精品解析：山东省宁阳县复圣中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

宁阳复圣中学 高一下学期期中考试数学试题 2025.4 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 棱台不具备的特点是（ ） A. 两底面相似 B. 侧面都是梯形 C 侧棱长都相等 D. 侧棱延长后都交于一点 【答案】C 【解析】 【分析】根据棱台的定义结构特征求解. 【详解】根据棱台的定义知，棱台底面相似，侧面都是梯形，侧棱延长后都交于一点， 但是侧棱长不一定相等， 故选：C 2. 复数，则它的共轭复数在复平面内对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：复数的共轭复数为，在复平面内对应点的坐标为，所以位于第三象限．选C 考点：复数的概念及运算 3. 的内角的对边分别是，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形面积公式，简单计算，可得结果. 【详解】由题可知： 所以 故选：B 【点睛】本题考查三角形的面积公式，属基础题. 4. 已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可. 【详解】因为， 所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，如图， 又，所以为等边三角形， 则，故， 所以向量在向量上的投影向量为：． 故选：A． 5. 若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 A. 1∶2 B. 1∶ C. 1∶ D. ∶2 【答案】C 【解析】 【分析】由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案 【详解】设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r．∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr故选C． 【点睛】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题． 6. 若,|,的夹角为,则等于( ). A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积的定义计算即可. 【详解】因为，的夹角为， 所以. 故选:B. 7. 已知非零向量与满足且，则为（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】将变形可得，从而可知的角平分线与垂直，故.再结合向量数量积的定义及可得，即可判断的形状. 【详解】∵和分别是与和同向单位向量， ∴表示在的角平分线上的向量. ∵，∴， ∴的角平分线与垂直，∴. 又，∴， ∴为等边三角形. 故选：D. 8. 已知，，满足，，，则点依次是的（ ） A. 重心，外心，垂心 B. 重心，外心，内心 C. 外心，重心，垂心 D. 外心，重心，内心 【答案】C 【解析】 【分析】根据和外心的性质得到为外心；由重心的性质得到为重心；利用向量数量积运算法则得到，所以，同理可得，所以为垂心 【详解】依题意，由得，到的三个顶点的距离相等，所以为外心； 设的中点为，则由得，所以为重心； 由得， 所以，同理可得，所以为垂心． 故选：C 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中真命题是（ ） A. 若直线a不在平面内，则a∥ B. 若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥ C. 若l∥，则直线l与平面内任何一条直线都没有公共点 D. 平行于同一平面的两直线可以相交 【答案】CD 【解析】 【分析】根据线面平行的性质可判断AB错误，C正确，在长方体中，存在与相交，且都与平面平行，可得D正确. 【详解】对于A，直线a不在平面内，直线a也可能与平面相交，故A是假命题； 对于B，直线l与平面相交时，l上也有无数个点不在平面内，故B是假命题； 对于C，l∥时，l与没有公共点，所以l与内任何一条直线都没有公共点，故C是真命题； 对于D，在长方体中，与都与平面平行，且与相交，故D是真命题. 故选：CD 10. 若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是 A. 的虚部为 B. C. 为纯虚数 D. 的共轭复数为 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可. 【详解】因为， 对于A：的虚部为，正确； 对于B：模长，正确； 对于C：因为，故为纯虚数，正确； 对于D：的共轭复数为，错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题. 11. 在中，内角所对的边分别为，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由二倍角公式结合正弦定理的角化边公式求出，进而由和角公式得出，进而得出，最后求出三角形面积. 【详解】因为，所以，又， 所以，又，所以， ，所以， . 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若一个球的体积为，则它的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据球的体积求出球的半径，再利用球的表面积公式即可求解. 【详解】设球的半径为. ∵球的体积为，∴，解得. ∴球的表面积为. 故答案为：. 13. 已知向量，夹角为，且，，则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据和求解即可. 【详解】因为， 所以. 因为， 所以. 故答案为：， 14. 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得． 【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即， 又，，所以， 所以． 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，求k为何值时： （1）； （2）； （3）与的夹角为钝角． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量共线的坐标表示列出方程即可得解； （2）根据平面向量垂直的坐标表示列出方程即可得解； （3）由与的夹角为钝角，可得且不共线，列出不等式组，解之即可得解. 【小问1详解】 解：因为， 所以， 解得； 【小问2详解】 解：因为， 所以， 金额的； 【小问3详解】 解：因为与的夹角为钝角， 所以且不共线， 即，解得且， 所以. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求A； （2）若a=2，的面积为，求b，c的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理将边变成角，然后利用以及两角和的正弦公式代入计算即可； （2）先利用面积公式求出，再利用余弦定理求出，然后解方程组即可. 【小问1详解】 由及正弦定理得 . 因为， 所以. 由于， 所以. 又，故. 【小问2详解】 由题得的面积，故①. 而，且，故②， 由①②得. 17. 如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥，求剩余的几何体的表面积和体积. 【答案】； 【解析】 【分析】结合正方体的性质，根据表面积和体积的定义即可求解. 【详解】由正方体的性质可知是边长为的等边三角形， 所以的面积 所以所求几何体的表面积. 几何体的体积 18. 在中，角，，所对的分别为，，.向量，，且. （1）求的大小； （2）若，，求，的值. （3）若，，求的面积 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示可得，结合正弦定理边化角以及同角三角函数关系即可求得答案； （2）由余弦定理、三角形边角关系，结合已知求得. （3）由余弦定理可求得c，利用三角形面积公式即可求得答案. 【小问1详解】 因为，，且， 所以， 由正弦定理，得， 又， 所以，从而， 因为，所以. 【小问2详解】 ， 又，即， ,解得. 【小问3详解】 由余弦定理，得， 而,,，得，即， 因为，所以， 故的面积. 19. （1）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上点. 若，分别是和的中点，求证：平面； （2）如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕直线旋转一周所成几何体的表面积及体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）表面积为，所求体积为 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，.根据点，分别是和的中点可得 ，且，进而可证四边形为平行四边形，故.利用线面平行的判定定理即可证明； （2）根据四边形绕旋转一周所成的几何体是一个圆台挖去一个圆锥，根据圆锥和圆台的表面积及体积公式即可求解. 【详解】（1）证明：取的中点，连接，，如图所示. 在四棱锥中， ∵点，分别是和的中点，∴，且. 又∵点是的中点，∴. ∵底面为平行四边形，∴，且. ∴，且，∴四边形平行四边形，∴. 又平面，平面，∴平面. （2）由题意可知四边形绕直线旋转一周所成几何体如图： 该几何体是一个圆台挖去一个圆锥，设圆台上底面圆心为，连接与， ∵，，∴，， ∴该几何体是一个上底半径为，下底半径为，高为的圆台挖去一个底面半径为，高为的圆锥，设其表面积为，体积为，则， ， ∴所求表面积为，所求体积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宁阳复圣中学 高一下学期期中考试数学试题 2025.4 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 棱台不具备的特点是（ ） A. 两底面相似 B. 侧面都是梯形 C. 侧棱长都相等 D. 侧棱延长后都交于一点 2. 复数，则它的共轭复数在复平面内对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 的内角的对边分别是，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为( ) A. B. C. D. 5. 若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 A. 1∶2 B. 1∶ C. 1∶ D. ∶2 6. 若,|,的夹角为,则等于( ). A. B. C. D. 7. 已知非零向量与满足且，则为（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形 8. 已知，，满足，，，则点依次是的（ ） A 重心，外心，垂心 B. 重心，外心，内心 C 外心，重心，垂心 D. 外心，重心，内心 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中的真命题是（ ） A. 若直线a不平面内，则a∥ B. 若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥ C. 若l∥，则直线l与平面内任何一条直线都没有公共点 D. 平行于同一平面的两直线可以相交 10. 若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是 A. 的虚部为 B. C. 为纯虚数 D. 共轭复数为 11. 在中，内角所对的边分别为，已知，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若一个球的体积为，则它的表面积为______. 13. 已知向量，夹角为，且，，则______，______． 14. 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，求k为何值时： （1）； （2）； （3）与的夹角为钝角． 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求A； （2）若a=2，的面积为，求b，c的值. 17. 如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥，求剩余的几何体的表面积和体积. 18. 在中，角，，所对的分别为，，.向量，，且. （1）求的大小； （2）若，，求，的值. （3）若，，求的面积 19. （1）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上的点. 若，分别是和的中点，求证：平面； （2）如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕直线旋转一周所成几何体表面积及体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$