第二十二章 二次函数 （4大知识点+11类题型） 知识梳理与对应题型分类讲解 2024- 2025学年人教版九年级数学上册

二次函数（4大知识点+10类题型）（知识梳理与题型）（解析版） 目录 知识点整合梳理 知识点1 二次函数的图象与性质/P2 知识点2 二次函数解析式的确定/P3 知识点3 二次函数图象的平移/P4 知识点4 二次函数与方程、不等式的关系/P5 分点对应题型 考点1：二次函数的定义 考点2：二次函数的性质 考点3：二次函数的三种形式及其求解析式 考点4：二次函数的图象与系数的关系 考点5：抛物线与x轴的交点 考点6：二次函数图象上的点的坐标特征 考点7：二次函数与几何变换 考点8：函数图象的综合判断 类型1 利用函数性质分析判断函数图象 类型2 几何动态问题判断函数图象 考点9：二次函数中的最值问题（含区间） 考点10：二次函数综合题 类型1 性质综合题 类型2 面积问题 类型3 三角形问题 类型4 特殊四边形问题 考点11：二次函数的实际应用 类型1 销售利润问题 类型2 建模问题（拱桥、投球、喷水等） 类型3 图形面积问题 知识点1 二次函数的图象与性质 1. 二次函数的图象与性质 概念 一般地，形如，，是常数，的函数叫做二次函数 的符号 大致图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 （1）直接运用公式求解; （2）配方转化为顶点式,则对称轴为直线. 注：还可利用（其中，是关于对称轴对称的两点的横坐标）求解 顶点坐标 （1）直接运用顶点坐标公式，求解； （2）用配方法将一般式化为,则顶点坐标为； （3）将对称轴的横坐标代入函数解析式求得对应的 增减性 在对称轴左侧，随的增大而减小； 在对称轴右侧，随的增大而增大 在对称轴左侧，随的增大而增大； 在对称轴右侧，随的增大而减小 最值 当时，的最小值为   当时，的最大值为   2．二次函数图象与系数的关系 a决定抛物线的开口方向 a>0 开口向上 a<0 开口向下 a，b决定抛物线 的对称轴位置 b＝0 对称轴为y轴 a，b同号 对称轴在y轴左侧 a，b异号 对称轴在y轴右侧 c决定抛物线与 y轴交点的位置 c＝0 抛物线过原点 c>0 抛物线与y轴交于正半轴 c<0 抛物线与y轴交于负半轴 b2－4ac决定 抛物线与x轴 交点的个数 b2－4ac＝0 抛物线与x轴有唯一的交点(顶点) b2－4ac>0 抛物线与x轴有两个交点 b2－4ac<0 抛物线与x轴没有交点 3.与二次函数系数有关的常见代数式 与1比较 与比较 令,看纵坐标 令,看纵坐标 令,看纵坐标 令,看纵坐标 令,看纵坐标 令,看纵坐标 知识点2 二次函数解析式的确定 二次函数解析式的三种表达形式 一般式 ,,为常数， 顶点式 为常数，，为顶点坐标］ 交点式 （为常数，,,为抛物线与轴的交点的横坐标） 确定二次函数解析式的方法及步骤 方法 待定系数法 步骤 一设：设二次函数解析式为； 二列：找出函数图象上的三个点，代入中，得到方程组； 三解：解方程组，得到，，的值； 四还原：将所求待定系数，，的值代入中即可 解析式的常见设法 顶点在原点 对称轴是轴（或顶点在轴上） 顶点在轴上 抛物线过原点 已知任意三个点 顶点其他一点坐标 与轴的两个交点其他一点坐标 与轴的一个交点对称轴其他一点坐标 知识点3 二次函数图象的平移 1.二次函数解析式为顶点式 平移前的解析式 移动方向 平移后的解析式 规律 向左平移个单位   左加 向右平移个单位 右减 向上平移个单位 上加 向下平移个单位   下减 2.二次函数解析式为一般式 平移前的解析式 移动方向 平移后的解析式 规律 向左平移个单位 左加 向右平移个单位     右减 向上平移个单位   上加 向下平移个单位 下减 知识点4 二次函数与方程、不等式的关系 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 图象与x轴(y＝0) 有两个交点(x1，0)，(x2，0) 图象与x轴(y＝0) 有且只有一个交点(x1，0) 图象与x轴(y＝0)无交点 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根 Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根x＝x1或x＝x2 Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根x＝x1＝x2 Δ<0⇔方程没有实数根 不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集 x<x1或x>x2(对应图象中x轴上方部分) x≠x1的实数 x取任意实数 【温馨提示】 (1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 令y＝0二次函数y＝ax2＋bx＋c=0(a≠0) 令y>0，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0) (2)一元二次方程ax2＋bx＋c＝m(a≠0，m≠0)的根或不等式ax2＋bx＋c>m(a≠0，m≠0)的解集常常转化为抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝m的关系进行处理，通常借助数形结合思想来判断，如图： 分点对应题型 考点1：二次函数的定义 1．（2025春长宁区校级月考）下列函数中是二次函数的是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝2x（x﹣3） C． D．y＝（x﹣2）2﹣x2 【解答】解：根据二次函数定义逐项分析判断如下： A、当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故选项A不符合题意； B、y＝2x（x﹣3）＝2x2﹣6x，是二次函数，故选项B符合题意； C、不是二次函数，故选项C不符合题意； D、y＝（x﹣2）2﹣x2＝﹣4x+4，不是二次函数，故选项D不符合题意； 故选：B． 2．（2025灌南县校级模拟）若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为（　　） A．1 B．﹣2 C．2 D．2或﹣2 【解答】解：由条件可知m2﹣2＝2， 解得m＝±2， 故选：D． 3．（22-23九年级上·全国·期末）若二次函数y=(m＋1)x2-mx＋m2-2m-3的图象经过原点，则m的值必为(      ) A．-1或3 B．-1 C．3 D．-3或1 【答案】C 【分析】由图像经过原点可知m2-2m-3=0，同时注意m＋1≠0. 【详解】解：由图像过原点可得，m2-2m-3=0，解得m=-1或3；再由二次函数定义可知m＋1≠0，即m≠-1，故m=3. 【点睛】本题考查了二次函数的定义，很容易遗漏m＋1≠0. 4．当 时，函数是二次函数． 【答案】2 考点2：二次函数的性质 5．（2025春湛江期中）抛物线y＝﹣3（x+4）2﹣3的顶点坐标是（　　） A．（4，﹣3） B．（﹣4，﹣3） C．（4，3） D．（﹣4，3） 【解答】解：由题意，∵y＝﹣3（x+4）2﹣3是抛物线解析式的顶点式， ∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣4，﹣3）． 故选：B． 6．（2025盱眙县一模）已知抛物线y＝﹣2（x+h）2+k的顶点在第四象限，则（　　） A．h＞0，k＞0 B．h＞0，k＜0 C．h＜0，k＞0 D．h＜0，k＜0 【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝﹣2（x+h）2+k， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣h，k）， ∵第四象限的点横坐标大于0，纵坐标小于0， ∴﹣h＞0，k＜0， ∴h＜0，k＜0． 故选：D． 7．（2025碑林区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值如表： x … ﹣3 1 5 7 … y … 6 k 10 6 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．图象的对称轴为直线x＝1 C．当x＞1时y随x的增大而减小 D．b2＞4a（c﹣k） 【解答】解：A、当x逐渐增大时，y的值先变大再变小，所以a＜0，图象的开口向下，故不正确； B、根据x＝﹣3，y＝6和x＝7，y＝6，可知二次函数的对称轴为直线x，故不正确； C、∵图象的开口向下，对称轴为直线x＝2， ∴当x＞2时，y随x的增大而减小，故不正确； D、由题意可知，x＝2时，二次函数y＝ax2+bx+c的最大值为y， ∵x＝1时，y＝k， ∴k， ∵a＜0， ∴4ac﹣b2＜4ak， ∴b2＞4a（c﹣k），故正确． 故选：D． 8．（2025许昌一模）已知函数y＝（x+1）2，当x＞﹣1时，y随x的增大而 　增大　 ．（填“增大”或“减小”） 【解答】解：∵y＝（x+1）2， ∴该函数图象开口向上，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小， 故答案为：增大． 考点3：二次函数的解析式 9．（2024秋泸州校级期末）一抛物线的形状、开口方向与yx2﹣4x+3相同，顶点在（﹣2，1），则此抛物线的解析式为（　　） A．y（x﹣2）2+1 B．y（x+2）2﹣1 C．y（x+2）2+1 D．y（x﹣2）2﹣1 【解答】解：∵抛物线的形状、开口方向与yx2﹣4x+3相同， ∴a， ∵顶点为（﹣2，1）， ∴抛物线解析式为y（x+2）2+1． 故选：C． 10．已知二次函数y＝﹣x2+mx+（m+2）（其中m为常数）． （1）该函数的图象与x轴的公共点有　　 个； （2）若该函数的图象的对称轴是直线x＝1，求此时函数的表达式． 解：（1）2； . （2）∵该函数的图象的对称轴是直线x＝1， ∴， 解得m＝2， ∴该函数的表达式为y＝﹣x2+2x+4． 11．（2025敦化市一模）已知二次函数的图象经过点（3，10），顶点坐标为（1，﹣2）． （1）试求该二次函数的表达式； （2）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围． 【解答】解：（1）∵二次函数图象顶点坐标为（1，﹣2） ∴二次函数的表达式可设为y＝a（x﹣1）2﹣2， ∵二次函数的图象经过点（3，10）， ∴a（3﹣1）2﹣2＝10， 解得a＝3， ∴二次函数的表达式为y＝3（x﹣1）2﹣2； （2）∵x＝0时，y＝3（x﹣1）2﹣2＝1； x＝3时，y＝3（x﹣1）2﹣2＝10 而x＝1时，y有最小值﹣2， ∴当0＜x＜3时，y的取值范围为﹣2≤y＜10． 12．（2024秋封丘县期末）二次函数的图象顶点坐标为（﹣2，﹣3），且过（﹣4，1）． （1）求该二次函数的表达式； （2）当﹣5≤x≤2时，求函数值y的取值范围． 【解答】解：（1）设该二次函数的表达式为y＝a（x+2）2﹣3． ∵二次函数图象过点（﹣4，1）， ∴1＝a（﹣4+2）2﹣3， 解得a＝1， ∴解析式为y＝（x+2）2﹣3． （2）∵将抛物线的一般形式转化为顶点式为：y＝（x+2）2﹣3， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，当x＝﹣2时，函数有最小的值﹣3， 且抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越大， ∵﹣5≤x≤2， ∴x＝﹣2在﹣5≤x≤2内， ∴二次函数的最小值为﹣3， ∵|2﹣（﹣2）|＝4＞|﹣5﹣（﹣2）|＝3， ∴当x＝2时，取得最大的值，且最大的值为y＝（2+2）2﹣3＝13， 故y的取值范围为：﹣3≤y≤13． 13．（2025南陵县一模）在直角坐标系中，设函数y＝（x﹣m）（x﹣n）（m，n是实数）． （1）当m＝1时，若该函数的图象经过点（2，6），求函数的表达式． （2）若n＝m﹣1，且当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，求m的取值范围． （3）若该函数的图象经过（0，a），（3，b）两点（a，b是实数）．当2≤m＜n≤3时，求证：0≤ab＜4． 【解答】解：（1）当m＝1时，则y＝（x﹣1）（x﹣n）， 把点（2，6）代入y＝（x﹣1）（x﹣n）得，6＝（2﹣1）（2﹣n）， ∴n＝﹣4， ∴y＝（x﹣1）（x+4），即y＝x2+3x﹣4； （2）∵y＝（x﹣m）（x﹣n）， ∴抛物线与x轴的交点为（m，0），（n，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x， ∴n＝m﹣1， ∴对称轴为直线x＝m， ∵抛物线开口向上且当x≤﹣2时，y随x的增大而减小， ∴m2， ∴m； （3）证明：∵函数的图象经过（0，a），（3，b）两点（a，b是实数）， ∴a＝mn，b＝（3﹣m）（3﹣n）， ∴ab＝mn（3﹣m）（3﹣n） ＝m（3﹣m）n（3﹣n） ＝[﹣（m）2][﹣（n）2]， ∵2≤m＜n≤3， ∴0＜﹣（m）22， 0≤﹣（n）22， ∴0≤ab＜4． 考点4：二次函数的图象与系数的关系 14．（2025大连一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论：①c＜0；②a﹣b+c＞0；③若点B（﹣n，y1），C（n+2，y2）都在该抛物线上，则y1＝y2．其中正确结论的个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【解答】解：由图可知函数与y轴的交点在负半轴， ∴c＜0， 故①正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0）， ∴当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0， 故②错误； ∵点B（﹣n，y1），C（n+2，y2）都在该抛物线上，且1， ∴点B（﹣n，y1），C（n+2，y2）关于直线x＝1对称， ∴y1＝y2， 故③正确． 故选：B． 15．（2025龙口市一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，且点C在（0，3），（0，4）之间（不包含端点），抛物线对称轴为直线x＝1，有以下结论：①bc＞0；②9a+3b+c＝0；③对于任意实数m，总有am2+bm；④b＜2．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：由所给二次函数图象开口向下，与y轴交于正半轴， ∴a＜0，c＞0． 又∵对称轴是直线x1， ∴b＝﹣2a＞0． ∴bc＞0，故①正确； 又抛物线的对称轴为直线x＝1，且过点A（﹣1，0）， ∴抛物线与x轴的另一交点为（3，0）． ∴9a+3b+c＝0．故②正确． 由函数图象可知， 当x＝1时，函数取得最大值， 则对于任意的x＝m， 总有am2+bm+c≤a+b+c， 即a+b≥am2+bm（m为实数）． 又b＝﹣2a，3a+b， ∴a，bc， ∴a+b， ∵3＜c＜4， ∴1， ∴am2+bm，故③正确． ∵1， ∴2， 而bc， ∴2， 故④错误． 所以正确的结论有①②③3个． 故选：C． 16．（2025襄州区模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＝0；③关于x的方程ax2+bx+c﹣5＝0有两个不相等的实数根；④2a+b＝1．其中正确的有（　　） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③ 【解答】解：①∵抛物线开口方向向下， ∴a＜0． ∵抛物线对称轴位于y轴右侧， ∴ab＜0． ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0，故①正确； ②∵x＝﹣1时，y＝0， ∴a﹣b+c＝0，故②正确； ③∵抛物线的最大值为4， ∴抛物线与直线y＝5无交点， ∴关于x的方程ax2+bx+c﹣5＝0无实数根，故③错误； ④∵抛物线对称轴为直线x1， ∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，故④错误， 综上所述，正确的有①②． 故选：A． 17.（2025宣城一模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③a+b+c＜0；④b2＜4ac．其中正确的为（　　） A． ①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ A 考点5：抛物线与x轴的交点 18．（2025春德化县期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，0），若抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1与线段OA有且只有一个公共点，则下列n的取值不可能的是（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【解答】解：∵y＝x2﹣2x+n﹣1＝（x﹣1）2+n﹣2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，n﹣2）， ∵点A的坐标为（3，0），抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1与线段OA有且只有一个公共点， ∴n﹣2＝0或， 解得﹣2≤n＜1或n＝2， 只有B选项不符合题意． 故选：B． 19．（2025南京模拟）如图，是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，若关于x的方程ax2+bx+c＝m总有一正一负两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＞3 B．m＜3 C．m≥3 D．m≤3 【解答】解：如图所示：当m＞3时，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝m有两个交点，且一个交点的横坐标为正，另一交点的横坐标为负．所以当关于x的方程ax2+bx+c＝m总有一正一负两个实数根时，m的取值范围是m＞3． 故选：A． 20.抛物线y＝a（x+1）2+2与x轴的一个交点坐标是（﹣3，0），它与x轴的另一个交点的坐标是 　． 11．（1，0） 考点6：二次函数图象上的点的坐标特征 21．（2025廉江市模拟）若二次函数y＝ax2+bx+c中函数y与自变量x之间的部分对应值如下表点A（x1，y1）点B（x2，y2）在该函数图象上，当0＜x1＜1，2＜x2＜3，y1与y2的大小关系是（　　） x … 0 1 2 3 … y … 1 ﹣2 ﹣3 ﹣2 … A．y1≤y2 B．y1≥y2 C．y1＞y2 D．y1＜y2 【解答】解：根据图表知， 当x＝1和x＝3时，所对应的y值都是﹣2， ∴抛物线的对称轴是直线x2． 又∵当x＞2时，y随x的增大而增大；当x＜2时，y随x的增大而减小， ∴该二次函数的图象的开口方向是向上． ∵0＜x1＜1，2＜x2＜3， ∴0＜x1＜1关于对称轴的对称点在3和4之间， 又∵当x＞2时，y随x的增大而增大， ∴y1＞y2， 故选：C． 22．（2025海安市一模）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）都在抛物线y＝﹣x2+2x+c上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y3＜y2 【解答】解：抛物线y＝﹣x2+2x+c的对称轴为直线x＝1，开口向下，根据开口向下，距离对称轴越远函数值越小可得： 点（﹣1，y1）距离对称轴有2个单位长度， （2，y2）距离对称轴有1个单位长度， （4，y3）距离对称轴有3个单位长度， ∴y3＜y1＜y2． 故选：A． 23．（2025春鼓楼区校级期中）已知A（﹣5，m），B（b，n）在二次函数y＝ax2+2ax+1（a＜0）的图象上，且m＞n，则b的值可能是（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．0 【解答】解：由二次函数y＝ax2+2ax+1（a＜0）可知，抛物线对称轴为直线x＝﹣1，开口向下， ∵m＞n， ∴|b+1|＞|﹣1+5|＝4， 解得b＜﹣4或b＞3， 四个选项中，只有C符合条件， 故选：C． 24．（2025西湖区校级一模）已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（　　） A．若x1+x2＜4，则y1＜y2 B．若x1+x2＞4，则y1＜y2 C．若a（x1+x2﹣4）＞0，则y1＞y2 D．若a（x1+x2﹣4）＜0，则y1＞y2 【解答】解：抛物线对称轴为直线， 当x1+x2＜4时，x2﹣2＜2﹣x1， 则当a＞0时，y1＞y2；当a＜0时，y1＜y2； 当x1+x2＞4时，x2﹣2＞2﹣x1， 则当a＞0时，y2＞y1；当a＜0时，y1＞y2； 故A、B选项都不正确； 若a（x1+x2﹣4）＞0，则a与x1+x2﹣4同号，由上可知y1＜y2， 故C不正确； 若a（x1+x2﹣4）＜0，则a与x1+x2﹣4异号，由上可知y1＞y2， 故D正确； 故选：D． 考点7：二次函数与几何变换 25．（2025广东一模）将抛物线y＝x2向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝x2﹣1 B．y＝x2+1 C．y＝（x﹣1）2 D．y＝（x+1）2 【解答】解将抛物线y＝x2向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝x2﹣1． 故选：A． 26．（2024合肥科大附中期末）抛物线y＝x2+2先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的抛物线的表达式是（　　） A．y＝（x+2）2﹣3 B．y＝（x+2）2+7 C．y＝（x﹣5）2+4 D．y＝（x﹣2）2﹣3 A 27．（2025陕西模拟）在平面直角坐标系中，将抛物线C1：y＝x2+mx+n向左平移1个单位长度，得到抛物线C2：y＝x2+（2n﹣3）x+2，则m，n的值分别为（　　） A．m＝﹣1，n＝2 B．m＝﹣1，n＝3 C．m＝1，n＝2 D．m＝1，n＝3 【解答】解：∵y＝x2+mx+n＝x2+mx+（）2﹣（）2+n＝（x）2n， ∴将抛物线C1：y＝x2+mx+n向左平移1个单位长度，得到抛物线的解析式为y＝（x1）2n＝x2+（m+2）x+m+n+1， ∵得到抛物线C2：y＝x2+（2n﹣3）x+2， ∴， 解得， 故选：A． 28.平移二次函数的图象y＝x2，使其顶点落在第二象限，且顶点到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则平移后的二次函数（　　） A．对称轴为x=3 B．有最大值-2 C．对称轴为x=-3 D．有最小值-2 C 29．（2025宝安区二模）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝（x+1）（x﹣2）+5向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则PQ＝　3　 ． 【解答】解：将抛物线y＝（x+1）（x﹣2）+5向下平移5个单位长度，所得抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣2）， 令（x+1）（x﹣2）＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝2， ∴点P、Q的坐标分别为（﹣1，0），（2，0）， ∴PQ＝|2﹣（﹣1）|＝3． 故答案为：3． 考点8函数图象的综合判断 类型1 利用函数性质分析判断函数图象 30．（2025南宁模拟）关于x的二次函数y＝ax2+a2x﹣3a（a为常数，a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴为直线x0，在y轴的左侧，与y轴的交点为（0，﹣3a）在负半轴，故选项B符合题意； 当a＜0时，抛物线开口向下，对称轴为直线x0，在y轴的右侧，与y轴的交点为（0，﹣3a）在正半轴，都不符合题意． 故选：B． 31．如图，抛物线y＝ax2+bx+c和直线y＝3x+c分别交于点A和点B，则二次函数y＝ax2+（b﹣3）x的图象可能是（　　） A． B． C． D． A 32．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和函数y＝ax2+x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． D 33.已知二次函数的图像如图，其对称轴为，它与x轴的一个交点的横坐标为，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ）． A. B. C. D. C 34. （2025芜湖二十七中学一模）已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. A 35．（2024合肥巢湖市期末）已知a≠0，函数y与y＝ax2﹣a在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【考点】反比例函数的图象；二次函数的图象．版权所有 【分析】分a＞0和a＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项． 【解答】解：当a＞0时，函数y的图象位于二、四象限，y＝ax2﹣a的开口向上，交y轴的负半轴，D选项符合； 当a＜0时，函数y的图象位于一、三象限，y＝ax2﹣a的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项； 故选：D． 类型2 几何动态问题判断函数图象 36．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点P，点Q同时从点A出发，速度均2cm/s，点P沿A﹣D﹣C向点C运动，点Q沿A﹣B﹣C向点C运动，则△APQ的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间函数关系的大致图象是（　　） 第10题图 A． B． C． D． A【解析】解：∵正方形ABCD的边长为4cm，点P，Q的速度均为2cm/s，∴点P，Q在AD，AB上运动的时间均为2s，①当0≤t≤2时，SAP•AQ2t×2t＝2t2，此时抛物线的开口向上； ②当2≤t≤4时，S＝4×4﹣24×（2t﹣4）（8﹣2t）2＝﹣2t2+8t﹣16，此时抛物线的开口向下．故选A． 37．如图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB的平分线交斜边AB于点D，点E，F分别在边CA，CB上（不含端点），且DE⊥DF，设AE＝x，△DEF与△CEF的面积之差为y，则y关于x的函数图象可能为（　　） A． B． C． D． A【解析】如解图，过点D作DH⊥BC，DG⊥AC，则∠DHF＝∠DGC＝∠DGE＝90°. ∵CD为∠ACB的角平分线，∴DH＝DG.又∵∠BCA＝90°，∴四边形CGDH为正方形， ∴CH＝CG＝DG＝DH，∠HDG＝90°，∴，∴设DH＝4a，BH＝3a，∴CH＝DH＝4a，∴BC＝BH+CH＝7a＝3，∴，∴CH＝CG＝4a，∴． ①如解图1，当点E在G点右侧时，∴.∵DE⊥DF，∠HDG＝90°，∴∠FDH＝∠EDG＝90°﹣∠FDG.又∵DH＝DG，∠DHF＝∠DGE＝90°，∴△DFH≌△DEG（AAS）， ∴DF＝DE，HF＝EG＝16﹣x，∴，∴.在 Rt△DEG 中，由勾股定理，得，∴， ∴， 整理，得； 图1 图2 第10题解图 ②如解图2，当点E在点G左侧时，∴，CE＝4﹣x，，，∴. 整理，得；综上， ∴图象为顶点在x轴上的抛物线的一部分，故选A． 考点9：二次函数中的最值问题（含区间） 38．（2025新城区三模）已知二次函数y＝﹣x2+4x+9在t≤x≤t+2的范围内的最大值为4，则实数t的值为（　　） A．﹣1或5 B．﹣3或5 C．﹣1或7 D．﹣3或7 【解答】解：∵将二次函数解析式化为顶点式可得：y＝﹣x2+4x+9＝﹣（x﹣2）2+13， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，13），为最高点， ①当x≤2时，抛物线随x的增大而增大， ∴当x＝t+2≤2，即t≤0，函数有最大值4， ∴﹣（t+2）2+4（t+2）+9＝4， ∴t＝±3， ∵t≤0， ∴t＝﹣3； ②当x≥2时，抛物线随x的增大而减小， ∴当x＝t≥2时，即函数有最大值4， ∴﹣t2+4t+9＝4， ∴t＝5，t＝﹣1， ∵t≥2， ∴t＝5； 故选：B． 39．（2025武威一模）当a＞0时，二次函数y＝ax2+（b﹣2）x+8有最小值，记作m，随着a，b的变化，m的最大值为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【解答】解：∵a＞0， ∴当x时，y取最小值， ∴m8， ∵（b﹣2）2≥0，a＞0， ∴0， ∴8≤8， ∴当b＝2时，m取最大值8，故选：A． 40．（2025天河区校级一模）二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值为（　　） A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3 【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c＝﹣（x+1）2+c2﹣2c+1， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∵2﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣3）， ∴在﹣3≤x≤2的范围内，x＝2时，y＝﹣4﹣4+c2﹣2c＝c2﹣2c﹣8＝（c﹣1）2﹣9为函数最小值， ∴（c﹣1）2﹣9＝﹣5， 解得c＝3或c＝﹣1， 故选：A． 41．已知s，t是实数，点（s，t2）在函数y＝﹣2x2+6x的图象上，设w＝t2+s2+2s，则w的最大值为（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 解：∵点（s，t2）在函数y＝﹣2x2+6x的图象上， ∴t2＝﹣2s2+6s， ∵t2≥0， ∴﹣2s2+6s≥0， ∴0≤s≤3， ∴w＝t2+s2+2s ＝﹣2s2+6s+s2+2s ＝﹣s2+8s ＝﹣（s﹣4）2+16， ∴s＝3时，w有最大值， ∴w的最大值为15． 故选：A． 42．若二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣9有最小值，且图象经过原点，则m＝　　． 解：∵二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣9有最小值，且图象经过原点， ∴m+1＞0且m2﹣9＝0， ∴m＝3． 故答案为3． 43．（2024衡水期末）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（2，5），对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点B（﹣1，7）向上平移2个单位长度，向右平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值； （3）当n≤x≤2时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【答案】（1）y＝x2﹣x+3． （2）4． （3）﹣1≤n． 【解答】解：（1）把点A坐标代入二次函数解析式得：5＝22+2b+c，整理得2b+c＝1． 根据二次函数图象对称轴为：x，则b＝﹣1． ∴2×（﹣1）+c＝1， ∴c＝3． 故二次函数表达式为y＝x2﹣x+3． （2）根据题意点B向上平移2个单位长度，向右平移m（m＞0）个单位长度后，其横坐标为（﹣1+m），纵坐标为7+2＝9． 再代入y＝x2﹣x+3得：9＝（m﹣1）2﹣（m﹣1）+3． 整理得：m2﹣3m﹣4＝0． 解得，m＝4或﹣1． ∵m＞0， ∴m＝4． （3）对于二次函数y＝x2﹣x+3，其图象抛物线对称轴为，开口向上．点（2，0）关于直线的对称点为（﹣1，0）． ①当n时： 由于n≤x≤2． 故x＝n时二次函数值最小，ymin＝n2﹣n+3； x＝2时二次函数值最大，ymax＝22﹣2+3＝5， ∴5﹣（n2﹣n+3），解得n． 故n时不符合题意． ②当﹣1≤n时： x时二次函数值最小，ymin＝（）23； x＝2时二次函数值最大，ymax＝22﹣2+3＝5， ∵ymax﹣ymin＝5， ∴﹣1≤n时符合题意． ③当n＜﹣1时： x时二次函数值最小，ymin＝（）23； 故x＝n时二次函数值最大，ymax＝n2﹣n+3． ∵ymax﹣ymin＝n2﹣n+3，n＝2或﹣1，不符合题意． 综上可得n的取值范围为：﹣1≤n． 考点10：二次函数综合题 类型1 性质综合题 44.（2025芜湖市南陵县一模）在直角坐标系中，设函数y＝（x﹣m）（x﹣n）（m、n是实数）． （1）当m＝1时，若该函数的图象经过点（2，6），求函数表达式． （2）若n＝m﹣1，且当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，求m的取值范围． （3）若该函数图象经过（0，a），（3，b）两点（a、b是实数）当2≤m＜n≤3时，求ab的取值范围． 【解答】解：（1）当m＝1时，则y＝（x﹣1）（x﹣n）， 把点（2，6）代入y＝（x﹣1）（x﹣n）得，6＝（2﹣1）（2﹣n）， ∴n＝﹣4， ∴y＝（x﹣1）（x+4），即y＝x2+3x﹣4； （2）∵y＝（x﹣m）（x﹣n）， ∴抛物线与x轴的交点为（m，0），（n，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x， ∴n＝m﹣1， ∴对称轴为直线x＝m， ∵抛物线开口向上且当x≤﹣2时，y随x的增大而减小， ∴m2， ∴m； （3）证明：∵函数的图象经过（0，a），（3，b）两点（a，b是实数）， ∴a＝mn，b＝（3﹣m）•（3﹣n）， ∴ab＝mn•（3﹣m）•（3﹣n） ＝m（3﹣m）•n（3﹣n） ＝[﹣（m）2][﹣（n）2]， ∵2≤m＜n≤3， ∴0＜﹣（m）22， 0≤﹣（n）22， ∴0≤ab＜4． 45．（2025合肥科大附中一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2ax+3（a为常数）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B，若抛物线的对称轴为直线x＝1． （1）求a的值； （2）若点C（c，6）是抛物线上的点，且c＜1，求证：点A，B，C三点共线； （3）点P（t﹣1，m），Q（t，n）是抛物线上的两点，记抛物线在P，Q之间的部分为图象G（包含P，Q两点），若图象G上任意两点纵坐标之差的最大值是3，求t的值． 【分析】（1）直接根据对称轴公式求解即可； （2）先求出直线AB解析式，然后把点C坐标求出，代入直线AB解析式看是否成立，进而即可证出； （3）由题易得m＝（t﹣1）2﹣2（t﹣1）+3＝t2﹣4t+6，n＝t2﹣2t+3，分类讨论，看其在对称轴同侧还是异侧，然后根据增减性解决问题即可． 【解答】（1）解：∵抛物线y＝x2﹣2ax+3（a为常数）的对称轴为直线x＝1， ∴， 解得a＝1； （2）证明：由（1）知a＝1， ∴y＝x2﹣2x+3， ∵抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B， ∴A（0，3），B（1，0）， 设经过点A，B的直线的解析式为y＝kx+b， 将其坐标代入，得， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝﹣3x+3， ∵点C（c，6）在抛物线上， ∴c2﹣2c+3＝6， 解得c＝3或c＝﹣1， ∵c＜1， ∴c＝﹣1，即C（﹣1，6）， 将x＝﹣1代入直线y＝﹣3x+3得，y＝﹣3×（﹣1）+3＝6， ∴点C（﹣1，6）在直线AB上， 即点A，B，C三点共线； （3）解：∵点P（t﹣1，m），Q（t，n）是抛物线y＝x2﹣2x+3上的两点， ∴m＝（t﹣1）2﹣2（t﹣1）+3＝t2﹣4t+6，n＝t2﹣2t+3， ∵抛物线的开口向上，对称轴为x＝1， ∴分以下两种情况： ①，则t﹣1＜1＜t，点P，Q在对称轴两侧， 此时图象G上的最低点是抛物线的顶点，其纵坐标为2， ∵， ∴点P与对称轴的距离小于点Q与对称轴的距离，此时点Q的纵坐标最大， ∴n﹣2＝t2﹣2t+3﹣2＝3， ； ②当t≥2时，则t﹣1≥1，P，Q均在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， 此时点P的纵坐标最小，点Q的纵坐标最大， ∴．n﹣m＝t2﹣2t+3﹣（t2﹣4t+6）＝2t﹣3＝3， 解得t＝3； 综上所述，t的值为3． 类型2 面积问题 46．（2024济南钢城区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接BC． （1）求抛物线的解析式； （2）试在线段BC上方抛物线上找一点P，使得△PBC的面积最大，求出最大面积是多少？ （3）直线BC上是否存在两点M、N，使得△MON为以MN为斜边的等腰直角三角形，若存在，请说明理由，并求点M的坐标． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【答案】（1）y＝﹣2x2+4x+6． （2）． （3）存在，理由见解答过程；（，）或（，）． 【解答】解：（1）将A、B两点坐标代入抛物线关系式得： ，解得． 故抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6． （2）令x＝0，则y＝6，故点C坐标为（0，6）． 由B、C两点坐标通过待定系数法可得直线BC的解析式为：y＝﹣2x+6． 设点P坐标为（m，﹣2m2+4m+6），0＜m＜3. 过点P作x轴的垂线交BC于点Q，则点Q坐标为（m，﹣2m+6）． ∴PQ＝yP﹣yQ＝（﹣2m2+4m+6）﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m． ∵S△PBC＝S△CPQ+S△BPQPQ•xPPQ•（xB﹣xP）． 把PQ和xB代入得：S△PBC＝﹣3m2+9m＝﹣3（m）2． ∴当m时，S△PBC最大值为． 故△PBC的最大面积为． （3）如图△MON为等腰直角三角形，OM＝ON，∠MON＝90°.过M、N两点向y轴作垂线，E、F分别为垂足． ∵∠EMO+∠MOE＝∠MOE+∠FON＝90°， ∴∠EMO＝∠FON． 在△EMO和△FON中，∠EMO＝∠FON，∠MEO＝∠OFN＝90°，OM＝ON． ∴△EMO≌△FON（AAS）． ∴EM＝OF，OE＝FN 设点M坐标为（n，﹣2n+6），则点N坐标为（﹣2n+6，﹣n）． 由于点N也在直线BC上，则﹣n＝﹣2（﹣2n+6）+6，解得n． ∴点M坐标为（，），点N坐标为（，）． 因为点M、N位置可以互换，故点M坐标为（，）或（，）． 47．如图，在平面直角坐标系中，一次函数yx+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c关于直线x对称，且经过A，C两点，与x轴交于另一点为B． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，过点P作PQ⊥x轴于M，交AC于Q，求PQ的最大值，并求此时△APC的面积； （3）在抛物线的对称轴上找出使△ADC为直角三角形的点D，直接写出点D的坐标． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）令yx+2＝0，解得：x＝4， 即点A的坐标为（4，0）． ∵A、B关于直线x对称， ∴点B的坐标为（﹣1，0）． 令x＝0，则y＝2， ∴点C的坐标为（0，2）， ∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C， ∴有 解得：a，b，c＝2． 故抛物线解析式为yx2x+2； （2）直线AC的解析式为yx+2，即x+y﹣2＝0， 设点Q的坐标为（m，m+2）；则P点坐标为（m，m2m+2）， ∴PQ＝（m2m+2）﹣（m+2）， m2+2m（m﹣2）2+2 ∴当m＝2时，PQ最大＝2， 此时点P（2，3）S△PAC＝S梯形OCPM+S△PMA﹣S△AOC＝5+3﹣4＝4； （3）D点的坐标为（，﹣5），（，5），（，1），（，1）． 解法如下：假设存在，设D点的坐标（，m） △ADC为直角三角形分三种情况： ①当点C为直角顶点时：作DM⊥y轴于M 由△CD1M∽△ACO可得： ∴，CM＝3， ∴OM＝5，即D1（，5）； ②同理当点A为直角顶点时可求D2（，﹣5）； ③当点D为直角顶点时： 过D3作MN⊥y轴， 由△CD3M∽△D3AN可得：， ∴，可得：m2﹣2m 解得：m＝1± D3（，1），D4（，1） 故D点的坐标为（，﹣5），（，5），（，1），（，1）． 48．（2024石家庄桥西区期末）在平面直角坐标系中，直线AB；与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线L：y＝﹣x2﹣3x+k（k为常数）． （1）求点A坐标； （2）如图1，若抛物线L经过点A，点P是抛物线L上一动点，且在第二象限内，连接PA，PB，求L的表达式及△PAB面积的最大值； （3）若抛物线L与线段AB只有一个交点，直接写出k的取值范围． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【答案】（1）A（﹣4，0）； （2）y＝﹣x2﹣3x+4；S△PAB最大； （3）k或2＜k≤4． 【解答】解：（1）当y＝0时，， ∴x＝﹣4， ∴A（﹣4，0）； （2）如图1， 将x＝﹣4，y＝0代入y＝﹣x2﹣3x+k得， 0＝﹣（﹣4）2﹣3×（﹣4）+k， ∴k＝4， ∴y＝﹣x2﹣3x+4， 连接OP，设P（t，﹣t2﹣3t+4）， ∵S△AOBOA•OB4， S△AOP2t2﹣6t+8， S△BOP， ∴S△PAB＝S△AOP+S△BOP﹣S△AOB ＝（﹣2t2﹣6t+8）+（﹣t）﹣4 ＝﹣2（t）2， ∴当x时，S△PAB最大； （3）如图2﹣1， 当L与AB相切时， 由x2﹣3x+k得， （2﹣k）＝0， ∴0， ∴k， ∴当k时，抛物线L与线段AB只有一个交点， 如图2﹣2， 当L过点B时，k＝2， 当L过点A时， 由（2）知：k＝4， ∴当2＜k≤4时，抛物线L与线段AB只有一个交点， 综上所述：当k或2＜k≤4时，抛物线L与线段AB只有一个交点． 类型3 特殊四边形问题 考点11：二次函数的实际应用 类型1 销售利润问题 49．（2025云南校级模拟）某畅销书的售价为每本20元，每星期可卖出300本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出20本．设每本降价x元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y元，则y与x之间的函数表达式为（　　） A．y＝（20﹣x）（300+10x） B．y＝（20﹣x）（300+20x） C．y＝（20﹣2x）（300+10x） D．y＝（20﹣2x）（300+20x） 【解答】解：设每本降价x元，则售价为（20﹣x）元，销售量为（300+10x）本， 根据题意得，y＝（20﹣x）（300+10x）， 故选：A． 50．（2025春新吴区校级期中）某服装店购进A、B两种款式的服装，已知购进3件A款服装和5件B款服装，需195元；购进4件A款服装和2件B款服装，需176元． （1）A、B两种款式的服装进货单价分别是多少？ （2）设A款服装的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当45≤x≤55时，A款服装的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表： 销售单价x（元/件） 45 50 55 日销售量y（件） 30 20 10 请求出当45≤x≤55时，y与x之间的函数关系式． （3）在（2）的条件下，设A款服装的日销售利润为w元，当A款服装的销售单价x（单位：元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 【解答】解：（1）设A、B两种款式的服装进货单价分别是a，b元， 由题意得：， 解得：， ∴A、B两种款式的服装进货单价分别是35，18元； （2）设y＝kx+m， 把（45，30），（50，20）代入y＝kx+m中得： ， 解得：， ∴y＝﹣2x+120； （3）由题意得：w＝y（x﹣35） ＝（﹣2x+120）（x﹣35） ＝﹣2x2+190x﹣4200， ∵a＝﹣2，b＝190， ∴47.5， ∴当x＝47.5时，w最大＝（﹣2×47.5+120）×（47.5﹣35）＝312.5（元）， ∴当A款服装的销售单价x定为47.5时，日销售利润最大，最大利润是312.5元． 51．（2025春单县期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售150个，11月份销售216个，且从9月份到11月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）已知A类头盔的进价为36元/个，在销售中，该商家发现当每个售价50元时，每个月可售出100个；若在此基础上售价每上涨5元/个；则月销售量将减少10个．设A类头盔售价每个a元（50≤a≤60），w表示该商家每月销售A类头盔的利润（单位：元），求w关于a的函数解析式并求最大利润． 【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意，得150（1+x）2＝216， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）， 答：设该品牌头盔销售量的月增长率为20%． （2）由题意得，该商家每月销售A类头盔的利润为w＝（a﹣36）， ∵﹣2＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线a＝68， ∴当a≤68时，w随a的增大而增大． ∴当50≤a≤60时，故当a＝60时，w取最大值为1920元． 52．（2024青岛崂山区期末）剪纸是一种非常普及的中国民间艺术，春节期间，人们都喜欢在窗户上贴上窗花作为装饰，不仅烘托了喜庆的节日气氛，还为人们带来了美的享受，集装饰性、欣赏性和实用性于一体．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸进行销售，已知每套甲种剪纸的进价是每套乙种剪纸进价的1.25倍，用400元购进甲种剪纸的套数比用400元购进乙种剪纸的套数少2套． （1）求这两种剪纸每套进价分别为多少元？ （2）根据商家的销售经验，甲种剪纸的销售量y1（套）与销售单价x（元）之间的关系为y1＝﹣200x+17000，乙种剪纸的销售量y2（套）与销售单价x（元）之间的关系为y2＝﹣300x+20400．若每套甲种剪纸的售价同样是每套乙种剪纸售价的1.25倍，则甲、乙两款剪纸的销售单价定为多少元时，商家可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【考点】二次函数的应用；分式方程的应用．版权所有 【答案】（1）乙种剪纸每套进价是40元，甲种剪纸每套进价50元； （2）甲种剪纸每套售价为67.5元，乙种剪纸每套售价为54元时，商家可获得最大利润，最大利润是120050元． 【解答】解：（1）设乙种剪纸每套进价是a元，则甲种剪纸每套进价1.25a元， 根据题意得：2， 解得a＝40， 经检验，a＝40是原方程的根， 此时1.25a＝50， ∴乙种剪纸每套进价是40元，甲种剪纸每套进价50元； （2）设乙种剪纸每套售价为x元，则甲种剪纸每套售价为1.25x元，商家获得利润为w元， 根据题意得：w＝（1.25x﹣50）（﹣200×1.25x+17000）+（x﹣40）（﹣300x+20400） ＝﹣612.5x2+66150x﹣1666000 ＝﹣612.5（x﹣54）2+120050， ∵﹣612.5＜0， ∴当x＝54时，w有最大值，最大值为120050， 此时1.25x＝67.5， 答：甲种剪纸每套售价为67.5元，乙种剪纸每套售价为54元时，商家可获得最大利润，最大利润是120050元． 类型2 建模问题（拱桥、投球、喷水等） 53．（2024秋新荣区月考）中条山隧道进口位于山西省运城市盐湖区，这一隧道开创了全省普通公路特长隧道工程建设的先河，也是全国单洞里程最长的隧道工程．如图①是中条山隧道，其截面近似为抛物线型，如图②为其截面示意图，线段OA表示水平的路面，以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴，过点O且垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．经测量OA＝10m，抛物线的顶点P到OA的距离为5m，则抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由条件可知抛物线的顶点P的坐标为（5，5）． 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣5）2+5． 将O（0，0）代入抛物线解析式得0＝25a+5． 解得． ∴抛物线的解析式为． 故选：D． 54．（2024秋温州期末）如图①，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形（曲线ACB）的薄壳屋顶．已知它的拱宽AB为4米，拱高CO为0.8米．为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系求解析式．图②是以AB所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴建立的平面直角坐标系，则图②中的抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣0.2x2+0.8 B．y＝﹣0.2x2﹣0.8 C．y＝0.2x2+0.8 D．y＝﹣0.2x+0.4 【解答】解：设图②中的抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）， ∵AB＝4，CO＝0.8， ∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，0.8）， 将A（﹣2，0），B（2，0），C（0，0.8）代入y＝ax2+bx+c，得： ， 解得：， ∴图②中的抛物线的解析式为y＝﹣0.2x2+0.8． 故选：A． 55．（2024•陕西）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF′为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC＝100m，AO＝BC＝17m，缆索L1的最低点P到FF′的距离PD＝2m．（桥塔的粗细忽略不计） （1）求缆索L1所在抛物线的函数表达式； （2）点E在缆索L2上，EF⊥FF′，且EF＝2.6m，FO＜OD，求FO的长． 【解答】解：（1）由题意，∵AO＝17m， ∴A（0，17）． 又OC＝100m，缆索L1的最低点P到FF′的距离PD＝2m， ∴抛物线的顶点P为（50，2）． 故可设抛物线为y＝a（x﹣50）2+2． 又将A代入抛物线可得， ∴2500a+2＝17． ∴a． ∴缆索L1所在抛物线为y（x﹣50）2+2． （2）由题意，∵缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称， 又缆索L1所在抛物线为y（x﹣50）2+2， ∴缆索L2所在抛物线为y（x+50）2+2． 又令y＝2.6， ∴2.6（x+50）2+2． ∴x＝﹣40或x＝﹣60． 又FO＜OD＝50m， ∴x＝﹣40． ∴FO的长为40m． 56．（2025碑林区校级四模）小博周末随家人采摘草莓，小博发现种植草莓的大棚使用钢结构骨架，它的横截面可以近似看作由矩形和抛物线构成，小博通过采摘园主获得了大棚的部分信息，并绘制了如下图象． 如图，大棚横截面下方是矩形ABCD，顶部是抛物线BEC．取AD中点O，过点O作线段AD的垂直平分线OE交抛物线BEC于点E．若以O点为原点，AD所在直线为x轴，OE所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系．E点为抛物线的顶点且OE＝4m，AB＝3m，AD＝4m．请你解决下列问题： （1）求抛物线的解析式，并写出自变量取值范围； （2）小博观察到顶棚内部采用另一种轻质材料制作的直角三角形支架进行加固．如图，若点G在横梁BF段的中点处，HG⊥BC，垂足为点G，△HGF和△JIIF关于OE成轴对称．一个横梁上需要两个这样的直角三角形，所需这种轻质材料总长是HG+HF+FJ+JI的和．若一个大棚有15个横梁，不考虑材料损耗，请你计算，制作这样的支架，一共需要多长这种轻质材料？ 【解答】解：（1）由题意得，点C、E的坐标分别为：（2，3）、（0，4）， 设抛物线的表达式为：y＝ax2+4， 将点C的坐标代入上式得：3＝4a+4， 解得a， ∴抛物线的表达式为：yx2+4（﹣2≤x≤2）； （2）∵G为BF的中点， ∴FG＝FI＝1m， ∴当x＝1时，y4， ∴JI＝HG3（m）， ∴FH＝FJ， ∴HG+HF+FJ+JI4（m）， ∴15×4＝60（m）， ∴制作这样的支架，一共需要60m这种轻质材料． 57．（2025碑林区校级模拟）如图，某校兴趣小组想在校庆时为学校设计两个外轮廓近似为抛物线的拱门，设计方案如图所示，其中A，B，C三点在同一直线上，抛物线L1经过A，B两点，抛物线L2经过B，C两点，他们计划在抛物线L1与地面围成的区域中隔出一个大正方形DEFG，使得G，F在抛物线L1上，D，E在地面上，用于师生通道，其余地方鲜花装点．在抛物线L2与地面围成的区域中隔出矩形区域MNPQ，P，Q在抛物线L2上，M，N在地面上，使得MN＝4，PN，对矩形区域MNPQ进行设计用于师生拍照留念．以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线L1的表达式为y． （1）求DE的长； （2）若抛物线L2与抛物线L1形状相同，请求出抛物线L2的表达式． 【解答】解：（1）∵四边形DEFG是正方形， ∴EF＝DE， ∵抛物线关于y轴对称， ∴设点F（m，2m）， ∴2mm2， m2+6m﹣16＝0， （m+8）（m﹣2）＝0， 解得：m1＝﹣8（不合题意，舍去），m2＝2， ∴OE＝2， ∴DE＝4； （2）x20， 解得x＝±4， ∴点B为（4，0）， ∵MN＝4，PN，DE＝EF＝4， ∴L2的顶点的纵坐标为：（4）＝3， ∴设抛物线L2的表达式为y（x﹣h）2+3， ∴0（4﹣h）2+3， 解得：h＝7， ∴抛物线L2的表达式为y（x﹣7）2+3． 58．（2025临安区一模）药碾子是传统的碾药工具，从东汉时期沿用至今．如图1，碾槽外轮廓的上沿和下沿可近似看作两条抛物线的部分．如图2，上沿和下沿的两个交点分别为点O和点A，点O与点A到地面的距离相等，OA＝8dm，以OA所在直线为x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，上沿抛物线的顶点为，下沿抛物线的顶点为P，上沿抛物线的顶点H比P点高． （1）求出上沿抛物线的函数表达式． （2）点B是支撑架与下沿抛物线的交点，过点B作BD⊥OA于点D，交上沿抛物线于点E，，求点B的坐标． 【解答】解：（1）设上沿抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣4）2， 把（0，0）代入解析式得：16a0， 解得a， ∴上沿抛物线的函数表达式为y（x﹣4）2； （2）∵，H比P点高， ∴P（4，﹣4）， 设下沿抛物线的函数表达式为y＝a′（x﹣4）2﹣4， 把（0，0）代入解析式得：16a′﹣4＝0， 解得a′， ∴下沿抛物线的函数表达式为y（x﹣4）2﹣4， ∵BEdm， ∴（x﹣4）2（x﹣4）2+4， 解得x＝2或x＝6， 把x＝2或x＝6代入y（x﹣4）2﹣4得：y＝﹣3， ∴B（2，﹣3）或（6，﹣3）． 59．（2025贵州模拟）如图①是某小区设计的一个车棚，其截面如图②所示，顶棚是抛物线的一部分，OA，BC垂直于地面OC，且AO＝BC＝2m，OC＝8m，以OC所在的直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式y＝ax2+x+c（a，c为常数，a≠0）． （1）求顶棚抛物线的函数关系式； （2）小星想驾驶一辆高为3m，宽为2m的货车进入车棚．通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？ （3）如图③，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固．在顶棚A，B之间抛物线上有两个点D和E（不与点A，B重合）．它们的横坐标分别为t，2t，连接AD，AE．设点A与点D之间部分（含点A和点D）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，点A与点E之间部分（含点A和点E）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2，当时，求出t的值． 【解答】解：（1）由题意得，A（0，2），B（8，2）， 将A（0，2），B（8，2）分别代入y＝ax2+x+c得， 解得：， ∴顶棚抛物线的函数关系式为：； （2）如图， 对称轴为直线：， ∵车身的宽为2m， ∴车身FG一端点F的坐标为（3，0）， 过F作FM⊥OC于点F， 将x＝3代入，得， 即， ∴小星能将车开进车棚； （3）∵D，E在抛物线A，B之间， ∴0＜2t＜8且0＜t＜4， ∴0＜t＜4， ∴，， ∴； ①当D，E都在对称轴直线x＝4的左侧时， 则0＜2t＜4， ∴0＜t＜2， ∵， ∴， ∴，t2＝0（舍）； ②当D在对称轴的左侧，点E在对称轴上或右侧时， 则0＜t＜4，且4≤2t＜8， ∴2≤t＜4， ∴h2＝4﹣2＝2， ∴， ∴（舍），（舍）； 综上所述：． 60．（2025万柏林区一模）综合与实践 如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为1.2米，建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝2米，竖直高度EF＝0.7米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离为OD． （1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程OC； （2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标； （3）若OD＝3.2米，灌溉车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请你说明理由． 【解答】解：（1）如图2，由题意，∵A（2，1.6）是上边缘抛物线的顶点， ∴可设y＝a（x﹣2）2+1.6， 又∵抛物线过点（0，1.2）， ∴1.2＝4a+1.6， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， ∴当y＝0时，，解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去）， ∴喷出水的最大射程OC为6m． （2）由题意，∵抛物线为， ∴对称轴为直线x＝2， ∴点（0，1.2）的对称点为（4，1.2）， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的． 又∵OC＝6， ∴OB＝6﹣4＝2． ∴点B的坐标为（2，0）． （3）不能，理由如下： 由题意，∵OD＝3.2米，DE＝2米，EF＝0.7米， ∴点F的坐标为（5.2，0.7）， 当x＝5.2时，y（5.2﹣2）2+1.60.576＜0.7；当x＞2时，y随x的增大而减小， ∴灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带． 61．（2025六安清水河一模）综合实践：投篮研究 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级（2）班小玫发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图2所示，以点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为OP＝c米，篮筐中心离地面的高度AB＝3米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离OB＝m米，篮球距地面的最大高度CD＝h米，此时离篮球出手位置的水平距离OD＝a米． 素材2：当篮球（P）恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足2.95≤n≤3.10时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹由投篮方向和出手速度决定，小玫在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，小玫在点O处起跳，数学兴趣小组同学测得相关数据为：c＝2.2米，m＝6米，h＝4米，a＝3米． （1）计算说明小玫初次投篮时能否命中篮筐； （2）该班数学兴趣小组同学对小玫的初次投篮数据进行研究后，让小玫同学在原来位置向前走了t米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求t的值（保留根号）． 【分析】（1）先设抛物线的解析式为，再将点（0，2.2）代入求出抛物线的解析式，然后求出当x＝6时，y的值，由此即可得； （2）先求出向前走了t米后抛物线的表达式为，再将点（6，3）代入计算，结合3+t＜6即可得t的值． 【解答】解：（1）由题意可设， ∵这个抛物线经过点（0，2.2）， ∴9a0+4＝2.2， 解得， ∴， 当x＝6时，， 所以小玫初次投篮时不能命中篮筐． （2）向前走了t米后抛物线的表达式为， ∵此时抛物线经过点（6，3）， ∴， 解得或， 当时，抛物线的顶点坐标为，此时，不符合题意，舍去， 答：t的值为． 类型3 图形面积问题 62．（2024秋长安区期末）如图，某建筑队在一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成一个长方形仓库，仓库总面积为y平方米，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设 AB＝x米，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝x（15﹣2x） B．y＝x（16﹣2x） C．y＝x（14﹣2x） D．y＝x（16﹣x） 【解答】解：设AB＝x米，则与墙平行的一边的长为（15+1﹣2x）米， 根据题意得y＝x（15+1﹣2x）， 即y＝x（16﹣2x）． 故选：B． 63．（2025湖北模拟）如图，用总长为48m的篱笆，围成一块一边靠墙的矩形花圃ABCD，一道垂直于墙的篱笆EF将矩形ABCD分成两个矩形ABFE和EFCD．墙的最大可用长度为21m．篱笆在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形花圃与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：m2）． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； （2）矩形花圃的面积S能达到180m2吗？如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由； （3）当x的值是多少时，矩形花圃的面积S最大？最大面积是多少？ 【解答】解：（1）由题意可得：y＝48﹣3x， ∵S＝xy， ∴S＝x（48﹣3x）＝﹣3x2+48x， 故y＝48﹣3x，S＝﹣3x2+48x． （2）令S＝180，则﹣3x2+48x＝180， ∴x1＝6，x2＝10， 当x＝6时，y＝48﹣3x＝30＞21，舍去， ∴x＝10， ∴BC＝48﹣3×10＝18（m）． （3）∵S＝﹣3x2+48x＝﹣3（x﹣8）2+192， 由48﹣3x≤21得x≥9， 由48﹣3x＞0得x＜16， ∴9≤x＜16， ∵在9≤x＜16中，S随x的增大而减小， ∴当x＝9时，S有最大值， S＝﹣3（x﹣8）2+192＝﹣3×1+192＝189（m2）， 答：当x＝9时，S有最大值，S的最大值是189m2． 64．（2024秋•衡水期末）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长80m，设垂直于墙的边AB长为x米，平行于墙的边BC为y米，围成的矩形面积为S m2． （1）求y与x，S与x的关系式． （2）围成的矩形花圃面积能否为600m2，若能，求出x的值． （3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值． 【考点】二次函数的应用．版权所有 【解答】解：（1）由题意得，y＝80﹣2x； S＝x（80﹣2x）＝﹣2x2+80x； ∴y与x的关系式为y＝80﹣2x；S与x的关系式为s＝﹣2x2+80x； （2）围成的矩形花圃面积能为600m2， 令S＝600，则﹣2x2+80x＝600， 整理得：x2﹣40x+30＝0， 解得x1＝10，x2＝30， ∵墙长42m， ∴0＜80﹣2x≤42， 解得19≤x＜40， ∴x＝30， ∴围成的矩形花圃面积能为600m2，此时x＝30； （3）S＝（80﹣2x）x＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800， ∵﹣2＜0， ∴s有最大值， 又19≤x＜40， ∴当x＝20时，S取得最大值，此时s＝800， ∴围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为800m2，此时x的值为20． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二次函数（4大知识点+10类题型）（知识梳理与题型）（原卷版） 目录 知识点整合梳理 知识点1 二次函数的图象与性质/P2 知识点2 二次函数解析式的确定/P4 知识点3 二次函数图象的平移/P4 知识点4 二次函数与方程、不等式的关系/P5 分点对应题型 考点1：二次函数的定义/P6 考点2：二次函数的性质/P7 考点3：二次函数的三种形式及其求解析式/P8 考点4：二次函数的图象与系数的关系/P12 考点5：抛物线与x轴的交点/P15 考点6：二次函数图象上的点的坐标特征/P16 考点7：二次函数与几何变换/P18 考点8：函数图象的综合判断/P19 类型1 利用函数性质分析判断函数图象 类型2 几何动态问题判断函数图象 考点9：二次函数中的最值问题（含区间）/P25 考点10：二次函数综合题/P29 类型1 性质综合题 类型2 面积问题 类型3 三角形问题 类型4 特殊四边形问题 考点11：二次函数的实际应用/P39 类型1 销售利润问题 类型2 建模问题（拱桥、投球、喷水等） 类型3 图形面积问题 知识点1 二次函数的图象与性质 1. 二次函数的图象与性质 概念 一般地，形如，，是常数，的函数叫做二次函数 的符号 大致图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 （1）直接运用公式求解; （2）配方转化为顶点式,则对称轴为直线. 注：还可利用（其中，是关于对称轴对称的两点的横坐标）求解 顶点坐标 （1）直接运用顶点坐标公式，求解； （2）用配方法将一般式化为,则顶点坐标为； （3）将对称轴的横坐标代入函数解析式求得对应的 增减性 在对称轴左侧，随的增大而 ； 在对称轴右侧，随的增大而 在对称轴左侧，随的增大而 ； 在对称轴右侧，随的增大而 最值 当时，的最小值为   当时，的最大值为   2．二次函数图象与系数的关系 a决定抛物线的开口方向 a>0 开口 a<0 开口 a，b决定抛物线 的对称轴位置 b＝0 对称轴为y轴 a，b同号 对称轴在y轴 a，b异号 对称轴在y轴 c决定抛物线与 y轴交点的位置 c＝0 抛物线过原点 c>0 抛物线与y轴交于半轴 c<0 抛物线与y轴交于半轴 b2－4ac决定 抛物线与x轴 交点的个数 b2－4ac＝0 抛物线与x轴有唯一的交点(顶点) b2－4ac>0 抛物线与x轴有交点 b2－4ac<0 抛物线与x轴没有交点 3.与二次函数系数有关的常见代数式 与1比较 与比较 令,看纵坐标 令,看纵坐标 令,看纵坐标 令,看纵坐标 令,看纵坐标 令,看纵坐标 知识点2 二次函数解析式的确定 二次函数解析式的三种表达形式 一般式 ,,为常数， 顶点式 为常数，，为顶点坐标］ 交点式 （为常数，,,为抛物线与轴的交点的横坐标） 确定二次函数解析式的方法及步骤 方法 待定系数法 步骤 一设：设二次函数解析式为； 二列：找出函数图象上的三个点，代入中，得到方程组； 三解：解方程组，得到，，的值； 四还原：将所求待定系数，，的值代入中即可 解析式的常见设法 顶点在原点 对称轴是轴（或顶点在轴上） 顶点在轴上 抛物线过原点 已知任意三个点 顶点其他一点坐标 与轴的两个交点其他一点坐标 与轴的一个交点对称轴其他一点坐标 知识点3 二次函数图象的平移 1.二次函数解析式为顶点式 平移前的解析式 移动方向 平移后的解析式 规律 向左平移个单位   左加 向右平移个单位 右减 向上平移个单位 上加 向下平移个单位   下减 2.二次函数解析式为一般式 平移前的解析式 移动方向 平移后的解析式 规律 向左平移个单位 左加 向右平移个单位     右减 向上平移个单位   上加 向下平移个单位 下减 知识点4 二次函数与方程、不等式的关系 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 图象与x轴(y＝0) 有两个交点(x1，0)，(x2，0) 图象与x轴(y＝0) 有且只有一个交点(x1，0) 图象与x轴(y＝0)无交点 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根 Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根x＝x1或x＝x2 Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根x＝x1＝x2 Δ<0⇔方程没有实数根 不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集 x<x1或x>x2(对应图象中x轴上方部分) x≠x1的实数 x取任意实数 【温馨提示】 (1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 令y＝0二次函数y＝ax2＋bx＋c=0(a≠0) 令y>0，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0) (2)一元二次方程ax2＋bx＋c＝m(a≠0，m≠0)的根或不等式ax2＋bx＋c>m(a≠0，m≠0)的解集常常转化为抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝m的关系进行处理，通常借助数形结合思想来判断，如图： 分点对应题型 考点1：二次函数的定义 1．（2025春长宁区校级月考）下列函数中是二次函数的是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝2x（x﹣3） C． D．y＝（x﹣2）2﹣x2 2．（2025灌南县校级模拟）若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为（　　） A．1 B．﹣2 C．2 D．2或﹣2 3．若二次函数y=(m＋1)x2-mx＋m2-2m-3的图象经过原点，则m的值必为(      ) A．-1或3 B．-1 C．3 D．-3或1 4．当 时，函数是二次函数． 考点2：二次函数的性质 5．（2025春湛江期中）抛物线y＝﹣3（x+4）2﹣3的顶点坐标是（　　） A．（4，﹣3） B．（﹣4，﹣3） C．（4，3） D．（﹣4，3） 6．（2025盱眙县一模）已知抛物线y＝﹣2（x+h）2+k的顶点在第四象限，则（　　） A．h＞0，k＞0 B．h＞0，k＜0 C．h＜0，k＞0 D．h＜0，k＜0 7．（2025碑林区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值如表： x … ﹣3 1 5 7 … y … 6 k 10 6 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．图象的对称轴为直线x＝1 C．当x＞1时y随x的增大而减小 D．b2＞4a（c﹣k） 8．（2025许昌一模）已知函数y＝（x+1）2，当x＞﹣1时，y随x的增大而 　增大　 ．（填“增大”或“减小”） 考点3：二次函数的解析式 9．（2024秋泸州校级期末）一抛物线的形状、开口方向与yx2﹣4x+3相同，顶点在（﹣2，1），则此抛物线的解析式为（　　） A．y（x﹣2）2+1 B．y（x+2）2﹣1 C．y（x+2）2+1 D．y（x﹣2）2﹣1 10．已知二次函数y＝﹣x2+mx+（m+2）（其中m为常数）． （1）该函数的图象与x轴的公共点有　　 个； （2）若该函数的图象的对称轴是直线x＝1，求此时函数的表达式． 11．（2025敦化市一模）已知二次函数的图象经过点（3，10），顶点坐标为（1，﹣2）． （1）试求该二次函数的表达式； （2）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围． 12．（2024秋封丘县期末）二次函数的图象顶点坐标为（﹣2，﹣3），且过（﹣4，1）． （1）求该二次函数的表达式； （2）当﹣5≤x≤2时，求函数值y的取值范围． 13．（2025南陵县一模）在直角坐标系中，设函数y＝（x﹣m）（x﹣n）（m，n是实数）． （1）当m＝1时，若该函数的图象经过点（2，6），求函数的表达式． （2）若n＝m﹣1，且当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，求m的取值范围． （3）若该函数的图象经过（0，a），（3，b）两点（a，b是实数）．当2≤m＜n≤3时，求证：0≤ab＜4． 考点4：二次函数的图象与系数的关系 14．（2025大连一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论：①c＜0；②a﹣b+c＞0；③若点B（﹣n，y1），C（n+2，y2）都在该抛物线上，则y1＝y2．其中正确结论的个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 15．（2025龙口市一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，且点C在（0，3），（0，4）之间（不包含端点），抛物线对称轴为直线x＝1，有以下结论：①bc＞0；②9a+3b+c＝0；③对于任意实数m，总有am2+bm；④b＜2．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．（2025襄州区模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＝0；③关于x的方程ax2+bx+c﹣5＝0有两个不相等的实数根；④2a+b＝1．其中正确的有（　　） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③ 17.（2025宣城一模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③a+b+c＜0；④b2＜4ac．其中正确的为（　　） A． ①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 考点5：抛物线与x轴的交点 18．（2025春德化县期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，0），若抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1与线段OA有且只有一个公共点，则下列n的取值不可能的是（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 19．（2025南京模拟）如图，是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，若关于x的方程ax2+bx+c＝m总有一正一负两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＞3 B．m＜3 C．m≥3 D．m≤3 20.抛物线y＝a（x+1）2+2与x轴的一个交点坐标是（﹣3，0），它与x轴的另一个交点的坐标是 　． 考点6：二次函数图象上的点的坐标特征 21．（2025廉江市模拟）若二次函数y＝ax2+bx+c中函数y与自变量x之间的部分对应值如下表点A（x1，y1）点B（x2，y2）在该函数图象上，当0＜x1＜1，2＜x2＜3，y1与y2的大小关系是（　　） x … 0 1 2 3 … y … 1 ﹣2 ﹣3 ﹣2 … A．y1≤y2 B．y1≥y2 C．y1＞y2 D．y1＜y2 22．（2025海安市一模）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）都在抛物线y＝﹣x2+2x+c上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y3＜y2 23．（2025春鼓楼区校级期中）已知A（﹣5，m），B（b，n）在二次函数y＝ax2+2ax+1（a＜0）的图象上，且m＞n，则b的值可能是（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．0 24．（2025西湖区校级一模）已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（　　） 考点7：二次函数与几何变换 25．（2025广东一模）将抛物线y＝x2向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝x2﹣1 B．y＝x2+1 C．y＝（x﹣1）2 D．y＝（x+1）2 26．（2024合肥科大附中期末）抛物线y＝x2+2先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的抛物线的表达式是（　　） A．y＝（x+2）2﹣3 B．y＝（x+2）2+7 C．y＝（x﹣5）2+4 D．y＝（x﹣2）2﹣3 27．（2025陕西模拟）在平面直角坐标系中，将抛物线C1：y＝x2+mx+n向左平移1个单位长度，得到抛物线C2：y＝x2+（2n﹣3）x+2，则m，n的值分别为（　　） A．m＝﹣1，n＝2 B．m＝﹣1，n＝3 C．m＝1，n＝2 D．m＝1，n＝3 28.平移二次函数的图象y＝x2，使其顶点落在第二象限，且顶点到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则平移后的二次函数（　　） A．对称轴为x=3 B．有最大值-2 C．对称轴为x=-3 D．有最小值-2 29．（2025宝安区二模）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝（x+1）（x﹣2）+5向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则PQ＝　3　 ． 考点8函数图象的综合判断 类型1 利用函数性质分析判断函数图象 30．（2025南宁模拟）关于x的二次函数y＝ax2+a2x﹣3a（a为常数，a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 31．如图，抛物线y＝ax2+bx+c和直线y＝3x+c分别交于点A和点B，则二次函数y＝ax2+（b﹣3）x的图象可能是（　　） A． B． C． D． 32．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和函数y＝ax2+x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 33.已知二次函数的图像如图，其对称轴为，它与x轴的一个交点的横坐标为，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ）． A. B. C. D. 34. （2025芜湖二十七中学一模）已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 35．（2024合肥巢湖市期末）已知a≠0，函数y与y＝ax2﹣a在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 类型2 几何动态问题判断函数图象 36．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点P，点Q同时从点A出发，速度均2cm/s，点P沿A﹣D﹣C向点C运动，点Q沿A﹣B﹣C向点C运动，则△APQ的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间函数关系的大致图象是（　　） 第10题图 A． B． C． D． 37．如图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB的平分线交斜边AB于点D，点E，F分别在边CA，CB上（不含端点），且DE⊥DF，设AE＝x，△DEF与△CEF的面积之差为y，则y关于x的函数图象可能为（　　） A． B． C． D． 考点9：二次函数中的最值问题（含区间） 38．（2025新城区三模）已知二次函数y＝﹣x2+4x+9在t≤x≤t+2的范围内的最大值为4，则实数t的值为（　　） A．﹣1或5 B．﹣3或5 C．﹣1或7 D．﹣3或7 39．（2025武威一模）当a＞0时，二次函数y＝ax2+（b﹣2）x+8有最小值，记作m，随着a，b的变化，m的最大值为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 40．（2025天河区校级一模）二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值为（　　） A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3 41．已知s，t是实数，点（s，t2）在函数y＝﹣2x2+6x的图象上，设w＝t2+s2+2s，则w的最大值为（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 42．若二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣9有最小值，且图象经过原点，则m＝　　． 43．（2024衡水期末）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（2，5），对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点B（﹣1，7）向上平移2个单位长度，向右平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值； （3）当n≤x≤2时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 考点10：二次函数综合题 类型1 性质综合题 44.（2025芜湖市南陵县一模）在直角坐标系中，设函数y＝（x﹣m）（x﹣n）（m、n是实数）． （1）当m＝1时，若该函数的图象经过点（2，6），求函数表达式． （2）若n＝m﹣1，且当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，求m的取值范围． （3）若该函数图象经过（0，a），（3，b）两点（a、b是实数）当2≤m＜n≤3时，求ab的取值范围． 45．（2025合肥科大附中一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2ax+3（a为常数）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B，若抛物线的对称轴为直线x＝1． （1）求a的值； （2）若点C（c，6）是抛物线上的点，且c＜1，求证：点A，B，C三点共线； （3）点P（t﹣1，m），Q（t，n）是抛物线上的两点，记抛物线在P，Q之间的部分为图象G（包含P，Q两点），若图象G上任意两点纵坐标之差的最大值是3，求t的值． 类型2 面积问题 46．（2024济南钢城区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接BC． （1）求抛物线的解析式； （2）试在线段BC上方抛物线上找一点P，使得△PBC的面积最大，求出最大面积是多少？ （3）直线BC上是否存在两点M、N，使得△MON为以MN为斜边的等腰直角三角形，若存在，请说明理由，并求点M的坐标． 47．如图，在平面直角坐标系中，一次函数yx+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c关于直线x对称，且经过A，C两点，与x轴交于另一点为B． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，过点P作PQ⊥x轴于M，交AC于Q，求PQ的最大值，并求此时△APC的面积； （3）在抛物线的对称轴上找出使△ADC为直角三角形的点D，直接写出点D的坐标． 48．（2024石家庄桥西区期末）在平面直角坐标系中，直线AB；与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线L：y＝﹣x2﹣3x+k（k为常数）． （1）求点A坐标； （2）如图1，若抛物线L经过点A，点P是抛物线L上一动点，且在第二象限内，连接PA，PB，求L的表达式及△PAB面积的最大值； （3）若抛物线L与线段AB只有一个交点，直接写出k的取值范围． 类型3 特殊四边形问题 考点11：二次函数的实际应用 类型1 销售利润问题 49．（2025云南校级模拟）某畅销书的售价为每本20元，每星期可卖出300本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出20本．设每本降价x元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y元，则y与x之间的函数表达式为（　　） A．y＝（20﹣x）（300+10x） B．y＝（20﹣x）（300+20x） C．y＝（20﹣2x）（300+10x） D．y＝（20﹣2x）（300+20x） 50．（2025春新吴区校级期中）某服装店购进A、B两种款式的服装，已知购进3件A款服装和5件B款服装，需195元；购进4件A款服装和2件B款服装，需176元． （1）A、B两种款式的服装进货单价分别是多少？ （2）设A款服装的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当45≤x≤55时，A款服装的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表： 销售单价x（元/件） 45 50 55 日销售量y（件） 30 20 10 请求出当45≤x≤55时，y与x之间的函数关系式． （3）在（2）的条件下，设A款服装的日销售利润为w元，当A款服装的销售单价x（单位：元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 51．（2025春单县期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售150个，11月份销售216个，且从9月份到11月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）已知A类头盔的进价为36元/个，在销售中，该商家发现当每个售价50元时，每个月可售出100个；若在此基础上售价每上涨5元/个；则月销售量将减少10个．设A类头盔售价每个a元（50≤a≤60），w表示该商家每月销售A类头盔的利润（单位：元），求w关于a的函数解析式并求最大利润． 52．（2024青岛崂山区期末）剪纸是一种非常普及的中国民间艺术，春节期间，人们都喜欢在窗户上贴上窗花作为装饰，不仅烘托了喜庆的节日气氛，还为人们带来了美的享受，集装饰性、欣赏性和实用性于一体．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸进行销售，已知每套甲种剪纸的进价是每套乙种剪纸进价的1.25倍，用400元购进甲种剪纸的套数比用400元购进乙种剪纸的套数少2套． （1）求这两种剪纸每套进价分别为多少元？ （2）根据商家的销售经验，甲种剪纸的销售量y1（套）与销售单价x（元）之间的关系为y1＝﹣200x+17000，乙种剪纸的销售量y2（套）与销售单价x（元）之间的关系为y2＝﹣300x+20400．若每套甲种剪纸的售价同样是每套乙种剪纸售价的1.25倍，则甲、乙两款剪纸的销售单价定为多少元时，商家可获得最大利润？最大利润是多少元？ 类型2 建模问题（拱桥、投球、喷水等） 53．（2024秋新荣区月考）中条山隧道进口位于山西省运城市盐湖区，这一隧道开创了全省普通公路特长隧道工程建设的先河，也是全国单洞里程最长的隧道工程．如图①是中条山隧道，其截面近似为抛物线型，如图②为其截面示意图，线段OA表示水平的路面，以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴，过点O且垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．经测量OA＝10m，抛物线的顶点P到OA的距离为5m，则抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 54．（2024秋温州期末）如图①，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形（曲线ACB）的薄壳屋顶．已知它的拱宽AB为4米，拱高CO为0.8米．为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系求解析式．图②是以AB所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴建立的平面直角坐标系，则图②中的抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣0.2x2+0.8 B．y＝﹣0.2x2﹣0.8 C．y＝0.2x2+0.8 D．y＝﹣0.2x+0.4 55．（2024•陕西）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF′为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC＝100m，AO＝BC＝17m，缆索L1的最低点P到FF′的距离PD＝2m．（桥塔的粗细忽略不计） （1）求缆索L1所在抛物线的函数表达式； （2）点E在缆索L2上，EF⊥FF′，且EF＝2.6m，FO＜OD，求FO的长． 56．（2025碑林区校级四模）小博周末随家人采摘草莓，小博发现种植草莓的大棚使用钢结构骨架，它的横截面可以近似看作由矩形和抛物线构成，小博通过采摘园主获得了大棚的部分信息，并绘制了如下图象． 如图，大棚横截面下方是矩形ABCD，顶部是抛物线BEC．取AD中点O，过点O作线段AD的垂直平分线OE交抛物线BEC于点E．若以O点为原点，AD所在直线为x轴，OE所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系．E点为抛物线的顶点且OE＝4m，AB＝3m，AD＝4m．请你解决下列问题： （1）求抛物线的解析式，并写出自变量取值范围； （2）小博观察到顶棚内部采用另一种轻质材料制作的直角三角形支架进行加固．如图，若点G在横梁BF段的中点处，HG⊥BC，垂足为点G，△HGF和△JIIF关于OE成轴对称．一个横梁上需要两个这样的直角三角形，所需这种轻质材料总长是HG+HF+FJ+JI的和．若一个大棚有15个横梁，不考虑材料损耗，请你计算，制作这样的支架，一共需要多长这种轻质材料？ 57．（2025碑林区校级模拟）如图，某校兴趣小组想在校庆时为学校设计两个外轮廓近似为抛物线的拱门，设计方案如图所示，其中A，B，C三点在同一直线上，抛物线L1经过A，B两点，抛物线L2经过B，C两点，他们计划在抛物线L1与地面围成的区域中隔出一个大正方形DEFG，使得G，F在抛物线L1上，D，E在地面上，用于师生通道，其余地方鲜花装点．在抛物线L2与地面围成的区域中隔出矩形区域MNPQ，P，Q在抛物线L2上，M，N在地面上，使得MN＝4，PN，对矩形区域MNPQ进行设计用于师生拍照留念．以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线L1的表达式为y． （1）求DE的长； （2）若抛物线L2与抛物线L1形状相同，请求出抛物线L2的表达式． 58．（2025临安区一模）药碾子是传统的碾药工具，从东汉时期沿用至今．如图1，碾槽外轮廓的上沿和下沿可近似看作两条抛物线的部分．如图2，上沿和下沿的两个交点分别为点O和点A，点O与点A到地面的距离相等，OA＝8dm，以OA所在直线为x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，上沿抛物线的顶点为，下沿抛物线的顶点为P，上沿抛物线的顶点H比P点高． （1）求出上沿抛物线的函数表达式． （2）点B是支撑架与下沿抛物线的交点，过点B作BD⊥OA于点D，交上沿抛物线于点E，，求点B的坐标． 59．（2025贵州模拟）如图①是某小区设计的一个车棚，其截面如图②所示，顶棚是抛物线的一部分，OA，BC垂直于地面OC，且AO＝BC＝2m，OC＝8m，以OC所在的直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式y＝ax2+x+c（a，c为常数，a≠0）． （1）求顶棚抛物线的函数关系式； （2）小星想驾驶一辆高为3m，宽为2m的货车进入车棚．通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？ （3）如图③，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固．在顶棚A，B之间抛物线上有两个点D和E（不与点A，B重合）．它们的横坐标分别为t，2t，连接AD，AE．设点A与点D之间部分（含点A和点D）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，点A与点E之间部分（含点A和点E）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2，当时，求出t的值． 60．（2025万柏林区一模）综合与实践 如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为1.2米，建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝2米，竖直高度EF＝0.7米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离为OD． （1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程OC； （2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标； （3）若OD＝3.2米，灌溉车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请你说明理由． 61．（2025六安清水河一模）综合实践：投篮研究 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级（2）班小玫发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图2所示，以点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为OP＝c米，篮筐中心离地面的高度AB＝3米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离OB＝m米，篮球距地面的最大高度CD＝h米，此时离篮球出手位置的水平距离OD＝a米． 素材2：当篮球（P）恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足2.95≤n≤3.10时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹由投篮方向和出手速度决定，小玫在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，小玫在点O处起跳，数学兴趣小组同学测得相关数据为：c＝2.2米，m＝6米，h＝4米，a＝3米． （1）计算说明小玫初次投篮时能否命中篮筐； （2）该班数学兴趣小组同学对小玫的初次投篮数据进行研究后，让小玫同学在原来位置向前走了t米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求t的值（保留根号）． 类型3 图形面积问题 62．（2024秋长安区期末）如图，某建筑队在一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成一个长方形仓库，仓库总面积为y平方米，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设 AB＝x米，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝x（15﹣2x） B．y＝x（16﹣2x） C．y＝x（14﹣2x） D．y＝x（16﹣x） 63．（2025湖北模拟）如图，用总长为48m的篱笆，围成一块一边靠墙的矩形花圃ABCD，一道垂直于墙的篱笆EF将矩形ABCD分成两个矩形ABFE和EFCD．墙的最大可用长度为21m．篱笆在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形花圃与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：m2）． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； （2）矩形花圃的面积S能达到180m2吗？如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由； （3）当x的值是多少时，矩形花圃的面积S最大？最大面积是多少？ 64．（2024秋•衡水期末）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长80m，设垂直于墙的边AB长为x米，平行于墙的边BC为y米，围成的矩形面积为S m2． （1）求y与x，S与x的关系式． （2）围成的矩形花圃面积能否为600m2，若能，求出x的值． （3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$