专题04 因式分解（考题猜想，11大题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（浙教版2024）

专题04 因式分解（11大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 选用合适的方法因式分解 · 题型二 探究因式分解错误原因 · 题型三 利用因式分解解决整除问题 · 题型四 利用十字相乘法因式分解 · 题型五 利用分组分解法因式分解 · 题型六 已知因式分解的结果求参数 · 题型七 因式分解在有理数简算中的应用 · 题型八 利用因式分解求代数式的值 · 题型九 与因式分解有关的新定义问题 · 题型十 与因式分解有关的阅读理解问题 题型一 选用合适的方法因式分解 1．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）因式分解： (1)； (2)． 2．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）因式分解： (1) ； (2)． 3．（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）因式分解： (1) (2) 4．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）分解因式： (1)； (2)； (3) 题型二 探究因式分解错误原因 5．（21-22七年级下·河北邯郸·期末）下面是乐乐同学把多项式分解因式的具体步骤： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 (1)事实上，乐乐的解法是错误的，造成错误的原因是________． (2)请给出这个问题的正确解法． 6．（2023七年级下·浙江·专题练习）在讲提取公因式一课时，张老师出了这样一道题目：把多项式分解因式，并请甲、乙两名同学在黑板上演算． 甲演算的过程： ． 乙演算的过程： ． 他们的计算正确吗？若错误，请你写出正确答案． 7．（2025·宁夏银川·一模）因式分解： 小刚的解题过程如下： 第一步 ……第二步 ……第三步 ①请问小刚同学第一步变形用到的乘法公式是 （写出用字母 a，b表示的乘法公式）； ②小颖说小刚的步骤中有错误，小刚第 步出现了错误； ③请用小刚的思路给出这道题的正确解法． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）某同学对多项式进行因式分解的过程如下： 设，原式． (1)该同学因式分解的结果是否正确？若不正确，请直接写出因式分解的最后结果； (2)请仿照以上方法对多项式进行因式分解． 题型三 利用因式分解解决整除问题 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）对于任意自然数是否能被24整除？ 10．（2023·河北廊坊·一模）发现：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． 验证： (1)的结果是3的几倍？ (2)设偶数为，试说明比大3的数与的平方差能被3整除． 延伸： (3)比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6整除的余数足几呢？请说明理由． 11．（21-22八年级下·甘肃兰州·期中）通过计算说明能被整除． 题型四 利用十字相乘法因式分解 12．（24-25八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 13．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）【学习材料】十字相乘法 对于形如的关于x、y二次三项式进行因式分解时，把项系数a分解成两个因数，的积，即，把项系数c分解成两个因数，的积，即，并使正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果： 例：分解因式： 解：如图1，其中，，而， 而对于形如的关于x、y的二元二次式也可以用两次十字相乘法来分解．如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果，，；即第1、2列、第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则：则原式 例：分解因式： 解：如图3，其中，，，而，，， 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)通过十字相乘法分解因式得，则______ ，______ ． (2)分解因式：______ ； ______ ； (3)若且，求代数式的值． 题型五 利用分组分解法因式分解 14．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）在“因式分解探究性学习” 中，甲同学进行了以下因式分解： （分成两组） （直接提公因式） 我们发现，要将多项式分解因式，可以先把它的四项分成两组，分别进行因式分解得：．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题： (1)尝试填空： ； (2)解决问题：已知，求的值； (3)拓展应用：已知三角形的三边长分别为，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 15．（2024七年级下·浙江·专题练习）因式分解：． 16．（2023八年级上·全国·专题练习）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．经过小组合作交流，得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 小明由此体会到，对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的．这种方法可以称为分组分解法．(温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止) 请你也试一试利用分组分解法进行因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 17．（23-24八年级上·福建福州·期中）阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”：        例2：“三一分组”： ；         解：原式    解：原式          ．        ． 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)①填空： 解：原式 ＝____________ ②因式分解：； (2)已知，且，求的值． 题型六 已知因式分解的结果求参数 18．（20-21七年级下·浙江绍兴·期中）在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值． 19．（21-22七年级上·浙江温州·期中）仔细阅读下面倒题．解答问题： 例题：已知二次三项式，分解因式后有一个因式是（x+3）．求另一个因式以及m的值． 解：方法：设另一个因式为（x+n）， 得＝（x+3）（x+n）， 则． ∴，解得． ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21． 仿照以上方法解答：已知二次三项式分解因式后有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及a的值． 20．（21-22九年级下·浙江宁波·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求，的值． (3)在（2）的条件下，把多项式因式分解． 题型七 因式分解在有理数简算中的应用 21．（21-22八年级上·全国·课后作业）简便计算： （1）； （2）； （3）． 22．（20-21七年级下·浙江·期末）简便计算 （1）      （2） 23．（24-25八年级下·江西抚州·期中）利用分解因式计算：． 题型八 利用因式分解求代数式的值 24．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 25．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）我们知道：可以通过用不同的方法求解长方形面积，从而得到一些数学等式．如图1可以表示的数学等式：，请完成下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式： ； (2)从图3可知，因式分解： ； (3)结合图4，已知，，求的值． 26．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知a、b、x、y满足，，求： (1)； (2)． 题型九 与因式分解有关的新定义问题 27．（23-24七年级下·浙江金华·期中）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知29是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式__________； （2）若可配方成（、为常数），则__________； 【探究问题】 （3）已知，则__________； （4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （5）已知实数、满足，求的最小值． 28．（23-24八年级上·河南南阳·期末）若定义一种运算：，如：． (1)计算：． (2)将（1）计算所得的多项式分解因式； (3)若，求（1）中计算所得的多项式的值． 29．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和积数”． (1)若，，求a，b的“和积数”c； (2)若，，求a，b的“和积数”c； (3)已知，且a，b的“和积数”，求b（用含x的式子表示）并计算的最小值． 30．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）定义新运算：． 例如：，． (1)计算；计算； (2)已知，，说明：的值与m无关； (3)已知，记，，试比较M，N的大小． 题型十 与因式分解有关的阅读理解问题 31．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值； (3)的三边满足，判断的形状并说明理由． 32．（23-24七年级下·浙江·阶段练习）请阅读下面材料，并解答问题： 阅读材料：利用多项式乘法法则可知，所以因式分解． 例如：． 利用以上的因式分解可以求出方程的解，如：，所以可知或者，解得或者，所以方程的解是或者． (1)因式分解： ①． ②． (2)利用因式分解求方程的解． 33．（22-23八年级上·山东淄博·期中）阅读下列材料： 常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为： 分组 组内分解因式 整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边a、b、c满足，判断的形状并说明理由． 34．（2023七年级下·江苏·专题练习）阅读与思考：利用多项式的乘法法则可推导得出： 因式分解与整式乘法是方向相反的变形，利用这种关系可得：利用这个式子可以将某些二次项系数为的二次三项式分解因式，例如：将式子分解因式．分析：这个式子的常数项，一次项系数这是一个型的式子，∴，∴ (1)填空：式子的常数项_______，一次项系数___________，分解因式______． (2)若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值是______． 题型十一 因式分解的应用 35．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法： (1)观察老师的演算后，你认为___________同学的想法是对的； (2)已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解； (3)若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值． 36．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的全等小长方形，且．（以上长度单位：） (1)用含m，n的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和； (2)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______ (3)若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值． 37．（22-23八年级上·吉林长春·期末）已知，，为的三边，且满足，试判定的形状． 38．（23-24九年级下·浙江台州·开学考试）【问题提出】如何分解因式：？ 【问题解决】某数学“探究学习”小组对以上问题进行了探究： 甲同学： 乙同学： 【方法总结】将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题： （1）分解因式：； （2）已知的三边长，，满足，判断的形状并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图是一块长方形试验田，已知长为，长为，当时，长方形试验田的面积为，当时，长方形试验田的面积为(，均为正整数)，且满足，请求出和的值． 39．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）美术课上，每位同学都拿到一张正方形纸片，该纸片可看作由4张正方形，1张正方形，4张长方形拼成．小吴同学设计了形如字母Z的图标（如图）．    (1)当，时，求阴影部分的面积； (2)用含，的代数式表示阴影部分的面积； (3)小吴研究发现：设计图中阴影部分的面积正好等于4张正方形的面积之和，试探索此时，之间的数量关系． 40．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）【学习材料】拆项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，再分组进行因式分解． 例1因式分解： 解：原式 例2因式分解： 解：原式 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)因式分解： ； (2)运用拆项法因式分解：； (3)化简，并求该式的最小值． $$专题04 因式分解（11大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 选用合适的方法因式分解 · 题型二 探究因式分解错误原因 · 题型三 利用因式分解解决整除问题 · 题型四 利用十字相乘法因式分解 · 题型五 利用分组分解法因式分解 · 题型六 已知因式分解的结果求参数 · 题型七 因式分解在有理数简算中的应用 · 题型八 利用因式分解求代数式的值 · 题型九 与因式分解有关的新定义问题 · 题型十 与因式分解有关的阅读理解问题 题型一 选用合适的方法因式分解 1．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解： （1）利用提公因式法即可求解； （2）利用公式法即可求解； 熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． 2．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）因式分解： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）此多项式有公因式，直接提取公因式即可分解； （2）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有项，可采用完全平方公式继续分解． 【详解】（1）解： （2） ． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 3．（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解即可； （2）先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】（1） （2） 【点睛】本题考查了提取公因式与公式法分解因式，掌握因式分解的基本方法是解题的关键．要灵活使用各种方法对多项式进行因式分解．一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 4．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）分解因式： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接提取公因式即可； （2）先把多项式进行变形，然后提取公因式即可； （3）先提取公因式，然后根据公式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解，注意因式分解要彻底． 题型二 探究因式分解错误原因 5．（21-22七年级下·河北邯郸·期末）下面是乐乐同学把多项式分解因式的具体步骤： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 (1)事实上，乐乐的解法是错误的，造成错误的原因是________． (2)请给出这个问题的正确解法． 【答案】(1)分解因式不彻底，没有把公因式提尽（意思对即可） (2) 【分析】（1）观察同学的解法，找出错误原因即可； （2）写出正确解法即可． 【详解】（1）解：造成错误的原因是：分解因式不彻底，没有把公因式提尽； （2）解：      ． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 6．（2023七年级下·浙江·专题练习）在讲提取公因式一课时，张老师出了这样一道题目：把多项式分解因式，并请甲、乙两名同学在黑板上演算． 甲演算的过程： ． 乙演算的过程： ． 他们的计算正确吗？若错误，请你写出正确答案． 【答案】不正确； 【分析】首先得出公因式，再利用提取公因式法分解因式得出即可． 【详解】解：不正确； ． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键． 7．（2025·宁夏银川·一模）因式分解： 小刚的解题过程如下： 第一步 ……第二步 ……第三步 ①请问小刚同学第一步变形用到的乘法公式是 （写出用字母 a，b表示的乘法公式）； ②小颖说小刚的步骤中有错误，小刚第 步出现了错误； ③请用小刚的思路给出这道题的正确解法． 【答案】①；②二；③，过程见解析 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知平方差公式是解题的关键．①根据平方差公式求解即可；②第二步中前面的符号在去括号时没有变号；③先利用平方差公式分解因式，再提取公因式，据此去括号合并同类项即可得到答案． 【详解】解：①观察可知第一步变形用到的乘法公式是平方差公式，即； ②观察解题过程可知，第二步出现了错误，原因是前面的符号在去括号时没有变号； ③ ． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）某同学对多项式进行因式分解的过程如下： 设，原式． (1)该同学因式分解的结果是否正确？若不正确，请直接写出因式分解的最后结果； (2)请仿照以上方法对多项式进行因式分解． 【答案】(1)不正确，最后结果应为 (2) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是要注意完全平方公式的应用和换元法的应用． （1）根据完全平方公式可知可继续分解，从而可得答案； （2）设，整理后再根据完全平方公式把原式进行分解即可． 【详解】（1）解：不正确，正确解答如下： 设， 原式 ； （2）解：设， 则 ． 题型三 利用因式分解解决整除问题 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）对于任意自然数是否能被24整除？ 【答案】能 【分析】本题考查了平方差公式的应用，根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】解：原式 ． ∵n为自然数， ∴能被24整除， 故对于任意自然数能被24整除． 10．（2023·河北廊坊·一模）发现：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． 验证： (1)的结果是3的几倍？ (2)设偶数为，试说明比大3的数与的平方差能被3整除． 延伸： (3)比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6整除的余数足几呢？请说明理由． 【答案】(1)15倍 (2)见解析 (3)3，理由见解析 【分析】（1）计算出的结果，即可； （2）由题意得偶数为，比偶数大3的数为，再利用平方差公式计算，即可； （3）设这个数为n，比n大3的数为，再利用平方差公式计算，即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴是3的15倍； （2）解：由题意得偶数为，比偶数大3的数为， ∴ ∵为整数， ∴能被3整除； （3）解：余数为3，理由如下： 设这个数为n，比n大3的数为， 所以被6整除余3，余数为3． 【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 11．（21-22八年级下·甘肃兰州·期中）通过计算说明能被整除． 【答案】见解析 【分析】先利用有理数的乘方的逆运算将进行变形，再提取公因子，由此即可得出答案． 【详解】解：因为 ， 所以能被整除． 【点睛】本题考查了有理数的乘方的逆运算、乘法的分配律，掌握有理数的乘方的逆运算是解题关键． 题型四 利用十字相乘法因式分解 12．（24-25八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分解因式—十字相乘法， （1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； 掌握十字相乘法分解因式的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：； （2）①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：． 13．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）【学习材料】十字相乘法 对于形如的关于x、y二次三项式进行因式分解时，把项系数a分解成两个因数，的积，即，把项系数c分解成两个因数，的积，即，并使正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果： 例：分解因式： 解：如图1，其中，，而， 而对于形如的关于x、y的二元二次式也可以用两次十字相乘法来分解．如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果，，；即第1、2列、第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则：则原式 例：分解因式： 解：如图3，其中，，，而，，， 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)通过十字相乘法分解因式得，则______ ，______ ． (2)分解因式：______ ； ______ ； (3)若且，求代数式的值． 【答案】(1)2，5 (2)； (3) 【分析】（1）根据十字相乘法分解因式； （2）根据十字相乘法分解因式； （3）先把条件分解因式，再把分式化简求值． 【详解】（1）解：， ，， 故答案为：2，5； （2）解： ， 故答案为：；； （3）解：且， ， ， ， 【点睛】本题考查了因式分解，理解题中的十字相乘法是解题的关键． 题型五 利用分组分解法因式分解 14．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）在“因式分解探究性学习” 中，甲同学进行了以下因式分解： （分成两组） （直接提公因式） 我们发现，要将多项式分解因式，可以先把它的四项分成两组，分别进行因式分解得：．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题： (1)尝试填空： ； (2)解决问题：已知，求的值； (3)拓展应用：已知三角形的三边长分别为，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)三角形是等腰三角形，理由见解析 【分析】此题考查了用分组分解法分解因式，熟练掌握分组分解法是解题的关键． （1）利用分组分解法解答即可； （2）利用分组分解法得到，再整体代入即可； （3）利用分组分解法得到，则或，即可得到结论． 【详解】（1）解： ， 故答案为： （2）， ∵， ∴原式； （3）三角形是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ， ， ∴或， ∴三角形是等腰三角形． 15．（2024七年级下·浙江·专题练习）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，掌握分组分解法分解因式是解题的关键．利用因式分解-分组分解法和完全平方公式，进行分解即可解答． 【详解】解： ． 16．（2023八年级上·全国·专题练习）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．经过小组合作交流，得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 小明由此体会到，对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的．这种方法可以称为分组分解法．(温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止) 请你也试一试利用分组分解法进行因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分组分解法因式分解； （1）先分组，然后根据提公因式法与平方差公式因式分解即可求解； （2）先分组，然后根据提公因式法以及完全平方公式因式分解，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ． 17．（23-24八年级上·福建福州·期中）阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”：        例2：“三一分组”： ；         解：原式    解：原式          ．        ． 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)①填空： 解：原式 ＝____________ ②因式分解：； (2)已知，且，求的值． 【答案】(1)①，，，②； (2) 【分析】（1）根据题意的分组分解法直接分组，再提取公因式或利用公式法因式分解即可得到答案； （2）将两多项式相减得到a，b，c的关系，代入等式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， 解：①原式 ； ②原式 ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴， ∴； 【点睛】本题考查利用公式法，提取公因式法结合分组分解法因式分解，解题的关键是读懂题意的分组分解法，合理分组． 题型六 已知因式分解的结果求参数 18．（20-21七年级下·浙江绍兴·期中）在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值． 【答案】， 【分析】根据题意甲看错了b，分解结果为，可得a系数是正确的，乙看错了a，分解结果为，b系数是正确的，在利用因式分解是等式变形，可计算的参数a、b的值． 【详解】解：∵，小明看错了b， ∴， ∵，小张看错了a， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查因式分解的系数计算，解题的关键在于弄清哪个系数是正确的． 19．（21-22七年级上·浙江温州·期中）仔细阅读下面倒题．解答问题： 例题：已知二次三项式，分解因式后有一个因式是（x+3）．求另一个因式以及m的值． 解：方法：设另一个因式为（x+n）， 得＝（x+3）（x+n）， 则． ∴，解得． ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21． 仿照以上方法解答：已知二次三项式分解因式后有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及a的值． 【答案】4x﹣1，a＝﹣3 【分析】根据题意设另一个因式为（4x+b），关键多项式乘以多项式展开，合并同类项后得出，再得出方程组，最后求出方程组的解即可． 【详解】解：∵二次项系数为8，一个因式2x﹣3的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数为8÷2＝4，则可设另一个因式为（4x+b）， 得， ∴， 解得：， 即， 则另一个因式为4x﹣1，a＝﹣3． 【点睛】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，解二元一次方程组等知识点，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键． 20．（21-22九年级下·浙江宁波·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求，的值． (3)在（2）的条件下，把多项式因式分解． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）将代入多项式并使多项式等于，求； （2）将和分别代入多项式并使多项式等于，解二元一次方程组，求，； （3）将（2）中解得的，的值代入多项式，然后进行因式分解即可． 【详解】（1）解：是多项式的一个因式， 当时，，解得； （2）和是多项式的两个因式， ，解得． ，． （3）解：由（2）得即为， ． 【点睛】本题考查因式分解的创新应用，熟练掌握因式分解的原理是解题的关键． 题型七 因式分解在有理数简算中的应用 21．（21-22八年级上·全国·课后作业）简便计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）45.8；（2）80；（3）4000000 【分析】（1）利用平方差公式即可求解； （2）提取8，故可求解； （3）利用完全平方公式即可求解． 【详解】（1） = =10×4.58 =45.8； （2） = =8×10 =80 （3） = = =20002 =4000000． 【点睛】此题主要考查因式分解的应用，解题的关键是熟知提公因式法、公式法分解因式． 22．（20-21七年级下·浙江·期末）简便计算 （1）      （2） 【答案】（1）；（2）90000 【分析】（1）先利用同底数幂的乘法变形，再利用平方差公式计算； （2）利用完全平方公式变形计算． 【详解】解：（1） = = = = =； （2） = = =90000 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，平方差公式，完全平方公式，计算时注意乘法公式的应用． 23．（24-25八年级下·江西抚州·期中）利用分解因式计算：． 【答案】 【分析】本题考查分解因式，平方差公式，将原式中24变形为，再利用平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： ． 题型八 利用因式分解求代数式的值 24．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)17 【分析】本题考查了完全平方公式以及提公因式法分解因式，求代数式的值，熟练掌握分解因式的方法，是解题的关键． （1）提公因式得出，再代入求出即可； （2）将变形为，再代入求出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 25．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）我们知道：可以通过用不同的方法求解长方形面积，从而得到一些数学等式．如图1可以表示的数学等式：，请完成下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式： ； (2)从图3可知，因式分解： ； (3)结合图4，已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查乘法公式、因式分解与几何图形结合的应用，熟练掌握乘法公式与几何图形的面积关系是解题的关键． （1）求出长方形中每个小长方形（或正方形）的面积即可得； （2）求出长方形中每个小长方形（或正方形）的面积，得出公式即可得； （3）补全图形并求出长方形中每个小长方形（或正方形）的面积得出，整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，求出长方形中每个小长方形（或正方形）的面积，如图： 则可得：， 故答案为：； （2）根据题意，求出长方形中每个小长方形（或正方形）的面积，如图： 则可得：， 则， 故答案为：； （3）根据题意，补全图形并求出长方形中每个小长方形（或正方形）的面积，如图： 则可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴． 26．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知a、b、x、y满足，，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得出，计算求得即可； （2）首先将原式重新分组进行因式分解，进而代入，求出即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴ 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，提取公因式法分解因式以及代数式求值，正确分组分解因式是解题关键． 题型九 与因式分解有关的新定义问题 27．（23-24七年级下·浙江金华·期中）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知29是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式__________； （2）若可配方成（、为常数），则__________； 【探究问题】 （3）已知，则__________； （4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （5）已知实数、满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）当时，为“完美数”，理由见解析；（5）1 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，完全平方公式的应用，利用完全平方公式分解因式，熟练的掌握完全平方公式的特点与性质是解本题的关键． （1）根据“完美数”可得答案； （2）利用完全平方公式可得，从而可得答案； （3）利用完全平方公式把左边分解因式，再利用非负数的性质可得答案； （4）利用完全平方公式可得，再利用新定义可得答案； （5）由条件可得，再结合非负数的性质可得最小值． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）； ∴，， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∴，， 解得：，， ∴； （4）当时，为“完美数”，理由如下： ， 当时，，则，为完美数； （5）∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时， 有最小值，最小值为1. 28．（23-24八年级上·河南南阳·期末）若定义一种运算：，如：． (1)计算：． (2)将（1）计算所得的多项式分解因式； (3)若，求（1）中计算所得的多项式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算，整式混合运算，分解因式，代数式求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据定义，列式进行计算即可； （2）先提公因式，然后再用平方差公式分解因式； （3）将整体代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意，得： ； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴． 29．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和积数”． (1)若，，求a，b的“和积数”c； (2)若，，求a，b的“和积数”c； (3)已知，且a，b的“和积数”，求b（用含x的式子表示）并计算的最小值． 【答案】(1)； (2)或； (3)，有最小值为． 【分析】（1）把，代入c中求值即可； （2）利用完全平方公式求出，得到的值，进而得到c的值； （3）把a，c的值代入，化简得，分和两种情况讨论，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴a，b的“和积数”； （2）解：∵，且，， ∴, ∴． ∴或； 即或； （3）解：由题意，， ∵， ， ∴． ①若，式子变为． ∴b为任何数，不存在最小值； ②若，又， ∴， ∴， ∴ ． ∴当时，有最小值为． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并灵活运用． 30．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）定义新运算：． 例如：，． (1)计算；计算； (2)已知，，说明：的值与m无关； (3)已知，记，，试比较M，N的大小． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据定义新运算计算即可； （2）由，可得①，②，则①＋②×2得，即可得到结论； （3）先求得，，进一步得到，由得到，，又由即可得到结论． 【详解】（1）解：， ； （2）∵，， ∴，， ∴①，②， ①＋②×2得，， ∴的值与m无关； （3），， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即． 【点睛】此题考查了新定义运算，用到了有理数混合运算、整式的乘法和因式分解等知识点，读懂题意，正确运算是解题的关键． 题型十 与因式分解有关的阅读理解问题 31．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值； (3)的三边满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)为等腰三角形，理由见解析． 【分析】（）利用分组分解法解答即可求解； （）利用分组分解法对代数式因式分解，再把已知条件代入因式分解后的结果中计算即可求解； （）先对移项，再利用分组分解法对左式因式分解，得到，由三角形三边性质可得，即得，据此即可求解； 本题考查了因式分解分组分解法及其应用，掌握分组分解法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， ； （2）解： ， ， ； （3）解：为等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的三边长， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 32．（23-24七年级下·浙江·阶段练习）请阅读下面材料，并解答问题： 阅读材料：利用多项式乘法法则可知，所以因式分解． 例如：． 利用以上的因式分解可以求出方程的解，如：，所以可知或者，解得或者，所以方程的解是或者． (1)因式分解： ①． ②． (2)利用因式分解求方程的解． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题是阅读材料问题，考查了因式分解的应用和解一元一次方程，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据材料方法进行因式分解即可； （2）利用因式分解先将方程左边化为两个一元一次方程，可得方程的解． 【详解】（1）解：①， ②； （2）， ， 或， 或， 方程的解是或． 33．（22-23八年级上·山东淄博·期中）阅读下列材料： 常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为： 分组 组内分解因式 整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边a、b、c满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)为等腰三角形，理由见详解 【分析】本题考查分组分解法及三角形形状的判定，正确分组是求解本题的关键． （1）先分组，再用公式分解． （2）先因式分解，再求a,b,c的关系，判断三角形的形状 【详解】（1）解： ； （2）解：为等腰三角形． 理由：∵， ∴， ∴， ∴或， 三边都大于0， ∴． ∴，即， ∴为等腰三角形． 34．（2023七年级下·江苏·专题练习）阅读与思考：利用多项式的乘法法则可推导得出： 因式分解与整式乘法是方向相反的变形，利用这种关系可得：利用这个式子可以将某些二次项系数为的二次三项式分解因式，例如：将式子分解因式．分析：这个式子的常数项，一次项系数这是一个型的式子，∴，∴ (1)填空：式子的常数项_______，一次项系数___________，分解因式______． (2)若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值是______． 【答案】(1)，，，，； (2)或 【分析】（1）利用题中给出的例子即可得出，，即； （2）根据、、和分别求出对应的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：，， ∴， 故答案为：，，，，； （2）解：当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则； 综上所示：或； 故答案为：或 【点睛】本题考查的是因式分解的十字相乘法，解题关键是掌握十字相乘法的运算规律． 题型十一 因式分解的应用 35．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法： (1)观察老师的演算后，你认为___________同学的想法是对的； (2)已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解； (3)若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值． 【答案】(1)小磊； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是理解题意，掌握题目提供的方法． （1）根据题目中提供的信息进行解答即可； （2）根据老师提供的方法进行解答即可； （3）根据题意列出竖式，得出，，根据多项式能因式分解成与另一个完全平方式，得出，求出m、n的值． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ， ∴该整式一定有一个因式，没有因式是， ∴小磊同学的想法是对的； （2）解：根据题意得： ∴将多项式进行因式分解为： ． （3）解：根据题意得： ∴，， ∵多项式能因式分解成与另一个完全平方式， ∴是一个完全平方式， ∴， ∴，． 36．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的全等小长方形，且．（以上长度单位：） (1)用含m，n的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和； (2)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______ (3)若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是因式分解的应用，完全平方公式的变形求值，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键． （1）根据整式的加减混合运算法则计算； （2）根据图形的面积的不同的表示方法解答； （3）变形完全平方公式，代入计算即可． 【详解】（1）解：图中一条竖直裁剪线长为，一条水平裁剪线长为， ∴所有裁剪线（虚线部分）长度之和为：； （2）解：大长方形的面积由长乘宽可得，由九个小图形之和可得， ∴ 即可以因式分解为：， 故答案为：； （3）解：依题意得，，， ， ， ． ∵， ∴． 37．（22-23八年级上·吉林长春·期末）已知，，为的三边，且满足，试判定的形状． 【答案】直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形，理由见解析 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理、因式分解、等腰三角形的定义，熟练掌握这些性质是解题的关键．首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 则解得：或， 即为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形． 38．（23-24九年级下·浙江台州·开学考试）【问题提出】如何分解因式：？ 【问题解决】某数学“探究学习”小组对以上问题进行了探究： 甲同学： 乙同学： 【方法总结】将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题： （1）分解因式：； （2）已知的三边长，，满足，判断的形状并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图是一块长方形试验田，已知长为，长为，当时，长方形试验田的面积为，当时，长方形试验田的面积为(，均为正整数)，且满足，请求出和的值． 【答案】（1）；（2）为等腰三角形，理由见解析；（3）， 【分析】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，等腰三角形的定义． （1）根据分组分解法分解因式即可； （2）利用分组分解法，解方程得出，即可得出为等腰三角形； （3）根据题意列出方程，结合实际意义，解方程即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， ∵，，均为正数， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （3）解：∵长为，长为， ∴长方形试验田的面积为， 当时，长方形试验田的面积为，当时，长方形试验田的面积为， 即，， 根据题意可得：， 整理得出：， ∵为正整数， ∴， ∴， ∵，均为正整数， ∴或， 分别求解，得出或（舍去）， 故，． 39．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）美术课上，每位同学都拿到一张正方形纸片，该纸片可看作由4张正方形，1张正方形，4张长方形拼成．小吴同学设计了形如字母Z的图标（如图）．    (1)当，时，求阴影部分的面积； (2)用含，的代数式表示阴影部分的面积； (3)小吴研究发现：设计图中阴影部分的面积正好等于4张正方形的面积之和，试探索此时，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的乘法与图形的面积，有理数的混合运算； （1）根据各个阴影三角形的面积和即可； （2）由（1）的方法，用含有、b的代数式表示阴影部分的面积即可； （3）由阴影部分的面积正好等于张正方形的面积之和，得出等式，再进一步化简即可． 【详解】（1）解：当，时， （2） （3） （或写，或） 40．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）【学习材料】拆项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，再分组进行因式分解． 例1因式分解： 解：原式 例2因式分解： 解：原式 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)因式分解： ； (2)运用拆项法因式分解：； (3)化简，并求该式的最小值． 【答案】(1) (2) (3)，最小值为 【分析】本题考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是理解题意，掌握相关的运算法则． （1）根据例1的思路计算即可； （2）根据例2的思路计算即可； （3）根据题意对分子进行因式分解，然后再约分化简，最后利用材料中的方法进行配方即可求解． 【详解】（1）解： （2） （3） 当时，最小值为． $$