2025届高考三轮复习冲刺：大题04解析几何（5大题型）

2025届高考三轮复习冲刺：大题04解析几何（5大题型） 根据近几年的高考情况，解析几何是高考解答题必考题目，大题通常计算量较大，要求学生具备扎实的计算能力和耐心细致的解题态度，‌解题过程中需要运用各种技巧，如“化归与转化”的思想，将复杂问题分解为若干个简单问题逐一解决‌。本篇主要总结了高考中经常出现的定点，定值，以及面积面积范围问题。对于解析几何中的范围问题，非对称问题。预计2025年高考中解析几何依然会以这几种形式出现。 题型一 解析几何中的面积问题 1．（2024·广东江苏·高考真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 题型二 解析几何中定值定点问题 3.（2010·四川·高考真题）已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N （Ⅰ）求E的方程； （Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由. 4．（24-25高三下·山西·开学考试）已知双曲线：的右焦点为，且到的其中一条渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)设，过点的直线与相交于两点，是否存在正数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 题型三 非对称韦达定理 5. 6. 题型四 圆锥曲线的切线问题 7.（2014·广东·高考真题）已知椭圆的一个焦点为，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程. 8.(2021年云南高考)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半轴上，直线l：经过抛物线C的焦点． 求抛物线C的方程； 若直线l与抛物线C相交于A、B两点，过A、B两点分别作抛物线C的切线，两条切线相交于点求面积的最小值． 题型五 解析几何中范围类问题 9（2024·河北衡水·一模）已知椭圆过和两点.分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上的点（不在轴上），过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求的范围. 10.已知椭圆E：，过点，以四个顶点围成的四边形面积为 求椭圆E的标准方程； 过点的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交于点M，N，直线AC交于点N，若，求k的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高考三轮复习冲刺：大题04解析几何（5大题型） 题型一 解析几何中的面积问题 1．【答案】(1) (2)直线的方程为或. 【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可； （2）方法一：以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程；方法二：同法一得到点到直线的距离，再设，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点到直线的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线斜率不存在的情况，再设直线，联立椭圆方程，得到点坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线斜率不存在的情况，再设，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘表达面积即可. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以. （2）法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或， 即或，以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，， 令，则，则 同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设， 设与轴的交点为，令，则， 联立，则有， ， 其中，且， 则， 则，解得或，经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或，即或. 题型二 解析几何中定值定点问题 3.【答案】（Ⅰ）(y≠0)，（Ⅱ）过点 F，理由见解析. 【详解】本试题主要考查了双曲线方程的求解，以及直线与圆的位置关系的运用． （1）设，则 化简得； (2)①当直线与x轴不垂直时，设的方程为， 与双曲线联立消去y得 ，由题意知且， 设，则， ＝ ＝ 因为，所以直线AB的方程为， 因此M点的坐标为， ，同理 因此； ②当直线与x轴垂直时，则方程为，则， AB的方程为， 因此M点的坐标为，， 同理可得 因此 综上，即， 故以线段MN为直径的圆经过点F. 4．【答案】(1)(2)存在， 【详解】（1）易得双曲线C的半焦距， 又到的其中一条渐近线的距离为， 由对称性不妨取该渐近线为，则， 所以，， 所以C的方程为. （2）当直线的斜率存在时，设的方程为，，，    由消去得，则，恒成立，所以，. 假设存在正数，使得为常数，则 ， 要使为常数，则，解得，此时点，； 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入双曲线得， 不妨取，，若，则； 综上，存在正数，使得为常数. 题型三 非对称韦达定理 5. 6. 题型四 圆锥曲线的切线问题 7.【答案】（1）；（2）. 【详解】试题分析：（1）利用题中条件求出的值，然后根据离心率求出的值，最后根据、、三者的关系求出的值，从而确定椭圆的标准方程；（2）分两种情况进行计算：第一种是在从点所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为、，并由两条切线的垂直关系得到，并设从点所引的直线方程为，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于的一元二次方程，利用得到有关的一元二次方程，最后利用以及韦达定理得到点的轨迹方程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点的坐标，并验证点是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点的轨迹方程. （1）由题意知，且有，即，解得， 因此椭圆的标准方程为； （2）①设从点所引的直线的方程为，即， 当从点所引的椭圆的两条切线的斜率都存在时，分别设为、，则， 将直线的方程代入椭圆的方程并化简得， ， 化简得，即， 则、是关于的一元二次方程的两根，则， 化简得； ②当从点所引的两条切线均与坐标轴垂直，则的坐标为，此时点也在圆上. 综上所述，点的轨迹方程为. 考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用. 8.【答案】解：设抛物线C的方程为，焦点坐标为， 直线l：经过抛物线C的焦点，，解得， 抛物线C的方程为； 设、，由得， ，，，， 由得，，抛物线C经过点A的切线方程是， 将代入上式整理得，同理可得抛物线C经过点B的切线方程为， 解方程组得，， 到直线的距离， 所以的面积，， ，当时，，面积的最小值为 题型五 解析几何中范围类问题 9.【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入椭圆方程，即可求出椭圆C的标准方程； （2）分类讨论直线斜率是否为0，从而假设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理与弦长公式得到关于的关系式，再分析即可得解； 【详解】（1）由题意可知，将点代入椭圆方程， 得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，， 当直线l的斜率为0时，， 当直线l的斜率不为0时，设直线的方程为，，， 联立，消去，得， 易得，则， 所以 ， 因为，所以，所以，所以， 综上，，即的范围是. 10.【答案】解：以四个顶点围成的四边形面积为，故， 联立，解得，故椭圆E的标准方程为； 由题意可知，直线l的斜率存在，且直线l的方程为 3， 设，，联立，消去y理可得，， 由，解得或， ， ①，  ② 直线AB的方程为，令，则，故， 直线AC的方程为，令，则，故， ， 代入，，则 ， 代入①式和②式化简得，， 由于 ，所以，即 综上：k的取值范围为  1 学科网（北京）股份有限公司 $$