7.3.2 离散型随机变量的方差课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

7.3离散型随机变量的数字特征 第七章 随机变量及其分步 课时2 离散型随机变量的方差 新知探究 探究一：离散型随机变量的方差 情境设置 要从两名同学中挑出一名，代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩纪录，第一名同学击中目标靶的环数的分布列为 第二名同学击中目标靶的环数的分布列为 问题1： ， 各为何值？ 问题2：能否根据和 的均值来决定派哪名同学参赛？ 5 6 7 8 9 10 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10 5 6 7 8 9 P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33 2 新知生成 知识点一 离散型随机变量的方差 若离散型随机变量𝑋 的分布列如下表： 则描述了相对于均值的偏离程度，而 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量𝑋与其均值𝐸(𝑋)的平均偏离程度.我们称𝐷(𝑋)为随机变量𝑋 的方差，其算术平方根为随机变量𝑋的标准差，记作𝜎(𝑋) . 注意：随机变量的方差𝐷(𝑋)和标准差𝜎(𝑋) 都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. X … … P … … 3 一、离散型随机变量的方差 P69例题5 抛郑一枚质地均匀的骰子,设出现的点数为X,求X的方差. 【解析】随机变量的分布列为 因为 所以 4 一、离散型随机变量的方差 例题1 某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数 分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会. (1)设事件𝐴为“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件𝐴 发生的概率； (2)设𝑋为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量𝑋 的分布列和数学 期望与方差. 【解析】(1) 由已知得 . ( 的所有可能取值为0，1，2， ，， ， 的分布列为 所以 , . X 0 1 2 P 5 反思感悟 方法总结 求离散型求离散型随机变量𝑋的均值和方差的基本步骤: (1)理解𝑋的意义，写出𝑋的全部取值； (2)求𝑋取每个值时的概率； (3)写出𝑋的分布列； (4)计算𝐸(𝑋)，𝐷(𝑋). 6 新知运用 跟踪训练1 袋中有形状、大小完全相同的3个球，编号分别为1，2，3.有放回地从袋中 取两次，每次取1个球，以𝑋 表示取出的2个球中的最大号码. (1)写出𝑋 的分布列； (2)求𝑋 的均值与方差. 【解析】(1) 由题意可知 的所有可能取值为1，2，3，且有放回地从袋中取两次，每 次取1个球的所有情况为，，，，，，， ， . 故,, , 所以𝑋 的分布列为 (2) 由(1)可得， ， . X 1 2 3 P 7 新知探究 探究二：离散型随机变量的方差的性质 情境设置 问题：离散型随机变量𝑋加上一个常数，方差会有怎样的变化？离散型随机变量𝑋 乘一个常数，方差又有怎样的变化？ 8 新知生成 知识点二 离散型随机变量方差的性质 方差的性质方差的性质: ； . 9 二、离散型随机变量方差的性质： 例2 已知𝑋 的分布列如下： (1) 求的分布列； (2)求𝑋 的方差； (3)若𝑌=4𝑋+3，求𝑌 的均值和方差. 【解析】(1)由分布列的性质，知，解得，所以 的分布列为 (2) (法一：直接法)由(1)知 ， 所以 , 故 . (法二：公式法)由（1）知，所以 ，又 ，所以 . (3)因为，所以， . 0 1 0 1 P 10 反思感悟 方法总结 求随机变量𝑌=𝑎𝑋+𝑏方差的方法： 一种方法是先求𝑌的分布列，再求其均值，最后求方差； 另一种方法是利用公式𝐷(𝑎𝑋+𝑏)= 𝐷(𝑋)求解. 11 新知运用 跟踪训练2 已知随机变量𝜉 的分布列如下表： (1) 求，， ； (2)设𝜂=2𝜉+3，求𝐸(𝜂)，𝐷(𝜂) . 【解析】(1) ， ， 所以 . (2)因为，所以 ， . 0 1 P 12 三、离散型随机变量的均值与方差的综合应用 例3 为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试.已知甲、乙两名射手在 一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量𝑋，𝑌 ，甲、乙两名射手在每次射击中击 中的环数均大于6环，且甲射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.5，3𝑎，𝑎，0.1 ， 乙射中10环、9环、8环的概率分别为0.3，0.3，0.2 . (1)求𝑋，𝑌 的分布列； (2)求𝑋，𝑌 的数学期望与方差，以此比较甲、乙的射击水平并从中选拔一人参加奥运会. 【解析】(1)依题意，0.5+3𝑎+𝑎+0.1=1，解得𝑎=0.1 . ∵ 乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2 ， ∴ 乙射中7环的概率为1−(0.3+0.3+0.2)=0.2 ，∴𝑋 的分布列为, Y的分布列为 (2) 由（1）可得 （环）， （环）， ， . ，说明甲平均射中的环数比乙高， ，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定，所以甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会. X 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 Y 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 13 反思感悟 方法总结 概率模型的三个步骤 (1)建模：把实际问题转化为概率模型. (2)解模：确定分布列，计算随机变量的均值. (3)回归：利用所得数据，对实际问题作出判断. 利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤： (1)比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高. (2)在均值相等的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁发挥的水平相对稳定. (3)下结论.依据均值与方差的几何意义作出结论. 14 新知运用 跟踪训练3 某投资公司计划在2025年年初将100万元用于投资，现有两个项目供选择. 项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30% ，也可能亏 损15%，且这两种情况发生的概率分别为，. 项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50% ，可能损失 30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，. 针对以上两个投资项目，请你为该投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 【解析】选择项目一更好.理由如下：设投资项目一、二获利分别为𝑋，𝑌 万元， 则𝑋的所有可能取值有30，，且， ， Y的所有可能取值有50，，0，且，，， 所以， ， 所以 . ， ，则 ，这说明虽然项目一、项目二获得利润的期望相等，但项目一更稳妥，因此，选择项目 一较好. 15 随堂检测 1. 已知随机变量𝜉 满足𝑃(𝜉=1)=0.3，𝑃(𝜉=2)=0.7，则𝐸(𝜉)和𝐷(𝜉) 的值分别为( ). A.， B.， C.， D.， 2.已知随机变量𝑋 的分布列如下： 若，则的值是( ). A. B. C. D. 3. 已知随机变量服从两点分布，其中，若，则 __. C D 0 1 16 随堂检测 4.甲、乙两厂生产的产品的质量误差分别为𝑋，𝑌 （单位：秒），其分布列为 甲厂生产的产品质量误差的分布列 乙厂生产的产品质量误差的分布列 (1)求𝑎,𝑏 的值. (2)甲、乙两厂生产的产品哪个质量更好? 【解析】(1) 由分布列的性质知，，解得 ，由 ，解得 . (2)由表知 ， ， 所以 ，即甲、乙两厂生产的产品质量误差的均值相同. ， , 所以𝐷(𝑋)<𝐷(𝑌) ，即甲厂的产品质量误差的方差较小.综上，甲、乙两厂生产的产品质量误差的均值相同，但甲的方差较小，所以甲厂生产的产品质量更好. 0 1 0.8 0.1 0 1 2 0.1 0.2 0.4 0.1 17 课堂小结 1.知识清单： (1)离散型随机变量的方差； (2)离散型随机变量方差的性质； (3)离散型随机变量的均值与方差的综合应用. 18 $$