第二十二章 二次函数 单元测试卷2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 单元测试卷·数学 人教版 （原卷版） （满分：120分 时间：120分钟） 注意事项： 1.本套试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题 2.作答时合理安排时间，解答题须写出必要的步骤及过程 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1.下列函数一定是二次函数的是（　　） A． B．y＝3（x﹣1）2 C．y＝ax2+bx+c D．y＝2x+1 2.平移二次函数的图象y＝x2，使其顶点落在第二象限，且顶点到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则平移后的二次函数（　　） A．对称轴为x=3 B．有最大值-2 C．对称轴为x=-3 D．有最小值-2 3.根据下表中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（　　） x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.06 A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20 4．已知二次函数y＝﹣x2+2x，当﹣1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．﹣1＜a≤1 C．a＞0 D．﹣1＜a＜2 5．无论k为何实数，直线y＝2kx+1和抛物线y＝x2+x+k（　　） A．没有公共点 B．有一个公共点 C．有两个公共点 D．公共点的个数不能确定 6.在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜5）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式是（　　） A．y＝25﹣2x B．y＝x2 D．y＝25﹣x2 C．y＝x2﹣25 7．（2025安庆二模）二次函数y＝mx2﹣（m2﹣3m）x+1﹣m的图象关于y轴对称，则m的值是（　　） A．0 B．3 C．1 D．0或3 8．（2024陕西）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … ﹣4 ﹣2 0 3 5 … y … ﹣24 ﹣8 0 ﹣3 ﹣15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x＝1 9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有以下结论：①2a+b＝0；②4a﹣2b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c+4＝0没有实数根．其中正确的是（　　） 第9题图 A．①④ B．③④ C．①②③ D．①③④ 10.如图，在等边△ABC中，AB＝2，点D从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B运动，过点D作AB的垂线，垂足为点E．设点D的运动时间为x秒，△ADE的面积为y（当A，D，E三点共线时，不妨设y＝0），则能够反映y与x之间的函数关系的图象大致是（　　） 第10 题图 A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分18分） 11．抛物线y＝（x+2）2+1的顶点坐标为　 　． 12.已知二次函数y＝（k﹣2）x2+4x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 ． 13.已知点（﹣1，y1），（﹣4，y2）在二次函数y＝x2+4x﹣m的图象上，则y1，y2的大小关系是： ． 14.如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则不等式ax2+bx+c＜3的解集是 　 ． 第14题图 15.某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则CD的长为（　　） 第15题图 16.（2025烟台一模）小好同学用计算机软件绘制函数y＝x3﹣3x2+3x﹣2的图象如图所示，发现它关于点（1，﹣1）成中心对称，若点A0（0，y0），A1（0.1，y1），A2（0.2，y2），A3（0.3，y3）…，A19（1.9，y19），A20（2，y20）都在函数图象上，这些点的横坐标从0开始依次增加0.1，则y0+y1+y2+⋯+y19+y20的值是　 　 ． 第16题图 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 人教版单元测试卷第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 17.（本小题8分）已知抛物线y＝ax2+c与y＝x2+3的开口大小相同，开口方向相反，且顶点为（0，1），求该抛物线对应的函数表达式． 18．（本小题8分）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2+2x﹣m． （1）若该二次函数图象的顶点在x轴上，求此时二次函数的表达式及其顶点坐标； （2）若该抛物线的顶点到x轴的距离为2，求m的值． 19．（本小题8分）（2025春南海区期中）问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组﹣1＜﹣2|x|+5≤3的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题： 首先令y＝﹣2|x|+5，再通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行了探究． 如表y与x的几组对应值： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … ﹣3 ﹣1 1 3 5 3 1 ﹣1 ﹣3 … 第19题图 （1）如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，请你画出该函数的图象；并观察函数y＝﹣2|x|+5的图象，当y随x的增大而减小时，x的取值范围是　 　 ； （2）若A（m，n），B（6，n）为该函数图象上不同的两点，则m＝　　 ； （3）当﹣1＜﹣2|x|+5≤3时，自变量x的取值范围是　 　 ； （4）定义，例如min（2，3）＝2，min（a2，a2﹣1）＝a2﹣1，则函数的最大值为　　 ． 20.（本小题8分）规定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为相反数的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”． （1）若点（a2+1，﹣2a）是“完美点”，则a＝ 　　 ； （2）已知某“完美函数”的顶点在直线y＝x﹣2上，且与y轴的交点到原点的距离为2，求该“完美函数”的表达式． 21.（本小题8分）（2025上城区一模）设二次函数y＝﹣x2+2ax﹣a+3． （1）若该函数的对称轴为直线x＝1，求该函数的顶点坐标； （2）判断该函数是否存在最大值5，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； （3）已知点P（6，3﹣a），M（x1，y1）和N（x2，y2）在函数图象上，当1≤x1≤4时，都有y1＞y2，求x2的取值范围． 22．（本小题10分）（2025西工区一模）在河南中招体育考试中，洛阳某考点的乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2所示，分别建立平面直角坐标系xOy．小明通过测量得到球距离台面的高度y（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：dm）的相关数据，发现在“直发式”模式下球的运动轨迹的函数表达式为y＝﹣0.01（x﹣4）2+3；在“间发式”模式下，球第一次接触台面的运动轨迹的函数表达式为y＝﹣0.42x+n，第一次接触台面后到第二次接触台面的运动轨迹的函数表达式为y＝﹣0.05（x﹣16）2+3.2． 第22题图 （1）求“间发式”模式下，发球器出口距离台面的高度． （2）设“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为d1，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为d2，要使d1＝d2，则“直发式”模式下，发球器出口的高度应上下调整多少？ 23.（本小题10分）已知抛物线y＝﹣x2+bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y＝﹣x2+2x的顶点横坐标大1． （1）求b的值； （2）点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x上，点B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝﹣x2+bx上． （ⅰ）若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值； （ⅱ）若x1＝t﹣1，求h的最大值． 24．（本小题12分）已知抛物线y＝ax2﹣8ax﹣a2+2a2+2（a＞0）过点M（x1，4）和点N（x2，4）且x1＜x2，直线y＝bx+c过点A（1，2），交线段MN于点B． （1）求抛物线的对称轴． （2）已知△ABM的周长为C1，△ABN的周长为C2，且C1﹣C2＝4． ①求点B的坐标； ②过点A作直线CD∥MN，交抛物线于C，D两点，求△BCD面积的最小值及此时抛物线的解析式． $$第二十二章 二次函数 单元测试卷·数学 人教版 （解析版） （满分：120分 时间：120分钟） 注意事项： 1.本套试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题 2.作答时合理安排时间，解答题须写出必要的步骤及过程 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1.下列函数一定是二次函数的是（　　） A． B．y＝3（x﹣1）2 C．y＝ax2+bx+c D．y＝2x+1 1.B 2.平移二次函数的图象y＝x2，使其顶点落在第二象限，且顶点到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则平移后的二次函数（　　） A．对称轴为x=3 B．有最大值-2 C．对称轴为x=-3 D．有最小值-2 2.C 3.根据下表中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（　　） x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.06 A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20 3.C 4．已知二次函数y＝﹣x2+2x，当﹣1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．﹣1＜a≤1 C．a＞0 D．﹣1＜a＜2 4.B 5．无论k为何实数，直线y＝2kx+1和抛物线y＝x2+x+k（　　） A．没有公共点 B．有一个公共点 C．有两个公共点 D．公共点的个数不能确定 5.C 6.在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜5）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式是（　　） A．y＝25﹣2x B．y＝x2 D．y＝25﹣x2 C．y＝x2﹣25 6.D 7．（2025安庆二模）二次函数y＝mx2﹣（m2﹣3m）x+1﹣m的图象关于y轴对称，则m的值是（　　） A．0 B．3 C．1 D．0或3 7.B 8．（2024陕西）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … ﹣4 ﹣2 0 3 5 … y … ﹣24 ﹣8 0 ﹣3 ﹣15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x＝1 8.D 9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有以下结论：①2a+b＝0；②4a﹣2b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c+4＝0没有实数根．其中正确的是（　　） 第9题图 A．①④ B．③④ C．①②③ D．①③④ 9.D 10.如图，在等边△ABC中，AB＝2，点D从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B运动，过点D作AB的垂线，垂足为点E．设点D的运动时间为x秒，△ADE的面积为y（当A，D，E三点共线时，不妨设y＝0），则能够反映y与x之间的函数关系的图象大致是（　　） 第10 题图 A． B． C． D． 10.C【解析】根据题意可知，当点D运动到点C时，2x＝2，即x＝1时，△ADE的面积发生变化，由此可排除D选项；①当点D在AC上，即0≤x≤1时，如解图1，由点D的运动可知，AD＝2x，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝30°，∴AE＝x，∴DEx，∴y•AE•DEx•xx2，由此可排除A，B；②当点D在BC上，即1≤x≤2时，如解图，由点D的运动可知，AC+CD＝2x，∴BD＝4﹣2x，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠BDE＝30°，∴BE＝2﹣x，∴AE＝x，DE（2﹣x），∴y•AE•DEx•（2﹣x）x2x．故选C． 图1 图2 第10 题解图 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分18分） 11．抛物线y＝（x+2）2+1的顶点坐标为　 　． 11.（﹣2，1） 12.已知二次函数y＝（k﹣2）x2+4x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 ． 12. k≤6且k≠2 13.已知点（﹣1，y1），（﹣4，y2）在二次函数y＝x2+4x﹣m的图象上，则y1，y2的大小关系是： ． 13.y1＜y2 14.如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则不等式ax2+bx+c＜3的解集是 　 ． 第14题图 14．x＜0或x＞2 15.某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则CD的长为（　　） 第15题图 15．22m 16.（2025烟台一模）小好同学用计算机软件绘制函数y＝x3﹣3x2+3x﹣2的图象如图所示，发现它关于点（1，﹣1）成中心对称，若点A0（0，y0），A1（0.1，y1），A2（0.2，y2），A3（0.3，y3）…，A19（1.9，y19），A20（2，y20）都在函数图象上，这些点的横坐标从0开始依次增加0.1，则y0+y1+y2+⋯+y19+y20的值是　 　 ． 第16题图 16.-21【解析】解：由条件可知1， ∴y0+y1+y2+y3+⋯y9+y11⋯+y19+y20＝﹣20， ∴y0+y1+y2+y3+⋯⋯+y19+y20＝﹣20+y10， 又∵A10（1，﹣1），即y10＝﹣1， ∴y0+y1+y2+y3+⋯⋯+y19+y20＝﹣20+y10＝﹣20﹣1＝﹣21． 故答案为：﹣21． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 人教版单元测试卷第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 17.（本小题8分）已知抛物线y＝ax2+c与y＝x2+3的开口大小相同，开口方向相反，且顶点为（0，1），求该抛物线对应的函数表达式． 17.解：∵抛物线y＝ax2+c与y＝x2+3的开口大小相同，开口方向相反， ∴a＝﹣1. 将点（0，1）代入y＝﹣x2+c， 得c＝1， ∴该抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+1． ..........................................（8分） 18．（本小题8分）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2+2x﹣m． （1）若该二次函数图象的顶点在x轴上，求此时二次函数的表达式及其顶点坐标； （2）若该抛物线的顶点到x轴的距离为2，求m的值． 18.解：（1）由题意可得，Δ＝4+4m＝0， ∴m＝﹣1， ∴此时二次函数的表达式为 y＝x2+2x+1＝（x+1）2， ∴顶点坐标为 （﹣1，0）； ..........................................（4分） （2）由y＝x2+2x﹣m＝（x+1）2﹣m﹣1可得抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣m﹣1）， ∵该抛物线的顶点到x轴的距离为2， ∴﹣m﹣1＝2 或﹣m﹣1＝﹣2， ∴m＝﹣3或1． ..........................................（8分） 19．（本小题8分）（2025春南海区期中）问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组﹣1＜﹣2|x|+5≤3的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题： 首先令y＝﹣2|x|+5，再通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行了探究． 如表y与x的几组对应值： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … ﹣3 ﹣1 1 3 5 3 1 ﹣1 ﹣3 … 第19题图 （1）如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，请你画出该函数的图象；并观察函数y＝﹣2|x|+5的图象，当y随x的增大而减小时，x的取值范围是　 　 ； （2）若A（m，n），B（6，n）为该函数图象上不同的两点，则m＝　　 ； （3）当﹣1＜﹣2|x|+5≤3时，自变量x的取值范围是　 　 ； （4）定义，例如min（2，3）＝2，min（a2，a2﹣1）＝a2﹣1，则函数的最大值为　　 ． 19.解：（1）函数的图象如图的所示， 根据图象可得：当y随x的增大而减小时，x的取值范围是x≥0； （2）把A（m，n），b（6，n），分别代入y＝﹣2|x|+5， 得， 则﹣2|m|+5＝﹣7， 解得：m＝±6， ∵A（m，n），b（6，n），该函数图象上不同的两点， ∴m＝﹣6； （3）由图象可得：当﹣1＜﹣2|x|+5≤3时，自变量x的取值范围是﹣3＜x≤﹣1或1≤x＜3； （4）由图象可得： 当时，y＝min（﹣2|x|+5，x）＝﹣2|x|+5，当时，y的最大值为； 当时，y＝min（﹣2|x|+5x，当x＝2时，y的最大值为1； 当x≥2时，y＝min（﹣2|x|+5，x）＝﹣2|x|+5，当x＝2时，y的最大值为1； 综上，y的最大值为1． 第19题解图 20.（本小题8分）规定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为相反数的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”． （1）若点（a2+1，﹣2a）是“完美点”，则a＝ 　　 ； （2）已知某“完美函数”的顶点在直线y＝x﹣2上，且与y轴的交点到原点的距离为2，求该“完美函数”的表达式． 20.解：（1）1；……（2分） （2）∵某“完美函数”的顶点在直线y＝x﹣2上， ∴设函数的顶点为（x，x﹣2）， ∵该函数为“完美函数”， ∴x+x﹣2＝0， 解得：x＝1， ∴x﹣2＝1﹣2＝﹣1， ∴该函数的顶点为（1，﹣1），……（4分） 设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣1， 令x＝0，则y＝a﹣1， ∵该函数与y轴的交点到原点的距离为2， ∴|a﹣1|＝2， 解得：a＝﹣1或a＝3， ∴y＝﹣（x﹣1）2﹣1＝﹣x2+2x﹣2或y＝3（x﹣1）2﹣1＝3x2﹣6x+2， ∴该“完美函数”的表达式为：y＝﹣x2+2x﹣2或y＝3x2+6x+2．……（8分） 21.（本小题8分）（2025上城区一模）设二次函数y＝﹣x2+2ax﹣a+3． （1）若该函数的对称轴为直线x＝1，求该函数的顶点坐标； （2）判断该函数是否存在最大值5，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； （3）已知点P（6，3﹣a），M（x1，y1）和N（x2，y2）在函数图象上，当1≤x1≤4时，都有y1＞y2，求x2的取值范围． 21.解：（1）∵该函数的对称轴为直线x＝1， ∴1，解得a＝1， ∴y＝﹣x2+2x+2， ∵y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3， ∴该函数的顶点坐标为（1，3）； （2）令二次函数y＝﹣x2+2ax﹣a+3的最大值5， 整理得a2﹣a﹣2＝0， 解得a＝2或a＝﹣1， ∴该函数存在最大值5，此时a＝2或a＝﹣1； ..........................................（4分） （3）∵点P（6，3﹣a），M（x1，y1）和N（x2，y2）在函数图象上， ∴3﹣a＝﹣36+12a﹣a+3， 解得a＝3， ∴y＝﹣x2+6x， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x3， ∵当1≤x1≤4时，都有y1＞y2， ∴x2＜1或x2＞5． ..........................................（8分） 22．（本小题10分）（2025西工区一模）在河南中招体育考试中，洛阳某考点的乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2所示，分别建立平面直角坐标系xOy．小明通过测量得到球距离台面的高度y（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：dm）的相关数据，发现在“直发式”模式下球的运动轨迹的函数表达式为y＝﹣0.01（x﹣4）2+3；在“间发式”模式下，球第一次接触台面的运动轨迹的函数表达式为y＝﹣0.42x+n，第一次接触台面后到第二次接触台面的运动轨迹的函数表达式为y＝﹣0.05（x﹣16）2+3.2． 第22题图 （1）求“间发式”模式下，发球器出口距离台面的高度． （2）设“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为d1，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为d2，要使d1＝d2，则“直发式”模式下，发球器出口的高度应上下调整多少？ 22.解：（1）由题意，令0＝﹣0.05（x﹣16）2+3.2， ∴x1＝8，x2＝24． 把（8，0）代入y＝﹣0.42x+n，得0＝﹣0.42×8+n， ∴n＝3.36． ∴y＝﹣0.42x+3.36． 又令x＝0， ∴y＝3.36． ∴“间发式”模式下，发球器出口距离台面的高度为3.36dm． ..........................................（5分） （2）由（1）可知“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为d2＝24． ∴d1＝d2＝24． 又设调整后“直发式”模式下球的运动轨迹的函数表达式为y＝﹣0.01（x﹣4）2+3+k， 又图象过（24，0）， ∴0＝﹣0.01×（24﹣4）2+3+k． ∴k＝1． ∴要使d1＝d2，则“直发式”模式下，发球器出口的高度应向上调整1dm． ..........................................（10分） 23.（本小题10分）已知抛物线y＝﹣x2+bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y＝﹣x2+2x的顶点横坐标大1． （1）求b的值； （2）点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x上，点B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝﹣x2+bx上． （ⅰ）若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值； （ⅱ）若x1＝t﹣1，求h的最大值． 23.解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx的顶点横坐标为，y＝﹣x2+2x的顶点横坐标为1， ∴， ∴b＝4；……（2分） （2）∵点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x上， ∴， ∵B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝﹣x2+4x上， ∴， t）， ∴h＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t，……（4分） （i）∵h＝3t， ∴3t＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t， ∴t（t+2x1）＝t+2x1， ∵x1≥0，t＞0， ∴t+2x1＞0， ∴t＝1， ∴h＝3；……（7分） （ii）将x1＝t﹣1代入h＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t， ∴h＝﹣3t2+8t﹣2， ， ∵﹣3＜0， ∴当，即时，h取最大值．……（10分） 24．（本小题12分）已知抛物线y＝ax2﹣8ax﹣a2+2a2+2（a＞0）过点M（x1，4）和点N（x2，4）且x1＜x2，直线y＝bx+c过点A（1，2），交线段MN于点B． （1）求抛物线的对称轴． （2）已知△ABM的周长为C1，△ABN的周长为C2，且C1﹣C2＝4． ①求点B的坐标； ②过点A作直线CD∥MN，交抛物线于C，D两点，求△BCD面积的最小值及此时抛物线的解析式． 24.解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣8ax﹣a3+2a2+2（a＞0）， ∴抛物线的对称轴为， ∴抛物线的对称轴为直线x＝4； ..........................................（4分） （2）①∵抛物线W过点M（x1，4），N（x2，4）， ∴点M和点N关于抛物线的对称轴对称，且直线MN为y＝4， ∴，即x1+x2＝8， ∵点B在线段MN上， ∴设点B的坐标为（t，4），其中x1＜t＜x2， ∴BM＝t﹣x1，BN＝x2﹣t， 第24题解图 ∵A（4，2）， ∴点A在抛物线的对称轴上， ∴AM＝AN， ∴C1＝AM+AB+BM，C2＝AN+AB+BN， ∴C1﹣C2＝BM﹣BN＝4， 即：（t﹣x1）﹣（x2﹣t）＝2t﹣（x1+x2）＝4， ∵2t﹣8＝4，解得t＝6， ∴B（6，4）； ..........................................（8分） ②令y＝2，则ax2﹣8ax﹣a3+2a2+2＝2， 解得：，， ∴， ∵A（x1，2）， ∴CD∥MN，点A（4，2）到直线MN的距离为4﹣2＝2， ∴， 当a＝1时，（a﹣1）2+15有最小值15，此时△BCD有最小值， ∴此时抛物线的解析式为y＝x2﹣8x+3， ∴综上所述，△BCD的面积最小值为，此时抛物线W的解析式为y＝x2﹣8x+3． ..........................................（12分） $$