专题04 平行四边形（考题猜想，11大题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（浙教版）

专题04 平行四边形（11大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 多边形截角后的边数问题 题型二 多边形内角和与外角和的综合 题型三 多边形综合问题 题型四 与中心对称有关的作图问题 题型五 已知两点关于原点对称求参数 题型六 构造中位线利用中位线定理求解 题型七 利用平行四边形的性质与判定求解 题型八 利用平行四边形的性质与判定证明 题型九 利用平行四边形性质与判定的应用 题型十 利用平行线间的距离解决问题 题型十一 与平行四边形有关的压轴问题 题型一 多边形截角后的边数问题 1．（24-25八年级上·广东惠州·期中）若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 2．（22-23八年级上·黑龙江牡丹江·期末）一个多边形的外角和是内角和的，若这个多边形截去一个角后，则所形成的多边形是 边形． 3．（24-25八年级下·四川广元·开学考试）已知一个多边形的边数为． (1)若这个多边形的内角和是它的外角和的倍，求的值； (2)若过一个顶点的对角线有条，求这个边形对角线的总数． 题型二 多边形内角和与外角和的综合 4．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，下图是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题．    (1)将下面的表格补充完整： 正多边形的边数 3 4 5 6 …… n ∠α的度数 60°　   　 　   　 　   　 　   　 …… (2)根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由． 5．（22-23八年级上·陕西延安·期末）如图，小明从点O出发，前进3米后到达点A（米），向右转，再前进3米后到达点B（米），又向右转，……这样小明一直右转了n次刚好回到出发点O处． 根据以上信息，解答下列问题： (1)n的值为____________． (2)小明走出的这n边形的周长为____________米． (3)若一个正m边形的内角和比外角和多，求这个正m边形的每一个内角的度数． 6．（24-25八年级上·浙江台州·阶段练习）自然界中处处都可见六边形的身影，比如在水面上吹起一层泡泡，也就是“泡泡筏（）”，这些泡泡最后会变成六边形或者接近六边形的形状，如图，是一个泡泡抽象出的数学平面图形，已知六边形的内角都相等，． (1)求的度数； (2)求证：． 7．（23-24八年级上·河南驻马店·期中）阅读小明和小红的对话，解决下列问题． (1)这个“多加的锐角”是 °． (2)小明求的是几边形的内角和？ 题型三 多边形综合问题 8．（2022七年级上·广东佛山·学业考试）探究归纳题： (1)试验分析： 如图1，经过一个顶点（如点）可以作___________条对角线，它把四边形分为___________个三角形； (2)拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得：图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为___________个三角形．（用含的式子表示） (4)特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为___________个三角形． 9．（20-21八年级上·广东中山·期中）回答下列问题：        （1）如图①，的内角的平分线与外角的平分线相交于P点，，的度数=________（直接写出答案）． （2）如图②，四边形ABCD中，设，，为四边形ABCD的内角与外角的平分线所在直线相交而形成的锐角，如图②，若，求的度数（用，的代数式表示，写出详细过程）． 题型四 与中心对称有关的作图问题 10．（22-23八年级下·浙江湖州·期中）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D都在格点上，请你按要求画出图形．    (1)在图甲中作出，使和关于点成中心对称； (2)在图乙中分别找两个格点、，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，并且平行四边形的面积为面积的4倍． 11．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长都是1，每个顶点称为格点．线段的端点都在格点上．按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上． (1)如图1，画与关于点O的中心对称的图形； (2)如图2，画一个以为边，且面积为12的平行四边形； (3)如图3，画一个以为对角线，且面积为9的平行四边形． 12．（24-25八年级下·浙江湖州·期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成面积相等的两个部分．如图，直线经过对角线的交点，则    (1)如图，两个正方形如图所示摆放，为小正方形对角线的交点，请利用直尺求作过点的直线将整个图形分成面积相等的两部分． (2)个大小相同的正方形如图所示摆放，利用直尺求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用两种不同的方法分割）． 13．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立直角坐标系，小正方形的顶点为格点，与的顶点都在格点上． (1)作，使与关于原点成中心对称． (2)已知与关于点成中心对称，请在图中画出点的位置，并写出该点的坐标． 题型五 已知两点关于原点对称求参数 14．（24-25九年级上·河北保定·期末）已知点关于原点对称的点为，则的值为 . 15．（24-25九年级上·四川南充·期末）在直角坐标系中，点与点关于原点对称，则的长为 ． 16．（22-23八年级下·浙江湖州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则 ． 17．（22-23九年级上·青海西宁·期中）已知：点与点关于原点对称． (1)分别求a，b的值； (2)求点A关于x轴的对称点的坐标； (3)求点B关于y轴的对称点的坐标． 题型六 构造中位线利用中位线定理求解 18．（2025·江西·模拟预测）【课本再现】 （1）如图1，线段，相交于点，，．求证： ①； ②； 【迁移应用】 （2）如图2，在四边形中，，，分别是边，的中点，连接，猜想，，三条线段的数量关系，并证明． 19．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，M、N分别是的中点，延长与分别交于点E、F．求证：． 20．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在四边形中，，、交于点，、分别是、中点，分别交、于点、．求证：． 21．（24-25八年级上·山东淄博·期末）【问题初探】 （1）李老师给出如下问题：如图1，在平行四边形中，，且，点E是的中点，点F为对角线上的点，且，连接线段，若，求的长． 小鹏同学考虑到点E是的中点，从中点的角度思考，想办法构造另一个中点，从而形成中位线，所以想到连接，与交于点O．请你利用李老师的提示，帮助小鹏同学解决这个问题． 【类比拓展】李老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，李老师提出了下面问题，请你解答． （2）如图2，在中，平分，过点A作延长线的垂线，垂足为点D，，求证：． 【学以致用】 （3）如图3，在中，，点D在上，，点E，F分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接，若，求证：． 题型七 利用平行四边形的性质与判定求解 22．（2025八年级下·浙江·专题练习）已知，平行四边形中，一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图①，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数． (2)如图②，在第（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，求的面积． (3)如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止）．若，设点的运动时间为t秒，当t为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形？ 23．（2025八年级下·浙江·专题练习）如图，在四边形中，，边上存在一点M，点P、Q分别为上的两动点，当点P从点D匀速运动到点C时，点Q恰好从点M运动到点A．记，，已知． (1)判断是否为定值，并说明理由． (2)当P为中点时，． ①求的长； ②当点P、Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形，求x的值． 24．（2025八年级下·浙江·专题练习）如图，在四边形中，O为坐标原点，点分别位于x轴，y轴正半轴上，，D为边的中点，E为边上一点（不与点重合），且，分别与相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，当为等腰三角形时，求的长； (3)当E为中点时，连结并延长交于点G，若四边形与的面积差为4，请在横线上直接写出点G的坐标______． 25．（2025八年级下·浙江·专题练习）如图，中，，，，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿方向运动，当点到达点时，点也停止运动，以，为邻边作平行四边形，，分别交于点，，设点运动的时间为秒． (1) ______ 含t的代数式表示； (2)如图，连接，，，当时，求的面积； (3)如图，连接，，点关于直线的对称点为点，若落在的内部不包括边界时，则的取值范围为______． 题型八 利用平行四边形的性质与判定证明 26．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，连结对角线，点E和点F是外两点，且在直线上，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，，求的长． 27．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，点E是边的中点，连接并延长与的延长线交于F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的面积． 28．（2022·浙江温州·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，分别以，为边向外构造等边和等边，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若与交于点G，且，，，求的面积． 29．（23-24八年级下·内蒙古·阶段练习）如图，中，点O是边上一个动点，过O作直线．设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)当点O在边上运动到什么位置时，四边形是平行四边形？并说明理由． 题型九 利用平行四边形性质与判定的应用 30．（2022·浙江金华·一模）如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆固定在垂直于地面的墙壁上，支杆与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形始终是平行四边形． (1)若遮阳蓬完全展开时，长2米，在与水平地面呈的太阳光照射下，在地面的影子有______米（影子完全落在地面） (2)长支杆与短支杆的长度比（即与的长度比）是______． 31．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 32．（24-25八年级下·全国·期末）如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数为，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量的长度为．活动分享时，小明说：“的长度就是篮板的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由． 33．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）如图1，点O是等边的内心，的两边分别交于点D、E，且，若等边的边长为6，求四边形周长的最小值． （2）为培养学生劳动实践能力，某学校计划在校东南角开辟出一块平行四边形劳动实践基地．如图2所示，劳动实践基地为，点O为其对称中心，且，点E、F分别在边上，四边形为学校划分给九年级的实践活动区域，九年级学生打算在四边形区域种植两种不同的果蔬，即在种植不同的果蔬．在点O处安装喷灌装置，且喷灌张角为，即，并修建三条小路．现要求规划的三条小路总长最小的同时，果蔬种植区域四边形的面积最大．求满足规划要求的三条小路总长的最小值，并计算同时满足四边形面积最大时学校应开辟的劳动实践基地的面积．      题型十 利用平行线间的距离解决问题 34．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）定义：若端点均在四边形边上的线段平分该四边形的面积，则我们称这条线段为该四边形的等积线．例：如图1，在中，连结，我们可以利用“夹在两条平行线间的垂线段相等”，结合“等底（同底）等高的两个三角形面积相等”来说明与的面积相等，即是的等积线． (1)请利用图1完成例的证明． (2)如图2，在四边形中，连结．已知点与上一点的连线段是四边形的等积线，过点作的平行线，交于点，若，求的长度． (3)如图3，在（2）的条件下，延长，交于点．若，请在图中找出一条不同于的四边形的等积线，并说明理由． 35．（23-24八年级下·浙江金华·期末）（1）如图1，直线，点在直线上，点在直线上，直接写出和的面积关系． （2）把图2的四边形改成一个以为一边的三角形，并保持面积不变，请画出图形，保留作图痕迹． （3）如图3，在中，分别是上任意一点，连接分别是、的中点，求证：． 36．（23-24七年级下·湖南永州·期末）课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用 阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为．    (1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：； (2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：； (3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积．     题型十一 与平行四边形有关的压轴问题 37．（2025八年级下·浙江·专题练习）已知在平行四边形中，动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图1，在运动过程中，若，平分，求的度数． (2)如图2，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在之间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，当运动时间为 秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． (3)如图3，连结并延长与的延长线交于点F，平分交于E点，当，时，求的长 (4)如图4，在（1）的条件下，连并延长与的延长线交于点F，若，求的面积． 38．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图1，在中，，，．是线段上的动点，是射线上的动点，且．设． (1)当在线段上时，用含的代数式表示线段的长． (2)如图2，是的中点，以，为邻边构造． ①当点与点重合时，连结，求的长． ②当点落在的边上时，求的长． 39．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，在平行四边形中，，，，点为中点，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当在上运动时，用含的式子表示出线段的长 ； (2)当点落在平行四边形的某边中点上时，求的值（用含t的代数式表示）； (3)作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和平行四边形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围． 40．（24-25八年级下·浙江温州·期中）同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为． (1)如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为平行四边形． (2)如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长． (3)改变点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，求的长度． $$专题04 平行四边形（11大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 多边形截角后的边数问题 题型二 多边形内角和与外角和的综合 题型三 多边形综合问题 题型四 与中心对称有关的作图问题 题型五 已知两点关于原点对称求参数 题型六 构造中位线利用中位线定理求解 题型七 利用平行四边形的性质与判定求解 题型八 利用平行四边形的性质与判定证明 题型九 利用平行四边形性质与判定的应用 题型十 利用平行线间的距离解决问题 题型十一 与平行四边形有关的压轴问题 题型一 多边形截角后的边数问题 1．（24-25八年级上·广东惠州·期中）若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条．根据一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，依此即可解决问题． 【详解】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 则多边形的边数是4或5或6， 故选：D． 2．（22-23八年级上·黑龙江牡丹江·期末）一个多边形的外角和是内角和的，若这个多边形截去一个角后，则所形成的多边形是 边形． 【答案】六或七或八 【分析】首先求得多边形的边数，再分三种情况讨论即可。 【详解】解：设多边形的边数为，依题意，得： ， 解得：， 如图，剪切有下列三种情况： ①不经过顶点剪，则所形成的多边形是八边形； ②只过一个顶点剪，则所形成的多边形是七边形； ③过两个相邻顶点剪，则所形成的多边形是六边形。 故答案为：六或七或八。 【点睛】本题考查多边形的内角和定理和外角和定理，分三种情况解答是关键． 3．（24-25八年级下·四川广元·开学考试）已知一个多边形的边数为． (1)若这个多边形的内角和是它的外角和的倍，求的值； (2)若过一个顶点的对角线有条，求这个边形对角线的总数． 【答案】(1) (2)这个边形对角线的总数为条 【分析】本题考查多边形内角和与外角和的综合及多边形对角线问题，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键． （1）根据多边形内角和为，外角和等于，列方程求出值即可； （2）根据从多边形的一个顶点最多有条对角线列方程求出值，根据多边形对角线总数为即可得答案． 【详解】（1）解：∵这个多边形的内角和是它的外角和的倍， ∴， 解得：． （2）解：∵过一个顶点的对角线有条， ∴， 解得：， ∴这个边形对角线的总数为（条）． 题型二 多边形内角和与外角和的综合 4．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，下图是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题．    (1)将下面的表格补充完整： 正多边形的边数 3 4 5 6 …… n ∠α的度数 60°　   　 　   　 　   　 　   　 …… (2)根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2)不存在，理由见解析． 【分析】（1）根据计算、观察，可发现规律：正n边形中的； （2）根据正n边形中的，可得答案． 【详解】（1）解：观察上面每个正多边形中的，填写下表： 正多边形边数 3 4 5 6 的度数 故答案为：，，，； （2）解：不存在，理由如下： ∵设存在正边形使得， ∴． 解得：，n不为正整数，不合题意，舍去， ∴不存在正边形使得． 【点睛】本题考查了多边形内角与外角，每题都利用了正多边形的内角：，三角形的内角和定理，等腰三角形的两底角相等． 5．（22-23八年级上·陕西延安·期末）如图，小明从点O出发，前进3米后到达点A（米），向右转，再前进3米后到达点B（米），又向右转，……这样小明一直右转了n次刚好回到出发点O处． 根据以上信息，解答下列问题： (1)n的值为____________． (2)小明走出的这n边形的周长为____________米． (3)若一个正m边形的内角和比外角和多，求这个正m边形的每一个内角的度数． 【答案】(1)15 (2)45 (3) 【分析】（1）根据多边形的外角和等于，即可求解； （2）用多边形的边数乘以的长，即可求解； （3）根据多边形的内角和定理和外角和定理可得关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：． 故答案为：15 （2）解：由（1）得：这个n边形为十五边形， ∴这n边形的周长为（米）； 故答案为：45 （3）解：根据题意，得， 解得，                ∴这个正m边形的每一个内角的度数为． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理和外角和定理的应用，熟练掌握多边形的内角和定理和外角和定理是解题的关键． 6．（24-25八年级上·浙江台州·阶段练习）自然界中处处都可见六边形的身影，比如在水面上吹起一层泡泡，也就是“泡泡筏（）”，这些泡泡最后会变成六边形或者接近六边形的形状，如图，是一个泡泡抽象出的数学平面图形，已知六边形的内角都相等，． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、多边形内角和问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由六边形的内角都相等得出，由平行线的性质得出，即可得解； （2）由平行线的性质得出，即可得证． 【详解】（1）解：∵六边形的内角都相等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可得， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．（23-24八年级上·河南驻马店·期中）阅读小明和小红的对话，解决下列问题． (1)这个“多加的锐角”是 °． (2)小明求的是几边形的内角和？ 【答案】(1)30 (2)小明求的是12边形的内角和 【分析】本题主要考查多边形的内角和和外角和，掌握多边形内角和的计算方法以及多边形的性质是正确解答的前提． （1）根据多边形的内角和的公式进行估算即可； （2）根据对话和多边形的内角和公式求出其内角和． 【详解】（1）解：12边形的内角和为， 而13边形的内角和为， 由于小红说：“多边形的内角和不可能是，你一定是多加了一个锐角”， 所以这个“多加的锐角是， 所以答案为：30； （2）设这个多边形n为边形，由题意得：， 解得：； 答：小明求的是12边形的内角和； 题型三 多边形综合问题 8．（2022七年级上·广东佛山·学业考试）探究归纳题： (1)试验分析： 如图1，经过一个顶点（如点）可以作___________条对角线，它把四边形分为___________个三角形； (2)拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得：图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为___________个三角形．（用含的式子表示） (4)特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为___________个三角形． 【答案】(1)1，2； (2)3，4； (3) (4)8 【分析】（1）根据对角线的定义，可得答案； （2）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答； （3）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答； （4）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答． 【详解】（1）解：如下图： 经过点可以做1条对角线，它把四边形分为2个三角形， 故答案为：1，2； （2）解：拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得： 图2过一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形； 图3过一个顶点，共有3条对角线，将这个多边形分为4个三角形； 故答案为：3，4； （3）解：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为个三角形， 故答案为：； （4）解：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为个三角形， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，正确理解多边形的对角线的条数，与所分成的三角形的个数的关系，是解决本题的关键． 9．（20-21八年级上·广东中山·期中）回答下列问题：        （1）如图①，的内角的平分线与外角的平分线相交于P点，，的度数=________（直接写出答案）． （2）如图②，四边形ABCD中，设，，为四边形ABCD的内角与外角的平分线所在直线相交而形成的锐角，如图②，若，求的度数（用，的代数式表示，写出详细过程）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由角平分线的性质，得到，再根据三角形一个外角等于其不相邻的两个内角和，解题即可； （2）由四边形内角和360°解得，结合角平分线性质及三角形外角性质解题即可． 【详解】（1）平分，平分 故答案为： （2） 平分，平分 【点睛】本题考查角平分线性质、三角形的外角性质、多边形内角和360°等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 题型四 与中心对称有关的作图问题 10．（22-23八年级下·浙江湖州·期中）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D都在格点上，请你按要求画出图形．    (1)在图甲中作出，使和关于点成中心对称； (2)在图乙中分别找两个格点、，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，并且平行四边形的面积为面积的4倍． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用中心对称的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用数形结合的思想，求出平行四边形为的面积为10，只要作出高为2的平行四边形即可． 【详解】（1）如图甲中，即为所求；    （2）在图乙中，平行四边形即为所求．    【点睛】本题考查作图旋转变换，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握中心对称的性质，学会用数形结合的解决问题． 11．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长都是1，每个顶点称为格点．线段的端点都在格点上．按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上． (1)如图1，画与关于点O的中心对称的图形； (2)如图2，画一个以为边，且面积为12的平行四边形； (3)如图3，画一个以为对角线，且面积为9的平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了作图−应用与设计作图，平行四边形的判定与性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）根据中心对称图形的作法直接作图即可； （2）以为边，作底边为4的平行四边形即可； （3）以为边，作底边为3的平行四边形即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）如图所示：四边形即为所求； ∴； （3）如图所示：四边形即为所求； ∴． 12．（24-25八年级下·浙江湖州·期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成面积相等的两个部分．如图，直线经过对角线的交点，则    (1)如图，两个正方形如图所示摆放，为小正方形对角线的交点，请利用直尺求作过点的直线将整个图形分成面积相等的两部分． (2)个大小相同的正方形如图所示摆放，利用直尺求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用两种不同的方法分割）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先找出两个矩形的中心，然后过中心作直线即可； （2）先分成两个矩形，找到中心，然后过中心作直线即可． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：如图所示：   ． 13．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立直角坐标系，小正方形的顶点为格点，与的顶点都在格点上． (1)作，使与关于原点成中心对称． (2)已知与关于点成中心对称，请在图中画出点的位置，并写出该点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，点 【分析】（1）先确定起始点的坐标，再利用原点对称特点确定变化后的坐标，即可求解， （2）连接、，交点即为点，根据中点公式计算，即可求解， 本题考查了，中心对称，确定中心点，中点公式，解题的关键是：熟练掌握中心对称的性质． 【详解】（1）解：如图可得：，，，原点对称得：，，， 画图如下： 即为所求， （2）解：连接、，交点即为点，画图如下： 点即为所求， ∵与关于点成中心对称，且，， 所以对称中心的坐标为，即：， 故答案为：． 题型五 已知两点关于原点对称求参数 14．（24-25九年级上·河北保定·期末）已知点关于原点对称的点为，则的值为 . 【答案】1 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，可得a、b的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴， 故答案为：1． 15．（24-25九年级上·四川南充·期末）在直角坐标系中，点与点关于原点对称，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了关于原点的对称点的特征和求代数式的值，先根据点与点关于原点对称，得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，解得， ∴点 ∴， 故答案为： 16．（22-23八年级下·浙江湖州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则 ． 【答案】/0.5 【分析】关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数，根据特点列式求出a、b即可求得答案． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标特征，解二元一次方程组，熟记关于原点对称点的坐标特征并运用解题是关键． 17．（22-23九年级上·青海西宁·期中）已知：点与点关于原点对称． (1)分别求a，b的值； (2)求点A关于x轴的对称点的坐标； (3)求点B关于y轴的对称点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据关于原点对称点的坐标特征，得到关于a，b的方程，解之即可； （2）根据a，b的值得到点A坐标，再根据关于x轴对称点的坐标特征求解； （3）根据关于y轴对称点的坐标特征求解． 【详解】（1）解：∵点与点关于原点对称， ∴， 解得：； （2）∵， ∴， ∴点A关于x轴的对称点的坐标为； （3）∵， ∴点B关于y轴的对称点的坐标为． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化，解题的关键是掌握关于原点和坐标轴对称点的坐标特征． 题型六 构造中位线利用中位线定理求解 18．（2025·江西·模拟预测）【课本再现】 （1）如图1，线段，相交于点，，．求证： ①； ②； 【迁移应用】 （2）如图2，在四边形中，，，分别是边，的中点，连接，猜想，，三条线段的数量关系，并证明． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2），证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理： （1）①证明，即可得出结论； ②由得，再由平行线的判定即可证明； （2）连接，取的中点，连接，利用三角形的中位线定理，结合勾股定理即可得出结论． 【详解】解：（1）①，，， ， ； ②由①知，， ， ； （2），证明如下： 连接，取的中点，连接， ∵，分别是边，的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，M、N分别是的中点，延长与分别交于点E、F．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了三角形中位线的性质．熟练掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确作出辅助线是解决问题的关键． 取中点G，连接，根据三角形中位线定理可得到，由平行线的性质可得，从而可推出为等腰三角形，从而证得． 【详解】证明：连接，取中点G，连接， ∵点M，N分别是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在四边形中，，、交于点，、分别是、中点，分别交、于点、．求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，取边的中点M，连接，，结合三角形中位线的性质有，，，，即可得，则有，再结合平行线的性质可得，，问题随之得证． 【详解】解：取边的中点M，连接，， ∵M、F分别是、中点， ∴，， 同理：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴， ∴． 21．（24-25八年级上·山东淄博·期末）【问题初探】 （1）李老师给出如下问题：如图1，在平行四边形中，，且，点E是的中点，点F为对角线上的点，且，连接线段，若，求的长． 小鹏同学考虑到点E是的中点，从中点的角度思考，想办法构造另一个中点，从而形成中位线，所以想到连接，与交于点O．请你利用李老师的提示，帮助小鹏同学解决这个问题． 【类比拓展】李老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，李老师提出了下面问题，请你解答． （2）如图2，在中，平分，过点A作延长线的垂线，垂足为点D，，求证：． 【学以致用】 （3）如图3，在中，，点D在上，，点E，F分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接，若，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）连接，交于点O，易得为的中位线，根据平行四边形的性质，结合勾股定理求出的长，即可求出的长； （2）延长交的延长线于点G，证明，得到，取的中点F，连接，证明，得到，进而得到，即可得证； （3）连接，取中点H，连接，根据三角形的中位线定理，推出是等边三角形，进而推出是等边三角形，得到，进而得到，等边对等角求出，进而推出，即可得证． 【详解】解：（1）连接，交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）如图，延长交的延长线于点G， ∵平分，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 取的中点F，连接，则有，且， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）如图，连接，取中点H，连接， ∵E，F分别为和中点， ∴和分别为和的中位线， ∴且，且， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造三角形的中位线，是解题的关键． 题型七 利用平行四边形的性质与判定求解 22．（2025八年级下·浙江·专题练习）已知，平行四边形中，一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图①，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数． (2)如图②，在第（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，求的面积． (3)如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止）．若，设点的运动时间为t秒，当t为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形？ 【答案】(1) (2) (3)当为秒或8秒或秒时，以四点组成的四边形是平行四边形 【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得； （2）过点作于点，连接，先根据平行四边形的性质得出，再根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可得的长，然后利用三角形的面积公式可得的面积，由此即可得； （3）先求出，，，从而可得要使以四点组成的四边形是平行四边形，则需，再分四种情况：①，②，③和④，根据建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． （2）解：如图，过点作于点，连接， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）已得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． （3）解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴要使以四点组成的四边形是平行四边形，则需， 由题意可知，点从点运动到点所需时间为秒，点从点运动到点所需时间为秒， ∴， ∵， ∴． ①当时，， ∴， ∴， ∴，符合题设，舍去； ②当时，， ∴， ∴， ∴，符合题设； ③当时，， ∴， ∴， ∴， ∴，符合题设； ④当时，， ∴， ∴， ∴，符合题设； 综上，当为秒或8秒或秒时，以四点组成的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、一元一次方程的应用等知识，正确分情况讨论，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． 23．（2025八年级下·浙江·专题练习）如图，在四边形中，，边上存在一点M，点P、Q分别为上的两动点，当点P从点D匀速运动到点C时，点Q恰好从点M运动到点A．记，，已知． (1)判断是否为定值，并说明理由． (2)当P为中点时，． ①求的长； ②当点P、Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形，求x的值． 【答案】(1)是定值，见解析 (2)①，；②或 【分析】本题考查了四边形的动点问题，平行四边形的性质，掌握平行四边形的判定和性质上关键； （1）根据题意得，当时，点在点处，点恰好在点处，即． （2）①当为中点时，，当时，则，即； ②由题意得：，，，，然后分四种情况讨论，当四边形为平行四边形时，当四边形为平行四边形时，当四边形为平行四边形时，当四边形为平行四边形时，分别根据平行四边形的性质，列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵当点从点匀速运动到点时，点恰好从点运动到点， ∴当时，点在点处，点恰好在点处， ∴． 即． ∴的长为定值． （2）解：①∵当为中点时，， ∴， ∴， ∴， ∵当点从点匀速运动到点时，点恰好从点运动到点， ∴当时，， ∴； ②由题意得：，，，， 第一种情况：当四边形为平行四边形时， ∴， ∴， ∴． 第二种情况：当四边形为平行四边形时， ∴， ∴， ∴（不合题意，舍去）． 第三种情况：当四边形为平行四边形时， ∴， ∴， ∴． 第四种情况：当四边形为平行四边形时， ∴， ∴， ∴（不合题意，舍去）． 综上所述，当点与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，的值为或． 24．（2025八年级下·浙江·专题练习）如图，在四边形中，O为坐标原点，点分别位于x轴，y轴正半轴上，，D为边的中点，E为边上一点（不与点重合），且，分别与相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，当为等腰三角形时，求的长； (3)当E为中点时，连结并延长交于点G，若四边形与的面积差为4，请在横线上直接写出点G的坐标______． 【答案】(1)见解析 (2)或4 (3) 【分析】（1）只需证明即可． （2）分三种情况求解即可． （3）先证明，得到，确定直线的解析式为，设点，则，其中， 求得直线的解析式，根据面积差为4，得到求解即可． 【详解】（1）证明：∵D是中点 ∴四边形是平行四边形． （2）由（1）得四边形是平行四边形， ， ∴．设， （I）当时，则， ， ， 根据题意，得， 解得：， 故； （II）当时，则，则， 根据题意，得， 解得：，（均舍去）； （III）当时，则 ，故， 根据题意，得， 解得：，（舍去）， 故， 所以或4． （3）如图，，点D是的中点，点E是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则直线的解析式为， 设点，则，其中， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为， ∵点是直线上的点， ， 解得． ，， 且四边形与的面积差为4， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ， 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，待定系数法，熟练掌握平行四边形的判定，灵活进行等腰三角形的边的分类待定系数法是解题的关键． 25．（2025八年级下·浙江·专题练习）如图，中，，，，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿方向运动，当点到达点时，点也停止运动，以，为邻边作平行四边形，，分别交于点，，设点运动的时间为秒． (1) ______ 含t的代数式表示； (2)如图，连接，，，当时，求的面积； (3)如图，连接，，点关于直线的对称点为点，若落在的内部不包括边界时，则的取值范围为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据几何动点的速度和时间可得结论； （2）根据四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，可得，再证明，最后利用三角形的面积公式可解答； （3）先证明，再计算两个边界点时点的值；①如图，点与重合，②如图4，在斜边上，由此可得结论. 【详解】（1）解：在中，， ， 由题意，， ， 故答案为：； （2）解：如图中， 四边形是平行四边形， ∴，， ∵， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∵，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图2，， ， 在中，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 如图，点与重合， 由对称得：， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 如图4，在斜边上，此时， 由对称得：， ， 是等边三角形， ， ， ， 的取值范围为. 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论，学会取边界点解决实际问题，属于中考压轴题. 题型八 利用平行四边形的性质与判定证明 26．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，连结对角线，点E和点F是外两点，且在直线上，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，证明是解题的关键． （1）由，推导出，由平行四边形的性质得，，则，即可根据“”证明，得，，所以，则四边形是平行四边形； （2）设点到的距离为，由，，，求得，则，所以，则，求得． 【详解】（1）证明：点和点是直线上的两点且， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形． （2）解：设点到的距离为， ，，， ， ， ， ， ， ． 27．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，点E是边的中点，连接并延长与的延长线交于F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理； （1）根据得到，即可得到，从而得到，即可得到，即可得到证明； （2）根据得到，结合即可得到，从而得到为等边三角形，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， 点是边的中点， ， 在和中， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ， ， ， 平分， ， ∴是等边三角形， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ∴的面积． 28．（2022·浙江温州·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，分别以，为边向外构造等边和等边，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若与交于点G，且，，，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质和等边三角形的性质证得，即，进而利用平行四边形的判定即可得证； （2）先求得，进而求得，，过G作于H，利用等腰直角三角形的性质和含角的直角三角形的性质求得、、，进而求得即可得所求面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵等边和等边， ∴，，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 过G作于H， 在中，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质、平行线的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关的知识的联系与运用，证得是解答 的关键． 29．（23-24八年级下·内蒙古·阶段练习）如图，中，点O是边上一个动点，过O作直线．设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)当点O在边上运动到什么位置时，四边形是平行四边形？并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，勾股定理，平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识． （1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出，，由等腰三角形的判定即可得出答案； （2）利用勾股定理可求得的长，再结合（1）的结论可求得的长； （3）根据平行四边形的判定得出即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴； （2）∵、分别平分和， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （3）当点O在边上运动到中点时，四边形是平行四边形．理由如下： 连接、，如图所示： 当O为的中点时，， ∵， ∴四边形是平行四边形． 题型九 利用平行四边形性质与判定的应用 30．（2022·浙江金华·一模）如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆固定在垂直于地面的墙壁上，支杆与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形始终是平行四边形． (1)若遮阳蓬完全展开时，长2米，在与水平地面呈的太阳光照射下，在地面的影子有______米（影子完全落在地面） (2)长支杆与短支杆的长度比（即与的长度比）是______． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）过C作与水平地面呈的直线交的延长线于K，分别过K、E作，，可得四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求得的长即可； （2）由题意可知：支杆的竖直长度都一样，且竖直的支点为长支杆的中点，即G为的中点、B为的中点，然后说明的长度为长支杆的一半即可． 【详解】（1）解：过C作与水平地面呈的直线交的延长线于K，分别过K、E作，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即在地面上影子的长为2米； 故答案为：2； （2）解：由题意可知：支杆的竖直长度都一样，且竖直的支点为长支杆的中点，即G为的中点、B为的中点， 当遮阳棚完全闭合后，每根杆的长度都一样，即的长度为长支杆的一半， ∵为长支杆的长度，为短支杆的长度．∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 31．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，注意能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意掌握分类讨论思想的应用．设经过秒，根据平行四边形的判定可得当时，以点，，，为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵平行四边形是平行四边形， ∴，， ∵要使以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴只需， ∵点从点到点需要，点从到需要， 分为以下情况： 当时，即点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； ②当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：； ③当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； 综上所述，． 32．（24-25八年级下·全国·期末）如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数为，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量的长度为．活动分享时，小明说：“的长度就是篮板的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由． 【答案】我认为小明的说法正确，见解析 【分析】本题主要查了平行四边形的判定和性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 根据题意可得，再由，得到，继而得到四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】解：我认为小明的说法正确．理由如下： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴的长度就是篮板的高度． 33．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）如图1，点O是等边的内心，的两边分别交于点D、E，且，若等边的边长为6，求四边形周长的最小值． （2）为培养学生劳动实践能力，某学校计划在校东南角开辟出一块平行四边形劳动实践基地．如图2所示，劳动实践基地为，点O为其对称中心，且，点E、F分别在边上，四边形为学校划分给九年级的实践活动区域，九年级学生打算在四边形区域种植两种不同的果蔬，即在种植不同的果蔬．在点O处安装喷灌装置，且喷灌张角为，即，并修建三条小路．现要求规划的三条小路总长最小的同时，果蔬种植区域四边形的面积最大．求满足规划要求的三条小路总长的最小值，并计算同时满足四边形面积最大时学校应开辟的劳动实践基地的面积．    【答案】（1）；（2） 【分析】（1）连接，．先证明，得出，，则四边形的周长，当最小时，四边形 周长最小，求出此时的即可解答； （2）分别以、所在直线为对称轴，作点关于的对称点为，关于的对称点为，连接，交于点，交于点，连接、、、、、，得出周长的最小值是，再利用平行四边形的判定与性质求得的面积． 【详解】解：（1）连接，，如图，   点是等边的内心， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 四边形的周长， ， 当时，最小，四边形周长最小，此时， 四边形的周长的最小值； （2）分别以、所在直线为对称轴，作点关于的对称点为，关于的对称点为，连接，交于点，交于点，连接、、、、、，如图，    则，． 两点之间线段最短， ， 周长， 周长的最小值是， 、关于对称，、关于对称， ，，，，， ． ， ， ， 过点作，   ，， ． 即、、和的最小值为， 此时， 的面积为， 当的面积最小时，四边形的面积最大， 在中，，上的高（定角定高模型）， 当时，的面积最小，且最小值为， 四边形的面积最大值， 当，时，，得四边形为平行四边形， 此时平行四边形的面积四边形的面积． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，利用轴对称的性质添加辅助线是解题的关键． 题型十 利用平行线间的距离解决问题 34．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）定义：若端点均在四边形边上的线段平分该四边形的面积，则我们称这条线段为该四边形的等积线．例：如图1，在中，连结，我们可以利用“夹在两条平行线间的垂线段相等”，结合“等底（同底）等高的两个三角形面积相等”来说明与的面积相等，即是的等积线． (1)请利用图1完成例的证明． (2)如图2，在四边形中，连结．已知点与上一点的连线段是四边形的等积线，过点作的平行线，交于点，若，求的长度． (3)如图3，在（2）的条件下，延长，交于点．若，请在图中找出一条不同于的四边形的等积线，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)线段是四边形的等积线 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，平行线间的距离； （1）过作于，过作于，由得到，，根据夹在两条平行线间的垂线段相等得到，再根据等底（同底）等高的两个三角形面积相等证明即可． （2）连接，，过作于，过作于，由得到，再根据线段是四边形的等积线，得到，即可推出，表示出面积即可得到； （3）连接，，由和得到四边形是平行四边形，推出，得到，即可得到，线段是四边形的等积线． 【详解】（1）解：过作于，过作于， ∵， ∴，， ∵夹在两条平行线间的垂线段相等， ∴， ∵，， ∴，即是的等积线． （2）解，连接，，过作于，过作于， ∵， ∴， ∵线段是四边形的等积线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）连接，， 由（2）可得， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵线段是四边形的等积线， ∴， ∴， ∴线段是四边形的等积线． 35．（23-24八年级下·浙江金华·期末）（1）如图1，直线，点在直线上，点在直线上，直接写出和的面积关系． （2）把图2的四边形改成一个以为一边的三角形，并保持面积不变，请画出图形，保留作图痕迹． （3）如图3，在中，分别是上任意一点，连接分别是、的中点，求证：． 【答案】（1）相等；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了平行线间的距离的应用，三角形中位线的性质； （1）利用平行线间的距离相等解决问题； （2）连接，过点作交的延长线于点，即为所求； （3）如图，取的中点，连接，，．利用三角形中位线定理以及等高模型解决问题． 【详解】（1）∵，它们边上的高线长都等于与之间的距离 （2）如图（作法不唯一） （3）如图，取的中点，连接，， 是的中点，是的中点 ∴ 36．（23-24七年级下·湖南永州·期末）课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用 阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为．    (1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：； (2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：； (3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平行线间的距离，三角形的面积，掌握转化思想是解题的关键． （1）根据“等底等高”可得，从而，即可得证结论； （2）分别过点C、B作边的垂线，记高分别、，根据三角形的面积可得出，从而得证结论； （3）连接，由得到，从而，进而得到，，由（1）可得，由（2）可得，因此，，进而，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴（等底等高）， ∴， ∴ （2）证明：如图3分别过点C、B作边的垂线，记高分别、，    则， ∴， ∴． （3）解：连接，    ∵， ∴， ∴（两个三角形等高，面积之比等于底边之比）， ∵， ∴， ∵， ∴由（1）可知， ∵由（2）可知，，即， ∴， ∴ ∴． 题型十一 与平行四边形有关的压轴问题 37．（2025八年级下·浙江·专题练习）已知在平行四边形中，动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图1，在运动过程中，若，平分，求的度数． (2)如图2，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在之间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，当运动时间为 秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． (3)如图3，连结并延长与的延长线交于点F，平分交于E点，当，时，求的长 (4)如图4，在（1）的条件下，连并延长与的延长线交于点F，若，求的面积． 【答案】(1) (2)4.8或8或9.6 (3)的长为8 (4) 【分析】（1）根据平行四边形的性质、角平分线的定义得到，得到，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质解答； （2）分、、、四种情况，根据平行四边形的性质定理列方程，解方程得到答案； （3）延长交于点，证明，可得，，再证明，得，然后利用线段的和差即可解决问题； （4）作，求出，根据三角形面积公式得到，得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：四边形是平行四边形， ， ， 要使四边形是平行四边形，则， 设运动时间为秒，根据题意可知：，，， ①当时，， ， 解得，不合题意； ②当时，， ， 解得，； ③当时，， ， 解得，； ④当时，， ， 解得，； 综上所述，当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形； （3）解：如图3，延长交于点， 四边形是平行四边形， ，， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 的长为8； （4）解：如图2，作于， 是等边三角形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积计算，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握三角形的面积公式、平行四边形的性质和判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 38．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图1，在中，，，．是线段上的动点，是射线上的动点，且．设． (1)当在线段上时，用含的代数式表示线段的长． (2)如图2，是的中点，以，为邻边构造． ①当点与点重合时，连结，求的长． ②当点落在的边上时，求的长． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据勾股定理得，由已知得，再代入即可； （2）①根据平行四边形的性质得，，进一步推出，证明四边形是平行四边形，得，继而得到，代入计算即可； ②分两种情况：当点在边上时，当点在边上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即线段的长为； （2）①∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形 ∴， ∵与重合，， ∴， ∴， ∴； ②如图，当点在边上时， 延长至点，使，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在边上时， 延长至点，使，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查勾股定理，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 39．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，在平行四边形中，，，，点为中点，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当在上运动时，用含的式子表示出线段的长 ； (2)当点落在平行四边形的某边中点上时，求的值（用含t的代数式表示）； (3)作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和平行四边形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了几何中的动点问题，涉及平行四边形的性质、轴对称，勾股定理等知识点，根据题意画出几何图是解题关键． （1）根据即可求解； （2）分两种情况，分别构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． （3）根据题意画出满足条件的两种情况，即可求解； 【详解】（1）解：∵点E为中点，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：当点Q落在的中点时，如图所示作，延长，作，交点为K． ∵，， ∴， 当点Q落在的中点时，如图所示作，延长，作，交点为F． ∵，可得， ∴ ∵，， ∴ ， ∴， 综上：的值为或 （3）解：∵，，， ∴， 当点在线段上运动时，点与点重合，如图所示： 若点落在上， ∵点E、点F关于直线对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴此时， 故当时，满足题意； 当点与点重合时， ， 解得：， 综上所述：或． 40．（24-25八年级下·浙江温州·期中）同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为． (1)如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为平行四边形． (2)如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长． (3)改变点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证利是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． （3）分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． （3）解：①当时，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴； ②当时，如图，设与交于点，作， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握折叠的性质，平行四边形的性质，是解题的关键． $$