精品解析：四川省南充高级中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

南充高中高2024级高一下期中考试 数学试题 总分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效. 4．考试结束后将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 下列与角终边相同的角为（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列叙述中正确的是（    ） A. 已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B. 若，则 C. 若，，则 D. 对任一非零向量，是一个单位向量 4. 如图，已知是的边上的中线，若，，则等于（　　） A. B. C. D. 5. 已知，，则（  ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 7. 已知函数的值域为的值域为，则（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 8. 已知函数的最大值为2，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 设，是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，能作为基底的是（ ） A 和 B. 和 C. 和 D. 和 10. 已知函数．则能够使得变成函数的变换为（ ） A. 先横坐标变为原来的，再向左平移 B. 先横坐标变为原来的2倍，再向左平移 C. 先向左平移，再横坐标变为原来的 D. 先向右平移，再横坐标变为原来的 11. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的周期是4 C. 方程在上有2个不同实数解 D. 定义在上函数满足，若函数与函数的图象有个交点，则的值可能是2025.（注：） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的值域是______. 13. 若，则______. 14. 若对于函数定义域内的每一个，都有成立，则称该函数为“互倒函数”.已知函数是定义域为的“互倒函数”，且当时，，若存在区间满足：，，使得，则的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知向量，满足与的夹角为． （1）求； （2）若，求k的值． 16. （1）计算：； （2）设为锐角，且，求的值． 17 已知函数． （1）求的最小正周期以及单调增区间； （2）设函数的最小值为，求的解析式． 18. 为了便于市民运动，南充市市政府准备对公园旁边部分区域进行改造.如图，在道路的一侧修建一条新步道，该步道由三部分共同组成.新步道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数时的图象，且图象的最高点为，新步道的中部分为长1千米的直线跑道，且，新步道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧. （1）求曲线段的解析式； （2）若计划在扇形区域内建面积尽可能大的矩形区域建服务站，并要求矩形的一边紧靠道路上，一个顶点Q在半径上，另外一个顶点P在圆弧上，且，若矩形的面积记为. （i）求的大小； （ii）当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 19. 已知函数． （1）求的值； （2）当时，试判断函数在的单调性并求函数在的值域（单调性不需要证明）； （3）若关于方程恰有三个不等实根，且，求的最大值，并求出此时实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充高中高2024级高一下期中考试 数学试题 总分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效. 4．考试结束后将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 下列与角终边相同的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出与角终边相同的角的表达式，进而求得答案. 【详解】与角终边相同的角为， 当时，，B是，不存在整数，使得为ACD中值，ACD不是. 故选：B 2. “”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合同角公式判断即得. 【详解】由，得；反之，若，则或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 下列叙述中正确的是（    ） A. 已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B. 若，则 C. 若，，则 D. 对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】D 【解析】 【分析】对A，若，有一个为零向量即可判断；对B，向量相等定义即可判断；对C，若即可判断；对D，由单位向量的定义判断. 【详解】对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若或时，与的方向不是相同或相反，故A错误； 对B，，且，方向相同才可判断，故B错误； 对C，当时，若，，与是任意向量，故C错误； 对D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为1的向量，故D正确. 故选：D 4. 如图，已知是的边上的中线，若，，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为是的边上的中线， 所以，所以 . 故选：C 5. 已知，，则（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求出的值，再根据对数函数与指数函数的单调性判断、的取值范围，最后比较、、的大小． 【详解】根据对数恒等式（），可得．  对于对数函数，因为底数，所以该函数在上单调递增． 又因为，，且，所以，即．  对于指数函数，因为底数，所以该函数在上单调递增． 又因为，所以．  由以上分析可知，即．  故选：B． 6. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据三点共线结论知，再利用乘“1”法即可得到最值. 【详解】因为，三点共线，则，， 则， 当且仅当，结合，即，时等号成立. 故选：C. 7. 已知函数的值域为的值域为，则（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数的单调性可得函数的值域为，可得的值，再结合对数函数的单调性得的最小值为9，从而可得的值，即可得解． 【详解】因为，所以， 即函数的值域为，所以， 因为的值域为， 所以的最小值为9，所以，解得， 所以． 故选：A． 8. 已知函数的最大值为2，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据差角的正余弦公式及降幂公式将化简，再由最大值求出值，进而得到的解析式，通过换元，把在区间上有2个零点，转化为在区间上有2个零点，再结合图象，得到的范围，即可得到的取值范围. 【详解】 ， 所以当时，取到最大值， 解得，所以. 令， 在区间上有2个零点， 即在区间上有2个零点， ，解得. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 设，是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】ACD 【解析】 【分析】只有不共线的向量才能作为基底，逐个判断选项中两个向量是否为共线向量即可. 【详解】因为，是平面内所有向量的一组基底，所以，不共线， 因为和没有倍数关系，所以二者不共线，可作为平面的一组基底， 因为和没有倍数关系，所以二者不共线，可作为平面一组基底， 因为和没有倍数关系，所以二者不共线，可作为平面的一组基底， 因为，所以和共线，不能作为基底. 故选：. 10. 已知函数．则能够使得变成函数变换为（ ） A. 先横坐标变为原来的，再向左平移 B. 先横坐标变为原来的2倍，再向左平移 C. 先向左平移，再横坐标变为原来的 D. 先向右平移，再横坐标变为原来的 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦型函数的图象变换过程即可得出结果. 【详解】先将的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到的图象；再将的图象向左平移个单位即可得到函数的图象，故选项A正确，选项B错误； 先将的图象向左平移个单位，得到函数的图象；再将的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的即可得到函数的图象，故选项C正确； 先将的图象向右平移个单位，得到函数的图象；再将的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的即可得到函数的图象，故选项D正确. 故选：ACD 11. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的周期是4 C. 方程在上有2个不同实数解 D. 定义在上的函数满足，若函数与函数的图象有个交点，则的值可能是2025.（注：） 【答案】ABC 【解析】 【分析】由已知条件确定的周期，从而判断AB，令，确定它是偶函数，先求出时方程的解，然后由偶函数性质求得在实数集上的解个数判断C，由与的图象都关于点对称，判断D． 【详解】因为是奇函数，则的图象关于点对称，即， 又，所以， 即，所以，是周期函数，周期为4， ，故A正确，B正确； 设，则，所以是偶函数， 当时，，解得或， 根据偶函数图象关于y轴对称可知，当时，函数与没有交点， 即方程无解，所以方程在上有2个不同实数解，C正确， ，令，则，， 所以的图象关于点对称，又的图象也关于点对称， 因此与的图象交点也关于点对称， 又，即是它们图象的一个交点， 如果它们有偶数个交点，因此它们有奇数个交点，是4的倍数加2， 不可能是2025，D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的值域是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用在上的单调性求解即可. 【详解】令，， 在上单调递增，. 故答案为： 13. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由进而可得. 【详解】， 因，故，即， 故， 故答案为： 14. 若对于函数定义域内的每一个，都有成立，则称该函数为“互倒函数”.已知函数是定义域为的“互倒函数”，且当时，，若存在区间满足：，，使得，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据“互倒函数”可以求出函数在上的解析式，将，，使得转化为函数与函数值域的包含问题，对进行分类讨论即可求解. 【详解】因为当时，且为“互倒函数”， 故当时，， 当时，在上为增函数， 且在上的值域为， 而在上的值域为， 而，故且， 所以，其中，所以， 而，故， 所以 因为，由双勾函数的性质可得为减函数， ，所以，所以. 当时，在上的值域为， 而在上的值域为， 同理， 若，则，故即， 故，而，且； 若，则，故即， 故，而，且； 综上， 故答案为：. 【点睛】思路点睛：对于新定义问题，应根据新定义寻找函数值域的对应的关系，在关系处理的过程中，注意根据值域的不同形式分类讨论. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知向量，满足与的夹角为． （1）求； （2）若，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出，再利用向量数量积的运算律即可； （2）根据向量垂直得，展开代入数据即可得到答案. 【小问1详解】 由题意可得，， 因此. 【小问2详解】 ， 利用向量数量积的分配律得， 代入已知条件，得，即. 16. （1）计算：； （2）设为锐角，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】（1） . （3）根据题目条件可得，， 又均为锐角，，得 17. 已知函数． （1）求的最小正周期以及单调增区间； （2）设函数的最小值为，求的解析式． 【答案】（1）；单调增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦函数的周期公式求出周期，再结合的单调增区间为，采用整体代换的方法求解即可； （2）将通过变形换元得到，再根据对称轴与的关系分三种情况讨论，分别求出最小值即可. 【小问1详解】 由，可得， 因为的单调增区间为， 所以， 即， 所以的单调增区间为； 【小问2详解】 因为， 令，则， 当时，即时，； 当时，即时，； 当时，即时，. 综上所述，. 18. 为了便于市民运动，南充市市政府准备对公园旁边部分区域进行改造.如图，在道路的一侧修建一条新步道，该步道由三部分共同组成.新步道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数时的图象，且图象的最高点为，新步道的中部分为长1千米的直线跑道，且，新步道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧. （1）求曲线段的解析式； （2）若计划在扇形区域内建面积尽可能大的矩形区域建服务站，并要求矩形的一边紧靠道路上，一个顶点Q在半径上，另外一个顶点P在圆弧上，且，若矩形的面积记为. （i）求的大小； （ii）当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）当时，取得最大值 【解析】 【分析】（1）观察图象得到，进而求出，即可得到曲线段的解析式； （2）（i）在（1）中令，求出的值，在先求出锐角，即可求出；（ii）用表示出，从而得到，进而得到的表达式，即可利用三角函数求出的最大值. 小问1详解】 由题意可得，，即， 且，则， 所以曲线段FBC的解析式为； 【小问2详解】 （i）当时，， 又因，则， 可知锐角，所以； （ii）由（1）可知，且， 则， 可得， 则 ； 因为，则， 可知当，即时，， 所以当时，取得最大值． 19. 已知函数． （1）求的值； （2）当时，试判断函数在的单调性并求函数在的值域（单调性不需要证明）； （3）若关于的方程恰有三个不等实根，且，求的最大值，并求出此时实数的值． 【答案】（1） （2）在上单调递减，在上的值域为 （3）， 【解析】 【分析】（1）直解代入解析式计算即可. （2）结合二次函数的单调性和余弦函数的单调性判断的单调性，然后根据单调性求解值域即可. （3）构造，根据，可得得到，则关于直线对称，进而有，即可代入化简得的表达式，结合二倍角公式及二次函数性质求解即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 当时，， 因为函数和均在上单调递减， 所以函数在上单调递减 故， 所以函数在上的值域为； 【小问3详解】 ， 显然：当时，， 由于方程有三个不等实根，所以必有， 令，则，显然有， 由， 得到，所以函数关于直线对称， 由，可得：， 于是，， 由可得：②， 将②代入①式可得： ， ， 当且仅当，即时等号成立， 由于恰有三个不等实根，且，所以，此时， 由可得，即，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $