大题06 立体几何（4大题型）训练-2025届高考数学三轮冲刺

2025届高考三轮复习冲刺：大题06 立体几何（4大题型） 根据近几年的高考情况，空间向量与立体几何是高考中的必考知识点，解答题必然会出现，一般考查空间角问题，主要体现在线面角，面面角。以及二面角。还有考察立体几何中的距离问题，呈现方式分为常规题目以及动点问题。预计2025年的高考中，空间几何依然会以线面角角或者是二面角的形式出现并且会有一定的创新性。 题型一：空间几何中的夹角问题 1．（2025·广东珠海·模拟预测）已知正三棱柱中，底面边长为8，，，分别为，，边的中点，过，，三点作三棱柱的截面交棱于，且四边形为正方形． (1)求四面体的体积； (2)若为线段上的点，且二面角为直二面角，求直线与平面所成角的正弦值． 2．（2025·重庆·三模）如图，在三棱台中，平面，为的中点，平面. (1)证明： . (2)求的长. (3)求平面与平面夹角的余弦值. 题型二：空间几何中距离问题 3．（2025·江苏盐城·三模）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，，为线段中点，连接． (1)证明：平面； (2)求M到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 4．（2025·河南·二模）如图，正四棱锥的底面边长为2，二面角的正切值为，为侧棱上的点，且平面. (1)求直线到平面的距离. (2)请判断在平面上是否存在一点，使得是以为底边，为顶角的等腰三角形.若存在，请求出点的轨迹；若不存在，请说明理由. 题型三：空间几何中的折叠问题 5．（2025·新疆·三模）如图，在平面四边形中，，是边长为2的正三角形，，O为的中点，将沿折到的位置，． (1)求证：平面； (2)若点E为线段上的动点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 6．（2025·江西景德镇·三模）如图1，平面四边形为“箏型”，其中，将平面沿着翻折得到三棱锥（如图2），为的中点． (1)证明：平面平面； (2)如图2，若，，求平面与平面的夹角的正弦值． 题型四：空间几何中的动点问题 7．（2025·云南玉溪·二模）如图，四棱锥中，平面，，，. (1)证明：平面平面； (2)若，动点在内（含边界）且. ①求动点的轨迹的长度； ②设直线与平面所成角为，求的取值范围. 8．（24-25高二上·广东广州·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，动点在直线上，且. (1)是否存在点，使得？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由； (2)当取何值时，直线与平面所成角的正弦值为； (3)求动点到直线的距离的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高考三轮复习冲刺：大题06 立体几何（4大题型）参考答案 题型一：空间几何中的夹角问题 1．(1) (2) 【分析】（1）根据线面垂直证得平面，计算，根据计算求解即可； （2）根据二面角定义得，根据计算得后，建立空间直角坐标系，运用空间向量计算即可求解. 【详解】（1）令，连接，． 四边形为正方形，所以． 又在正三棱柱中， 平面，平面． 又平面，． 又为正三角形，且边长为，为的中点， ，，， 又，分别为，边的中点， ，，． 又，，平面， 平面． ． 所以四面体的体积的为． （2）由（1）知平面，，， 为二面角的平面角， 因为二面角为直二面角，所以 四边形为正方形， 所以，又， ，． 又为的中位线，所以为中点， 所以，，． 以为原点，分别以，，为，，轴正方向如图建系． 则，，，，， 则，，， 令为平面的法向量，则，，，， 所以，取，则，，， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 2．(1)证明过程见解析； (2)； (3) 【分析】（1）先证明，，再证明平面，即可求证； （2）先证明，再在中利用勾股定理即可求得； （3）以为原点建系，计算平面与平面的法向量，再计算即可. 【详解】（1）因平面，平面，则， 因平面，平面，则， 又为三棱台，则相交， 又平面，则平面， 又因平面，则. （2）连接， 因平面，平面，则， 因为的中点，则, 因，则， 因平面，平面，则， 则在中，可得. （3）以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为三棱台，则，则， 则， 则， 则, 设平面的法向量，平面的法向量， 则，， 令，则，， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为. 题型二：空间几何中距离问题 3．(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及，因为平面，所以M到平面的距离为到平面的距离，然后利用点到平面的距离向量公式即可求解. （3）求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解． 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接， 由为的中点，且，，得，， 则四边形为平行四边形，，而平面，平面， 所以平面． （2）取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 又，所以到平面的距离， 因为平面，所以M到平面的距离为到平面的距离，即. （3）令， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 平面的法向量为， 于是， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 4．(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，即可利用点面距离的向量法求解； （2）根据线面平行的性质，结合（1）可知的中点Q到平面的距离为.而，即可求解. 【详解】（1）连接. ∵平面，平面，平面平面，∴. 在中，为的中点，∴点为的中点. 取中点，由正方形的边长为2，易知，，， ∴即为二面角的平面角. 在中，∵二面角的正切值为，， ∴，侧棱的长都是. 易知直线，，两两垂直，以点为原点建立空间直角坐标系，如图所示. ∴，，，，，， ∴，，. 设平面的一个法向量为， 则，即，即， 令，则， ∴平面的一个法向量为. ∵平面，∴直线到平面的距离等于点到平面的距离， 又在法向量上的投影向量的模为， ∴直线到平面的距离为. （2）不存在.理由如下： 根据第（1）问可得直线到平面的距离为. 又∵平面，设点为的中点，∴点到平面的距离为. 假设在平面上存在点，使得是以为底边，为顶角的等腰三角形， 则有. ∵，∴不存在满足条件的点E. 题型三：空间几何中的折叠问题 5．(1)证明见解析 (2)或． 【分析】(1)利用勾股定理证明垂直，再结合等边三角形三线合一，可由线线垂直证明线面垂直； (2)利用空间向量法来求线面角的正弦值，从而来求参数即可. 【详解】（1） 证明：依题意是边长为2的正三角形，O为的中点，所以，, 所以，，，，， 则，所以， 又，即，所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又,，，平面，所以平面． （2） 如图建立空间直角坐标系，则，，，， 设，，则， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，∴平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则，解得或， 所以的值为或． 6．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据等腰三角形的性质证得两组线线垂直，利用线面垂直的判定定理证得平面，再利用面面垂直的判定定理证得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面的夹角，再求其正弦值. 【详解】（1），，为的中点， ，， 平面，平面， 平面． 又平面， 平面平面． （2） 如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴､轴，过点且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系． 取中点，连接，，． 由（1）可知平面，平面，， 又平面，平面，故平面． ，，为的中点，． 又，为的中点，． 则，，，，，， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以． 设平面的一个法向量， 则，令，则，所以. 设平面与平面的夹角为， 则，所以. 所以，平面与平面的夹角的正弦值是． 题型四：空间几何中的动点问题 7．(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）通过证明平面，可完成证明； （2）①如图建立空间直角坐标系，设的坐标为，由可得动点的轨迹，即可求长度；由①可设，据此可表示出平面的法向量，然后由空间向量结合三角函数知识可得答案. 【详解】（1）由，可知， 三角形为等腰直角三角形，，， 又因为，由余弦定理得：， 即得，， 因为平面，平面，所以， 又因为，平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （2）①依题意，建立如图坐标系， 设的坐标为，， 由， 化简得：，即， 设线段的中点， 则动点的轨迹是以线段的中点为圆心， 1为半径的四分之一圆弧，故其长度为. ②由①可设，，，， ，，， 设平面的一个法向量为，则即 取，则， 则 因为，所以，所以， 所以，所以， 综上所述，. 8．(1)不存在点，使得，理由见解析； (2)或 (3) 【分析】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出的坐标， 计算并验证其是否为0； （2）求出平面的一个法向量，利用向量法由直线PN与平面所成角的正弦值求出参数的值； （3）利用点到直线的距离的空间向量计算公式得到关于参数的函数，求函数的值域即可. 【详解】（1）由于三棱柱是直三棱柱，且，故两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，则 由，可设，则, 故, 所以不存在点，使得. （2）设平面的一个法向量为，则， 因为，所以，即， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 解得或. 当时，，，此时； 当时，，，此时. 所以当或时直线与平面所成角的正弦值为. （3）设点到直线的距离为，由（1）知，， ，， ， 则. ∴. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$