特殊平行四边形的证明与计算2026年九年级学业水平考解答题复习

2026年九年级学业水平考解答题复习-特殊平行四边形的证明 与计算 1.(25-26广东广州期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,过点A 作BC的垂线，垂足为点E,延长BC到点F,使CF=BE,连接DF. E C (I)求证：四边形AEFD是矩形： (2)若AB=2V5 AC=4,求AE的长. 2.(2026北京密云二模)如图，在△ABC中，点D在AB上，CD⊥BC于点C,过点A 作BC,CD的平行线，分别交CD,BC的延长线于点E,F. (1)求证：四边形AECF是矩形： ②若Ac平分∠BHr,an∠B1C 2’AF=4'求CD的长. 3.(2024辽宁营口期末)如图1，己知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E 是直线AC上一点，连接EB,过点A作直线BE的垂线AM,垂足为M,AM交直线BD 于点F. D B B B 图1 试卷第1页，共3页 (1)求证OE=OF: (2)若点E在AC的延长线上，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立， 请在备用图上将图形补充完整并给出证明：如果不成立，请说明理由 (3)若点E在CA的延长线上，其他条件不变，请你将图形补充完整，并回答：结论“ OE=OF”还成立吗？（提醒：先画图再回答、不需要说明理由：只回答、不画图不得 分) 4.(25-26云南昆明·期中)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且 DE∥AC,CE∥BD B ()求证：四边形OCED是矩形： (2)若BD=8,CD=8,求四边形OCED的面积. 5.(25-26云南昆明·期末)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF 与AD相交于点E,与BC相交于点F,连接AF,CE. D (1)求证：四边形AFCE是菱形： (2)若四边形AFCE的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形AFCE的面积. 6.(2024广西来宾期中)如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC;DF1AC,垂足分别为 E、F.连接DE、BF. (I)求证：BE=DF. (2)判断四边形BEDF的形状，并说明理由. 7.(24-25广东深圳期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,延长 试卷第2页，共3页 CB到点E,使得BE=BC.连接AE.过点B作BF∥AC,交AE于点F，连接OF. (I)求证：四边形AFBO是矩形： ∠E=30°，OF=2 ABCD (2)若 ,求菱形 的面积。 8.(25-26山东菏泽期中)如图，在△ABC中，分别以AB,BC,AC为边作等边三角形 ABD,等边三角形BCF,等边三角形ACE,连接DE,EF, (I)求证：四边形BFED是平行四边形： (2)当△ABC满足什么条件时，四边形BFED是菱形？ 9.(25-26福建福州·期中)如图1，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与端 点重合)，连接AE,将线段AE绕点E顺时针旋转9O°得到线段EF,作FM⊥BC于点 M. B E B E C B E 图1 图2 备用图 (I)求证：CM=FM: (2)如图2：连接CF、BD、AF,AF与BD交于点G. ①直接写出CF与BD的位置关系 ②求证：点G是线段AF的中点： (3)在(2)条件下，用等式表示线段DG,EC之间的数量关系，并证明. 10.(2026海南海口·一模)在矩形ABCD中，AB=nAD,E,F分别在AB,BC上， 试卷第3页，共3页 AF,DE相交于点O D A D D E E B F 图1 图2 图3 (I)若N=1,AF⊥DE ①如图1，求证：△ADE≌△BAF; ②如图2，点G为CB延长线上一点，DE的延长线交AG于H,若AH=AD,求证： AG=AE+BG; ③在②的结论下，若AG=13,BG=5,求OA的长： CF 2)如图3，若E为AB的中点，∠4DE=∠EDF,请直接用含n的式子表示BF的值. 11.(2026安徽阜阳·二模)以△ABC的两边AB,AC为边分别在△ABC外部作矩形 ABDE和矩形AFGC」 B 图1 图2 (I)如图1，若AC=AF,AB=AE」 (i)求证：BF=CE: (ii)求证：BF⊥CE: (2)如图2，若矩形ABDE∽矩形AFGC,AB=AC=6,BC=5,AF=3.求EF的长」 12.(25-26湖南常德期中)如图1，四边形ABCD是正方形，E,F分别在边BC和CD上， 且∠E=45(此时E=B1D),我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角 模型”问题时，旋转是一种常用的方法.小明为了解决线段EF,BE,DF之间的关系， 将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG后，解决了这个问题. 试卷第4页，共3页 45 E B E 图1 图2 图3 (1)如图2. ①求证：△AFE≌△AGE: ②求出EF、BE、DF之间的关系： ABD,∠BAD=90,AB=A (2)如图3，等腰直角三角形 ,点E,F在边BD上，且 ∠EAF=45°，请写出EF,BE,DF之间的关系，并说明理由： 13.(25-26上海奉贤·期中)已知，A,B,C,D,O是平面上的五个点，连接OA, OB OC OD 有OA=OB=0C=0D=65,且OD∥BC,过D作DH1AB交4B于 , 点H. D B 图1 图2 (I)如图1，连接AC,连接DC交线段OB于点G,延长DH交线段BC于点E,当 CA=CB时， ①求证：四边形OCED是菱形. ②求GH的长 (2)如图2，连接AC,AD,BD,当△ODH的面积等于S时，四边形ACBD的面积等于7S, 求AC的长， 试卷第5页，共3页 参考答案 1.(1)证明：，四边形ABCD是菱形， .AB=DC,AD∥BC,AB∥CD, .∠ABE=∠DCF, AE⊥BC, .∠AEB=90°， 又，CF=BE, :△MBE≌ADCF(SAS ∴.AE=DF,∠F=∠AEB=90° .AE IDF, 又AD∥EF, .四边形AEFD是平行四边形， 又AE⊥BC, .四边形AEFD是矩形： (2)解：：在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O, 04-4C-2,BC=4B=25,BD=208.ACLBD. :0B=VAB2-0A=4 BD=8, AE⊥BC, 1 .S菱形ABCD= ACBD=BC·AE, 2 2×4x8=25AE, 1 :AE=85 5· AE∥CFAF∥CE 2.(1)证明：由题意易得 四边形AECF是平行四边形， CD⊥BC, .∠ECF=90°， 答案第1页，共2页 ∴四边形AECF是矩形： (2)解：AC平分∠BAF, ·∠BAC=∠CAF, :四边形AECF是矩形， ∠F=∠E=90°，AE=CF,CE=AF, 1 在Rt△ACr中，tan∠CAF=tan∠BAC= 2’AF=4' CF=2, :.AE=CF=2, :AF∥CE .∠ACE=LCAF, .∠ACE=∠BAC, :CD=AD 设CD=AD=x,则DE=4-x, 在Rt△AED中，(4-刘+22=x2 解得x= 2, .CD=5 2· 3.(1)证明：四边形ABCD是正方形. .∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA. 又.AM⊥BE, ∴.∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE, ∴.∠MEA=∠AFO, :.△BOE≌△AOF(AAS ∴.OE=OF: (2)解：OE=OF成立. 证明：，四边形ABCD是正方形，如图， 答案第2页，共2页 MA B ∴.∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA 又，AM⊥BE, ∴.∠F+∠MBF=90° :∠E+∠OBE=90°，∠MBF=∠OBE, .∠F=∠E, :△BOE≌△AOF(AAS ..OE=OF (3)解：OE=OF成立. 证明：如图， M B :四边形ABCD是正方形， ∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA」 又.AM⊥BE, ∴∠F+∠MBF=90° .∠F+∠OAF=90°， .∠MBF-∠OAF, :△BOE≌△AOF(ASA ∴.OE=OF 4.(1)证明：：DE∥AC,CE∥BD, .四边形OCED是平行四边形， 答案第3页，共2页 菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, ∴.BD⊥AC,即∠COD=90°， ∴.四边形OCED是矩形： (2)解：，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, 六∠C0D=90,0D=)BD=4, 2 在RtACOD中，CD=8,OD=4, :0C=VCD2-0D2=V82-4=45 由(1)知四边形OCED是矩形， ·四边形OCED 的面积为0D0C=4x45=16V5 5.(1)证明：EF是AC的垂直平分线， .A0=C0,∠AOE=∠COF=90°： ,四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC, ..∠EAO=∠FCO」 在△AOE和△COF中， 「∠AOE=∠COF=90° OA-O0 ∠EAO=∠FCO ∴△AOE≌aCOF(ASA), ∴.EO=FO ∴.四边形AFCE是平行四边形， :AC⊥EF, .四边形AFCE是菱形； (2)解：四边形AFCE是菱形， :AF=FC=CE=AE, ,四边形AFCE的周长是40， ∴.AF=FC=CE=AE=I0, 设AC=2a、EF=2b, 则有2a+2b=28,OA=OC=a,0E=0F=b, 答案第4页，共2页 .a+b=14, 在Rt△AOE中，由勾股定理得：OA+OE2=AE2, a2+b2=102, .(a+b)2=a2+b2+2ab .102+2ab=142, 整理可得：ab=48, .SmcE=AC.EF-x4ab=2ab=90 6.(1)证明：四边形ABCD为矩形， .AB∥CD,AB=CD, ∠BAE=∠DCF, :BE⊥AC,DF L AC, ∴.∠BEA=∠DFC=90°， ∴.△ABE≌△CDF(AAS) ·.BE=DF (2)解：四边形BEDF为平行四边形，理由如下： ,BE⊥AC,DF LAC, BE∥DF, 又BE=DF, ∴四边形BEDF是平行四边形 7.(1)证明：：四边形ABCD是菱形， ,AD∥BC,AC⊥BD,AD=BC, ∠A0B=90°， BE=BC, :AD=BE, ∴.四边形AEBD是平行四边形， AE∥BD, :BF∥AC, ∴.四边形AFBO是平行四边形， ·.'∠AOB=90°」 答案第5页，共2页 ∴.平行四边形AFBO是矩形： (2)解：由(1)知四边形AFBO是矩形， ∴.∠AFB=∠EAC=90°，OF=AB=2, 又：∠E=30°， ∴.∠ACB=60°， ,四边形ABCD是菱形， .AB=BC=2,AO=OC,OD=OB, ∴△ABC为等边三角形， :AC=BC=2, 40=号40-1， .BD=20B=2AB2-A02=23 1 ·S菱形HBCD=ACBD=2V5 8.(1)证明：△ABD、△BCF、△ACE都是等边三角形， :AB=BD=AD,BC=BF=CF,AC=AE=CE, ∠BAD=∠EAC=∠ECA=∠BCF=60°， ∠DAE=∠CAB=60°-∠EAB,∠ACB=∠ECF=60°-∠BCE :△DME≌aBAC≌FC(SAS) DE=BC=CF.AD=AB=EF DE=BF,BD=EF .四边形BFED是平行四边形： (2)解：当AB=BC时，四边形BFED是菱形. 证明：四边形BFED是平行四边形， :△ABD、△BCF是等边三角形， ..BD=AB,BF=BC, 又AB=BC, :BD=BF 答案第6页，共2页 平行四边形BFED是菱形. 9.(1)证明：，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF, .AE=FE,∠AEF=90°， ∴.∠AEB+∠MEF=90°， ,四边形ABCD是正方形， .∠ABC=90°， ∴.∠AEB+∠BAE=90°， ∴.∠BAE=∠MEF: .FM⊥BC, .∠M=90°； .∠ABC=∠M, 在△ABE和△EF中， 「∠ABE=∠M ∠BAE=∠MEF AE=EF :.△1BE≌aEMF(AAS) ∴.AB=EM,BE=FM, .BC=EM ∴.BC-EC=EM-EC, .BE=CM, .CM=FM: (2)解：①·∠M=90°，CM=FM, A∠FCM=∠CFM=180P,90°=45， 又BD是正方形ABCD的对角线， .∠DBC=45° ∴.∠DBC=∠FCM=45°， .CF∥BD: ②证明：过点F作FL∥BC交BD于L,如图， 答案第7页，共2页 M .CF∥BD,即CF∥BL 又FL∥BC、 ∴.四边形BCFL是平行四边形. ∴.FL=BC=AD :FL∥BC,AD∥BC, ∴.FL∥AD ∴.∠LFG=∠DAG,∠FLG=∠ADG, 在△ADG和△FLG中， 「∠LFG=∠DAG FL=AD ∠FLG=∠ADG' :△1DG≌aFLG(ASA .AG=FG」 .点G是线段AF的中点： (3)解：连接AC交BD于点O,则点O为AC的中点， E 设AB=Q, :四边形ABCD是正方形， ∴.AC⊥BD,AO=OC,BC=CA=DA=AB=a,OB=OD, AC=a BD=a 答案第8页，共2页 :00 2“, 又G是AF的中点，O是AC的中点， .OG是△ACF的中位线， 0.CF. '△FCM是等腰直角三角形，CM=FM=BE,EC=BC-BE=a-BE, CF=VCM2+FM=CM=2BE :0c=2E 2 :0D=2 a 2“, 6pGoD-oG29E2a-BEP面 20 2 2 10.(1)证明：①~四边形ABCD是矩形，AB=nAD,n=1, .AD=AB, ∴矩形ABCD是正方形， .∠DAB=90°=∠ABC, .∠DAF+∠BAF=90°， :AF⊥DE, ∴，∠DAF+∠ADE=90°， ∴.∠ADE=∠BAF,且AD=AB,∠DAE=∠ABF=90°， ,.△ADE≌△BAF(ASA ②由(1)可知AE=BF, :AH=AD,AF⊥HD, ∴，∠HAF=∠DAF, .AD∥BC, .∠DAF=∠AFG, 答案第9页，共2页 ∴.∠HAF=∠AFG, :.AG=GF, :.AG=GB+BF=GB+AE 3.AG=13,BG=5,AG=GB+AE, :AE=8,AD=AB=AG2-BG=V132-5=12 :.DE=VAD+AE=V122+8=43 :AO⊥DE, Sae-4DxA报=DEx04, 2 .0A=12x8243 41313: (2)解：如图，过点E作EH⊥DF于H,连接EF, A D 分 H 四边形 是矩形， B 图3 ABCD .∠A=B=90°， E为AB的中点， 征=5-48， :∠ADE=∠EDF,∠A=90°，EH⊥DF, :AE =EH, ∴.RtAAED≌Rt△HED(HL) ,AD=DH=上AB」 AE =BE,AE=EH, .BE =EH, 答案第10页，共2页 EF =EF, .∴RtaBEF≌Rt△HEF(HL) :.BF=FH, 设BF=x=PH,则FC=BC-BF=AB-E, ..DF2=FC2+CD2, 日48+-很8-+8 =BF 4 ∴FC=1AB-”AB=4- -AB n 4 4n 4-n2 CF AB 4-n2 nAB 4 11.(1)证明：(i):四边形ABDE和四边形AFGC都是矩形， ∴.∠CAF=∠BAE=90°， ∴.∠CAF+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠BAF=∠EAC, AB=AE,∠BAF=∠EAC,AC=AF, :,△ABF≌△AEC(SAS) :BF=CE (ii)如图1，设BF与CE相交于O,BF与AC相交于N, G B 图1 由(i)得△ABF≌△AEC, .∠AFB=∠ACE, :∠ANF=∠ONC, ∴.180°-∠AFB-∠AWF=180°-∠ACE-∠NOC,即∠FAN=∠CON, 答案第11页，共2页 .∠C0N=90°， BF⊥CE; (2)解：如图2，设BF与CE相交于O,BF与AC相交于N,连接BE,CF, 矩形 矩形 B 图2 ABDE∽ AFGC :f、4C AB AE :∠BAF=90°+∠BAC=∠EAC, .△ACEr△AFB, ∴.∠AFB=∠ACE, ∠ANF=∠ONC, ∴.180°-∠AFB-∠ANF=180°-∠ACE-∠NOC,即∠FAN=∠CON, ∠CON=∠CAF=90°， 在Rt△BOC中，OB2+OC2=BC2, 在Rt△EOF中，OE2+OF2=EF2, 在RIACO 中，0C2+0F2=Cr2 在R1aB0E中， OB2+OE2=BE2 :BC2+EF2 BE2+CF2, AF AC AB=AC=6’BC=5’AF=3’ABAE’ AE=AB.AC_6x6 AF 3 ≥12 BE2=AE2+AB2=122+62=180,CF2=AF2+AC2=32+62=45,BC2=25, ∴.EF2=BE2+CF2-BC2=180+45-25=200, ∴.EF=10W2 12.(1)①证明：由旋转可得GB=DF,AF=AG,∠BAG=∠DAF, :四边形ABCD为正方形， 答案第12页，共2页 .∴.∠BAD=90° :∠EAF=45°， ∠BAE+∠DAF=45°， ∠BAG+∠BAE=45°， ∴∠GAE=∠FAE, 在△AGE和△AFE中， AG=AF ∠GAE=∠FAE AE=AE ∴.△AGE≌△AFE(SAS) ②解：EF=BE+DF △AGE≌△AFE(SAS) 由①得 :.GE=EF, GE=GB+BE=BE+DF, :.EF BE+DF (2)猜想：EF2=BE2+DF2, 证明：把△AFD绕点A顺时针旋转9O°得到△ABE,连接EE,如图3， D E 图3 .BE=FDAE'=AF∠D=∠ABE'∠FAD=∠EAB .AB=AD .∠ABD=∠ADB=45°， .∠ABD+∠ABE'=90°，即∠E'BD=90°， ∴E'B2+BE2=E'E2, 又，∠FAE=45°， ∴.∠BAE+∠FAD=45° ∠E'AB+∠BAE=45°，即∠E'AE=45°， 在△AEE'和△AEF中 答案第13页，共2页 AE=AE ∠E'AE=∠FAE AE'=AF ∴.△AEE'≌△AEF(SAS) :.EE'=FE, .EF2=BE2+DF2. 13.(0)0见解析；②GH=62-6 (2)4C=4Vi0 【分析】(I)由CA=CB及OA=OB=OC证AOAC≌aOBC,得∠BOC=90°，从而OC⊥AB, 结合DH⊥AB得CME，又OD∥BC,故四边形OCED为平行四边形，再由OC=OD证 得菱形.在Rt△OBC中求得∠OBC=45°，由OD∥BC得∠DOB=45°，在Rt尬ODH中用 勾股定理即可求OH. ∠D0B=45° Rt△ODH (2)先由等腰直角三角形性质及平行线性质求出 再在 中求出 OH=DH=6,最后利用△DGH∽aCGO建立比例式求出GH. 【详解】(1)①证明：：OA=OB=OC,CA=CB,OC=OC, AOACOBC(SSS) .∠AOC=∠BOC, 点A,O,B在同一直线上， :∠A0C+∠B0C=180 :∠B0C=90 ，即OC1AB ,DH⊥AB, OCIDH OD∥BC,即OD∥CE, ∴四边形OCED是平行四边形， 答案第14页，共2页 又.0C=0D=6V2 ∴四边形OCED是菱形. ②解：0B=0C=6N5.∠B0C=90 .△OBC是等腰直角三角形， ∠0BC=45 OD∥BC, :∠D0B=∠0BC=45 DH⊥AB, ∴△ODH是直角三角形， :∠0DH=90-45=45=∠D0H ..OH=DH, 0H2+DH2=0D2=(62)2=72 20H3=72 .0H=6, 又OC⊥AB,DH⊥AB, ∴.DH∥OC, ∴.△DGH∽aCGO, 、GHDH G00c' DH=60C=6W2 GH 6 1 :G06W22, 设GH=x,则G0=OH-GH=6-x, x I :6-x2, 答案第15页，共2页 W2=6-x :V2+1)=6 ÷万w5-=66-6 6 :GH=62-6 OH=x DH=y (2)解：设 DH⊥AB, ∴.△ODH为直角三角形， r+y=0D2=72 1 “S=S,00n=2y, 过点O作OE'⊥BC于点E, :OD∥BC, .∠DOH=∠OBE', ∠0HD=∠0E'B=90°0D=0B=6N5 △ODH≌△BOE'(AAS) OE'=DH=y BE'=OH=x .OB=OC,OE⊥BC, ∴.E为BC的中点， ∴.BC=2BE'=2x, 5a-28c0E'2y=9. 设为点C到AB的距离， 又：Sm0哪4=65e=35, 答案第16页，共2页 六3V2=,即= 3V2, AB=0A+0B=12 片3w号8%-25 3w52 3w=方ABDH=122y=6Ny, ·四边形4CBD的面积S,cm+Se=2y+62y :四边形4C0的面积=75-， :2y+6N5y=2y, 7 3 65y=2wy, ：少×0 r=42 +2=2 、y=72-(4V2}=72-32=40 y=2w10 在等腰△01C中，0A=0C=6N2 过点O作OK⊥AC于点K,则K为AC的中点， :∠D0B=∠0BC,∠0BC=∠0CB∠B0C=180-2∠OBC 又点A,O,B共线， :∠10C=180-∠B0C=2∠0BC 答案第17页，共2页 :.∠AOK=)∠A0C=∠0BC=∠DOH, 在△OAK和△ODH中， ∠OKA=∠OHD=90°」 ∠AOK=∠DOH, OA=OD=62 △OAK=△ODH(AAS) AK=DH=y=2/10 :4C=2AK=4V0 O 答案第18页，共2页