陕西省咸阳市武功县普集高级中学2025届高三第四次模拟预测数学试题

数学 ,11以(120分钟150分) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。) 1.定义A☆B=(xlx=ab,a∈A,b∈B),若A=1,2,31,B=(-1,0,1,C=(s=2m+1,n EZ},则(A☆B)∩C的真子集个数为 程，份110“() 始A.7,8.B.84满同1点C.150生位1D.16-元1沿1次) 么在复平面内，复数：对应的点乙在第一象限，则复数二对应的点Z所在象限为( ) A第一象限 京B第二象限C第三象限D,第四象限 .1A 3.已知平面向量a=(5,0),b=(2,一1)，则向量b在向量a十b上的投影向量为 () A.(6,-3) B.(4,-2) c品 D结品5* 已知面。+到二是i+通=2，则。oB三苏游代3S中() >中年1点个气填兰特骑中千从®小，（个瓶进理明中年地 A.一10 B.5 c.一6 D.0 5,已知正四面体：A一BCD的外接球为球O,且正四面体的高等于球O:的直径，则球O,的 体积与球O2的体积之比为 :海温的() 个B受白个：体会C婴个能粮D2期县，=兰 4 4 6.已知f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R,记g(x)-了(x),g(0)=3,若f(x+1)的图 象关于(-1,0)对称，g(2x+1)是偶雨数，则g(2024)三白器出二示() A.1 B.3 C.-1函同不影D3￥见版，道小花 7.下列说法正确的是 () A.若样本数据x1x,工0的方差为2，则数据2x1一1,2x生一1，…，2x。一1的方差为4 B在比例分配的分层随机抽样中，若第一层的样本量为10，平均值为9，第二层的样本量为 20,平均值为12，则所抽样本的平均值为11 C已知X-Ne,g,则PXe+2a1>PX≤-o)基若-t想mE D若X~Ba,p),0Kp<1,EX)=DX),则p-号 富过M()V失，世=女安1 8.命题p:函数f(x)= 广2x+ax一2a21在R上单调通减，命题q:函数f)-血 -e-xx1 公a23+a)在1，+c∞上单调通增，则命超p县人出物 A.充分不必要条件 B必要不元 C充要条件 D.既不充分也不必要条件 数学第1页（共4页》 二、多项选择题（本题共3小题，每小题.6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。) 9.若函数g(x)=s$im(r十p)(w>0,p<)的部分图象如图所示，将g(x)的图象向右平 移写个单位，得到f八x)的图象，则图时d风，mmda,o.1,成，s(） A.f)=n(2- 小5的)生点.等成治的0≤114 B,函数fx)的图象关于x怎一对称 C函数fx)在区间[一至一上单调递波院一（州面所： D.函数fx)的图象关于点（仁等0小对称出=虫学数。公代共，成小正6试配台信型 10双曲线C,号-苦-14>0,6>0的左，右焦点分别为R,5,下列造项中满足双自线C 的离心率为？的有家用使以可，沉班四凸一流单：熙建大卫许干类，的可(（四） A双曲线C:一1@>0,6>0)的-一条渐近线为y万型苡千小不惊 B点M在双曲线C的右支上，MLMF:,若MF与C的一条近线1垂直，垂足为N, 且|NF:|-ON=2,其中O为坐标原点 C.以F,F:为直径的圆和双曲线C的渐近线在第一象限交于点A,直线AF,交C的另 01=，8,3G人，0-=A,[ 条渐近线于点B,FB-BA ,系万得商加出四水，=目，=0，一沿，=H63) D若点P为风自线C有支上工点，为公系的肉合：具55一，+号 S△rFa 11.已知函数f(x)=lnx+ax2+br+c,则 A.当6=0，c-2时，若函数f)有两个不同的零点，则a的取值范围是0,2》 B当a=0,b=一1，c=0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，十o∞1论【常b5)2 C.当a宁0，b=一1，t=0时，函数f(x)的最大值为一1，中G已A一1常阳连， D.当a=一2，b=0,c=0时，曲线yFf(x)的切线4过点(0,2e):则直线飞的方程为 1-4)x-ey+2e3=0 ,灯过家1Q9商平，阳好(1 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知数列{a.}为等比数列，S,为数列1a。)的前n项和，T.为数列(a)的前n项积，且 aa:∈N,者Tw=3,且8a,0,2a,成每差数列，则2火， a2十a4 数学第2页（共4页） 13.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a,b,m(m>0)均为整 数，若a和b被m除得的余数相间，则称a和b对模m同余，记为a=b(modm),如9和21 被6除得的余数都是3，则记9=21(mod6).已知(2x一1)=a。+a,(红-1)十a:x一1) +…+ae(x-1)5+a,(x-1)’+…+a(x-1),令a=a。+a1+a2+…+ao,b∈ 2022,2023,2024,2025},若a■b(mod8),则b的值是 14.抛物线C1y-2px(p>0)的焦点为F,过点F的C的弦中最短的弦长为8，点B在C上， D是线段BF上撒近点F的五等分点，当sin∠DOF取得最大值时，∠DOF一p,将函数/ x)=加x的图象上所有点的横坐标变为原来的纵坐标保持不变，再将所得图象向左 平移个单位长度，得到函数y=g:)的图象，则g(p)= 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。】 15.(本小题满分13分) 古希腊数学家托勒密对凸四边形（凸四边形是指没有角度大于180'的 四边形)进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积 之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立，且若给 定凸四边形的四条边长，四点共國时四边形的面积最大.某村委围绕乡 村振兴，结合传统农田元素与现代科技，落实“美丽乡村”建设，计划将 块闲置土地改造成花卉观赏区，该土地为凸四边形形状，如图所示 (1)若经测量，AB=BC=CD=2,AD-25,∠C=120,求此花卉布展区域总面积 (2)若AB=a,BC=b,CD=c,DA一d,求四边形ABCD面积取得最大值时，角A的余弦 值，并求出四边形ABCD面积的最大值.（记D-a+b牛c+已 2 (.0蓝班欧+须，业安时不个西首生 16.(本小题满分15分)，1比闻2胜两？20✉1可，4t 如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底商AB CD,PD=DC=2,E是线段PC的中点，F在线段PB上，EF LPB. (1)证明：平面PBD⊥平面DFF, H(2)若二面角F-DE-B的余弦值为，G在线段PB上，EC与PA 所成的角为45，求直线CG与平面DEG所成角的余弦值. 数学第3页（共4页） ★ 六券愿司胜光志一尘群闭举高普单 17.(本小题满分15分) 调 已知椭圆r,+以 云+方-1a>b>0)的上顶点为E,点PQ均在r上，且关于x轴对称，若 一只 直线EP,BQ的斜率之积为2点(-竖号 )在上 (1)求椭圆P的标准方程： (2)直线I经过第一，二、三象限且经过下的左焦点F,且与椭圆相交于A,B两点，M为线 段AB的中点，直线OM与椭圆r相交于C,D两点，且AM·|BM=ICM|: |DM|,直线1被圆x+y2-2x+2-4=0截得的弦长为2，求实数：的值. 式询数是的过中问的4梦，1一，，书可形日 10 18.(本小题满分17分)示 072 设有甲，乙两个盒子，均分别装有偏号依次为1,2,3，，n(m≥5，且n∈N”)的m个球，小 红从甲盒子中随机选取i个球，小强从乙盒子中随机选取方个球，其中1≤，时≤，且i,订 EN'. (1)若n=12,=3,记专为小红取出的3个球的标号之和被3除的余数，求随机变量=2 的概率， (2)当n=5,且甲盒中有3个白球和2个红球，乙盒中有2个白球和3个红球时，小明先随 ,机取一个盒子，再从该盒中先后随机取2个球，求小明第一次取出的是白球的前提下， 第二次取出的依然是白球的概率；心0丽册征一灯汗光原 (3)求小红，小强取到的球的编号不相同的概率， 4说出此不 一+下，…，一，5，一，通，式游式1正，1得房5答， 19。(本小题满分17分)那子，01长过家留一落，中陆州昌代点宜 1长到磁？甲明0,1长西以早，g 已知函数fx)=x一e(e是自然对数的底数)，-<四班a关5 (1)若a 以，（头0=(3,24.4日一容运 a)当a=0时，8)-含折肖产9时求证2+f)0:1☆ (3)现定义：n十1阶阶乘数列(a,}满足a+:=m十1)1十a,).若a,=1,证明，lna,< m+1)n(a+1)-m+1. 性装5不元A 址 S5数学第4页（共4页）】 数学（六）》 1.C因为A=(1,2,3},B=(-1,0,1),所以 AOL平面BCD且E= 2 ×2=3,所以 A☆B=(-3,-2,-1,0,1,2,3),(A☆B)n C={-3,-1,1,3),所以(A☆B)∩C的真子 B0=2,故正四面体的高为A0且A0= 3 集个数为2-1=15. 2:B由在复平面内，复数*对应的点Z在第 v-B0--(传x可-2设球0， 象限，设：=a+bi(a>0,b>0),则奇 的半径为r,则B0+(A0-r)2=r2,即3+ atbi (atbi)i -i 一b十ai,显然，所以点Z 一i。i 9-r,,-则r-4x 46 一(-b,a)在第二象限，放选B.所， 3.Da+b=(7,-1),(a+b)·b=15,lb1= 所以V0,=x(停-后元设球0，的 6 4. √22+(-1D=5,la+b|=√49+1=52. 所以向量b在向量a十b上的投影向盘为 世平径为R,则R=号0A=,则Vn,=号 (a+b)·b,a+b 15 la+ ·1a+bw2,52·3, 一教体积比为后-散连日 8√6 81 洲，的时 27 鞋迪项中，A工A,0 6:B若f(x十1)的图象关于（一1,0）对称，则 3 4.D-因为sin(a十)= f(x)的图象关于原点对称，所以f(一x)= ,tana十tanB=2,所 一f(x),两边求导得g(x)=f(x)=f(一 sin acos B-+cos asin 8 cos a cos B cosa·c0s阝 x)一g(一x),因为g(2x十1)是偶函数，所以 sin (a+8) =2,所以c0sac0s月=0 天g(-2x+1)-g(2x+1),令t-2x,就有g cos acos B 故选D (-t+1)=g(t+1),即有g(-x+1)=g 5.B如图，正四面体A (红+1)，所以g(x)=g(2-x)=g(红+2)， 一BCD,设其棱长为 所以g(2024)-g(0)-3.故选B.”里0 2,设△BCD的中心为 7B对于A,因为样本数据x1,x“xo的 O,连接AO,B0,延长 方差为2，所以数据2x1一1,2x2-1,…,2x10 BO交CD于E,则 -1的方差为2×2=8，故A错误.对于B, ·数学答案第39页(： 10×9+20×12-11,故B正确：对于C,利用 30 p)过点（危小，所以si血(2×豆+）=1，则 正态曲线的对称性可知，P(X≤一G)=P 若+p=营+2张x∈0，解得9=营+2 (X≥g+),而P(X≥H+)>P (X≥u+2a),故P(X≥u+2a)<P ∈D,又p1<受则9-子，所以g(x) (X≤一o),故C错误：对于D,因为X~B sn(2x+弩)，所以fx)=in[2(x-7)+ a,p,E6X)=是D(),所以是×4 哥-n(2红一宁，放A正确：将x-一代 Q-p)-4p,解得p-子，故D错误故选B 人f(x),可得in(2×(-)-等)=sin(- 8.A当x∈(-∞，1]时，f(x)=-e-1-x, 因为y=一e和y=一x都是减函数，所以 )=0,所以了e)的图象关于点（答，0）对 f(x)在(-∞，1]上单调递诚，当x∈ 称，故B错误，D正确；当工∈ 的 1,十o)时，f(x)=-2x+ax-2a,要使其 [引时则音[合-引 在1，十)上单词递减，则号≤L所以 且西数y血工在[言，一]上单河通 层1，解得0区<4因为1 减，所以函数了)在区间[-营，-上单 -2+a-2a≤-2 调递减，故C正确.故选ACD. (x)-ln(x2-ax-3+a)在[1，+o∞)上单 10.ACD对于A,由双曲线方程易知C的新近 调递增，所以g(x)xax34a在 0.十)上单满福第所以受<a2,且 战为)-士，所以-5，则一√侣 gx)=x-ax一3+a在[1，十oo)上恒大 +6=2.故A符合题意：对于B,因 a 1于0，所以g(1)>0→(a-2)a十1)>0→a 为MF⊥MF,ON⊥NF,且O为F1F:的 >2或a<-1,所以7qa≥一1，所以命题p 中点，所以ON∥MF,且ION=音 是命题一q的充分不必要条件.放选A. 9.ACD由图可得T-管-危-经，即子 IMF:,NR,-MF,因为NF,- 名-票期得。=2：西数g四=血2z十 IONI=2,所以1MF,I-IMF,1=2 (|NFl-IONl)=4=2a,解得a=2,直 ·数学答案 线1的方程为y=一名x,所以NR,- 11.CD对于A,当6=0，c=2时，x)=lhx 石。=b,则1ON1=b-a,在直角三角 十ax+乞，则问题转化为y=一a和h 形△FNO中，利用勾股定理得62+ (b-a)2=c2,解得b=2a=4,c=2V5,所以 (x)=x2 二的图象有两个交点，而 离心率为√5，故B不符合题意：对于C,如图 所示，因为F店=BA,可得点B为线段 -2z恤x+》 (x)= 一2n, (x2) F:A的中点，则OB⊥F1A,可得∠FOB= h'(x)>0,解得0<x<1,令h'(x)<0,解 ∠AOB,因为直线OA,OB是双曲线的渐近 得x>1,故h(x)在(0,1)上单调递增，在 线，由双曲线的对称性可知∠AOF, ∠F:OB,所以∠AOF:=∠F1OB=∠AOB eQ,十e四)单调递减，则k红)n=A(-号 -号，可得直线0A的斜率为名-m音 且当x>0时，h(x)>0恒成立，所以a的取 5,则e=后= 值范固是(0故A错误：对于B,当a a +2=中=2，所 =0,b=-1,c=0时，f(x)=lnx-x,f 以双曲线C的离心率为2，故C符合题意：对 于D,设内切圆半径为R,由题意知S△Pr, )>0,令fr)>0,得0< =Saw,十zSaM,所以号·PE,·R 1 <1:令f(x)<0,得x>1,∴.函数f(x)的 单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为 -安PER+号R,RR,即 1,十o∞).故B错误，对于C,由B可知，f IPF,|-|PF:l=c,由点P为双曲线右支 ,i气-f-1,放C正确对于D,当a 上的一点，则|PF,|-|PF,|=2a=c,故双 ■-2，b=0,c=0时，f(x)=lnx-2x2,由 曲线的腐心率e=三=2，放D符合题意.故 .114>0,设 题意得f'(x)= -4x= x 选ACD. 所求切线的切点为(xoy),则直线1的方 程为y一y。=f(x。)(x一xo),即y一y。= 1=4cGe-xo),又为=lnx。-2xi,所以 2-仙-2a-0-即h ·数学答案 x。+2xi-2e2-1=0,令t(x=lnx+2x 所以(-普y一)-42-，-y),故 一2e2一1，可知y=1(x)在(0，十∞)上单调 递增.又t(c)=0,所以方程1nx。十2xi-2e -装=42- ,即 ,不妨设 一1一0有唯一解x。=e,所以直线1的方程 y-y。=-4y 是(1-4e)x-ey十2e3=0.故D正确.故 点B在第一象限，易知∠DOF为锐角，当 送CD. sin∠DOF取最大值时，直线OD的斜率k 12员因为Tn=3=adam=(aa,,所 以asa4=3,又ai,a,∈N,而1×3=3，所 也最大，又k一兰=一十 8y4 以a=1,a6=3或a5=3,a6=1,所以q=3 8兰=，当且仅当4=，即4=8 64 或g-号因为3a号，2a:成等差数列， 2√。% 则ag-3a1+2a1,即a1g2=3a1+2a1g,所 时取等号，此时tan∠DOF-分，eos 以g-3,g--16合去.故5 ag十aa ∠D0P=1+am∠DOF-行os∠D0F 1 1+g+g18 9+g30 ,0- ，25 5,sin∠DOF=tan∠DoF·cos 13.2025令x=2,则a=a。+a1+a:十十 a0=3=90=(8+1)0=C36·8°+C。· ∠D0-名×25-停甲血∠D0F的 8+C%。·8++C。·8+C8,展开式共 最大值为气所以如g- 5 ,函数f(x) 11项，其中前10均有因数8，最末一项为1， si血x的图象上所有点的纵坐标保持不变，横 则a被8除得的余数是1,2022,2023,2024， 2025被8除得的余数分别为6,7,0,1，因此 坐标变为原来的2得到y=sin2x,将y= b的值是2025. si如2x,图象上所有点向左平移于个单位长 4号 因为过点F的C的弦中最短的弦长为 度，得到函数g(e)=sin(2x+之)=co 8,所以2p=8,即C的方程为y2=8x,F 2,0).设B(管，Dc),由D是线段 2z,所以g(9)=cos2p-1-2×停} 3 BF上靠近点F的五等分点，得B=4D庐， 5 门·数学答案 15.解：(1)由题意，在△BCD中，BC=CD=2, A: 且∠C=120°， 期得osA'十”-已，AE0, 2(ad+be) 1 则Sam=豆·BC·CDsin C=2X2X2 断以血A-丁 ×号-5， √(ad+bc)-(a+d--c月 又由余弦定理，得 2(ad+be) BD*=BC+CD:-2XBC CDeos C, a+)-6-)[6+-a-d) 2(ad+be) 解得BD=2V3, ((4-)( 2Cal+be) 又在△ABD中，AB=2,AD=23,BD=2 令 a+b+c+d,则上式= 2 5, 得os∠ADB=AD'+BD-AB 2v(p=a)(p-6)(p-c)(p-d) 2XADXBD ad+be 12+12-4_5 于是四边形ABCD的面积 24 61 S-zadsin A+bcsin C-adsinA+ 所以鱼∠ADB--倍-夏， 1 besin.(xA)(ad+be)sin A 所以△ABD的面积 =p-ap-bp-0)p-d万.… Sam=z·AD·BDsin∠ADB=zX -13分 ex-m. , 16.(1)证明：因为PD⊥底面ABCD,且BCC 底面ABCD,所以PD⊥BC, 所以花卉布展区域的总面积为S=Sn十 又因为ABCD为矩形，可得DC⊥BC, S0=3十/.…6分 因为PD∩DC=D,且PD,DCC平面 (2)由题可知，当A,B,C,D四点共圆时，四 PDC,所以BC⊥平面PDC, 边形ABCD的面积达到最大.∠A十∠C= 又因为DEC平面PDC,所以BC⊥DE, 因为PD=DC,且E为PC的中点，所以 连接BD,分别在△ABD和△BCD利用余 DE⊥PC, 弦定理， 又因为PCN BC=C,且PC,BCC平面 可得a2+d-2 adcos A=b+c2十2 bccos PBC,所以DE⊥平面PBC,)9,. 数学答案 因为PBC平面PBC,所以DE⊥PB, 则P=(2,0,-2),Pi=(2,2,-2),PE 又因为EF⊥PB,且DE∩EF-E,DE,EF (0,1,-1) C平而DEF,所以PB⊥平面DEF 因为G在线段PB上，设P心-APi=(2x, 因为PBC平面PBD 2以，-2)，其中0<A<1 所以平面PBD⊥平面DEF.…6分 则E亦-PG-P呢=(2A,2x-1,-2x+1), (2)解：方法一：以D为坐标原点，分别以 因为EG与PA所成的角为45°，可得cos DA,DC,DP所在直线为x,y,z轴建立如 45°= IPA.EG 8A-2 图所示空问直角坐标系， IPAIEGI 2W2×√/12x-8队+2 设BC=x, 2 则D(0,0,0),B 1 (x,2,0) 解得=4，所以入= ,所以G(1,1,1),可 (0,1,1),P(0,0,2), 得D2=(0,1,1),D心=(1,1,1)， 所以 D克=A 设平面DEG的法向量为m=(x,y,e),则 (x,2,0),DE= 「m·DE-y+x=0 (0,1,1),BP=(-x,-2,2), mDG=x+y+=0 由(I)知B驴为平面DEF的一个法向量， 令y=1,可得x=0,x=一1，所以m=(0,1, 设平面DBE的一个法向量为m=(a,b,c), -1),CG=(1,-1.1) n·Di=0,xa+2b=0, 设CG与平面DEG所成角为0，则in0= 则 即 令a=2,则b m·D呢=0，b+c=0, Icos (CG,m)|= -1-1 √6 3X√2 =一x,c=x, 所以n=(2,一x,x),什试过 小m0=点， 所以|co8〈n,B乎)1= n:B产 |n·IBPi 故直线CG与平面DEG所成角的余弦值为 -2x+2x+2x 3 …415分 4+(-x)+x·√/-)'+4+4 方法二：由(I)可得DE⊥平面PBC, =3,解得x=2,即BC-2 因为EFC平面PBC,EBC平面PBC, 可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0, 所以DE⊥EF,DE⊥EB. 2,0),P(0,0,2),E(0,1,1), 所以∠BEF为二面角F一DE一B的平面 数学答案