2025届高考三轮复习冲刺：大题01 三角函数与解三角形（7大题型）

2025届高考三轮复习冲刺：大题01 三角函数，解三角形（七大题型） . 根据近几年的高考情况，三角函数，解三角形主要包括以下题型，‌三角函数的图象与性质‌：这类问题通常涉及三角函数的图像分析、性质理解以及与实际问题的结合。‌解三角形中的面积周长问题‌：通过已知条件计算三角形的面积或周长。‌解三角形中的取值范围问题‌：根据已知条件求出某些变量的取值范围。‌解三角形中的三角恒等变换问题‌：利用三角恒等式进行变换和计算。‌解三角形中与平面向量结合的问题‌：将平面向量的知识应用于三角形问题中。‌解三角形中角平分线、中线问题‌：涉及角平分线和中线的性质和应用。‌解三角形中外接圆、内切圆问题‌：涉及三角形外接圆和内切圆的性质和应用‌。预计2025年高考中三角函数余解三角形必然会出现，解答题也会以常规形式出现.下面是常见的解答题常考七大题型。 题型一：三角恒等变形与三角函数图象问题 例1．（2017·上海·高考真题）设，. (1)求函数的单调增区间； (2)设为锐角三角形，角所对的边，角所对的边.若，求的面积. 练习1【2023年浙江高考】已知函数， 求函数的最小正周期及单调递增区间； 若为锐角且，满足，求 题型二：三角形中边长及周长问题 例2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 练习2．（2022·全国乙卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)若，求的周长． 题型三：三角形中面积问题 例3．（2023·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 练习3．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积； (2)若，求b． 题型四：解三角形中三线问题 三线问题指的是角平分线，中线，高线. 对于角平分线：一种是采用等面积法（面积分割），或者是角平分线定理去解决. 对于中线问题 一般采用向量思想去解决. 高线问题，一般采用正弦定理或者是等面积法去解决. 例4．（2025·甘肃白银·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且，． (1)求角． (2)已知． （ⅰ）求，的值； （ⅱ）求的值． 练习4．（24-25高三下·山东·开学考试）在中，角，，，所对边分别为，，，已知，且 (1)求 (2)若为边的中点，且，，求的面积. 练习5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 题型五：三角形中图形类边长及范围问题 例5．（2024·四川德阳·模拟预测）在中，角、、所对的边分别为、、，且，. (1)求； (2)若为锐角三角形，求的面积范围. 练习6．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 题型六：解三角形中内切圆、外接圆问题 解三角形中的内切球与外接球问题，与外接球问题，对于内切圆圆心是三个角角平分线的交点，外接圆则是三边中垂线的交点，对于内切圆的半径则采用等面积发，即对于外接球半径问题 一般采用正弦定理解决. 例6．（2023·全国·模拟预测）在中，角所对的边分别为平分，且． (1)求； (2)求的外接圆和内切圆的面积之比． 练习7．（24-25高三下·河北张家口·开学考试）已知中，角的对边分别是，. (1)证明：成等差数列； (2)若，内切圆半径为r，求r的最大值. 题型七：解三角形中图形类问题 例7．（2025·浙江·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.    (1)求的大小. (2)如图所示，为外一点，，，，求值. 练习8．（24-25高三上·安徽亳州·期末）如图，在平面四边形中，，，平分. (1)若，，求； (2)若，求. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高考三轮复习冲刺：大题01 三角函数，解三角形（七大题型） （参考答案） 题型一：三角恒等变形与三角函数图象问题 例1.【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由，，令求解； （2）由可得，再利用余弦定理求得c，再利用求解. 【详解】（1）解：，， 令，解得， 所以其单调增区间为. （2）由即， 因为是锐角，所以，得，即. 由余弦定理，，整理得，解得或. 当时，，最大角是钝角，为钝角三角形，舍去； 当时，，最大角是锐角，为锐角三角形，符合题意. . 练习1【答案】解：， 所以的最小正周期，令，， 解得，，所以函数的单调递增区间为，； 由得，即， 因为为锐角，所以，，又因为，所以，所以  题型二：三角形中边长及周长问题 例2．【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 练习2．【答案】(1)见解析(2)14 【详解】（1）证明：因为， 所以， 所以， 即，所以； （2）解：因为，由（1）得， 由余弦定理可得， 则， 所以，故， 所以，所以的周长为. 题型三：三角形中面积问题 例3．答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理即可解出； （2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出． 【详解】（1）因为，所以，解得：． （2）由正弦定理可得 ， 变形可得：，即， 而，所以，又，所以， 故的面积为． 练习3．【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又， 则，，则； （2）由正弦定理得：，则，则，. 题型四：解三角形中三线问题 例4．【答案】(1) (2)（ⅰ），；（ⅱ） 【分析】（1）由已知，利用正弦定理可得，再由二倍角公式可得，由，可得； （2）（ⅰ）由，利用面积公式及已知条件，即可求得，的值； （ⅱ）利用余弦定理求出，再利用正弦定理即可求得的值． 【详解】（1），由正弦定理得， 又，则， ，， 又，则，所以， ， 因为，则，． （2）（ⅰ）由（1）知，是角的角平分线， ， ， 又， 则得，又， ，解得，即． （ⅱ）， ． 练习5．【答案】(1)(2)6 【详解】（1）， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . （2）由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ， . 题型五：三角形中图形类边长及范围问题 例5．【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，，利用正弦定理得到，再利用三角恒等变换求解； （2）设的外接圆半径为，得到，再由求解. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为， 所以，则， 因为， 所以，又，则， 所以. （2）设的外接圆半径为，则， 所以， ， ， ， ， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 则， 则， 所以， 所以的面积范围. 练习6．【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）因为，即， 而，所以； （2）由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 题型六：解三角形中内切圆、外接圆问题 例6．【答案】(1) (2) 【分析】（1）由角平分线的性质定理结合正余弦定理求解即可. （2）利用正弦定理求外接圆半径，利用等面积法求内切圆半径即可 【详解】（1）在中，，． ，即 则， 平分，, 且由正弦定理得：, , . 即． 在中，由余弦定理得， 联立得，得. （2）易知外接圆的半径。 设的内切圆半径为，则， ， 的外接圆与内切圆的面积之比为. 练习7．【思路分析】（1）利用正弦定理把已知条件化为角的关系，再由诱导公式得，由两角和的正弦公式化简后可得的正切值，从而得B角大小，进而得证； （2）利用余弦定理及基本不等式可得的范围，利用面积相等可得，变形后再次利用基本不等式即可求解的范围. （1）， ， ， ， ， ， ，，即， ，， ，， 成等差数列； （2）由余弦定理可得，即， ，当且仅当时等号成立， 因为， ， ， 当且仅当，即时等号成立， 即 ， 的取大值为 ． 题型七：解三角形中图形类问题 例7．【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用三角恒等变换求解； （2）令，，在中，利用正弦定理得到，在中，利用正弦定理得到，从而得到求解. 【详解】（1）， 在中，由正弦定理得， ， 由三角形内角和为可得， ， ， 即， ，，， 即， 又，，即， （2）设，令，， 在中，由正弦定理得， ，，. 在中，由正弦定理得，，，， ， 解得， . 练习8．【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求的长，在中，由余弦定理可求. （2）设，，表示，在中利用余弦定理结合同角三角函数基本关系可求和，由此可得结果. 【详解】（1）∵平分，∴，故， ∵，， ∴，， 在中，由余弦定理得. （2）设，则. 设，则，， 在中，由余弦定理得， ∵，∴， ∴，， ∴. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$