精品解析：北京市陈经纶中学2024-2025学年下学期八年级期中数学试题

陈经纶中学2024-2025第二学期初二数学期中检测 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列选项中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，被开方数不含小数分数或者能开方的因式，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、的被开方数是分数，不是最简二次根式，故该选项是错误的； B、不是最简二次根式，故该选项是错误的； C、不是最简二次根式，故该选项是错误的； D、是最简二次根式，故该选项是正确的； 故选：D 2. 以下列各组数为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 6，8，9 C. 1，2， D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】A、∵，∴， ∴不能构成直角三角形，故A不符合题意； B、∵，∴， ∴不能构成直角三角形，故B不符合题意； C、∵， ∴不能构成直角三角形，故C不符合题意； D、∵，∴， ∴能构成直角三角形，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加、减、乘、除、四则运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据二次根式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项二次根式，不能合并，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确， 故选：D． 4. 如图，两个边长为1的正方形整齐地排列在数轴上形成一个大的长方形，以O点为圆心，以长方形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，根据勾股定理求出，据此可得答案． 【详解】解：由勾股定理得， ∴点Р表示的数是． 故选B． 5. 下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（　　） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D. 有两组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A不符合题意； B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故B符合题意； C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故C不符合题意； D、两组对角相等的四边形是平行四边形，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 6. 如图，矩形中，交于点，分别为的中点．若，则的长为（　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质和含角的直角三角形的性质得出，进而求出，再依据中位线的性质推知，即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形，交于点，， ， ，即， ， 分别为的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线的定理，解题的关键是找到线段间的倍分关系． 7. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为根据勾股定理，可以列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：根据勾股定理，可列方程为． 故选：C． 8. 如图，正方形边长为4，点E在边上运动（不含端点），以为边作等腰直角三角形，，连接．下面有四个说法： ①当时，； ②当时，点B，D，F共线； ③当时，与面积相等； ④当时，是的角平分线． 所有正确说法的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解题关键．先利用勾股定理求出，再根据即可判断①正确；如图1，过点作，交延长线于点，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再根据等腰三角形的性质可得，则可得，由此即可判断②正确；先根据全等三角形的性质求出的长，再根据三角形的面积公式即可判断③错误；如图2，在截取，连接，先求出，则可得，再证出，从而可得，由此即可判断④错误． 【详解】解：∵正方形边长为4， ∴， 当时，则， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴，则说法①正确； 当时，如图1，过点作，交延长线于点，连接， ∵四边形是边长为4的正方形， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，点共线，则说法②正确； 当时，同上可证：， ∴，， ∴， ∴的面积为， 的面积为， ∴当时，与面积不相等，则说法③错误； 当时，如图2，在截取，连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵在等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴当时，不是的角平分线，则说法④错误； 综上，所有正确说法的序号是①②， 故选：A． 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分． 9. 若在实数范围内有意义，则实数x取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数及二次根式有意义的条件，熟练掌握实数的性质及二次根式有意义的条件是解题的关键；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”可进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为． 10. 比较大小：_____（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，由可得，进而可得，即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 11. 如图，在中，，垂足为D，E是的中点，连接，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形的性质得到，得到，进而得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵，E是BC的中点， ∴，， ∴， ∴ 故答案为 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 12. 如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是（8，0），点C的坐标是（2，6），则点B的坐标是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，结合A点和C点的坐标，就可以写出B点的坐标． 【详解】解：根据平行四边形的性质可得： ，根据已知条件A（8，0）可知OA=8，C（2，6），可知B点的横坐标为2+8=10，B点的纵坐标为6，所以B（10，6）. 故答案为：（10，6）. 【点睛】本题主要考查坐标的表示，再结合考查平行四边形的性质，难度系数较低，但应当熟练掌握． 13. 如图，四边形是菱形，，，于点H，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．掌握菱形的性质是解本题的关键． 先根据菱形的性质得，再利用勾股定理计算出，然后根据菱形的面积公式得到，再解关于的方程即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， 在中，， ， ， ， ． 故答案为． 14. 如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的折叠，勾股定理，全等三角形的性质和判定， 先根据矩形的性质和折叠的性质证明，再设，则，根据勾股定理可求出，进而得出答案. 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴. 根据折叠可知. ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：10． 15. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是_____寸． 【答案】101 【解析】 【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论． 【详解】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示： 由题意得：OA＝OB＝AD＝BC， 设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸， 则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸， ∴AE＝（r﹣1）寸， 在Rt△ADE中， AE2＋DE2＝AD2，即（r﹣1）2＋102＝r2， 解得：r＝50.5， ∴2r＝101（寸）， ∴AB＝101寸， 故答案为：101 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键． 16. 如图，线段的长为10，点D在线段上运动，以为边长作等边．再以为边长，在线段上方作正方形，记正方形的对角线交点为O．连接，则线段的最小值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质．连接、，则、交于点O，连接并延长，过点B作于点M，证明，得出，证明点O一定在射线上，根据垂线段最短，得出点O在点M处时，线段取最小值，求出最小值即可． 【详解】解：连接、，则、交于点O，连接并延长，过点B作于点M，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点O一定在射线上， ∵垂线段最短， ∴点O在点M处时，线段取最小值， ∵，， ∴， ∴线段取最小值为5． 故答案为：5． 三、解答题：本大题共10个小题，共52分．第17-24题每题5分，25-26题每6分． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质和运算法则计算即可求解，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 已知，求代数式的值． 【答案】2 【解析】 【分析】根据完全平方公式把原式变形，把的值代入计算即可． 【详解】解：， ． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式． 19. 下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程． 求作：菱形（点E在上，点F在上）． 作法：①以A为圆心，长为半径作弧，交于点F； ②以B为圆心，长为半径作弧，交于点E； ③连接． 所以四边形为所求作的菱形． 根据小明的做法完成下面的证明； 证明：，，______＝______． 在中，，即， 四边形为______（____________）（填推理的依据）， ，四边形为______（____________）（填推理的依据）． 【答案】；；平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；菱形；一组邻边相等的平行四边形是菱形 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识．根据一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论成立． 【详解】证明：，， ， 在中，． 即． 四边形为平行四边形（一组对边相等且平行的四边形是平行四边形）． ， 四边形为菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形． 故答案为：；；平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；菱形；一组邻边相等的平行四边形是菱形． 20. 如图，在四边形中，，，，，，求的面积． 【答案】的面积是30． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理应用．先根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理说明为直角三角形，然后根据三角形的面积公式求出答案即可． 【详解】解：∵，，， ∴根据勾股定理得：， 又∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∴． 即的面积是30． 21. 如图，点A，F，C，D在一条直线上，且，． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定； 根据平行线的性质可得，证明，可得，，则，然后推出即可证得结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 22. 如图，在四边形中，，，对角线的垂直平分线与边、分别交于点F，E． （1）猜想图中四边形的形状是______形，并证明你的猜想； （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1）菱，证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）设与交于点O，由线段垂直平分线的性质可得，，，然后证明，得出，再根据四条边都相等的四边形是菱形得出结论； （2）首先用含的式子表示出，再利用勾股定理构建方程求出即可． 【小问1详解】 解：四边形的形状是菱形； 证明：设与交于点O， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的形状是菱形； 故答案为：菱； 【小问2详解】 解：由（1）知，四边形的形状是菱形，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴菱形的周长． 【点睛】本题考查了平行线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵活运用各性质是解题的关键． 23. 按要求画出图形： （1）在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，按下列要求在网格中画出图形：在图1中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为4，，；请你判断这个三角形______直角三角形（填“是”或“不是”）． （2）如图2，已知点，B为第二象限内的一个整点（即横纵坐标都为整数的点），且．画出以A，B，O及合适的第四个点C为顶点的所有平行四边形． 【答案】（1）不是，见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用，坐标与图形，熟练掌握网格特点，是解题的关键． （1）根据三角形三边长分别为4，，画出三角形，根据勾股定理逆定理进行判断即可； （2）先根据点，B为第二象限内的一个整点，且，得出点，然后根据平行四边形的特点，画出平行四边形即可． 【小问1详解】 解：为所求作的三角形，如图所示： ∵， ∴这个三角形不是直角三角形； 【小问2详解】 解：以A、B、O及合适的第四个点C为顶点的所有平行四边形，如图所示： 24. 阅读材料： 基本不等式≤（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，x+有最小值，最小值是多少？ 解：∵x＞0，＞0∴≥，即≥2，∴≥2 当且仅当x＝，即x＝1时，x+有最小值，最小值为2． 请根据阅读材料解答下列问题： （1）已知x＞0，则当x为____时，代数式3x+的最小值为______； （2）已知a＞0，b＞0，a2+b2=7，则ab的最大值为_____ （3）已知矩形面积为9，求矩形周长的最小值． 【答案】（1）1，6；（2）；（3）12. 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式即可解决问题； （2）利用基本不等式变形式即可得解； （3）设这个矩形的长为x米，则宽=面积÷长，即宽=米，则矩形周长为2倍的长+2倍的宽，本题就可以转化为两个非负数的和的问题，从而根据基本不等式求解． 【详解】解：（1）∵x＞0，3x>0，>0， ∴， 即， 当且仅当3x＝，即x＝1时，3x+有最小值，最小值为6． 故答案为：1，6； （2）由基本不等式≤（a＞0，b＞0）得 即 （a＞0，b＞0） 当且仅当a＝b时等号成立， ∵a2+b2=7， ∴ 即，当且仅当a=b=时，等号成立， 故答案为：； （3）设矩形的长为x米，宽=，矩形的周长为2（）， ∵x>0，>0， ∴， 当且仅当时等号成立，即x=3时，有最小值6，2（）有最小值12 即矩形的周长的最小值为12，此时长为3，宽也为3. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，解题的关键是理解题意，学会模仿解决问题． 25. 如图，点E在正方形的边上（不与点B，C重合），点B关于直线的对称点为F，作射线交AE交于点G，连接，过点C作交射线于点H． （1）依题意补全图形； （2）求的度数； （3）用等式表示线段与之间的数量关系．并证明． 【答案】（1）见解析 （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）依据题意补全图形即可； （2）连接，根据对称的性质得到，利用等边对等角得到，，结合四边形内角和求出，可得； （3）过C作，垂足为T，证明是等腰直角三角形，得到，再证明，得出，结合对称的性质，可得结果． 【小问1详解】 解：如图所示： 小问2详解】 连接，∵B，F关于对称， ∴垂直平分， ∴， 在正方形中，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ，理由是： 过C作，垂足为T， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在正方形中，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质，轴对称变换，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 26. 在平面直角坐标系中，对于点P和正方形，给出如下定义：若点P在正方形内部（不包括边界），且P到正方形的边的最大距离是最小距离的2倍，则称点P是正方形的2倍距离内点． 已知：，． （1）当时， ①点，，三个点中，______是正方形的2倍距离内点： ②点是正方形的2倍距离内点，请直接写出n的取值范围； （2）点，，若线段上存在正方形的2倍距离内点，请直接写出a的取值范围； （3）当时，请直接写出所有正方形的所有2倍距离内点组成的图形面积． 【答案】（1）①；② （2） （3）14 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形性质、正方形性质、一次函数等知识，理解题意定义，灵活运用所学知识，利用数形结合和分类讨论思想寻找特殊点位置求解是解答的关键． （1）①根据题中定义，结合坐标与图形性质求解即可； ②根据题中定义，结合坐标与图形性质，注意分类讨论求解即可； （2）先利用待定系数法求得线段的表达式为，设点是线段上一点，且为正方形的2倍距离内点，分两种情况分别求解即可； （3）由（1）中第②中结论可知，当时，正方形的所有2倍距离内点组成正方形，同（1）②方法，当时，正方形的所有2倍距离内点组成正方形，从而得出当时，正方形所有的2倍距离内点组成的图形是六边形，连接，设该六边形的面积为S，由求解即可． 【小问1详解】 解：当时，，，，如图， ①∵点不是正方形内点， ∴不是正方形的2倍距离内点； ∵点到的距离为2，到、的距离都为3，到的距离为4，又, ∴是正方形的2倍距离内点； ∵到的距离为1，到的距离为4，到的距离为2，到的距离为5，又， ∴不是正方形的2倍距离内点， 故答案为：； ②∵点是正方形的2倍距离内点， ∴， 由于点到的距离为4，到的距离为2，到的距离为n，到的距离为， 分以下几种情况： 当时，，则2为最小值，4为最大值，满足； 当时，，则由得，不符合题意，舍去； 当时，，则由得，不符合题意，舍去； 综上，n的取值范围为； 【小问2详解】 解：由题意，， 设线段的表达式为， 将、代入，得，解得， ∴线段的表达式为， 设点是线段上一点，且为正方形的2倍距离内点， 则，且到、的距离为m，到、的距离为， 若，则，∴； 若，则，∴， 综上，m的取值范围为； 【小问3详解】 解：如图， 由（1）中第②中结论可知， 当时，点是正方形的2倍距离内点时，则； 同理，点是正方形的2倍距离内点时，则， ∴当时，正方形的所有2倍距离内点组成正方形，其中，，，，； 同（1）②方法，当时，正方形的所有2倍距离内点组成正方形，其中，，，,， ∴当时，正方形所有的2倍距离内点组成的图形是六边形， 连接，设该六边形的面积为S，其面积为 ， 即当时，所有正方形的所有2倍距离内点组成的图形面积为14． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 陈经纶中学2024-2025第二学期初二数学期中检测 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列选项中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 6，8，9 C. 1，2， D. 5，12，13 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，两个边长为1的正方形整齐地排列在数轴上形成一个大的长方形，以O点为圆心，以长方形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点表示的数是（ ） A. B. C. D. 5. 下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（　　） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D. 有两组对角相等的四边形是平行四边形 6. 如图，矩形中，交于点，分别为的中点．若，则的长为（　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 7. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为根据勾股定理，可以列出方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形边长为4，点E在边上运动（不含端点），以为边作等腰直角三角形，，连接．下面有四个说法： ①当时，； ②当时，点B，D，F共线； ③当时，与面积相等； ④当时，是的角平分线． 所有正确说法序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④ 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分． 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______． 10. 比较大小：_____（填“”“”或“”）． 11. 如图，在中，，垂足为D，E是的中点，连接，则的度数是________． 12. 如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A坐标是（8，0），点C的坐标是（2，6），则点B的坐标是___________. 13. 如图，四边形是菱形，，，于点H，则_________． 14. 如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为_________． 15. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是_____寸． 16. 如图，线段的长为10，点D在线段上运动，以为边长作等边．再以为边长，在线段上方作正方形，记正方形的对角线交点为O．连接，则线段的最小值为______． 三、解答题：本大题共10个小题，共52分．第17-24题每题5分，25-26题每6分． 17. 计算： 18. 已知，求代数式的值． 19. 下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程． 求作：菱形（点E在上，点F在上）． 作法：①以A为圆心，长为半径作弧，交于点F； ②以B为圆心，长为半径作弧，交于点E； ③连接． 所以四边形为所求作的菱形． 根据小明的做法完成下面的证明； 证明：，，______＝______． 中，，即， 四边形为______（____________）（填推理的依据）， ，四边形为______（____________）（填推理的依据）． 20. 如图，在四边形中，，，，，，求的面积． 21. 如图，点A，F，C，D在一条直线上，且，． 求证：四边形是平行四边形． 22. 如图，在四边形中，，，对角线的垂直平分线与边、分别交于点F，E． （1）猜想图中四边形形状是______形，并证明你的猜想； （2）若，，求四边形的周长． 23. 按要求画出图形： （1）在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，按下列要求在网格中画出图形：在图1中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为4，，；请你判断这个三角形______直角三角形（填“是”或“不是”）． （2）如图2，已知点，B为第二象限内的一个整点（即横纵坐标都为整数的点），且．画出以A，B，O及合适的第四个点C为顶点的所有平行四边形． 24. 阅读材料： 基本不等式≤（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，x+有最小值，最小值是多少？ 解：∵x＞0，＞0∴≥，即≥2，∴≥2 当且仅当x＝，即x＝1时，x+有最小值，最小值为2． 请根据阅读材料解答下列问题： （1）已知x＞0，则当x为____时，代数式3x+的最小值为______； （2）已知a＞0，b＞0，a2+b2=7，则ab的最大值为_____ （3）已知矩形面积为9，求矩形周长的最小值． 25. 如图，点E在正方形的边上（不与点B，C重合），点B关于直线的对称点为F，作射线交AE交于点G，连接，过点C作交射线于点H． （1）依题意补全图形； （2）求的度数； （3）用等式表示线段与之间的数量关系．并证明． 26. 在平面直角坐标系中，对于点P和正方形，给出如下定义：若点P在正方形内部（不包括边界），且P到正方形的边的最大距离是最小距离的2倍，则称点P是正方形的2倍距离内点． 已知：，． （1）当时， ①点，，三个点中，______是正方形的2倍距离内点： ②点是正方形的2倍距离内点，请直接写出n的取值范围； （2）点，，若线段上存在正方形的2倍距离内点，请直接写出a的取值范围； （3）当时，请直接写出所有正方形所有2倍距离内点组成的图形面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$