点的坐标．熟练掌握关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，是解决问题的关键． 【详解】∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 故选：B． 18．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）已知点与点是关于原点O的对称点，则长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征以及两点间距离公式，解题的关键是先根据原点对称性质求出点坐标，再利用距离公式计算长度． 先根据关于原点对称的点的坐标特征求出点坐标，再代入两点间距离公式计算的长度． 【详解】因为点与点关于原点对称，根据关于原点对称的点的坐标特征：横，纵坐标都互为相反数，可得，即． 根据两点间距离公式，其中，则： ， 所以长为10． 故答案为：10． 【考点题型六】与中心对称有关的作图问题（） 19．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）在的方格中，选择6个小方格涂上阴影，请仔细观察图1中的六个图案的对称性，按要求回答． (1)在6个图案中，具有中心对称性的图案是____________（填写序号）． (2)请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个的方格也具有中心对称性． 【答案】(1)②④⑥ (2)见解析 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． （1）把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此求解即可； （2）把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此设计图案即可． 【详解】（1）解：由中心对称图形的定义可知，②④⑥都是中心对称图形； （2）解：如图所示，即为所求； 20．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上． (1)写出点的坐标． (2)先将向左平移2个单位，再作与所得三角形关于原点成中心对称的图形，得到，请在图中画出． (3)上有一点，经上述变换后所得的对应点为，则点的坐标为（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移和中心对称，正确画出对应的图形是解题的关键． （1）根据坐标系中点的 位置写出点的坐标即可； （2）根据“上加下减，左加右减”的平移规律先得到向左平移2个单位后A、B、C的对应点坐标，再根据关于原点成中心对称的点横纵坐标都互为相反数得到的坐标，描出病顺次连接即可； （3）仿照（2）求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：向左平移2个单位后得到的点的坐标为， ∵与关于原点成中心对称图形， ∴． 21．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）下列三个网格图均由相同的小菱形组成，每图中都有3个小菱形已经涂上阴影，请在剩下的空白格子中，按照要求选取一个涂上阴影． (1)使阴影部分构成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形． (2)使阴影部分构成的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形． (3)使阴影部分构成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． （1）根据轴对称图形和中心对称图形的概念并结合图形画出阴影部分即可； （2）根据轴对称图形和中心对称图形的概念并结合图形画出阴影部分即可； （3）根据轴对称图形和中心对称图形的概念并结合图形画出阴影部分即可． 【详解】（1）解：根据题意画出图形如图： ； （2）解：根据题意画出图形如图： ； （3）解：根据题意画出图形如图： ． 22．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知在平面直角坐标系中． (1)作出关于原点对称的； (2)在y轴上找一个点P，使得的值最小，并直接写出的最小值（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析； 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称、原点对称、最短路径问题，掌握相关知识点，正确作出图形是解题的关键． （1）先画出各顶点关于原点对称的对应点，再顺次连接即可； （2）作点关于y轴的对称点，连接交y轴于点，利用轴对称的性质可得，则点P即为所求，再利用勾股定理求出的长即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：作点关于y轴的对称点，连接交y轴于点， 由对称性得，， ， 当三点共线时，的值最小，最小值为的长， 由图可得，， 如图所示，点P即为所求，的最小值为． 【考点题型七】反证法的运用（） 23．（24-25八年级下·浙江温州·期中）对于命题“如果，那么”．用反证法证明，应假设（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反证法，正确理解反证法的意义及步骤是解题的关键．根据反证法的步骤，第一步假设结论不成立，据此进行解答即可． 【详解】解：由于结论的否定为：， 用反证法证明命题时，要首先假设结论的否定成立， 故应假设，由此推出矛盾． 故选：A． 24．（2025八年级下·浙江·专题练习）用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则”时，应假设（   ） A． B．a与b不平行 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反证法、两直线的位置关系，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断． 【详解】解：反证法证明“在同一平面内，若，，则”时，应假设与不平行，即与相交． 故选：B． 25．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）用反证法证明命题“已知中，，求证：．”第一步应先假设“ ．”（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查反证法．熟练掌握反证法的步骤是解题的关键．根据反证法的步骤，先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，进行作答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“已知中，，求证：．”第一步应先假设“， 故答案为：． 26．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空） 已知：如图，直线被直线所截，__________． 求证：直线与__________． 证明：假设所求证的结论不成立，即a__________， 则__________（__________） 这与__________矛盾，故__________不成立． 所以__________． 【答案】；不平行；；；两直线平行，同旁内角互补；已知；假设；直线与不平行 【分析】本题主要考查了反证法，平行线的性质，熟知反证法的步骤是解题的关键． 根据反证法首先假设所求证的结论不成立，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】已知：如图，直线被直线所截，． 求证：直线与不平行． 证明：假设所求证的结论不成立，即， 则（两直线平行，同旁内角互补） 这与矛盾，故假设不成立． 所以直线与不平行． 【考点题型八】与三角形中位线有关的计算（） 27．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，D和E分别为所在边的中点，若，则的长为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，掌握“三角形中位线平行且等于底边的一半”是解题关键．利用中位线的性质求解即可． 【详解】解：在中，D和E分别为所在边的中点， 是的中位线， ， ， ， 故选：A． 28．（24-25八年级下·全国·期末）已知D，E，F分别为三边的中点，若的周长为3，则的周长为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中位线定理，根据三角形的中位线定理，进行求解即可． 【详解】解：∵D，E，F分别为三边的中点， ∴为的中位线， ∴分别为三边长的一半， ∵的周长为3， ∴， ∴的周长； 故选C． 29．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积，与三角形中线、中位线有关的面积计算，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 根据中线的性质，可得，同理，，根据三角形中位线的性质可得，即可得到的面积． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， 又∵点是 的中点， ∴，， ∴． 又∵、是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 30．（2023·浙江温州·三模）如图，在中，点E，F分别为的中点，点D为上一点，连接交于点G，已知．    (1)求证：． (2)已知，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意得到是的中位线，得到，进而证明出，然后由得到，即可证明出； （2）根据平行线和等边对等角性质得到，然后利用角平分线的概念和三角形内角和求解即可． 【详解】（1）∵点E，F分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了三角形中位线的性质，等边对等角性质，三角形内角和定理，角平分线的概念等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【考点题型九】利用平行四边形的性质求解（） 31．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，已知在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．根据平行四边形对角相等可得，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 故选：C． 32．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，，点E为边上一点，将沿直线翻折，点A落在点F处，则等于（     ） A． B． C． D．无法判断，与点E的位置有关 【答案】A 【分析】本题考查了翻折的性质，平行四边形的性质，过点作，则可得，则可得，即可解答，熟练运用平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：在中，， ， 如图，过点作， ，， ， ， 将沿直线翻折，点A落在点F处， ， ， 故选：A． 33．（23-24八年级下·浙江·期中）如图，的对角线与相交于点，过点作交于点，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理及其逆定理，根据面积等式求线段的长度等知识与方法，掌握知识点的应用是解题的关键． 由平行四边形的性质得，，而，由，证明，求得，因为于点，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵的对角线与相交于点，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴，， ∵于点， ∴， ∴， 故选：． 34．（24-25八年级下·浙江湖州·期中）如图，平行四边形中，点分别在上，依次连接，图中阴影部分的面积分别为，已知，则 ． 【答案】4 【分析】阴影部分是三角形与三角形的公共部分，而，，这三块是平行四边形中没有被三角形与三角形盖住的部分，故面积面积平行四边形的面积，而与的面积都是平行四边形面积的一半，据此求得的值．本题主要考查了平行四边形的性质，解决问题的关键是明确各部分图形面积的和差关系：平行四边形的面积面积面积． 【详解】解：设平行四边形的面积为S，则， 由图形可知，面积面积平行四边形的面积， ∵ ∴， 即， 解得， 故答案为：4． 35．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，对角线，交于点，，，垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若，，当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)8 【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等和勾股定理的运用，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，三角形全等和勾股定理． （1）由平行四边形的性质得到，由，，可得，，证明，根据全等三角形的性质即可解答； （2）根据求出的长度，然后根据勾股定理求出的长度，即可根据平行四边形对角线互相平分求出的长度； （3）根据题意可求出，根据平行四边形的性质可求出、，然后根据勾股定理求出，最后根据平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明 ：四边形是平行四边形， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：∵， ， 在中，， 四边形是平行四边形， ； （3）解：， ， 四边形是平行四边形， ，， ∵， ， ． 36．（24-25八年级下·浙江绍兴·阶段练习）已知如图，平行四边形的顶点为平面直角坐标系原点，边在x轴正半轴上，点 (1)写出点的坐标，计算平行四边形的面积； (2)过点的直线与线段或交于点，若直线将平行四边形的面积分成两部分，求点的坐标； 【答案】(1)，平行四边形面积8； (2)或． 【分析】本题考查了根据图形求点的坐标，一次函数与几何，分类讨论是解题的关键． （1）过，分别作于，于，由四边形是平行四边形，得到，，，证得，推出即可得到结果； （2）分多种情况讨论，即当点在线段上时，；当点在线段上时，，逐一计算，即可得到结果． 【详解】（1）解：如图，过，分别作于，于， 四边形是平行四边形， ，，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ； （2）解：如图，当点在线段上时，过点作于，则， 直线将平行四边形的面积分成两部分， 当时， ， ； 如图，当点在线段上时，过点作于， 直线将平行四边形的面积分成两部分， 当， ， 设直线的解析式为， 将，代入可得， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，可得， 解得 ， 综上所述，或． 【考点题型十】添加一个条件使四边形成为平行四边形（） 37．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判方法逐项分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故A正确； B．添加不能证明四边形为平行四边形，故B不正确； C．添加不能证明四边形为平行四边形，故C不正确； D．添加不能证明四边形为平行四边形，故D不正确； 故选A． 38．（23-24八年级下·浙江温州·期末）如图，在四边形中，，是对角线，要使四边形为平行四边形，可添加条件（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 根据添加的条件和平行四边形的判定方法逐项判断即可解答． 【详解】解：A、添加后，四边形一组对边平行，另一组对边相等，不一定是平行四边形，有可能为等腰梯形，不合题意； B、添加，得出，不能判定为平行四边形，不符合题意； C、添加，得出，不能判定为平行四边形，不合题意； D、添加，根据一组对比平行且相等的四边形是平行四边形可以判定为平行四边形，符合题意． 故选：D． 39．（22-23八年级下·浙江嘉兴·期中）在四边形中，，要判定四边形为平行四边形，可添加条件（   ） A． B． C．平分 D． 【答案】B 【分析】根据添加的条件和平行四边形的判定方法逐项判断即可解答． 【详解】解：如图：A.添加后，四边形一组对边平行，另一组对边相等，不一定是平行四边形，有可能为等腰梯形，因此A选项不合题意； B.添加后，利用平行线的判定定理可得，四边形是两组对边平行，能判定为平行四边形，因此B选项符合题意； C.添加平分后，利用角平分线的定义和平行线的性质可推出，四边形一组对边平行，一组邻边相等，不能判定为平行四边形，因此C选项不合题意； D.添加后，四边形一组对边平行、邻边相等，不可以判定为平行四边形，因此D选项不符合题意． 故选B．    【点睛】本题主考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.对角线互相平分的四边形是平行四边形；4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 40．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则可添加的条件为 ．（不添加任何辅助线，写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行求解即可． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 41．（21-22八年级下·湖北十堰·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，连接AE，AF，CE，CF，已知 (填序号)．求证：四边形AECF为平行四边形．在①BE=DF，②AECF中任选一个作为条件补充在横线上，并完成证明过程． 【答案】①，证明见解析 【分析】可以针对平行四边形的各种判定方法，结合三角形全等解决问题． 【详解】①或②． 添加①BE＝DF，理由如下： 证明:∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵BE＝DF， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD， ∴∠AEF＝CFE， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形； 添加②AE∥CF，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵AE∥CF， ∴∠AEB＝∠CFD， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AE＝CF， ∴四边形AECF为平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△CDF是解题的关键． 【考点题型十一】证明四边形为平行四边形（） 42．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在四边形中，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)四边形的面积为． 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由平行线的性质可得，然后证明，则有，再结合即可求证； （）由平行四边形性质得，，，然后由勾股定理求出，则，最后通过平行四边形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形； （2）∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 43．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，为对角线上的两点（点在点的上方），． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，且，求两点之间的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查四边形综合，涉及平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟记平行四边形的判定与性质、勾股定理求线段长是解决问题的关键． （1）连接交于点，如图所示，由平行四边形的性质及题中已知条件得到，从而结合对角线相互平分的四边形是平行四边形即可得证； （2）在中，由勾股定理求出，再由平行四边形性质得到，最后由勾股定理即可得到两点之间的距离． 【详解】（1）证明：连接交于点，如图所示： 四边形是平行四边形， ，， ， ， 即， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：，，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，两点之间的距离为． 44．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，且．连结，交于点O． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，的周长是12，求平行四边形的周长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质及判定，线段垂直平分线的性质，正确运用平行四边形的性质及判定定理是解题的关键。 （1）根据平行四边形的性质可得，,再结合已知利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可以证明四边形是平行四边形即可； （2）根据平行四边形的性质得，由可证明是的垂直平分线，可得，根据的周长是12及平行四边形的对边相等这一性质即可求出平行四边形的周长． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ，， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， （2）解：由（1）得，平行四边形， ， ， ， 的周长是12， ， ∴平行四边形的周长. 45．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）如图，在中，于点，于点，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键； （1）由平行四边形的性质得，，则，由于点，于点，得，，即可根据“”证明，得，即可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形； （2）由，，得，则，，所以，求得，则，所以，则． 【详解】（1）（1）证明：四边形是平行四边形， ∴，， ， 于点，于点， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：，，， ， ，， ， ， ， ， ， 的长为13． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 平行四边形 （6个考点梳理+11种题型解读+提升训练） 清单01 多边形 1. 多边形的概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 2. 多边形的相关概念： 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点. 多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 【补充】 1）多边形的边数、顶点数及角的个数相等； 2）把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线； 3）多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线. 3. 多边形内角和定理：n边形的内角和为. 4. 多边形外角和：在多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角地和叫做多边形的外角和. 5. 多边形外角和定理：多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系. 清单02 中心对称 中心对称与中心对称图形： 中心对称 中心对称图形 图形 定义 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 区别 两个图形间的位置关系 具有某种特性的一个图形 对称点在两个图形上 对称点在一个图形上 对称中心在两个图形之间 对称中心在图形上或图形内部 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称． 中心对称的性质：中心对称是一种特殊的旋转变换，具有旋转的一切性质， 1）中心对称的两个图形是全等图形； 2）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心所平分； 3）中心对称的两个图形，对应线段平行（或在一条直线上）且相等. 中心对称图形的性质： 1）中心对称图形上的对称点之间的连线都经过对称中心，且被对称中心平分，即过对称中心的直线与中心对称图形的两个对应交点是对称点. 2）过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分周长与面积都分别相等. 清单03 三角形的中位线 1.三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线. 【补充】 1）三角形的中位线是一条线段，不是直线或射线. 2）三角形的中位线与三角形的中线是不一样的，三角形中位线是两条边中点的连线，而三角形中线是顶点与对边中点的连线. 2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 清单04 平行四边形的性质 1.平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 符号表示：平行四边形用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 2. 平行四边形的性质定理 性质 符号语言 图示 边 平行四边形两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 平行四边形对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,BO=DO=BD 3. 平行线间的距离 定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离 性质：1）两条平行线间的距离处处相等. 2）两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 清单05 平行四边形的判定 判定 符号语言 定义 一组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形 边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵OA=OC，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形 清单06 反证法 反证法的定义：先假设原命题的结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，这种证明的方法叫做反证法. 【注意】 1）当命题的结论含有“至多”“至少”“无数”“唯一”等语言描述时，常用反证法. 2）矛盾的类型:①与已知定义、定理、公理相矛盾;②与已知条件相矛盾:③推出自相矛盾. 3）用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，有哪些情况，不要遗漏;利用反证法证明时，每一步都要有依据，直到推出矛盾的结果. 反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确． 【考点题型一】多边形对角线问题（） 1．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）若n边形共有9条对角线，则n为 . 2．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知一个多边形的内角和为，则这个多边形的对角线的总条数为（    ） A．40 B．30 C．20 D．5 3．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）一个多边形每个外角都等于，则从这个多边形的某个顶点画对角线，最多可以画出几条 ． 4．（22-23七年级上·河南郑州·期末）一个正八边形，从它的一个顶点可引出m条对角线，并把这个正八边形分成n个三角形，则 ． 【考点题型二】与多边形内角和问题（） 5．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，图案对称精美，图中正八边形的每个内角度数为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·甘肃陇南·期末）如图，在五边形中，，，，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 7．（2025·重庆·模拟预测）若一个正多边形内角和的度数为，则这个正多边形边数是 ． 8．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图1所示的是一把木工使用的六角尺．它能提供常用的几种测量角度，如图2中的六角尺示意图中，x的值应是（　　） A．100 B．112.5 C．120 D．125 【考点题型三】多边形的外角问题（） 9．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·期末）正六边形每一个外角的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·河北沧州·模拟预测）一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·江西南昌·期中）五边形的外角和为 度． 12．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，随着科技的不断进步，人工智能机器人逐渐走进人们的生活，在完成某项任务时，机器人小胖从点O出发，沿直线前进8米后向左转，再沿直线前进8米向左转相同的度数，……照这样走下去，当机器人小胖第一次回到了出发点时，共走过了160米，则机器人小胖每次转过的角度n的值为（       ） A．10 B．18 C．20 D．30 【考点题型四】中心对称图形的识别（） 13．（24-25八年级下·浙江温州·期中）以下是我国一些博物馆标志的图案，其中是中心对称图形的是（　　） A．B． C． D． 14．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．B．C． D． 15．（22-23八年级下·浙江·单元测试）如图，把标有序号中某个小正方形涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形但不是轴对称图形，那么该小正方形的序号是 ． 【考点题型五】求关于原点对称的点的坐标（） 16．（24-25九年级上·山西阳泉·期中）若点与点关于原点对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 17．（22-23九年级上·福建·期中）已知点与点关于原点对称，那么（　　） A．2 B． C． D．4 18．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）已知点与点是关于原点O的对称点，则长为 ． 【考点题型六】与中心对称有关的作图问题（） 19．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）在的方格中，选择6个小方格涂上阴影，请仔细观察图1中的六个图案的对称性，按要求回答． (1)在6个图案中，具有中心对称性的图案是____________（填写序号）． (2)请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个的方格也具有中心对称性． 20．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上． (1)写出点的坐标． (2)先将向左平移2个单位，再作与所得三角形关于原点成中心对称的图形，得到，请在图中画出． (3)上有一点，经上述变换后所得的对应点为，则点的坐标为（用含的代数式表示）． 21．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）下列三个网格图均由相同的小菱形组成，每图中都有3个小菱形已经涂上阴影，请在剩下的空白格子中，按照要求选取一个涂上阴影． (1)使阴影部分构成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形． (2)使阴影部分构成的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形． (3)使阴影部分构成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 22．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知在平面直角坐标系中． (1)作出关于原点对称的； (2)在y轴上找一个点P，使得的值最小，并直接写出的最小值（保留作图痕迹）． 【考点题型七】反证法的运用（） 23．（24-25八年级下·浙江温州·期中）对于命题“如果，那么”．用反证法证明，应假设（    ） A． B． C． D． 24．（2025八年级下·浙江·专题练习）用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则”时，应假设（   ） A． B．a与b不平行 C． D． 25．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）用反证法证明命题“已知中，，求证：．”第一步应先假设“ ．”（填“”或“”） 26．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空） 已知：如图，直线被直线所截，__________． 求证：直线与__________． 证明：假设所求证的结论不成立，即a__________， 则__________（__________） 这与__________矛盾，故__________不成立． 所以__________． 【考点题型八】与三角形中位线有关的计算（） 27．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，D和E分别为所在边的中点，若，则的长为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 28．（24-25八年级下·全国·期末）已知D，E，F分别为三边的中点，若的周长为3，则的周长为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 29．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是 ． 30．（2023·浙江温州·三模）如图，在中，点E，F分别为的中点，点D为上一点，连接交于点G，已知．    (1)求证：． (2)已知，若，求的度数． 【考点题型九】利用平行四边形的性质求解（） 31．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，已知在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，，点E为边上一点，将沿直线翻折，点A落在点F处，则等于（     ） A． B． C． D．无法判断，与点E的位置有关 33．（23-24八年级下·浙江·期中）如图，的对角线与相交于点，过点作交于点，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 34．（24-25八年级下·浙江湖州·期中）如图，平行四边形中，点分别在上，依次连接，图中阴影部分的面积分别为，已知，则 ． 35．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，对角线，交于点，，，垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若，，当时，求的面积． 36．（24-25八年级下·浙江绍兴·阶段练习）已知如图，平行四边形的顶点为平面直角坐标系原点，边在x轴正半轴上，点 (1)写出点的坐标，计算平行四边形的面积； (2)过点的直线与线段或交于点，若直线将平行四边形的面积分成两部分，求点的坐标； 【考点题型十】添加一个条件使四边形成为平行四边形（） 37．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（    ） A． B． C． D． 38．（23-24八年级下·浙江温州·期末）如图，在四边形中，，是对角线，要使四边形为平行四边形，可添加条件（    ） A． B． C． D． 39．（22-23八年级下·浙江嘉兴·期中）在四边形中，，要判定四边形为平行四边形，可添加条件（   ） A． B． C．平分 D． 40．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则可添加的条件为 ．（不添加任何辅助线，写出一个即可） 41．（21-22八年级下·湖北十堰·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，连接AE，AF，CE，CF，已知 (填序号)．求证：四边形AECF为平行四边形．在①BE=DF，②AECF中任选一个作为条件补充在横线上，并完成证明过程． 【考点题型十一】证明四边形为平行四边形（） 42．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在四边形中，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求四边形的面积． 43．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，为对角线上的两点（点在点的上方），． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，且，求两点之间的距离． 44．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，且．连结，交于点O． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，的周长是12，求平行四边形的周长． 45．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）如图，在中，于点，于点，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$