7.4.1 二项分布课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

7.4二项分布与超几何分布 第七章 随机变量及其分步 课时1 二项分布 新知探究 探究一：重伯努利试验 情境设置 问题：下列一次随机试验会产生什么结果，共同点是什么？ (1)掷一枚硬币; (2)检验一件产品; (3)飞碟射击; (4)医学检验. 2 新知生成 知识点一 𝒏重伯努利试验 1.𝑛 重伯努利试验的概念 一般地，在相同条件下重复做𝑛 次伯努利试验，且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响，则称这样的𝑛次独立重复试验为𝑛 重伯努利试验. 2.𝑛 重伯努利试验中，试验成功的概率分布 一般地，在𝑛重伯努利试验中，用𝑋表示这𝑛 次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为𝑝(0<𝑝<1)，则𝑋的分布列为𝑃(𝑋=𝑘)= (𝑘=0,1,2,⋯,𝑛) . 𝑛 重伯努利试验具有如下共同特征: (1)同一个伯努利试验重复做𝑛 次； (2)各次试验的结果相互独立. 3 一、𝒏重伯努利试验 例题1 某气象站天气预报的准确率为80% ，计算:(结果保留到小数点后面第2位) (1) 5次预报中恰有2次准确的概率； (2) 5次预报中至少有2次准确的概率； (3) 5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率. 【解析】(1)记“预报1次准确”为事件𝐴，则𝑃(𝐴)=0.8 ，5次预报相当于5次独立重复 试验，恰有2次准确的概率 ，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05. (2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，故所求概率 , 即5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99. (3)由题意知，第1,2,4,5次预报中恰有1次预报准确， 所以所求概率为 , 即5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02. 4 反思感悟 方法总结 在运用𝑛重伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为 𝑛重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(要么发生，要么不发生)，且在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率. 5 新知运用 跟踪训练1 (多选题)下列事件不是𝑛 重伯努利试验的是( ). A.运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B.甲、乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C.甲、乙两名运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标” D.在相同的条件下，甲射击10次 【解析】(1) A，C是互斥事件；B是相互独立事件；D是𝑛 重伯努利试验. ABC 6 新知运用 跟踪训练 甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是，.假设两人射击是否击中 目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响. (1)求甲射击4次,至少有1次未击中目标的概率； (2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率. 【解析】(1) 记“甲射击4次，至少有1次未击中目标”为事件 ,由题意知,射击4次,相当 于做4次独立重复试验.故 , 所以甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率为 . (2)记“甲射击4次,恰有2次击中目标”为事件 ,“乙射击4次,恰有3次击中目标”为事件 , 则 , .因为甲、乙射击相互独立,所以 ， 所以两人各射击4次,甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为 . 7 新知探究 探究二：二项分布 情境设置 问题1：如果王明做5道单选题，每道题都随机选1个答案，那么他做对的题数服从二项分布吗？为什么？ 问题2：如果王明做5道单选题，其中2道题会做，其余3道题均随机选1个答案，那么他做对的题数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？ 8 新知生成 知识点二 二项分布 1.二项分布 若随机变量𝑋的分布列为𝑃(𝑋=𝑘)= (𝑘=0,1,2,⋯,𝑛)，则称𝑋 服从参 数𝑛，𝑝的二项分布，简记为 .显然，两点分布是二项分布在参数𝑛=1 时的 特殊情况. 2.二项分布的期望、方差 一般地，若随机变量𝑋～𝐵(𝑛,𝑝)，则𝐸(𝑋)= ，𝐷(𝑋)= . 特殊地，若随机变量𝑋服从参数为𝑝的两点分布，则𝐸(𝑋)=，𝐷(𝑋)= . 9 新知生成 知识点二 二项分布 2.二项分布的期望、方差 一般地，若随机变量𝑋～𝐵(𝑛,𝑝)，则𝐸(𝑋)= ，𝐷(𝑋)= . 特殊地，若随机变量𝑋服从参数为𝑝的两点分布，则𝐸(𝑋)=，𝐷(𝑋)= . 证明:(1)当时,服从两点分布,分布列为 均值和方差分别为 (2)当时,的分布列为 均值和方差分别为 10 二、𝒏重伯努利试验的概率计算 例2 如图所示，已知一个质点在外力的作用下，从0出发，每次向左移动的概率为， 向右移动的概率为 .若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于 𝑋的位置，则𝑃(𝑋>0)= ___. 【解析】由题意，设该质点向右移动的次数为，则，， ,1,2,3,4,5. 因为 ， 所以 的可能取值为1，3，5. 所以 . 11 反思感悟 方法总结 𝑛重伯努利试验概率求法的三个步骤 (1)判断：依据𝑛重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为𝑛重伯努利试验. (2)分拆：判断所求事件是否需要分拆. (3)计算：就每个事件依据𝑛重伯努利试验的概率公式求解，最后利用互斥事件 的概率加法公式计算. 12 新知运用 跟踪训练2 某人寿保险公司规定，若投保人离世时不足65岁，则保险公司要赔偿100万 元；若投保人离世时超过65岁，则保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付5万元. 已知购买此种保险的每个投保人离世时超过65岁的概率都是0.9 ，随机抽取3个投保人， 设其中离世时超过65岁的人数为𝑋，保险公司要赔偿给这3个投保人的总金额为𝑌 万元， 则𝑃(𝑌<200)= ( ). A.0.972 B.0.729 C.0.486 D.0.243 【解析】依题意知，因为3个投保人中，离世时超过65岁的人数为 ， 所以离世时不足65岁的人数为，因此 ，即 ， 所以 . A 13 三、二项分布的期望、方差问题 P74例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次,求: (1)恰好出现5次正面朝上的概率; (2)正面朝上出现的频率在内的概率. 【解析】设正面朝上",则.用表示事件发生的次数,则. (1)恰好出现5次正面朝上等价于,于是 (2)正面朝上出现的频率在内等价于,于是 14 三、二项分布的期望、方差问题 例3 (1)已知的展开式的前三项的二项式系数之和为22，求𝑛 的值并求展 开式中的常数项. (2)如图，这是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，⋯ ，6，用𝑋 表示小球最后落入格子的号码，求𝑋 的分布列、均值与方差. 【解析】(1) 依题意，有，即 ， 解得或 （舍去）.由通项公式可得 ，令，解得 ， 展开式的常数项为 . (2) 依题意有, ， , 的分布列为， . 0 1 2 3 4 5 6 15 三、二项分布的期望、方差问题 P75例3 甲、乙两选手进行象棋比赛,如果每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利? 【解析】解法1：采用3局2胜制,甲最终获胜有两种可能的比分或,前者是前两局甲连胜,后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜.因为每局比赛的结果是独立的,甲最终获胜的概率为 类似地,采用5局3胜制,甲最终获胜有3种比分或.因为每局比赛的结果是独立的,所以甲最终获胜的概率为 解法2:采用3局2胜制,不妨设赛满3局,用表示3局比赛中甲胜的局数,则.甲最终获胜的概率为 采用5局3胜制,不妨设赛满5局,用表示5局比 赛中甲胜的局数,则.甲最终获胜的概率为 因为,所以5局3胜制对甲有利.实际上,比赛局数越多,对实力较强者越有利. 16 反思感悟 方法总结 解决二项分布相关问题的步骤 (1)明确伯努利试验及事件𝐴的意义，确定事件𝐴发生的概率𝑃； (2)确定重复试验的次数𝑛，并判断各次试验的独立性； (3)设𝑋为𝑛次独立重复试验中事件𝐴发生的次数，则𝑋～𝐵(𝑛,𝑝)； (4)利用二项分布的期望、方差公式计算. 17 新知运用 跟踪训练3 甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：每一局比赛中，胜者得1分， 负者得0分，且比赛中没有平局.根据以往双方交手战绩统计得知，每局比赛甲获胜的 概率为，每局比赛的结果互不影响. (1)经过3局比赛，记甲的得分为𝑋，求𝑋 的分布列和期望； (2)计算3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率. 【解析】(1) 由题意得，,， 的所有可能取值为0，1，2，3， 则 ， ， ， , 所以 的分布列为 因为,，所以 . (2)3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分有两种情况：甲获胜2局，甲获胜3局. . 0 1 2 3 18 随堂检测 1. 已知,，则 ( ). A. B. C. D. 2. 设随机变量服从二项分布，即，且，，则 ( ). A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 3.某学生通过某项英语听力测试的概率是，每次通过与否互不影响，他连续测试𝑛 次， 要保证他至少有一次通过的概率大于，那么的最小值为( ). A.6 B.5 C.4 D.3 B D C 19 随堂检测 4. 一次数学测验由25个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是 正确的，每个题目选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分.某学生选对 任一题的概率均为0.6 ，则此学生在这一次测验中的成绩的均值为____，方差为____. 【解析】设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为，所得的成绩为 ，则 .由题意知 ， 所以， ， ， , 所以该学生在这一次测试中的成绩的均值与方差分别是60与96. 60 96 20 课堂小结 1.知识清单： (1)重伯努利试验； (2)二项分布. 21 $$