专题6 数列新定义常用解题方法（5大题型）-2025年新高考数学19题新定义培优教程

专题6 数列新定义常用解题方法 【题型归纳目录】 题型一：反证法 题型二：递推法 题型三：数学归纳法 题型四：放缩法 题型五：分析法 【典型例题】 题型一：反证法 【例1】（2025·北京朝阳·二模）已知是无穷正整数数列，且对任意的，其中表示有穷集合S的元素个数． (1)若，求的所有可能取值； (2)求证：数列中存在等于1的项； (3)求证：存在，使得集合为无穷集合． 【变式1-1】（2025·陕西榆林·二模）已知数列为有穷数列，且每一项均为正整数．若数列满足如下两个性质，则称数列为的阶数列： ①；②对于，使得的正整数对有个． (1)写出所有5的2阶数列； (2)若存在的6阶数列，证明：； (3)若存在2025的阶数列，求的最大值． 【变式1-2】（2025·陕西·三模）在人工智能的训练过程中，数据预处理至关重要．现有一种“数据筛选器”工具，其功能为：对于一个无穷非负正整数数列，通过操作删去其中除以余数为的所有项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非负正整数数列．设数列的通项公式，，通过“数据筛选器”工具对数列进行操作后得到，设前项和为． (1)求； (2)是否存在不同的正整数，，，使得，，成等差数列？若存在，求出所有的；若不存在，说明理由； (3)若，，对数列进行操作得到，将数列中下标除以4余数为0，1的项删掉，剩下的项按从小到大排列后得到，再将的每一项都加上自身项数，最终得到，证明：每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和． 题型二：递推法 【例2】（2025·高三·河北邢台·开学考试）定义：若数列满足，则称数列为“线性数列”. (1)已知为“线性数列”，且，证明：数列为等比数列. (2)已知. （i）证明：数列为“线性数列”. （ii）记，数列的前项和为，证明：. 【变式2-1】二阶递推公式特征方程是一种常见的数学方法，主要用于求解二阶线性递推数列的通项公式.例如：一个数列满足递推关系，且，为给定的常数（有时也可以是，为给定的常数），特征方程就是将上述的递推关系转化为关于的二次特征方程：，若，是特征方程的两个不同实根，我们就可以求出数列的通项公式，其中和是两个常数，可以由给定的，（有时也可以是，）求出. (1)若数列满足：，，，求数列的通项公式； (2)若，试求的十分位数码（即小数点后第一位数字），并说明理由； (3)若定义域和值域均为的函数满足：，求的解析式 【变式2-2】（2025·高三·江西赣州·期中）若数列满足关系式，且，则称数列为“线性可控数列”. (1)若数列为“线性可控数列”，求的取值范围； (2)若数列的前项和，判断数列是否为“线性可控数列”，并说明理由； (3)若无穷数列为“线性可控数列”，且数列的前项和为，证明：当时，. 题型三：数学归纳法 【例3】对于有穷正整数列，记，若数列满足：，使得，则称为平滑数列. (1)已知数列，判断是否为平滑数列，并说明理由； (2)若平滑数列是公差为的等差数列，求的最大值； (3)若平滑数列的项数为5，求的最大值. 【变式3-1】（2025·江苏·二模）若无穷数列满足：，，，则称为“均值递减数列”. (1)已知无穷数列的前项和为，若为“均值递减数列”，求证：，； (2)若数列的通项公式，判断是否为“均值递减数列”，并说明理由； (3)若两个正项数列和均为“均值递减数列”，证明：数列也为“均值递减数列”. 【变式3-2】已知数列是等差数列，设的公差为d，前n项和为，， (1)若，，求：数列的前n项和 (2)若数列中的任意项均为正整数，无穷等比数列满足，公比，求：数列中所有项的和 (3)在（2）的条件下，设数列的通项公式为（其中且），设数列{an}的前n项和为，试比较与的大小，并证明你的结论 题型四：放缩法 【例4】定义：，，已知数列满足． (1)若，，求，的值； (2)若，，使得恒成立．探究：是否存在正整数，使得，若存在请求出所有的，若不存在请说明理由； (3)若数列为正项数列，且集合的元素个数为有限个，证明：不存在实数，使得． 【变式4-1】（2025·广东揭阳·二模）已知数列中每一项（其中，）构成数组.定义运算如下：，其中当时，，；当时，，；用表示层嵌套运算，.现取，记中相邻两项组成的数对满足的数对个数为. (1)写出，，以及，； (2)证明：数列是等比数列； (3)若，证明：对任意的都有. 【变式4-2】定义集合与实数间的运算符号*，设 为集合， 为正整数， 且 ，例如 ，.已知 以此类推，令 ，例如 . (1)求 ； (2)若 ，求 的通项公式； (3)设 的前 项和为，试证明 . 【变式4-3】约数，又称因数．定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数．设正整数共有个正约数，记作，，，，． (1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值； (2)当时，若，，，构成等比数列，求与满足的关系式（用和表示）； (3)记，求证：． 题型五：分析法 【例5】设数列是一个无限数列，若对于一个给定的正整数，不等式对每一个大于的正整数都成立，则称是阶友好数列. (1)若，证明：是2阶友好数列，但不是1阶友好数列. (2)若是1阶友好数列，为数列的前项和. 证明：①； ②. 【变式5-1】（2025·高三·江西·期末）定义：若正项数列满足，则称数列具有性质A. (1)已知，证明：数列具有性质A； (2)已知正项数列的前n项和为，且满足，对任意不相等的正整数 存在唯一实数λ，使得 （i）求数列的通项公式； （ii）数列是否具有性质A，若是，请给出证明；若不是，请说明理由. 【强化训练】 1．对于数列，若存在正整数，使得从数列的第项起，恒有成立，则称数列为第项起的周期为的周期数列． (1)已知数列满足，且，证明：3是的一个周期． (2)已知数列（其中，不全为0），，证明：存在正整数，使得时，成立，并求出满足条件的一个周期． (3)已知数列，求证：不是周期数列． 2．已知数列是无穷数列，且，的值为在，，，，中所出现的次数，记为数列的前项和. (1)若，求； (2)若，求数列的通项公式，并求的值； (3)是否只有有限个数会在数列中出现无限次，请说明理由. 3．约数，又称因数，它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数．设正整数有个正约数，即为，，，，． (1)若，求数列的所有项的和； (2)若，求证：； (3)当时，若是的所有正约数的一个排列，那么，，，，是否是另一个正整数的所有正约数的一个排列？并证明你的结论． 4．在高等数学中对于二阶线性递推式求数列通项，有一个特殊的方法特征根法：我们把递推数列的特征方程写为①，若①有两个不同实数根，则可令；若①有两个相同的实根，则可令，再根据求出，代入即可求出数列的通项. (1)斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因出自于意大利数学家斐波那契的一道兔子繁殖问题而得名.斐波那契数列指的是形如的数列，这个数列的前两项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和，请求出斐波那契数列的通项公式； (2)已知数列中，数列满足，数列满足，求数列的前项和. 5．（2025·北京顺义·一模）已知数列：各项为正整数.对任意正整数，定义：，，其中表示有限集中的元素个数，规定. (1)对于数列：1，3，2，2，写出，，，的值； (2)若数列：满足. （i）若，令，当时，求； （ii）求证：. 6．已知数列满足，且. (1)证明：； (2)证明：. 7．（2025·高三·广东·期末）“外观数列”是一类很有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是对它前一项的“外观描述”.例如：取数列第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项即为11；将第二项11描述为“2个1”，则第三项即为21；将第三项21描述为“1个2，1个1”，则第四项即为1211；将第四项1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项即为111221，将第五项111221描述为“3个1，2个2，1个1”，则第六项即为312211，……，这样每次从左往右将连续相同的数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的每一项.若数列是外观数列，将第n项的各位数字中相同数字连续出现的最大次数记为.例如：外观数列的首项为1时， (1)若数列是首项为12的外观数列，请直接写出以及. (2)设集合，若外观数列的首项. （i）探究的最大值，并证明你的结论； （ii）求所有的，使得存在有 8．（2025·陕西咸阳·一模）若无穷数列满足：对于，，其中A为常数，则称数列为“A数列”． (1)若等比数列为“A数列”，求的公比q； (2)若数列为“A数列”，且，． ①求证：； ②若，且是正项数列，，求满足不等式的的最小值． 9．定义首项为1且公比为正数的等比数列为“－数列”． (1)已知等比数列满足：，，判断数列是否为“－数列”．如果是，说明理由； (2)已知数列满足：，，其中为数列的前项和． ①求数列的通项公式； ②设为正整数，若存在“－数列”，对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值． 10．（2025·广东惠州·一模）约数，又称因数．它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数．设正整数共有个正约数，记为，，…，，（）． (1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值； (2)当时，若，，…，构成等比数列，求证：； (3)记，求证：． 11．给定整数，对于数列定义数列如下：，，其中表示，这个数中最小的数．记． (1)若数列为①1，0，0，1；②1，2，3，4，5，6，7，分别写出相应的数列； (2)求证：若，则有； (3)若，常数使得恒成立，求的最大值． 12．（2025·湖北·三模）已知数列，其中，且.若数列满足，当时，或，则称数列为数列的“调节数列”.例如，数列的所有“调节数列”为；或者；或者；或者. (1)直接写出数列的所有“调节数列”； (2)若数列满足通项，将数列的“调节数列”中的递增数列记为，数列中的各项和为，求所有的和； (3)已知数列满足：，若数列的所有“调节数列”均为递增数列，求所有符合条件的数列的个数. 13．（2025·湖南湘潭·三模）已知为正整数且，为非零实数，数列满足，且，，…，是公差为1的等差数列，，，…，是公差为的等差数列，，，…，是公差为的等差数列，以此类推． (1)当，时，求； (2)求的最小值（用含的代数式表示）； (3)记除以的整数部分为，余数为，求的通项公式（用含，，，，的代数式表示）． 14．（2025·北京东城·二模）已知有穷整数数列，满足.记集合为，或，或，.若数列，则称数列是的“恒元”. (1)已知数列，请写出中所有满足的数列； (2)当时，是否存在数列满足，且是的“恒元”?若存在，请写出一个满足条件的数列；若不存在，请说明理由； (3)当数列是的“恒元”时，若是个连续正整数的一个排列，求数列的项数的最大值. 15．（2025·甘肃白银·模拟预测）定义：，其中． (1)求证：当时，（当且仅当时取等号）． (2)对于任意正整数，是否存在正整数，使得不等式恒成立？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． (3)若正项数列满足，，，求证：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6 数列新定义常用解题方法 【题型归纳目录】 题型一：反证法 题型二：递推法 题型三：数学归纳法 题型四：放缩法 题型五：分析法 【典型例题】 题型一：反证法 【例1】（2025·北京朝阳·二模）已知是无穷正整数数列，且对任意的，其中表示有穷集合S的元素个数． (1)若，求的所有可能取值； (2)求证：数列中存在等于1的项； (3)求证：存在，使得集合为无穷集合． 【解析】（1）因为，则中与相等的数有且仅有2个，除去本身，中与相等的数有且只有1个， ∴或． 当时，；当时，． 所以的所有可能取值为2，3． （2）假设中不存在等于1的项,则． 又，所以． 当时，由，则存在，使得． 所以，与假设矛盾． 当时，由，则存在，使得,且中有且只有一项与相等. ①若中有两项为2，一项为3， 则，与假设矛盾． ②若中有两项为2，一项为， 则，与假设矛盾． ③若中有一项为2，两项为3， 则，与假设矛盾． ④若中有一项为2，两项为， 则，矛盾． 综上，假设不成立，所以中存在等于1的项． （3）假设均为有限集合， 当时，, 则当时，（*） 令,下证当时，. 否则假设，则,与（*）矛盾. ∴当时，, ∵已知数列是无穷正整数数列， 所以存在，使得集合为无穷集合，矛盾， ∴假设错误，∴存在，使得集合为无穷集合． 【变式1-1】（2025·陕西榆林·二模）已知数列为有穷数列，且每一项均为正整数．若数列满足如下两个性质，则称数列为的阶数列： ①；②对于，使得的正整数对有个． (1)写出所有5的2阶数列； (2)若存在的6阶数列，证明：； (3)若存在2025的阶数列，求的最大值． 【解析】（1）由题意得，则，或，或，或，或. 故所有5的2阶数列有：数列3，1，1和数列2，2，1和数列1，2，1，1. （2）因为对于，使得的正整数对有个， 且存在的6阶数列，所以，得. ①当时，因为存在的6阶数列，所以数列中各项均不相同，则. ②当时，因为存在的6阶数列，所以数列各项中必有不同的项，所以. 若，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，所以，不符合题意，所以. ③当时，因为存在的6阶数列，所以数列各项中必有不同的项，所以. 综上所述，若存在的6阶数列，则. （3）若数列中的每一项都相等，则， 若，所以数列中存在大于1的项， 若末项，将拆分成个1后变大，所以此时不是最大值，所以. 当时，若，交换的顺序后变为，所以此时不是最大值，所以. 若，所以，所以将改为，并在数列末尾添加一项1，则变大， 所以此时不是最大值，所以. 若数列中存在相邻的两项，设此时中有项为2， 将改为2，并在数列末尾添加项1后，的值至少变为，所以此时不是最大值， 所以数列的各项只能为2或1，所以数列为的形式. 设其中有项为2，有项为1， 因为存在2025的阶数列，所以， 所以， 即当且仅当时，取最大值为512578. 所以，若存在2025的阶数列，的最大值为512578. 【变式1-2】（2025·陕西·三模）在人工智能的训练过程中，数据预处理至关重要．现有一种“数据筛选器”工具，其功能为：对于一个无穷非负正整数数列，通过操作删去其中除以余数为的所有项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非负正整数数列．设数列的通项公式，，通过“数据筛选器”工具对数列进行操作后得到，设前项和为． (1)求； (2)是否存在不同的正整数，，，使得，，成等差数列？若存在，求出所有的；若不存在，说明理由； (3)若，，对数列进行操作得到，将数列中下标除以4余数为0，1的项删掉，剩下的项按从小到大排列后得到，再将的每一项都加上自身项数，最终得到，证明：每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和． 【解析】（1）由，知：， 中除了除以4余2，其余各项除以4余数均不为2， 故，，故， 故，故， 故当时，， 当时，. 而，故. （2）存在不同的正整数，，，使得，，成等差数列， 不妨设，，，，． 即，， 两边同除以得，， 设，，，，则． 当时，为奇数，为偶数，矛盾； 故不存在这样的正整数组. （3）由题意，， 则，，， 所以保留，则，，， 又当代入上式，得 ，，，，． 将，删去，得到，则，，． ，，． 即：，，，即：． 每个大于1的正奇数、、、， 若正奇数为，则取， 则； 若正奇数为，则取， 则； 若正奇数为，则取， 则； 若正奇数为，则取， 则 综上，对任意大于1的正奇数，每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和， 故原命题得证． 题型二：递推法 【例2】（2025·高三·河北邢台·开学考试）定义：若数列满足，则称数列为“线性数列”. (1)已知为“线性数列”，且，证明：数列为等比数列. (2)已知. （i）证明：数列为“线性数列”. （ii）记，数列的前项和为，证明：. 【解析】（1）因为为“线性数列”，所以， 所以，即，解得， 所以， 所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）（i）因为，则， 令，即，解得，所以， 因为， 所以，所以数列为“线性数列”； （ii）因为，则， 所以 ， 因为，，所以， 所以. 【变式2-1】二阶递推公式特征方程是一种常见的数学方法，主要用于求解二阶线性递推数列的通项公式.例如：一个数列满足递推关系，且，为给定的常数（有时也可以是，为给定的常数），特征方程就是将上述的递推关系转化为关于的二次特征方程：，若，是特征方程的两个不同实根，我们就可以求出数列的通项公式，其中和是两个常数，可以由给定的，（有时也可以是，）求出. (1)若数列满足：，，，求数列的通项公式； (2)若，试求的十分位数码（即小数点后第一位数字），并说明理由； (3)若定义域和值域均为的函数满足：，求的解析式 【解析】（1）由题意可得，解得或， 所以， 代入，可得， 解得, 故 （2）由于是方程的两个实数根， 考虑且， 所以， 故为正整数，从而， 注意到，故的十分位数码为9. （3）考虑则， 方程两个根为 由于函数的值域恒为正，所以, 又,故 【变式2-2】（2025·高三·江西赣州·期中）若数列满足关系式，且，则称数列为“线性可控数列”. (1)若数列为“线性可控数列”，求的取值范围； (2)若数列的前项和，判断数列是否为“线性可控数列”，并说明理由； (3)若无穷数列为“线性可控数列”，且数列的前项和为，证明：当时，. 【解析】（1）由“线性可控数列”的定义可知，， 解得.因为，所以，即. （2）数列不是“线性可控数列”，理由如下： 令，得. 当时，也符合）， 所以，所以. 要使为“线性可控数列”，则需， 即恒成立. 因为 ，显然不可能恒小于等于零， 所以不能恒成立， 所以数列不是“线性可控数列”. （3）由题可知，且， 则，即.① 假设，得，所以，所以. 因为，所以，所以由①式可得 ，得， 即.② 同理由，得③ 因为，所以，所以，所以. 因为，所以， 所以②式可得， 即，所以，④ 所以②和④式矛盾，所以假设不成立，所以不能同时大于2. 当时，再假设，则由④式， 因为不能大于2，所以，即. 这与第一次的假设又会相矛盾，所以，且 所以当时， ，所以. 题型三：数学归纳法 【例3】对于有穷正整数列，记，若数列满足：，使得，则称为平滑数列. (1)已知数列，判断是否为平滑数列，并说明理由； (2)若平滑数列是公差为的等差数列，求的最大值； (3)若平滑数列的项数为5，求的最大值. 【解析】（1）是平滑数列，不是平滑数列. 理由： 对于，又.符合平滑数列的定义. 对于，考虑到， 因此9无法被表示. （2）的最大值为2. 先证.假设：因为，于是. 则，即. 因为，于是. 所以 ， 可以得到，与假设矛盾，因此假设不成立，即. 再证可以取到2：构造数列.以下用归纳法证明对于任意， 该数列是平滑数列.根据等差数列的性质，有. 首先，由（1）知为平滑数列. 假设为平滑数列，即， 使得 那么对于，由归纳假设，此时若令，可以表示中的任意数； 若令，可以表示中的任意数. 因为时，，所以上述两集合包含了从1到中的所有自然数. 所以为平滑数列.因此合题意. 所以的最大值为2. （3）的最大值为121.先证. 对于平滑数列，对于， 考虑的所有可能情况，共有种. 当时，此时和为零，于是非零的情况至多有242种. 又对于每一组，都可取与之对应， 此时， 因此和为正数的情况至多有种. 因此. 再证可取到121. 构造数列.由于及上面的论证， 只需证明对于不同的各不相同. ，设，有， 若满足， 即. 若，此时不是3的倍数，但是3的倍数，矛盾.因此； 若，此时不是9的倍数，但是9的倍数，矛盾.因此； 同理可证均等于零. 因此若，必有.得证. 【变式3-1】（2025·江苏·二模）若无穷数列满足：，，，则称为“均值递减数列”. (1)已知无穷数列的前项和为，若为“均值递减数列”，求证：，； (2)若数列的通项公式，判断是否为“均值递减数列”，并说明理由； (3)若两个正项数列和均为“均值递减数列”，证明：数列也为“均值递减数列”. 【解析】（1）根据为“均值递减数列”得化简可得答案； （2）判断出的单调性，得，设前项和为，利用归纳法可得答案； （3）设的前项和为，的前项和为，设的前项和为，利用归纳法可得答案. 【详解】（1）法一： ； 法二： 为“均值递减数列”，关于单调递减， 即关于单调递减，， ； （2）法一： 设的前项和为， 令，则，判别式小于零，所以递减， 因此是“均值递减数列”； 法二： 易知时，单调递减；时， 单调递增且时，当时，单调递减且， 且计算易得， 设前项和为，归纳假设，，时， ，即，即，， ，即，，时，成立. 而成立，对且恒成立， 也有， 即为“均值递减数列”； （3）法一： 设依题意，均为递减数列， 而， 相乘展开得， 由于，，则由补充不等式有， 所以 ， 求和得，由（1）的结论知，， 所以， 于是再由（1）的结论即可知是“均值递减数列”； 法二： 设的前项和为，的前项和为， 和均为均值递减数列， 由（1）知对恒成立， 由①②知，，记的前项和为， 证对，，时不等式显然成立， 设当，时，成立， 即，， ， ， ，即时，不等式也成立， 对恒成立， 也为“均值递减数列”. 【变式3-2】已知数列是等差数列，设的公差为d，前n项和为，， (1)若，，求：数列的前n项和 (2)若数列中的任意项均为正整数，无穷等比数列满足，公比，求：数列中所有项的和 (3)在（2）的条件下，设数列的通项公式为（其中且），设数列{an}的前n项和为，试比较与的大小，并证明你的结论 【解析】（1）因为，所以的终边在第二，三象限及的负半轴上， 又，所以的终边在第三象限， 所以 ， 又，解得， 所以只有，其余各均大于0， 当时，， 当时， ， 所以的前n项和； （2）由，可得， 所以，所以， 因为数列中的任意项均为正整数，所以，所以或， 又，所以，，所以，所以， 所以数列中所有项的和为； （3）由（2）可得，，所以， ， ，因此要比较与的大小， 可先比较与的大小， 取时，有，取时，， 由此推测①， 若①式成立，则由对数函数的性质可得： 当时，，当时，. 下面用数学归纳法证明①式， （i）当时已验证①式成立， （ii）假设当时，①式成立， 即， 那么当时， ， 又， 所以， 所以， 这就是说①式当时成立， 由（i）（ii）知①式对任何正整数均成立. 题型四：放缩法 【例4】定义：，，已知数列满足． (1)若，，求，的值； (2)若，，使得恒成立．探究：是否存在正整数，使得，若存在请求出所有的，若不存在请说明理由； (3)若数列为正项数列，且集合的元素个数为有限个，证明：不存在实数，使得． 【解析】（1）依题意，，显然； 故； ， 即或，则或 （2），            对恒成立， ∴，， 又 ， 此即表明或 ， ①若，则且， 的集合为 ②若，且 时， 当 ， 且时，. 的集合为 且 ③时， ， ， ， 当， 且 时， . 的集合为 且 （3），； 由， ①若，则，， 所以， 对任意，取（[x]表示不超过的最大整数）， 当时，； ②若，设，， 所以当时，， 对任意，取（[x]表示不超过的最大整数）， 当时，； 故不存在实数，使得． 【变式4-1】（2025·广东揭阳·二模）已知数列中每一项（其中，）构成数组.定义运算如下：，其中当时，，；当时，，；用表示层嵌套运算，.现取，记中相邻两项组成的数对满足的数对个数为. (1)写出，，以及，； (2)证明：数列是等比数列； (3)若，证明：对任意的都有. 【解析】（1）由题意得， 所以． （2）由题得， 所以，，，， 因此中的数对必由中的数对经运算得到， 中的数对必由中的0或数对经运算得到， 因为是数组，其中有一半的项为0，即个0，经过两次运算能在中产生个数对， 因为中数对的个数为个，经过两次运算能在中产生个数对， 所以，即， 所以， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列． （3）当为奇数时，， 累加得， 因为，所以（为奇数）． 当为偶数时，， 累加得， 因为，所以（为偶数）． 所以， 故． 因为当且为偶数时， . ①当时，； ②当且为奇数时， ； ③当且为偶数时，因为对任意的都有， 所以 综上所述，对任意的都有． 【变式4-2】定义集合与实数间的运算符号*，设 为集合， 为正整数， 且 ，例如 ，.已知 以此类推，令 ，例如 . (1)求 ； (2)若 ，求 的通项公式； (3)设 的前 项和为，试证明 . 【解析】（1）由题意可知，，， 所以，. （2）显然数列的通项公式为，集合中有1个元素，中有2个元素，…，中有个元素， 前个集合中的元素个数为，所以集合中的第一个数是数列的第项，为，集合中共有项， 即, 因为，且 且， 设中的元素为中的第项，则，即， 则， 当为奇数时，，， 当为偶数时，，， 即. （3）由（2）可知，， 当为偶数时， ， 设，为偶数， ， 两式相减， 得， 所以，此时，为偶数， 单调递增，当时，取得最小值2， 所以当为偶数时，， 当为奇数时， ， 设 ， 两式相减得 所以， 此时，单调递增，当时，取得最小值2， 所以为奇数时， 综上可知，. 【变式4-3】约数，又称因数．定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数．设正整数共有个正约数，记作，，，，． (1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值； (2)当时，若，，，构成等比数列，求与满足的关系式（用和表示）； (3)记，求证：． 【解析】（1）当时，正数的4个正约数构成等比数列，比如1，2，4，8为8的所有正约数，即．又比如1，3，9，27为27的所有正约数，即也可以，125，343，…都可以，但注意，64，256…不行． （2）法一：由题意可设，累乘得：， 即，． ，，，共个数均为的约数，又共个数为的所有约数， 必有，，，（※）， 又由解得，代入（※）即得：． 法二：由题可知，，，，因为，依题意可知， 所以，化简可得，所以，因为，所以，因此可知是完全平方数．由于是整数的最小非1因子，是的因子，且，所以，所以，，，为，，，，所以． （3）证明；由题意知，，， 所以， 由题可得：，，， 所以由放缩和裂项相消得， ， 因为，，所以，所以，即． 题型五：分析法 【例5】设数列是一个无限数列，若对于一个给定的正整数，不等式对每一个大于的正整数都成立，则称是阶友好数列. (1)若，证明：是2阶友好数列，但不是1阶友好数列. (2)若是1阶友好数列，为数列的前项和. 证明：①； ②. 【解析】（1）因为，所以要证是2阶友好数列， 只需证不等式对每一个大于2的正整数都成立， 只需证 对每一个大于2的正整数都成立， 只需证，即对每一个大于2的正整数都成立， 这是显然成立的，所以是2阶友好数列. 又，，，所以，所以不是1阶友好数列. （2）因为是1阶友好数列，所以对每一个大于1的正整数都成立， 即对每一个大于1的正整数都成立. 令. ①由上述过程，知，所以， 所以. ②要证， 只需证， 只需证 ， 即证（*）. 当为奇数时，即证， 由，得，，，，此时（*）式显然成立. 当为偶数时，即证， 由，得，，，，此时（*）式也显然成立， 所以. 【变式5-1】（2025·高三·江西·期末）定义：若正项数列满足，则称数列具有性质A. (1)已知，证明：数列具有性质A； (2)已知正项数列的前n项和为，且满足，对任意不相等的正整数 存在唯一实数λ，使得 （i）求数列的通项公式； （ii）数列是否具有性质A，若是，请给出证明；若不是，请说明理由. 【解析】（1）易知，，要证数列具有性质A， 即证， 即证， 即证， 即证，显然成立， 故数列具有性质A. （2）（i）将互换可得，所以， 令，得，所以， 故数列是等差数列，且，则， 所以. （ii）记，又，故， 故，故是单调递增的等差数列， 故， 故 ，故数列具有性质A. 【强化训练】 1．对于数列，若存在正整数，使得从数列的第项起，恒有成立，则称数列为第项起的周期为的周期数列． (1)已知数列满足，且，证明：3是的一个周期． (2)已知数列（其中，不全为0），，证明：存在正整数，使得时，成立，并求出满足条件的一个周期． (3)已知数列，求证：不是周期数列． 【解析】（1）由于，① ，② 由②①得，， 即， 又，则，故3是的一个周期． （2）由递推和，， 得，，，． （i）若，则，，，，． （ii）若，则，，，，． 无论何种情况，都有，． 由递推关系得，会逐渐进入循环，对的自然数，恒有． 故是的一个周期． （3）假设是周期数列，则至少存在，，不妨设，使得． 由递推关系得， 整理得． 再进一步得到，如此进行下去，最后得到． 设，则，得，但这不可能． 接下来证明：，． 设，， 则； ； 以此类推，得到，． 于是有，（） 若存在，不妨设，其中s，t都是非负整数， 则式（）经过s步倒推后，得到，则，得． 由于，得， 但经过递推后得到都是有理数，两者矛盾． 故，，假设不成立，故不是周期数列. 2．已知数列是无穷数列，且，的值为在，，，，中所出现的次数，记为数列的前项和. (1)若，求； (2)若，求数列的通项公式，并求的值； (3)是否只有有限个数会在数列中出现无限次，请说明理由. 【解析】（1）将数列列举可得，依次为，，，，，；，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.不难发现，所以； （2）由，所以，， 设， 则当第一次出现在中时，其后一项一定出现一个，因为，，，，已经出现在数列中，所以此前出现的次数为，故下一项为， 所以，， ； （3）是 ①首先证明某些整数会出现无限次， （反证法）假设没有整数会在中出现无限次，那么数列中会包含任意大的整数， 每个大于的整数第一次出现时，设，则， 所以会出现无限次，与假设矛盾，故某些整数会出现无限次； ②现在证明每个整数最多出现次，（且）即至少出现次的整数， （反证法）假设有无数多个数在中出现无限次，设第一次出现次的数，则在这之前，每次出现都是跟在一个出现过次的整数之后，因此，在第次出现之前，一定已经有至少个数至少出现次，这与假设矛盾，故每个整数最多出现次 综上所述，只有有限个数会在数列中出现无限次. 3．约数，又称因数，它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数．设正整数有个正约数，即为，，，，． (1)若，求数列的所有项的和； (2)若，求证：； (3)当时，若是的所有正约数的一个排列，那么，，，，是否是另一个正整数的所有正约数的一个排列？并证明你的结论． 【解析】（1）的所有正约数为1，3，，…，，共项，它们构成等比数列， 于是数列的所有项的和， 所以， 两式相减，得， 解得． （2）由题意知，，，且，，，，， 所以 ． 因为，，， 所以． 因为，，则，所以． （3）当时，若是的所有正约数的一个排列，则，，，，不是另一个正整数的所有正约数的一个排列． 下面用反证法证明． 证明：假设，，，，是另一个正整数的所有正约数的一个排列． 由1是任意正整数的最小正约数及知， ，其中， 由，，则， 所以2不是的正约数，所以是奇数，且任意偶数都不是的正约数， 所以为奇数，，故是偶数， 又是的正约数，故是偶数， 所以的所有正约数中最大的两个为，，即，， 则有， 可知的最大正约数为，由任意正整数的最大正约数是其本身，故， 因为有个正约数，且，即至少有3个正约数1，，， 则的次大正约数，且， 则至少存在一个除本身外大于的正约数， 而由是奇数，有除1外的最小正约数， 可得， 则有， 即奇数的所有正约数中，不存在除本身外大于的正约数， 这与“至少存在一个除本身外大于的正约数”矛盾． 因此假设不成立， 即，，，，不是另一个正整数的所有正约数的一个排列． 4．在高等数学中对于二阶线性递推式求数列通项，有一个特殊的方法特征根法：我们把递推数列的特征方程写为①，若①有两个不同实数根，则可令；若①有两个相同的实根，则可令，再根据求出，代入即可求出数列的通项. (1)斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因出自于意大利数学家斐波那契的一道兔子繁殖问题而得名.斐波那契数列指的是形如的数列，这个数列的前两项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和，请求出斐波那契数列的通项公式； (2)已知数列中，数列满足，数列满足，求数列的前项和. 【解析】（1）易知斐波那契数列对应的特征方程为，解得两个实根分别为， 令，代入可得，解得， 所以斐波那契数列的通项公式为 （2）易知数列对应的特征方程为，解得， 所以令， 代入，解得，所以， 所以，所以是公差为1的等差数列，， 所以， 所以 5．（2025·北京顺义·一模）已知数列：各项为正整数.对任意正整数，定义：，，其中表示有限集中的元素个数，规定. (1)对于数列：1，3，2，2，写出，，，的值； (2)若数列：满足. （i）若，令，当时，求； （ii）求证：. 【解析】（1），，，； （2）（i）令，则，根据的定义，可知数列中有两项等于1， 根据数列的增减性质，可得；令，则， 可知数列中有四项小于等于2，可得， 以此类推可得得前项为， ，其中. （ii）法一：用数学归纳法证明对成立，（**） 当时，令，，， （**）式左边=， （**）式右边=， （**）式左边=（**）式右边，（**）式对成立； 假设时，（**）式成立， 即① 当时，（**）式左边= 设，令， 则,，……，，， （**）式左边=， （**）式右边= 根据①可知（**）式对成立，由数学归纳法原理可知（**）成立. （法二）设数列中等于的项分别有个，则 ，，……，，， 从而,，……，， 注意到 等式成立. 6．已知数列满足，且. (1)证明：； (2)证明：. 【解析】（1）由题意可得.构造函数，x， 则，在上单调递增. 所以，即任意时，. ，，且， 且，故. 所以，. （2）下面用数学归纳法证明. ①当时，成立；当时，成立； ②假设当时，，， 则当时，， 且，所以， 综合①②可知，对任意，成立. ，， 由，则，即， ，数列为递增数列， ，即. 当时，，即， 当时，， 所以，对，得证. 7．（2025·高三·广东·期末）“外观数列”是一类很有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是对它前一项的“外观描述”.例如：取数列第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项即为11；将第二项11描述为“2个1”，则第三项即为21；将第三项21描述为“1个2，1个1”，则第四项即为1211；将第四项1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项即为111221，将第五项111221描述为“3个1，2个2，1个1”，则第六项即为312211，……，这样每次从左往右将连续相同的数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的每一项.若数列是外观数列，将第n项的各位数字中相同数字连续出现的最大次数记为.例如：外观数列的首项为1时， (1)若数列是首项为12的外观数列，请直接写出以及. (2)设集合，若外观数列的首项. （i）探究的最大值，并证明你的结论； （ii）求所有的，使得存在有 【解析】（1）． （2）（ⅰ）方法一：当时，，故． 下证． 反证法：若存在，使得，记， 由于，故．定义是最高位到最低位依次为到的十进制数， 不妨设，由的性质知存在，使得，因此的十进制表示中至少出现了4个连续的． 若，则的十进制表示中至少出现了个连续数字，故，这与的定义矛盾． 若，则的十进制表示中至少出现了1000个连续数字，亦矛盾，因此． 综上所述，． 方法二：当时，，故． 下面用数学归纳法证明：． 因为，所以的相同数字连续出现的最大次数不超过3，即． 假设时，，下证． 设，由归纳假设知， 则的十进制表示可以写作． 因为，因此的各位数字中，相同数字连续出现的最大次数不超过3， 也即．故对于，命题也成立，命题得证． 综上所述，． （ⅱ）方法一：设，不妨设，， 由（ⅰ）知和均为不超过9的自然数，因此恰有位，所以不能是一位数或者三位数，所以只能是两位数． 设，若的各位数字中有两个不同的数字，则为了描述出这两个不同的数字， 至少是一个四位数且它的各位数字中仍有两个不同的数字． 由此可知，如果，则至少是一个四位数，矛盾，所以． 若，则，且，这与（ⅰ）的结论矛盾． 若，则，故，但不能是一位数，矛盾！ 若，则，故，但不能是三位数，矛盾！ 若，则恒为22，符合题意． 综上，． 方法二：设，不妨设，， 由（ⅰ）知和均为不超过9的自然数，因此恰有位， 所以不能是一位数或者三位数， 所以只能是两位数．显然，否则，矛盾！ 若，则且，这与（ⅰ）的结论矛盾． 若，则，故，但不能是一位数，矛盾！ 若，则，故，但不能是三位数，矛盾！ 若，则． （a）若，则，所以由个构成，矛盾． （b）若，则，因此，所以， 所以，但不能是一位数，矛盾！ （c）若，则，因此，所以， 所以，但不能是三位数，矛盾！ （d）若恒等于22，符合题意． 综上，． 8．（2025·陕西咸阳·一模）若无穷数列满足：对于，，其中A为常数，则称数列为“A数列”． (1)若等比数列为“A数列”，求的公比q； (2)若数列为“A数列”，且，． ①求证：； ②若，且是正项数列，，求满足不等式的的最小值． 【解析】（1）因为等比数列为“A数列”，则， 即，可得， 若上述方程对任意恒成立，则，且为定值， 所以的公比. （2）由题意可知：，且， 则数列是以首项为，公差为1的等差数列， 可得，即. ①因为， 若，则； 若，则； 若，则， 可得； 综上所述：； ②因为，且是正项数列，则，即， 可得， 若对任意恒成立，即， 令，可得，可得， 且，则， 若，可得， 又因为， 可得， 所以符合题意； 若对任意恒成立，即， 令，可得，可得， 若，可得， 又因为， 可得，， 可得，所以符合题意； 综上所述：的最小值1. 9．定义首项为1且公比为正数的等比数列为“－数列”． (1)已知等比数列满足：，，判断数列是否为“－数列”．如果是，说明理由； (2)已知数列满足：，，其中为数列的前项和． ①求数列的通项公式； ②设为正整数，若存在“－数列”，对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值． 【解析】（1）设等比数列的公比为，则 由，， ，  得， 数列首项为1且公比为正数  即数列为“数列”； （2）①当，， 当，，   ，， ， ， ， 展开化简得  ，是等差数列， 故数列的通项公式为； ②设的公比为． 存在“数列”，对任意正整数，当时，都有成立， 即对恒成立， 当时，，当时，， 当，两边取对数可得，对有解， 即， 令，则， 当时，，此时递减， 当时，， 令，则， 令，则， 当时，，为单调递减函数， ， 即，在上单调递减， 即时，， 所以，其中 下面求解不等式， 化简，得， 令，则， 由得，进而，在上单调递减， 又由于，， 故使得的最大整数，此时， 又因为， 所以当时，满足题意， 综上所述，满足题意的实数的最大值为5. 10．（2025·广东惠州·一模）约数，又称因数．它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数．设正整数共有个正约数，记为，，…，，（）． (1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值； (2)当时，若，，…，构成等比数列，求证：； (3)记，求证：． 【解析】（1）（1）当 时，正整数的4个正约数构成等比数列， 如1，2，4，8为8的所有正约数，即； 或1，3，9，27为27的所有正约数，即； 或1，5，25，125为125的所有正约数，即； （首项为1，公比为质数的等比数列的第四项均可） （2）由题意可知，，，且， 因为，，…，构成等比数列，不妨设其公比为， 则，所以， 化简得：，所以， 又因为，所以，所以公比， 所以， 又因为，，所以， 又因为，所以； （3）由题意知，，，，， 所以， 因为，，， 所以， 因为，，所以 所以，即． 11．给定整数，对于数列定义数列如下：，，其中表示，这个数中最小的数．记． (1)若数列为①1，0，0，1；②1，2，3，4，5，6，7，分别写出相应的数列； (2)求证：若，则有； (3)若，常数使得恒成立，求的最大值． 【解析】（1）根据题意，若数列为， 可得，即数列为：； 若数列为， 可得，即数列为：. （2）证明：由题设条件知，若时，可得， 当且仅当时，等号成立， 所以， 所以当，则成立. （3）不妨设， 若，因为，所以，此时显然取任意实数都满足条件； 下面设，则的充分必要条件时， 假设， 因为，所以， 当时，由， 所以 ， 当时，有， 仍然有成立，所以， 因为，所以， 所以，取，所以， 所以的最大值为. 12．（2025·湖北·三模）已知数列，其中，且.若数列满足，当时，或，则称数列为数列的“调节数列”.例如，数列的所有“调节数列”为；或者；或者；或者. (1)直接写出数列的所有“调节数列”； (2)若数列满足通项，将数列的“调节数列”中的递增数列记为，数列中的各项和为，求所有的和； (3)已知数列满足：，若数列的所有“调节数列”均为递增数列，求所有符合条件的数列的个数. 【解析】（1）. （2）因为，由题意共个数， 而共有项，则“调节数列”共有种情况 不妨设；则 ；则 依此类推；则 故 （3）依题意，对任意， 有或或， 因为均为递增数列，所以，即同时满足： ①，②，③，④. 因为为递增数列，因此①和②恒成立. 又因为为整数数列，对于③，也恒成立. 对于④，一方面，由，得，即. 另一方面，， 所以， 即从第2项到第项是连续的正整数， 所以， 因此， 故共有种不同取值，即所有符合条件的数列共有个. 13．（2025·湖南湘潭·三模）已知为正整数且，为非零实数，数列满足，且，，…，是公差为1的等差数列，，，…，是公差为的等差数列，，，…，是公差为的等差数列，以此类推． (1)当，时，求； (2)求的最小值（用含的代数式表示）； (3)记除以的整数部分为，余数为，求的通项公式（用含，，，，的代数式表示）． 【解析】（1）由题可知：，，…，为公差为1的等差数列， 故，             ，，…，为公差为的等差数列，故，     解得； （2）由题可知：，，…，为公差为1的等差数列， 故；         ，，…，为公差为的等差数列， 故．         ，，…，为公差的等差数列， 故．         ，又为正整数，故，     即的最小值为； （3）由题可知：， 当时，，，…，是公差为的等差数列， 而， 依次类推得 ，，…，， 累加得．     当时，．         当，．         也即． 由题，，则，     当时，，仍然满足上式．综上，． 14．（2025·北京东城·二模）已知有穷整数数列，满足.记集合为，或，或，.若数列，则称数列是的“恒元”. (1)已知数列，请写出中所有满足的数列； (2)当时，是否存在数列满足，且是的“恒元”?若存在，请写出一个满足条件的数列；若不存在，请说明理由； (3)当数列是的“恒元”时，若是个连续正整数的一个排列，求数列的项数的最大值. 【解析】（1）因为数列，所以中的数列满足．因为， 所以中所有满足的数列有 ；；；. （2）假设存在满足条件的数列， 则满足，有，或，或． 所以与同为奇数或同为偶数． 所以是偶数． 所以是偶数． 又是奇数，矛盾． 所以假设不成立，不存在满足条件的数列． （3）当数列是的“恒元”时， 因为数列中，是个连续正整数的一个排列， 所以当时，有，且至多一项为1． 不妨记，所以，且． 当时，. 当时，有. 此时，或． 又，所以，，或，． ①当时，有，或，所以，或者． 当时，有，，，， 所以，，. 因为，，所以．所以． 当时，有，，，，所以（舍）． ②当时，有，或，所以，或者． 当时，有，，，， 所以，，, 所以． 当时，有，，，， 所以．所以（舍）． 又由于数列和满足条件． 综上所述，． 15．（2025·甘肃白银·模拟预测）定义：，其中． (1)求证：当时，（当且仅当时取等号）． (2)对于任意正整数，是否存在正整数，使得不等式恒成立？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． (3)若正项数列满足，，，求证：． 【解析】（1）设，， 当时，；当时，． 在上单调递增，在上单调递减， ， 当时，，当且仅当时取等号． （2）由（1）可得，当且仅当时取等号， 当，时，， ， ，， 当时，， 当时，， 存在正整数，对于任意正整数，使得不等式恒成立， 的最小值为3． （3）， 当时，有 ， ， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$