第六章第05讲 解题技巧专题：平行四边形中折叠、旋转、线段最值问题（6类热点题型讲练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（北师大版）

第05讲 解题技巧专题：平行四边形中折叠、旋转、线段最值问题 目录 【考点一 平行四边形中折叠求角度问题】 1 【考点二 平行四边形中折叠求线段长】 4 【考点三 平行四边形中折叠求面积】 8 【考点四 平行四边形中折叠证明问题】 10 【考点五 平行四边形中旋转问题】 15 【考点六 平行四边形中求线段最值问题】 23 【考点一 平行四边形中折叠求角度问题】 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，将沿对角线折叠，使点落在点处．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，E，F分别为，的中点，将沿直线折叠，点C落在边上点G处，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在平行四边形中，E为边上一点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，则的大小为 . 4．（2024·浙江·模拟预测）在平行四边形中，点，在边上，把沿直线折叠，沿直线折叠，使点，落在对角线上的点处，若，则的度数为 ． 【考点二 平行四边形中折叠求线段长】 1．（24-25九年级上·重庆北碚·开学考试）如图，在平行四边形中，，，，点E是边上的一点，点F是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则的长度为 ． 2．（23-24九年级下·山东济南·开学考试）如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到△，当点恰好落在上时，的长为 ． 3．（2024·湖北十堰·模拟预测）如图，平行四边形中，，，将平行四边形沿折叠，使点C与点A重合，点D落在平面内的处，折痕交于点F，交于点E，已知，则折痕长为 ． 【考点三 平行四边形中折叠求面积】 1．（24-25八年级下·安徽池州·期中）如图，将一张纸片沿着折叠，点的对应点恰好落在上，连接，若，，则图中阴影部分（）的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·云南楚雄·一模）如图，在平行四边形ABCD中，将沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处，若，，则平行四边形ABCD的面积为（ ） A．8 B． C． D． 3．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在平行四边形纸片中，， 将纸片沿对角线对折，交边于点E，则折叠后图中重合部分的面积是 ． 【考点四 平行四边形中折叠证明问题】 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形纸片沿折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处， (1)求证：； (2)求证：． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）已知，如图，把平行四边形纸片沿折叠，点落在处，与相交于点． (1)求证：； (2)连接，判断与的位置关系并且证明． 3．（2025·湖南长沙·一模）如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，试判断的形状，并说明理由． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接． (1)【观察发现】如图1，若，，，求的长； (2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形． 【考点五 平行四边形中旋转问题】 1．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，，将绕点O逆时针方向旋转到的位置，则点的坐标是（） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，将平行四边形绕点旋转，当点D的对应点落在边上时，点C的对应点恰好与点B，C在同一直线上，若，则此时的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图所示，将绕点A按逆时针方向旋转，得到（点与点、点与点、点与点分别对应）．若点恰好落在上，则 ． 4．（23-24八年级下·上海青浦·期中）如图，在平行四边形中，，，面积为120，点是边上一点，连接，将线段绕着点旋转得到线段，如果点恰好落在直线上，那么线段的长为    5．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，将平行四边形绕着点C按顺时针方向旋转得到平行四边形，使点B落在边上的点E处，连接． (1)求证：平分． (2)如图2，当B，E，F三点在同一直线时，且，，求平行四边形的面积． (3)如图3，连接交于点H，求证：点H为的中点． 6．（23-24八年级下·江西吉安·期末）问题情景 已知与中，，同学们利用这样的两张平行四边形纸片开展操作实验，从中发现；许多有趣的数学问题，请你们和他一起探索．     拼图思考： （1）希望小组的同学将与按照如图1所示摆放，其中点B与重合，点落在边上，点落在边的延长线上，他们提出了如下问题，请你解答： ①求证：平分； ②求点之间的距离． 操作探究： （2）创新小组的同学在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点B沿顺时针方向旋转，连接，他们又提出如下问题： ①当线段与交于点P时，如图2，求证：点B在的垂直平分线上； ②在旋转的过程中，当点恰好落在线段的延长线上时，请在图3中补全图形，并直接写出此时点之间的距离． 【考点六 平行四边形中求线段最值问题】 1．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，连接，，点，分别为，的中点，连接，则的最小值为 ． 2．（2025·山东东营·一模）如图，在平行四边形中，，，点是边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，则的最小值是 ． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以为邻边作，连接，则的最小值为 ． 4．（2025·贵州六盘水·一模）如图，在平行四边形纸片中，，，．E是线段的中点，点F在边所在的直线上，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是 ． 5．（24-25八年级下·新疆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，．平移至（点与点对应，点与点对应），连接． (1)点的坐标为______； (2)点，分别是，边上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．当，分别在，上运动时，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图，三角形是等腰直角三角形，为线段上一点，以为直角边作等腰直角三角形，其中，试猜想，，三者之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 解题技巧专题：平行四边形中折叠、旋转、线段最值问题 目录 【考点一 平行四边形中折叠求角度问题】 1 【考点二 平行四边形中折叠求线段长】 4 【考点三 平行四边形中折叠求面积】 8 【考点四 平行四边形中折叠证明问题】 10 【考点五 平行四边形中旋转问题】 15 【考点六 平行四边形中求线段最值问题】 23 【考点一 平行四边形中折叠求角度问题】 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，将沿对角线折叠，使点落在点处．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理等知识，由平行四边形的性质得到，，进而得到，再根据折叠的性质得到，最后根据三角形内角和定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠可知，， ∴， 故选：A． 2．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，E，F分别为，的中点，将沿直线折叠，点C落在边上点G处，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的判定以及性质，折叠的性质，根据平行四边形的性质可得出，，得出，求出，由题意可得出，再利用平行线的性质得出，由折叠的性质可得出，最后利用平角的定义即可求出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵ ∴， ∵E，F分别为，的中点， ∴， ∴， 由折叠的性质可得出， ∴， 故选：D． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在平行四边形中，E为边上一点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，则的大小为 . 【答案】/36度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】由平行四边形的性质得出，由折叠的性质得：，，由三角形的外角性质求出，与三角形内角和定理求出，即可得出的大小． 本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出和是解决问题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∵， ， 在中，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 4．（2024·浙江·模拟预测）在平行四边形中，点，在边上，把沿直线折叠，沿直线折叠，使点，落在对角线上的点处，若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】本题考查了平行四边形的性质及折叠的性质，熟悉掌握折叠图形边相等的性质是解题的关键． 利用平行四边形的性质和折叠的性质得到，，，再利用等腰三角形的性质和平行线的性质进行角的等量代换求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且沿直线折叠，沿直线折叠， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 【考点二 平行四边形中折叠求线段长】 1．（24-25九年级上·重庆北碚·开学考试）如图，在平行四边形中，，，，点E是边上的一点，点F是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则的长度为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，勾股定理，作出合适的辅助线是解本题的关键．作于K，过E点作于P．可得，可得点E到的距离是，证明；可得，设，则，，由勾股定理得，再求解m即可，可得，最后根据求解即可． 【详解】解：如图，作于K，过E点作于P． ∵， ∴， ∴， ∵C到的距离和E到的距离都是平行线间的距离， ∴点E到的距离是， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， 由勾股定理得， 解得， ∴， ∴． ∴ 故答案为：． 2．（23-24九年级下·山东济南·开学考试）如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到△，当点恰好落在上时，的长为 ． 【答案】/ 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是根据题意正确画出图形，再添加合适的辅助线，构造直角三角形和全等三角形解决问题．过点作，交的延长线于点，由平行四边形的性质可得，，，由平角的定义，利用含30度角的直角三角形性质得，，由平行线的性质得，，由折叠可知，，于是可通过证明，得到，再利用勾股定理求得，则． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点， 四边形为平行四边形，， ，，， ， ， ，， ，， ， ，， 根据折叠的性质可得，，， ，， 在和中， ， ， ， 在中，， ． 故答案为： 3．（2024·湖北十堰·模拟预测）如图，平行四边形中，，，将平行四边形沿折叠，使点C与点A重合，点D落在平面内的处，折痕交于点F，交于点E，已知，则折痕长为 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题、利用平行四边形的性质求解 【分析】过点A作于点G，过点F作于点M，求得，，证明四边形是矩形，设，，利用勾股定理，结合，解答即可．本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】过点A作于点G，过点F作于点M， ∵平行四边形中，，， ∴，，， ∴ ，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵平行四边形沿折叠，使点C与点A重合，且， ∴，， ∴，， ∴，， 解得（舍去）， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点三 平行四边形中折叠求面积】 1．（24-25八年级下·安徽池州·期中）如图，将一张纸片沿着折叠，点的对应点恰好落在上，连接，若，，则图中阴影部分（）的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，三角形面积，由平行四边形的性质可得，，，再由折叠性质可得，，即有，从而可证明是等边三角形，过作于点，然后由勾股定理和面积公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， 由折叠性质可知：，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 过作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（2025·云南楚雄·一模）如图，在平行四边形ABCD中，将沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处，若，，则平行四边形ABCD的面积为（ ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，平行四边形的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．由折叠的性质可得，，，由平行四边形的性质可得，，，，由直角三角形的性质可求，即可求解． 【详解】解：将沿AC折叠， ，，， 四边形ABCD是平行四边形， ，，，， ， ， 平行四边形ABCD的面积， 故选：C 3．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在平行四边形纸片中，， 将纸片沿对角线对折，交边于点E，则折叠后图中重合部分的面积是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，勾股定理，首先推导出为等边三角形，由，求得，再证明出点E为的中点，得到，可求出面积 【详解】解：∵折叠至处，，， ∴为等边三角形， ∴ 又∵四边形为平行四边形， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点E为的中点， ∴折叠重合部分的面积为：， 故答案为： 【考点四 平行四边形中折叠证明问题】 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形纸片沿折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处， (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、根据等角对等边证明边相等、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】（1）根据折叠的性质可得，根据平行线的性质可得，根据等量关系可得，根据等角对等边即可求解； （2）根据平行四边形的性质，可得，，根据折叠的性质，可得，，所以，，由等量代换得，得，，，得到，可证． 【详解】（1）证明：由折叠的性质可得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又根据题意得：，， ∴，， ∴， 又∵，，， ∴， 在与中， ， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定以及全等三角形的判定．解题的关键是熟练运用平行四边形和折叠的性质，找出角与边的等量关系，进而证明线段相等和三角形全等． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）已知，如图，把平行四边形纸片沿折叠，点落在处，与相交于点． (1)求证：； (2)连接，判断与的位置关系并且证明． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析． 【知识点】根据平行线判定与性质证明、利用平行四边形的性质证明、折叠问题 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，平行四边形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据折叠的性质可得，再根据平行的性质可得，即有，进一步解答即可得解； （）结合平行四边形的性质以及（）的结论可得，即有，再根据，，结合三角形内角和定理可得，进而得到． 【详解】（1）证明：把平行四边形纸片沿折叠，点落在处， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：； 证明：连接，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 3．（2025·湖南长沙·一模）如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)为等腰直角三角形，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质证明、折叠问题 【分析】（1）由折叠得到，，，然后得到，即可证明出； （2）首先根据平行四边形的性质得到，，然后由全等得到，得到，即可证明出为等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠可得，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接． (1)【观察发现】如图1，若，，，求的长； (2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、折叠问题 【分析】（1）由折叠的性质可得，则，由三角形外角性质得，所以，再利用勾股定理得，然后由，求得，即可求解． （2）根据折叠的性质先证，再证即可证明四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：由折叠知， ． ． ， ． ． 由勾股定理得，， ． ． ． ． （2）证明：由折叠知，，． ， ， ， ， ， ∵， ∴，， ， ， ， ，点在延长线上， ， ， ． ， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形折叠问题，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的性质与判定和折叠性质是解题的关键． 【考点五 平行四边形中旋转问题】 1．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，，将绕点O逆时针方向旋转到的位置，则点的坐标是（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】坐标与图形、根据旋转的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定以及旋转的性质，正确掌握平行四边形的性质是解题关键. 连接，过点B作，过点作，先证明，再利用旋转的性质求得坐标. 【详解】解：如图，连接，过点B作，过点作， ， 在中，，， ， ， ∵将绕O点逆时针方向旋转到的位置， ， ， ， ∴点的坐标是：， 故选：B. 2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，将平行四边形绕点旋转，当点D的对应点落在边上时，点C的对应点恰好与点B，C在同一直线上，若，则此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，旋转的性质，三角形的内角和定理的应用，先求解，，再证明，再结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：∵平行四边形绕点旋转得到， ∴，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵点、B、C在一条直线上， ∴， ∴． 故选：C 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图所示，将绕点A按逆时针方向旋转，得到（点与点、点与点、点与点分别对应）．若点恰好落在上，则 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据旋转的性质求解、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】由旋转的性质可知，，再根据等腰三角形点性质及三角形内角和定理，得到，然后根据平行四边形和平行线的性质，即可求出的度数． 【详解】解：由旋转的性质可知，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行四边形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 4．（23-24八年级下·上海青浦·期中）如图，在平行四边形中，，，面积为120，点是边上一点，连接，将线段绕着点旋转得到线段，如果点恰好落在直线上，那么线段的长为    【答案】2或14 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，勾股定理，注意分类讨论；由题意得；分顺时针旋转与逆时针旋转两种情况，利用旋转性质及勾股定理即可求解．根据题意确定是解题的关键． 【详解】解：∵线段绕着点旋转得到线段，点恰好落在直线上， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：； 当线段绕着点顺时针旋转时，如图， ∴， ∴； 当线段绕着点逆时针旋转时， 则在点P的右侧， ∴； 综上，的长为2或14； 故答案为：2或14． 5．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，将平行四边形绕着点C按顺时针方向旋转得到平行四边形，使点B落在边上的点E处，连接． (1)求证：平分． (2)如图2，当B，E，F三点在同一直线时，且，，求平行四边形的面积． (3)如图3，连接交于点H，求证：点H为的中点． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)详见解析 【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是平行四边形 【分析】（1）由旋转可知，得到，然后有平行四边形的性质得到，进而求解即可； （2）过C作，求出，，，然后求出，得到，勾股定理求出，然后求出，进而求解即可； （3）如图，过B作，过G作，连接，，，求出，然后得到，证明出四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】（1）由旋转可知 ∴   ∵在中      ∴     ∴     ∴ 平分； （2）如图，过C作 ∵由旋转得到   ∴，， ∵ B，E，F三点在同一直线， ∴ ∴     ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴     ∴     ∵ ∴； （3）如图，过B作，过G作，连接，，． ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴点H为的中点． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 6．（23-24八年级下·江西吉安·期末）问题情景 已知与中，，同学们利用这样的两张平行四边形纸片开展操作实验，从中发现；许多有趣的数学问题，请你们和他一起探索．     拼图思考： （1）希望小组的同学将与按照如图1所示摆放，其中点B与重合，点落在边上，点落在边的延长线上，他们提出了如下问题，请你解答： ①求证：平分； ②求点之间的距离． 操作探究： （2）创新小组的同学在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点B沿顺时针方向旋转，连接，他们又提出如下问题： ①当线段与交于点P时，如图2，求证：点B在的垂直平分线上； ②在旋转的过程中，当点恰好落在线段的延长线上时，请在图3中补全图形，并直接写出此时点之间的距离． 【答案】（1）①见解答过程，②2 （2）①见解答过程，②20 【知识点】等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、利用平行四边形的性质证明 【分析】（1）第一问借助三角形与全等求证，第二问连接，判断求解． （2）第一问连接，，判断为等腰三角形，利用三线合一求证，第二问画出满足条件的图形，利用等边三角形求解． 【详解】解：（1）①与中，，，， 四边形是菱形． 平分． ②连接，如图， 由①知四边形是菱形， ， ， ， ， 为等边三角形， ． （2）①连接，，如图， 与中，，，， ，，， ， ， 为等腰三角形， 在线段的垂直平分线上． ②如图， 与中，，，， ，，， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，图形的旋转，全等三角形的判定与性质，等腰三角的性质定，等边三角形的判定与性质．关键是借助三角形全等和等腰三角形的三线合一进行解题． 【考点六 平行四边形中求线段最值问题】 1．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，连接，，点，分别为，的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质，垂线段最短，勾股定理，直角三角形的性质．连接，过点D作与G，根据三角形中位线定理，可得，从而得到当最小时，最小，此时点F与点G重合，即的最小值为的长，再由平行四边形的性质可得，，从而得到，再由直角三角形的性质，可得，然后根据勾股定理，求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点D作与G， ∵点，分别为，的中点， ∴， ∴当最小时，最小，此时点F与点G重合，即的最小值为的长， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为： 2．（2025·山东东营·一模）如图，在平行四边形中，，，点是边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，由三角形中位线定理可得，当时，有最小值，即有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，过点A作于N， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E、F分别为、的中点， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴当点P与点N重合时，的最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以为邻边作，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，含直角三角形的定义，合理作出辅助线是解题的关键． 根据平行四边形的性质分析出当最短时也最短，过作的垂线，即的最小值为，利用勾股定理运算求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴当最短时也最短， ∴过作的垂线，如图所示： ∴的最小值为， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 4．（2025·贵州六盘水·一模）如图，在平行四边形纸片中，，，．E是线段的中点，点F在边所在的直线上，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，折叠的性质， 先作，交的延长线于点G，连接，根据平行四边形的性质,，再根据三角形三边之间的关系可知当点共线时最小，然后根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，进而得出答案. 【详解】解：如图所示，过点A作，交的延长线于点G，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴. ∵，点E是线段的中点， ∴,. 根据折叠的性质得. 根据三角形三边之间的关系，可得， 当点共线时，最小， ∵， ∴， ∴. 根据勾股定理，得， 解得， ∴. 根据勾股定理，得， ∴最小值是. 故答案为：. 5．（24-25八年级下·新疆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，．平移至（点与点对应，点与点对应），连接． (1)点的坐标为______； (2)点，分别是，边上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．当，分别在，上运动时，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图，三角形是等腰直角三角形，为线段上一点，以为直角边作等腰直角三角形，其中，试猜想，，三者之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)； (2)存在最小值，的最小值为； (3)，理由见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、已知点平移前后的坐标，判断平移方式、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】（）根据点平移到点的方式与点平移到点的方式相同，只需要求出点平移到点的方式即可求出点的坐标； （）连接，由中位线定理可得，，当取得最小值时，即时，的值最小，然后通过勾股定理和等面积法即可求解； （）连接，由三角形是等腰直角三角形和三角形是等腰直角三角形得，证明，然后通过全等三角形的性质和勾股定理即可求证． 【详解】（1）解：∵点与点对应，点与点对应，点， ∴向右平移个单位，再向上平移个单位得， ∴向右平移个单位，再向上平移个单位得， 故答案为：； （2）解：存在最小值，的最小值为，理由： 连接，过作轴于点，如图， ∵，分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴取得最小值时，即时，的值最小， 由（）知：， ∴当时，， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：，，三者之间有怎样的数量关系为：，理由： 连接，如图， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴，， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形变化—平移，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$