几何图形专项思维训练卷-六年级下册数学思维提升卷（苏教版）

( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) 绝密★启用前 2024-2025学年六年级下学期培优试卷 几何图形专项思维训练题 时间:90分钟；总分:100分；日期:2025年5月 注意事项： 1．答题前填写好自己的学校、班级、姓名等信息，请写在试卷规定的位置。 2．请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。 3．测试范围：总复习卷 一、填空题。（第4题6分，第10题3分，其余每题2分，共25分） 1.顶角是30°的等腰三角形，也是（ ）角三角形。 2.把一个平面图形按2:1的比例放大，则放大后的图形周长与原来图形周长之比为（ ），面积之比是（ ）。 3.等底等高的圆柱与圆锥的体积之和是48立方厘米，则体积之差为（ ）立方厘米。 4.整体思想是数学解题的重要方法。请你用整体法解决下面的问题。 （1）如图1所示，已知小正方形的面积是8平方分米，则阴影部分的面积是（ ）平方分米。 （2）如图2所示，将一个体积是12立方厘米的正方体加工成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是（ ）立方厘米。 （3）一个圆柱体的侧面积是 50.24平方厘米,高和底面半径相等,这个圆柱体的表面 积是（ ）平方厘米。 5.一个圆形花坛的直径是4米，现在沿着花坛的外围铺一条宽1米的石子路，这条路的面积是（ ）。 6.右面几何体是由棱长厘米的小正方体搭成的，它的表面积是（ ）平方厘米；至少还需要（ ）个这样的小正方体，才能搭成一个大正方体。 7.明明把一块长6厘米、宽3厘米、高4厘米的长方体橡皮泥捏成一个高是8cm的圆柱，捏成的圆柱的底面积是（ ）平方厘米。如果捏成与圆柱底面相等的圆锥,这个圆锥的高是（ ）厘米。 8.一个圆柱的底面积等于侧面积，则底面半径与高的比是（ ）。 9.如图,一张直角三角形硬纸板,两条直角边AB与BC的比是1：2，分别以AB、BC为轴将三角形旋转一周,都可以形成一个（ ）,它们的体积之比为（ ）。 10.把12个棱长为1厘米的小正方体拼成一个大正方体，共有（ ）种不同的拼法，拼成的长方体中，表面积最大是（ ）平方厘米，最小是（ ）平方厘米。 二、选择题。（20分） 1.在直径是8米的圆形喷水池边上每隔0.628米放一盆花，一共可以放（ ）盆花。 A.39 B.40 C.79 D.80 2.如图,从M到N有两条路可以走,这两条路相比,（ ）。 A.路线A 更长 B.路线B更长 C.一样长 D.无法比较 3.一个可口可乐的容积是335（ ）。 A.升 B.立方分米 C.立方米 D.毫升 4.下面四杯糖水中最甜的是（ ）。 5.一个圆柱和一个圆锥的体积相等，圆柱的高是圆锥的一半，则圆锥的底面积是圆柱的（ ）。 A.1.5 B.2倍 C.4倍 D.6倍 6.四个同样大小的圆柱拼成一个高为 40 厘米的大圆柱时，表面积减少了72平方厘米，则每个小圆柱的体积是( )立方厘米。 A.120 B.360 C.480 D.720 7.一个边长为10厘米的正方形，相邻的两边中，一边增加2厘米，另一边减少2厘米，变成一个长方形，那么它的周长和面积的变化情况是（ ）。 A.周长和面积都不变 B.周长增加，面积不变 C.周长不变，面积变小 D.周长缩短，面积不变 8.转化思想是解决几何图形的重要方法，下面运用了转化思想的有（ ）。 A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 9.把一个圆柱的底面平均分成若干个扇形，然后拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了100平方厘米,圆柱的高是10厘米,圆柱的侧面积是（ ）平方厘米。 A.314 B.628 C:785 D.1000 10.如图所示:S△ABC=1，若S△BDE=S△DEC=S△ACE，那么S△ADE=（ ）。 A. B. C. D. 三、综合实题。（4+6=10分） 1.下图是一个直角梯形(单位:cm)。请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形。 2.按要求画图。 （1）把图中的长方形绕A点顺时针旋转 90°，画出旋转后的图形，旋转后B点的位用数对表示是（ ， ） （2）按1:2的比画出三角形缩小后的图形，求缩小后的三角形的面积与原来的三角形的面积比。 四、图形计算。（15分） 1.求下面图形阴影部分面积。（单位：dm） 2.求下面图1的表面积和图2的体积。（单位：cm） 五、解决问题。（6×5=30分） 1.一个圆锥形沙堆，高是6米，底面直径4米。把这些沙子铺在一个长为5米，宽为2米的长方体的沙坑里，如果刚好铺满，则铺的厚度是多少厘米? 2.如图，已知小圆的直径是4厘米，圆环的面积(阴影部分)是100.48平方厘米，则大圆的面积是多少平方厘米? 3.下图是由9个正三角形组成的图形，其中最小的白色三角形的边长是1厘米，求这个组合图形的周长。 4.如图，有一个底面长为 20 分米、宽为8分米、高为15分米的长方体水池，存有一池水。将一个高为50分米、体积为400立方分米的圆柱竖直放人水池中,那么圆柱被水浸湿的部分有多少分米高?水是否溢出? 5.聪聪在一个圆上钉了三颗钉子A，B，C，并用橡皮筋把这三颗钉子套住，围成一个三角形，如图，直径两端的钉子A，B不动，而钉子C沿着圆周移动，移动时C点到直径AB的距离每增加1厘米，橡皮筋所围成的△ABC的面积就增加2平方厘米，圆的面积是多少平方厘米? 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) 绝密★启用前 2024-2025学年六年级下学期培优试卷 几何图形专项思维训练题 时间:90分钟；总分:100分；日期:2025年5月 注意事项： 1．答题前填写好自己的学校、班级、姓名等信息，请写在试卷规定的位置。 2．请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。 3．测试范围：总复习卷 一、填空题。（第4题6分，第10题3分，其余每题2分，共25分） 1.顶角是30°的等腰三角形，也是（ ）角三角形。 【答案】锐 【解析】等腰三角形由1个顶角和2个相等的底角组成。 底角度数：（180°-30°）÷2=75°，所以三角形中最大的交的度数是75°，为锐角三角形。 2.把一个平面图形按2:1的比例放大，则放大后的图形周长与原来图形周长之比为（ ），面积之比是（ ）。 【答案】2:1；4:1. 【解析】图形放大，指的是距离放大2倍，即周长也放大2倍，面积放大22=4倍。 所以图形放大后的图形与原来图形周长之比为2:1，面积之比是4:1。 3.等底等高的圆柱与圆锥的体积之和是48立方厘米，则体积之差为（ ）立方厘米。 4.整体思想是数学解题的重要方法。请你用整体法解决下面的问题。 （1）如图1所示，已知小正方形的面积是8平方分米，则阴影部分的面积是（ ）平方分米。 （2）如图2所示，将一个体积是12立方厘米的正方体加工成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是（ ）立方厘米。 （3）一个圆柱体的侧面积是 50.24平方厘米,高和底面半径相等,这个圆柱体的表面 积是（ ）平方厘米。 【答案】（1）25.12；（2）3.14；（3）100.48 【解析】 （1）观察图形，可以清楚地看出正方形的边长与圆的半径相等。题目要求圆的面积则须知道半径是多少，然而正方形的面积是8平方米，不好直接计算出边长具体是多少，解题似乎陷入了僵局。其实，我们不妨换个角度去思考，既然正方形边长不好求，何不把正方形面积a2=8看作一个整体。 设正方形边长为a米，即圆的半径是a米，正方形的面积可表示为a2=8，则圆的面积是 3.14×r2。将a2=8整体代入得圆的面积是 3.14×8=25.12(平方米)。 （2）如图，通过将一个正方体加工成一个最大的圆锥体这个条件可以暗示我们圆锥的底面半径是正方体棱长的一半，圆锥的高就等于正方体的棱长。虽然要求圆锥的体积必须知道底面半径和高，但题目并未直接给出,仅说正方体的体积是12立方米，而这个条件根本无法求出棱长。 因此，我们不妨设正方体棱长为a，则正方体体积:a3=12(立方厘米)。 将其整体直接代入圆锥体积公式，则圆锥的体积是3.14×（）2×a×=3.14×a3×=3.14×12×=3.14(立方厘米) （3）题目要求圆柱体的表面积就需要知道底面半径和高具体是多少,而题目只告诉我们高和底面半径相等这一条件，从这一条件并不能直接求出圆柱的表面积。所以应从侧面积是 50.24平方厘米这一条件进行突破。 我们知道圆柱的侧面积列式为2πr×r=50.24，得r2=8，而半径不能直接求出，所以可以把r2看作整体，进而求出底面积是:3.14×r2=3.14×8=25.12(平方厘米)。 圆体的表面积是:侧面积+2×底面积=50.24+25.12×2=100.48(平方厘米) 5.一个圆形花坛的直径是4米，现在沿着花坛的外围铺一条宽1米的石子路，这条路的面积是（ ）。 【答案】15.7平方米 【解析】考查环形面积计算。 计算方法：S环=π（R2-r2） 内半径r=4÷2=2（m），外半径R=2+1=3（m） π×（32-22）=15.7（平方米） 6.右面几何体是由棱长厘米的小正方体搭成的，它的表面积是（ ）平方厘米；至少还需要（ ）个这样的小正方体，才能搭成一个大正方体。 【答案】28平方厘米；20个 【解析】 第一层由2个小正方体，下面一层油5个小正方体，一共有7个小正方体组成。 从上面看到的面为5个小正方形，左面看到的5个小正方形，前面看到的是4个小正方形。通过三视图得到几何体是有（5+5+4）×2=28个小正方形的面组成的表面积。所以表面积为1×1×28=28（平方厘米） 几何体最长跨度为3厘米，所以压迫拼成的一个正方体的棱长最长为3厘米，即3×3×3=27（立方厘米） 27-7=20（个） 7.明明把一块长6厘米、宽3厘米、高4厘米的长方体橡皮泥捏成一个高是8cm的圆柱，捏成的圆柱的底面积是（ ）平方厘米。如果捏成与圆柱底面相等的圆锥,这个圆锥的高是（ ）厘米。 【答案】72；27 【解析】长方体的橡皮泥捏成了圆柱形后，体积不变。 长方体体积=圆柱体积=6×3×4=72（立方厘米） 圆柱底面积=体积÷高=72÷8=9（厘米） 捏成等底面积相等的圆锥后，体积也不变，所以圆锥的高为圆柱高的3倍，即9×3=27（厘米） 8.一个圆柱的底面积等于侧面积，则底面半径与高的比是（ ）。 【答案】2:1 【解析】 根据题意得到： π×r×r=2π×r×h 即r=2h 所以r：h=2:1 9.如图,一张直角三角形硬纸板,两条直角边AB与BC的比是1：2，分别以AB、BC为轴将三角形旋转一周,都可以形成一个（ ）,它们的体积之比为（ ）。 【答案】圆锥；2:1 【解析】以AB为轴，CB为半径；以BC为轴，AB为半径旋转得到的圆锥体积之比为： （π×22×1×：（π×12×2× =2:1 10.把12个棱长为1厘米的小正方体拼成一个大正方体，共有（ ）种不同的拼法，拼成的长方体中，表面积最大是（ ）平方厘米，最小是（ ）平方厘米。 【答案】50；32 【解析】 不管怎样拼，拼成的长方体的体积不变，体积都是12立方厘米。把12=长×宽×高。 分解如下： ①12=12×1×1（长为12厘米，宽为1厘米，高为1厘米） ②12=6×2×1（长为6厘米，宽为2厘米，高为1厘米） ③12=4×3×1（长为4厘米，宽为3厘米，高为1厘米） ④12=3×2×2（长为3厘米，宽为2厘米，高为2厘米） 得到的表面积依次为： ①12×1×4+1×1×2=50平方厘米） ②（6×2+6×1+2×1）×2=40（平方厘米） ③（4×3+4×1+3×1）×2=38（平方厘米） ④3×2×4+2×2×2=32（平方厘米） 所以表面积最大为50平方厘米，最小为32平方厘米。 二、选择题。（20分） 1.在直径是8米的圆形喷水池边上每隔0.628米放一盆花，一共可以放（ ）盆花。 A.39 B.40 C.79 D.80 【答案】B 【解析】考查环形图形上植树问题。棵树=间隔数 喷水池的周长：π×8 花数：3.14×8÷0.628=40（盆） 2.如图,从M到N有两条路可以走,这两条路相比,（ ）。 A.路线A 更长 B.路线B更长 C.一样长 D.无法比较 【答案】C 【解析】两条路的直径相等，所以路长也相等。 3.一个可口可乐的容积是335（ ）。 A.升 B.立方分米 C.立方米 D.毫升 【答案】D 【解析】可口可乐的容积最为合理的是335毫升。 4.下面四杯糖水中最甜的是（ ）。 【答案】A 【解析】考查四个圆柱型容器中糖水的含糖率的高低。 A、B、C、D的含糖率分别为： 18÷90=20% 20÷120≈16.7% 4÷54≈7.4% 5÷65≈7.7% 所以最甜的为A 5.一个圆柱和一个圆锥的体积相等，圆柱的高是圆锥的一半，则圆锥的底面积是圆柱的（ ）。 A.1.5 B.2倍 C.4倍 D.6倍 【答案】A 【解析】 圆柱与圆锥相比 体积比=1:1 高之比=1:2 底面积之比=（1÷1）：（1×3÷2）=2:3 所以圆柱底面积是圆柱的3÷2=1.5倍。 6.四个同样大小的圆柱拼成一个高为 40 厘米的大圆柱时，表面积减少了72平方厘米，则每个小圆柱的体积是( )立方厘米。 A.120 B.360 C.480 D.720 【答案】A 【解析】四个圆柱体拼成一个大圆柱后，减少了6个底面圆的面积。底面积为72÷6=12（平方厘米） 每个小圆柱体积=底面积×高=12×（40÷4）=120（平方厘米） 7.一个边长为10厘米的正方形，相邻的两边中，一边增加2厘米，另一边减少2厘米，变成一个长方形，那么它的周长和面积的变化情况是（ ）。 A.周长和面积都不变 B.周长增加，面积不变 C.周长不变，面积变小 D.周长缩短，面积不变 【答案】C 【解析】正方形的周长:10×4=40(厘米)，正方形的面积:10×10=100(平方厘米);长方形的周长:2×(10+2+10-2)=2×20=40(厘米)，长方形的面积:(10+2)×(10-2)=12×8=96(平方厘米)。所以周长不变，面积变小。答案为C 8.转化思想是解决几何图形的重要方法，下面运用了转化思想的有（ ）。 A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 ①是采用剪拼法，把圆柱转化为一个近似的长方体，利用长方体的体积推导圆柱体积公式，运用了转化思想； ②把三角形转化为等底等高的平行四边形来推导三角形面积公式，运用了转化思想； ③把圆转化为近视的长方形来推导圆面积公式，运用了转化思想； ④通过在添加一个同样的几何体，把不规则的圆柱转化为规则的圆柱，次圆柱体积的一半就是所求图形的体积，运用了转化思想。 所以答案为D 9.把一个圆柱的底面平均分成若干个扇形，然后拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了100平方厘米,圆柱的高是10厘米,圆柱的侧面积是（ ）平方厘米。 A.314 B.628 C:785 D.1000 解析:圆柱的底面半径是:100÷2÷10=50÷10=5(厘米); 圆柱的侧面积是:2×3.14×5×10=314(平方厘米)。 答案:A 10.如图所示:S△ABC=1，若S△BDE=S△DEC=S△ACE，那么S△ADE=（ ）。 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意可知：BD=DC，AE：BE=1:2； △ABD的面积等于总面积的，△AED的面积等于△ABD的，所以△AED的面积等于总面积的×=。 三、综合实题。（4+6=10分） 1.下图是一个直角梯形(单位:cm)。请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形。 【解析】作图如下： 先在AD上截取AE等于2厘米，可以证明三角形BAD与三角形EDC完全一样，所以BE=EC，三角形BEC为等腰三角形，三角形BEC的顶点E作底边BC的中垂线，把三角形BEC评分为两个完全一样的三角形。得到的四边形BAEF和四边形EDCF完全相同。 2.按要求画图。 （1）把图中的长方形绕A点顺时针旋转 90°，画出旋转后的图形，旋转后B点的位用数对表示是（ ， ） （2）按1:2的比画出三角形缩小后的图形，求缩小后的三角形的面积与原来的三角形的面积比。 【答案】 (1)(7，6)；(2)1:4 【解析】 (1)根据旋转的特征，把长方形绕点A顺时针旋转90°后，点A的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形;根据旋转后点B的位置及用数对表示点的位置的方法，表示出旋转后点B的位置。 (2)图中三角形是两直角边分别为4格、6格的直角三角形，根据图形放大与缩小的意义，按1:2缩小后的三角形是两个直角边分别为2格、3格的直角三角形；分别求原三角形和缩小后三角形的面积，再用缩小后三角形的面积除以原三角形的面积就是它们的面积比。 解: (1)把图中的长方形绕A点顺时针旋转90°，画出旋转后的图形如下图旋转后B点的位置用数对表示是(7，6)。 (2)按1:2的比画出三角形缩小后的图形如下图。 缩小后的三角形面积:2×3÷2=3原三角形面积:4×6÷2=12 3÷12=，即缩小后的三角形的面积与原来三角形面积的比是1:4。 四、图形计算。（15分） 1.求下面图形阴影部分面积。（单位：dm） 【答案】15.25平方分米 【解析】此图由三个基本图形组合而成，且其中两个半圆的面积有部分面积重叠。 方法：要求阴影部分面积，可以先计算出两个半圆的面积，此时重叠部分的面积计算了2次，要减去1次，再减去白色部分的面积就等于阴影部分面积。相当于大半圆面积+小半圆面积-直角三角形面积。 解： π×（6÷2）2÷2+π×（8÷2）2÷2-6×8÷2 =12.5π-24 =15.25（平方分米） 2.求下面图1的表面积和图2的体积。（单位：cm） 【答案】（1）729.84平方厘米；（2） 【解析】 （1）图1：表面积由四部分组成：上下2个半圆，左边为圆柱侧面积的一半，右边为长方形。 表面积=圆面积+侧面积÷2+长方形面积 π×（12÷2）2+π×12×20÷2+12×20 =36π+120π+240 =156π+240 =729.84（平方厘米） （2）此图形为不规则长方体，此体积可以采用“横截面积×长”方法计算。 横截面积为梯形，长为3厘米 体积： （4+6）×4÷2×3 =40÷2×3 =60（立方厘米） 五、解决问题。（6×5=30分） 1.一个圆锥形沙堆，高是6米，底面直径4米。把这些沙子铺在一个长为5米，宽为2米的长方体的沙坑里，如果刚好铺满，则铺的厚度是多少厘米? 【答案】251.2厘米 【解析】 由题意知，“沙堆”由原来的圆锥形变成后来的长方体只是形状变了、体积没变，所以先利用圆锥的体积公式V=Sh求出沙堆的体积，再利用长方体的体积公式求出“厚度”即可。 解::3.14×(4÷2)2×6×÷(5×2) =3.14×8÷10 =25.12÷10 =2.512(米) =251.2（厘米） 2.如图，已知小圆的直径是4厘米，圆环的面积(阴影部分)是100.48平方厘米，则大圆的面积是多少平方厘米? 【解析】因为圆环的面积(阴影部分)+小圆的面积=大圆的面积，小圆的直径已知，从而可以求出小圆的面积，进而可以求出大圆的面积。 解:3.14×(4÷2)2+100.48 =12.56+100.48 =113.04(平方厘米) 答:大圆的面积是113.04平方厘米。 3.下图是由9个正三角形组成的图形，其中最小的白色三角形的边长是1厘米，求这个组合图形的周长。 【答案】30厘米 【解析】 可以设①号三角形的边长为a，则②③号三角形的边长为a+1，④号三角形边长为,a+2，⑤号三角形边长为a+3。又因为⑤号三角形边长等于①号三角形的边长的2倍，得到方程2a=a+3，解得a=3厘米。再分别求出个三角形边长及整个图形的周长。 解： 设①号三角形的边长为a，则⑤号三角形边长为a+3，得出方程： 2a=a+3，得a=3（厘米） 所以①③④⑤三角形边长分别为3、4、5、6厘米。 组合图形的周长为3+3+4+4+5+5+6=30（厘米） 4.如图，有一个底面长为 20 分米、宽为8分米、高为15分米的长方体水池，存有一池水。将一个高为50分米、体积为400立方分米的圆柱竖直放人水池中,那么圆柱被水浸湿的部分有多少分米高?水是否溢出? 【答案】10分米；水没有溢出。 【解析】由题意知，原来容器中的水量可以看成是长20分米、宽8分米、高为15×=10(分米)的长方体的体积，现将一个高50分米、体积为400立方分米的圆柱放入池中，求出圆柱的底面积为400÷50=8(平方分米)，再用10×8求出上升部分水的体积，然后除以长方体的底面积与圆柱的底面积的差即是水升高的高度，用水升高的高度加上10分米即圆柱被水浸湿的部分的高。 解:400÷50=8(平方分米) 8×15×=80(立方分米)米 80÷(20×8-8) =80÷152 = (分米) 10+=10 (分米) 因为10＜15，所以水没有溢出。 答:圆柱被水浸湿的部分有10分米高，水没有溢出。 5.聪聪在一个圆上钉了三颗钉子A，B，C，并用橡皮筋把这三颗钉子套住，围成一个三角形，如图，直径两端的钉子A，B不动，而钉子C沿着圆周移动，移动时C点到直径AB的距离每增加1厘米，橡皮筋所围成的△ABC的面积就增加2平方厘米，圆的面积是多少平方厘米? 【解析】由题意可知:当C点到AB的距离等于圆的半径时，三角形的面积最大，所以可以设圆的半径为r，依据现在圆的面积-原来圆的面积=2平方厘米，即可列方程求解。 解:设圆的半径为rcm，则 2r×r÷2-2r×(r-1)÷2=2 r=2 圆的面积是:nr2=3.14×4=12.56(平方厘米) 答:圆的面积是12.56平方厘米。 学科网（北京）股份有限公司 $$