第14讲 牛吃草问题-六年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀，它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点，总结出4点巧思，这4点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有针对性的挑选强化练习，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的               牛吃草问题 第14讲     专题概述 牛吃草问题，也叫牛顿问题，因牛顿提出该问题而得名（见例题1）。在这类问题中，草每天都在生长，因此草的量在不断变化。这种工作总量不固定（均匀变化）的问题，就属于牛吃草问题。这类问题的主要类型有两种：求时间和求牛的头数。 牛吃草问题的基本公式如下： 牛吃草问题，其实是工程问题的一种特殊形式，其中，原草量和草的生长速度是不变的，解题的关键是确定两个不变的量。 重点例题1 【例1】有片牧场长满青草，牛在吃草的同时，草又不断生长。27头牛6天可以把牧场上的草全部吃光，23头牛吃光牧场上的草则需要9天。 （1）如果21头牛来吃，多少天可以吃光？ （2）如果200头牛来吃，多少天可以吃光？ 【思维点拨】这就是英国大物理学家牛顿提出的数学名题——牛吃草问题。此题的最大特点是：牛在吃草的同时，草还在不断生长。怎样解答这样的问题呢？关键是抓住牧场青草的总量变化进行推算。 解：假定1头牛1天吃的草量为1份。由题目中的条件"27头牛6天可以把牧场上的草全部吃光"和"23头牛吃完牧场上的草则需要9天"可知，前后两次的青草总量相差： 这多出来的青草量就是第二次比第一次多的那3天长出来的，所以每天生长的青草量为45 ÷ 3 = 15（份）。 我们可以从另一个角度来理解，这片牧场每天生长的青草可满足15头牛来吃。因此，我们可以把每次吃草的牛分为两组：一组是抽出15头牛来吃当天长出的青草量；另一组是剩下的牛去吃原来牧场的青草量。 这批牛开始吃青草前，牧场原有的青草量： 最后，求21头牛和200头牛吃完片牧场的青草天数就很容易解答了。 （1）先抽出15头牛去吃每天生长的青草量，然后让剩下的6头牛吃原有的青草量。 所以，当原有的青草量被吃完时，所有的青草量就全部吃完了。 （2）先抽出15头牛去吃每天生长的青草量，然后让剩下的185头牛吃原有的青草量。 答：（1）如果21头牛来吃，12天可以吃完。（2）如果200头牛来吃，0.4天可以吃完。 培优拔尖1 1.某牧场长满牧草，每天草匀速生长，这片牧场的草可供27头牛吃6周，可供23头牛吃9周。问：可供多少头牛8周吃完？ 2.某牧场长满牧草，每天草匀速生长，这片牧场的草可供15头牛吃20天，可供20头牛吃10天。问：每天新生长的牧草可供多少头牛吃1天？ 3.某牧场长满牧草，每天草匀速生长，这片牧场的草可供10头牛吃3天，可供5头牛吃8天。问：牧草可供多少头牛吃2天？ 重点例题2 【例2】有三片牧场，面积分别是5公顷、6公顷和8公顷。草地上的草是一样厚的，而且生长速度相同。第一片牧场可供11头牛吃10天，第二片牧场可供12头牛吃14天。问：第三片牧场可供19头牛吃多少天？ 【思维点拨】这道牛吃草问题比较复杂，涉及三片不同的牧场。为了解决这个问题，我们需要把三片牧场的面积统一起来。 三片牧场的面积分别是5公顷、6公顷和8公顷，而这三个数的最小公倍数是120。这样，我们再根据比例关系将原题转化一下，使计算更简便。 第一片5公顷牧场可供11头牛吃10天，可转化为120公顷牧场可供多少头牛吃10天？根据比例关系： 求得牛头数为24×11=264。 第二片6公顷牧场可供12头牛吃14天，可转化为120公顷牧场可供多少头牛吃14天？根据比例关系： 求得牛头数为20×12=240。 第三片8公顷牧场可供19头牛吃几天？按同样方式，可求出牛头数。根据比例关系： 求得牛头数为15×19=285。 因此，原题转变为这样一道题：一大片匀速生长的草，面积为120公顷，可供264头牛吃10天，或可供240头牛吃14天，那么这片牧场可供285头牛吃多少天？ 设1头牛1天吃1份草。 每天新长出的草： 草地原有的草： 可供285头牛吃的天数： 答：第三片牧场可供19头牛吃8天。 培优拔尖2 1.有三片牧场，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷。牧场上的草是一样厚的，而且生长速度相同。第一片牧场可供24头牛吃6周，第二片牧场可供36头牛吃12周。问：第三片牧场可供50头牛吃多少周？ 2.某火车站，在检票前几分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多，从正式检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需要30分钟，同时开5个检票口需要20分钟。如果同时打开7个检票口，需要多少分钟？ 3.快车、中车和慢车同时从甲出发，追赶一辆正在行驶的货车。已知快车、中车和慢车的时速分别是24千米、20千米、19千米。快车追上货车用了6小时，中车追上货车用了10小时，问：慢车追上货车用了几个小时？ 重点例题3 【例3】有一口天然的泉水井，源源不断地涌出泉水，每分钟涌出的水量是相等的。如果用4台抽水机，用15分钟就可抽完全部的水；如果用8台抽水机，用7分钟就可抽完全部的水。现用11台抽水机，多少分钟可以抽完全部的水？ 【思维点拨】这是一道古老的黄河堤坝问题。如果我们把井中的泉水看成草，把源源不断涌出的泉水看成不断生长的新草，把抽水看成牛吃草，这就成了经典的牛吃草问题。解答本题的关键是，求出每分钟涌出的泉水量和井中原来有多少泉水。 解：设每台抽水机每分钟能抽水1份。 原有的水和15分钟内新涌出的泉水： 原有的水和7分钟内新涌出的泉水： 8分钟内新涌出的泉水： 每分钟内新涌出的泉水： 原有的泉水量： 11台抽水机所用时间： 答：现用11台抽水机，5分钟可以抽完全部的水。 培优拔尖3 1.有一口天然的泉水井，源源不断地涌出泉水，每分钟涌出的水量是相等的。如果用3台抽水机，36分钟就可抽完全部的水；如果用5台抽水机，20分钟就可抽完全部的水。现用多少台抽水机，12分钟可以抽完全部的水？ 2.有一个池塘，装有若干根排水量相等的排水管。有1根人水管，不停地往池塘里放水，每分钟的人水量是相等的。如果开放3根排水管，需要45分钟才能把池塘里的水排完；如果开放5根排水管，需要25分钟才能把池塘里的水排完。请问：如果开放8根排水管，需要多少分钟才能把池塘里的水排完？ 3.山种有一个大酒库，连通着一个大酒槽。每天，槽内会泄漏等量的酒。小精灵们经常趁着山种不在，偷偷跑到酒槽喝酒。如果6个小精灵喝这里的酒，则4天可以喝完；如果4个小精灵喝这里的酒，则5天可以喝完。已知每个小精灵每天的饮酒量都是一样的，那么每天的漏酒量为原来酒的几分之几？ 第14讲 牛吃草问题 强化训练 1.某水库的存水量是一定的，每天一条河均匀地流入水库。如果用4台抽水机连续工作15天，可将水库的水抽干；如果用6台抽水机连续工作9天，可将水库的水抽干。问：需要用几台抽水机才能抽干水库中原有的水？ 2.某草场上的草是匀速生长的，每个工人每天的削草量是相等的。有一片草地，若17个工人去割，30天可以割完；若19个工人去割，24天可以割完。问：现在要6天将草割完，至少需要多少个工人？ 3.一般轮船在大海上航行着，不幸触礁，出现一个漏洞，海水以均匀的速度涌入舱内。船员们发现漏洞时舱内已经涌入了一些水。如果让12个船员冒水，需要3小时可以把水冒完；如果让5个船员冒水，需要10小时可以把水冒完。船长希望能在2小时内把涌入舱内的水冒完，需要多少个船员？ 4.某儿童游乐场，有一条长长的自动扶梯。大林和小林兄弟俩，逆着自动扶梯行驶的方向行走。大林每秒可走3级台阶，小林每秒可走2级台阶。他们从扶梯的一端走到扶梯的另一端，结果大林用了100秒，小林用了300秒。请问：该扶梯一共有多少级台阶？ 5.青草草原上，有一片牧场。这里的草，每天都匀速生长着。这片牧场上的青草可供17只羊吃30天，或供19只羊吃24天。现有一群羊来吃草，吃了6天后，卖掉了4只羊，余下的羊又吃了2天将草吃完。请问：这群羊原来有多少只？ 6.在某个建筑工地上，开工前已经运进了一批砖头，开工后每天运进相同数量的砖头。若由36名工人砌墙，则24天可把砖头全部用完；若由40名工人砌墙，则20天可把砖头全部用完。现在，项目经理派了若干名工人砌墙，在他们砌墙8天后，有5名工人请假回老家，剩下的工人又工作了2天，才把砖头全部用完。请问：原来项目经理派了多少名工人砌墙？ 学科网（北京）股份有限公司 $$前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思 维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀， 它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希 望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点， 总结出 4 点巧思，这 4 点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥 数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025 版」》，它基于教材知识 和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、 培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进 行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解 记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学 生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生 冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有 效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学 生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生 冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有 效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有 针对性的挑选强化练习，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练 习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的 牛吃草问题，也叫牛顿问题，因牛顿提出该问题而得名（见例题 1）。在这类问题中，草每天都在生长，因此草的量在不断变化。 这种工作总量不固定（均匀变化）的问题，就属于牛吃草问题。 这类问题的主要类型有两种：求时间和求牛的头数。 牛吃草问题的基本公式如下： 草的生长速度 = (对应的牛头数 × 吃的较多天数−相应的牛头数 × 吃的较少天数) (吃的较多天数−吃的较少天数) 原有草量 = 牛头数 × 吃的天数−草的生长速度 × 吃的天数 吃的天数 = 原有草量 牛头数−草的生长速度 牛头数 = 原有草量 吃的天数 + 草的生长速度 牛吃草问题，其实是工程问题的一种特殊形式，其中，原草量和草的 牛吃草问题第 14讲 专题概述 生长速度是不变的，解题的关键是确定两个不变的量。 【例 1】有片牧场长满青草，牛在吃草的同时，草又不断生长。27 头牛 6 天可以把牧场上的草全部吃光，23 头牛吃光牧场上的草则 需要 9天。 （1）如果 21头牛来吃，多少天可以吃光？ （2）如果 200头牛来吃，多少天可以吃光？ 【思维点拨】这就是英国大物理学家牛顿提出的数学名题——牛吃 草问题。此题的最大特点是：牛在吃草的同时，草还在不断生长。 怎样解答这样的问题呢？关键是抓住牧场青草的总量变化进行推 算。 解：假定 1头牛 1天吃的草量为 1份。由题目中的条件"27头牛 6 天可以把牧场上的草全部吃光"和"23 头牛吃完牧场上的草则需要 9 天 " 可 知 ， 前 后 两 次 的 青 草 总 量 相 差 ： 23 × 9−27 × 6 = 207−162 = 45（份） 这多出来的青草量就是第二次比第一次多的那 3天长出来的，所以 重点例题 1 每天生长的青草量为 45 ÷ 3 = 15（份）。 我们可以从另一个角度来理解，这片牧场每天生长的青草可满足 15 头牛来吃。因此，我们可以把每次吃草的牛分为两组：一组是 抽出 15 头牛来吃当天长出的青草量；另一组是剩下的牛去吃原来 牧场的青草量。 这批牛开始吃青草前，牧场原有的青草量：(27−15) × 6 = 72 （份） 最后，求 21 头牛和 200 头牛吃完片牧场的青草天数就很容易解答 了。 （1）先抽出 15头牛去吃每天生长的青草量，然后让剩下的 6头牛 吃原有的青草量。72 ÷ 6 = 12（天） 所以，当原有的青草量被吃完时，所有的青草量就全部吃完了。 （2）先抽出 15头牛去吃每天生长的青草量，然后让剩下的 185头 牛吃原有的青草量。72 ÷ 185 ≈ 0.4（天） 答：（1）如果 21头牛来吃，12天可以吃完。（2）如果 200头牛来 吃，0.4天可以吃完。 培优拔尖 1 1.某牧场长满牧草，每天草匀速生长，这片牧场的草可供 27头牛吃 6 周，可供 23头牛吃 9周。问：可供多少头牛 8周吃完？ 2.某牧场长满牧草，每天草匀速生长，这片牧场的草可供 15头牛吃 20 天，可供 20头牛吃 10天。问：每天新生长的牧草可供多少头牛吃 1 天？ 3.某牧场长满牧草，每天草匀速生长，这片牧场的草可供 10头牛吃 3 天，可供 5头牛吃 8天。问：牧草可供多少头牛吃 2天？ 【例 2】有三片牧场，面积分别是 5公顷、6公顷和 8公顷。草地 上的草是一样厚的，而且生长速度相同。第一片牧场可供 11头牛 吃 10天，第二片牧场可供 12头牛吃 14天。问：第三片牧场可供 19 头牛吃多少天？ 【思维点拨】这道牛吃草问题比较复杂，涉及三片不同的牧场。为 了解决这个问题，我们需要把三片牧场的面积统一起来。 三片牧场的面积分别是 5公顷、6公顷和 8公顷，而这三个数的最 小公倍数是 120。这样，我们再根据比例关系将原题转化一下，使 计算更简便。 第一片 5公顷牧场可供 11头牛吃 10天，可转化为 120公顷牧场可 重点例题 2 供多少头牛吃 10天？根据比例关系： 120 5 = 牛头数 11 求得牛头数为 24×11=264。 第二片 6公顷牧场可供 12头牛吃 14天，可转化为 120公顷牧场可 供多少头牛吃 14天？根据比例关系： 120 6 = 牛头数 12 求得牛头数为 20×12=240。 第三片 8 公顷牧场可供 19 头牛吃几天？按同样方式，可求出牛头 数。根据比例关系： 120 8 = 牛头数 19 求得牛头数为 15×19=285。 因此，原题转变为这样一道题：一大片匀速生长的草，面积为 120 公顷，可供 264头牛吃 10天，或可供 240头牛吃 14天，那么这片 牧场可供 285头牛吃多少天？ 设 1头牛 1天吃 1份草。 每天新长出的草： 240 × 14−264 × 10 14−10 草地原有的草： 264 × 10−180 × 10 = 840份 可供 285头牛吃的天数： 840 285−180 = 8天 答：第三片牧场可供 19头牛吃 8天。 1.有三片牧场，面积分别是 4公顷、8公顷和 10公顷。牧场上的草 是一样厚的，而且生长速度相同。第一片牧场可供 24头牛吃 6周， 第二片牧场可供 36头牛吃 12周。问：第三片牧场可供 50头牛吃多 少周？ 2.某火车站，在检票前几分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样 多，从正式检票到等候检票的队伍消失，同时开 4个检票口需要 30 分钟，同时开 5个检票口需要 20分钟。如果同时打开 7个检票口， 需要多少分钟？ 3.快车、中车和慢车同时从甲出发，追赶一辆正在行驶的货车。已知 快车、中车和慢车的时速分别是 24千米、20千米、19千米。快车追 上货车用了 6 小时，中车追上货车用了 10 小时，问：慢车追上货车 用了几个小时？ 培优拔尖 2 【例 3】有一口天然的泉水井，源源不断地涌出泉水，每分钟涌出 的水量是相等的。如果用 4 台抽水机，用 15 分钟就可抽完全部的 水；如果用 8 台抽水机，用 7 分钟就可抽完全部的水。现用 11 台 抽水机，多少分钟可以抽完全部的水？ 【思维点拨】这是一道古老的黄河堤坝问题。如果我们把井中的泉 水看成草，把源源不断涌出的泉水看成不断生长的新草，把抽水看 成牛吃草，这就成了经典的牛吃草问题。解答本题的关键是，求出 每分钟涌出的泉水量和井中原来有多少泉水。 解：设每台抽水机每分钟能抽水 1份。 原有的水和 15分钟内新涌出的泉水： 4 × 15 = 60份 原有的水和 7分钟内新涌出的泉水： 8 × 7 = 56份 8分钟内新涌出的泉水： 60−56 = 4份 重点例题 3 每分钟内新涌出的泉水： 4 ÷ 8 = 0.5（份） 原有的泉水量： 60−15 × 0.5 = 52.5（份） 11台抽水机所用时间： 52.5 ÷ (11−0.5) = 5（分） 答：现用 11台抽水机，5分钟可以抽完全部的水。 1.有一口天然的泉水井，源源不断地涌出泉水，每分钟涌出的水量是 相等的。如果用 3台抽水机，36分钟就可抽完全部的水；如果用 5 台抽水机，20分钟就可抽完全部的水。现用多少台抽水机，12分钟 可以抽完全部的水？ 2.有一个池塘，装有若干根排水量相等的排水管。有 1根人水管，不 停地往池塘里放水，每分钟的人水量是相等的。如果开放 3根排水管， 需要 45分钟才能把池塘里的水排完；如果开放 5根排水管，需要 25 分钟才能把池塘里的水排完。请问：如果开放 8根排水管，需要多少 分钟才能把池塘里的水排完？ 培优拔尖 3 3.山种有一个大酒库，连通着一个大酒槽。每天，槽内会泄漏等量的 酒。小精灵们经常趁着山种不在，偷偷跑到酒槽喝酒。如果 6个小精 灵喝这里的酒，则 4天可以喝完；如果 4个小精灵喝这里的酒，则 5 天可以喝完。已知每个小精灵每天的饮酒量都是一样的，那么每天的 漏酒量为原来酒的几分之几？ 第 14 讲 牛吃草问题 强化训练 1.某水库的存水量是一定的，每天一条河均匀地流入水库。如果用 4 台抽水机连续工作 15天，可将水库的水抽干；如果用 6台抽水机连 续工作 9天，可将水库的水抽干。问：需要用几台抽水机才能抽干水 库中原有的水？ 2.某草场上的草是匀速生长的，每个工人每天的削草量是相等的。有 一片草地，若 17个工人去割，30天可以割完；若 19个工人去割，24 天可以割完。问：现在要 6天将草割完，至少需要多少个工人？ 3.一般轮船在大海上航行着，不幸触礁，出现一个漏洞，海水以均匀 的速度涌入舱内。船员们发现漏洞时舱内已经涌入了一些水。如果让 12个船员冒水，需要 3小时可以把水冒完；如果让 5个船员冒水， 需要 10小时可以把水冒完。船长希望能在 2小时内把涌入舱内的水 冒完，需要多少个船员？ 4.某儿童游乐场，有一条长长的自动扶梯。大林和小林兄弟俩，逆着 自动扶梯行驶的方向行走。大林每秒可走 3级台阶，小林每秒可走 2 级台阶。他们从扶梯的一端走到扶梯的另一端，结果大林用了 100秒， 小林用了 300秒。请问：该扶梯一共有多少级台阶？ 5.青草草原上，有一片牧场。这里的草，每天都匀速生长着。这片牧 场上的青草可供 17只羊吃 30天，或供 19只羊吃 24天。现有一群羊 来吃草，吃了 6天后，卖掉了 4只羊，余下的羊又吃了 2天将草吃完。 请问：这群羊原来有多少只？ 6.在某个建筑工地上，开工前已经运进了一批砖头，开工后每天运进 相同数量的砖头。若由 36 名工人砌墙，则 24 天可把砖头全部用完； 若由 40名工人砌墙，则 20天可把砖头全部用完。现在，项目经理派 了若干名工人砌墙，在他们砌墙 8天后，有 5名工人请假回老家，剩 下的工人又工作了 2天，才把砖头全部用完。请问：原来项目经理派 了多少名工人砌墙？ 前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀，它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点，总结出4点巧思，这4点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有针对性的挑选强化练习，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的               牛吃草问题 第14讲     专题概述 牛吃草问题，也叫牛顿问题，因牛顿提出该问题而得名（见例题1）。在这类问题中，草每天都在生长，因此草的量在不断变化。这种工作总量不固定（均匀变化）的问题，就属于牛吃草问题。这类问题的主要类型有两种：求时间和求牛的头数。 牛吃草问题的基本公式如下： 牛吃草问题，其实是工程问题的一种特殊形式，其中，原草量和草的生长速度是不变的，解题的关键是确定两个不变的量。 重点例题1 【例1】有片牧场长满青草，牛在吃草的同时，草又不断生长。27头牛6天可以把牧场上的草全部吃光，23头牛吃光牧场上的草则需要9天。 （1）如果21头牛来吃，多少天可以吃光？ （2）如果200头牛来吃，多少天可以吃光？ 【思维点拨】这就是英国大物理学家牛顿提出的数学名题——牛吃草问题。此题的最大特点是：牛在吃草的同时，草还在不断生长。怎样解答这样的问题呢？关键是抓住牧场青草的总量变化进行推算。 解：假定1头牛1天吃的草量为1份。由题目中的条件"27头牛6天可以把牧场上的草全部吃光"和"23头牛吃完牧场上的草则需要9天"可知，前后两次的青草总量相差： 这多出来的青草量就是第二次比第一次多的那3天长出来的，所以每天生长的青草量为45 ÷ 3 = 15（份）。 我们可以从另一个角度来理解，这片牧场每天生长的青草可满足15头牛来吃。因此，我们可以把每次吃草的牛分为两组：一组是抽出15头牛来吃当天长出的青草量；另一组是剩下的牛去吃原来牧场的青草量。 这批牛开始吃青草前，牧场原有的青草量： 最后，求21头牛和200头牛吃完片牧场的青草天数就很容易解答了。 （1）先抽出15头牛去吃每天生长的青草量，然后让剩下的6头牛吃原有的青草量。 所以，当原有的青草量被吃完时，所有的青草量就全部吃完了。 （2）先抽出15头牛去吃每天生长的青草量，然后让剩下的185头牛吃原有的青草量。 答：（1）如果21头牛来吃，12天可以吃完。（2）如果200头牛来吃，0.4天可以吃完。 培优拔尖1 1.某牧场长满牧草，每天草匀速生长，这片牧场的草可供27头牛吃6周，可供23头牛吃9周。问：可供多少头牛8周吃完？ 【答案】 24头牛 【分析】 设1头牛1周所吃的草量为1份。 2.某牧场长满牧草，每天草匀速生长，这片牧场的草可供15头牛吃20天，可供20头牛吃10天。问：每天新生长的牧草可供多少头牛吃1天？ 【答案】 10头牛 【分析】 设1头牛1天所吃的草量为1份。 3.某牧场长满牧草，每天草匀速生长，这片牧场的草可供10头牛吃3天，可供5头牛吃8天。问：牧草可供多少头牛吃2天？ 【答案】 14头牛 【分析】 设1头牛1天所吃的草量为1份。 重点例题2 【例2】有三片牧场，面积分别是5公顷、6公顷和8公顷。草地上的草是一样厚的，而且生长速度相同。第一片牧场可供11头牛吃10天，第二片牧场可供12头牛吃14天。问：第三片牧场可供19头牛吃多少天？ 【思维点拨】这道牛吃草问题比较复杂，涉及三片不同的牧场。为了解决这个问题，我们需要把三片牧场的面积统一起来。 三片牧场的面积分别是5公顷、6公顷和8公顷，而这三个数的最小公倍数是120。这样，我们再根据比例关系将原题转化一下，使计算更简便。 第一片5公顷牧场可供11头牛吃10天，可转化为120公顷牧场可供多少头牛吃10天？根据比例关系： 求得牛头数为24×11=264。 第二片6公顷牧场可供12头牛吃14天，可转化为120公顷牧场可供多少头牛吃14天？根据比例关系： 求得牛头数为20×12=240。 第三片8公顷牧场可供19头牛吃几天？按同样方式，可求出牛头数。根据比例关系： 求得牛头数为15×19=285。 因此，原题转变为这样一道题：一大片匀速生长的草，面积为120公顷，可供264头牛吃10天，或可供240头牛吃14天，那么这片牧场可供285头牛吃多少天？ 设1头牛1天吃1份草。 每天新长出的草： 草地原有的草： 可供285头牛吃的天数： 答：第三片牧场可供19头牛吃8天。 培优拔尖2 1.有三片牧场，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷。牧场上的草是一样厚的，而且生长速度相同。第一片牧场可供24头牛吃6周，第二片牧场可供36头牛吃12周。问：第三片牧场可供50头牛吃多少周？ 【答案】 9周 【分析】 设1头牛1天所吃的草量为1份。 2.某火车站，在检票前几分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多，从正式检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需要30分钟，同时开5个检票口需要20分钟。如果同时打开7个检票口，需要多少分钟？ 【答案】 12分钟 【分析】 每小时旅客增加量： 原有旅客量： 需要时间： 3.快车、中车和慢车同时从甲出发，追赶一辆正在行驶的货车。已知快车、中车和慢车的时速分别是24千米、20千米、19千米。快车追上货车用了6小时，中车追上货车用了10小时，问：慢车追上货车用了几个小时？ 【答案】 12小时 【分析】 货车的速度： 三年出发时货车距离甲地： 慢车追上货车的时间： 重点例题3 【例3】有一口天然的泉水井，源源不断地涌出泉水，每分钟涌出的水量是相等的。如果用4台抽水机，用15分钟就可抽完全部的水；如果用8台抽水机，用7分钟就可抽完全部的水。现用11台抽水机，多少分钟可以抽完全部的水？ 【思维点拨】这是一道古老的黄河堤坝问题。如果我们把井中的泉水看成草，把源源不断涌出的泉水看成不断生长的新草，把抽水看成牛吃草，这就成了经典的牛吃草问题。解答本题的关键是，求出每分钟涌出的泉水量和井中原来有多少泉水。 解：设每台抽水机每分钟能抽水1份。 原有的水和15分钟内新涌出的泉水： 原有的水和7分钟内新涌出的泉水： 8分钟内新涌出的泉水： 每分钟内新涌出的泉水： 原有的泉水量： 11台抽水机所用时间： 答：现用11台抽水机，5分钟可以抽完全部的水。 培优拔尖3 1.有一口天然的泉水井，源源不断地涌出泉水，每分钟涌出的水量是相等的。如果用3台抽水机，36分钟就可抽完全部的水；如果用5台抽水机，20分钟就可抽完全部的水。现用多少台抽水机，12分钟可以抽完全部的水？ 【答案】 8台 【分析】 设每台抽水机每分钟能抽水1份。 2.有一个池塘，装有若干根排水量相等的排水管。有1根人水管，不停地往池塘里放水，每分钟的人水量是相等的。如果开放3根排水管，需要45分钟才能把池塘里的水排完；如果开放5根排水管，需要25分钟才能把池塘里的水排完。请问：如果开放8根排水管，需要多少分钟才能把池塘里的水排完？ 【答案】 15分钟 【分析】 设每根排水管每分钟能排水1份。 3.山种有一个大酒库，连通着一个大酒槽。每天，槽内会泄漏等量的酒。小精灵们经常趁着山种不在，偷偷跑到酒槽喝酒。如果6个小精灵喝这里的酒，则4天可以喝完；如果4个小精灵喝这里的酒，则5天可以喝完。已知每个小精灵每天的饮酒量都是一样的，那么每天的漏酒量为原来酒的几分之几？ 【答案】 【分析】 设每个小精灵每天的饮酒量为1份。 第14讲 牛吃草问题 强化训练 1.某水库的存水量是一定的，每天一条河均匀地流入水库。如果用4台抽水机连续工作15天，可将水库的水抽干；如果用6台抽水机连续工作9天，可将水库的水抽干。问：需要用几台抽水机才能抽干水库中原有的水？ 【答案】 46台 【分析】 设每台抽水机每天抽水1份。 2. 某草场上的草是匀速生长的，每个工人每天的削草量是相等的。有一片草地，若17个工人去割，30天可以割完；若19个工人去割，24天可以割完。问：现在要6天将草割完，至少需要多少个工人？ 【答案】 49人 【分析】 设每个工人每天割草1份。 单场每天长草量： 单场原有草量： 6天的草量： 至少需要的人数： 3. 一般轮船在大海上航行着，不幸触礁，出现一个漏洞，海水以均匀的速度涌入舱内。船员们发现漏洞时舱内已经涌入了一些水。如果让12个船员冒水，需要3小时可以把水冒完；如果让5个船员冒水，需要10小时可以把水冒完。船长希望能在2小时内把涌入舱内的水冒完，需要多少个船员？ 【答案】 17人 【分析】 设每个船员每小时水1份。 4. 某儿童游乐场，有一条长长的自动扶梯。大林和小林兄弟俩，逆着自动扶梯行驶的方向行走。大林每秒可走3级台阶，小林每秒可走2级台阶。他们从扶梯的一端走到扶梯的另一端，结果大林用了100秒，小林用了300秒。请问：该扶梯一共有多少级台阶？ 【答案】 150级 【分析】 台阶每秒运行的速度： 自动扶梯的级数： 5. 青草草原上，有一片牧场。这里的草，每天都匀速生长着。这片牧场上的青草可供17只羊吃30天，或供19只羊吃24天。现有一群羊来吃草，吃了6天后，卖掉了4只羊，余下的羊又吃了2天将草吃完。请问：这群羊原来有多少只？ 【答案】 40只 【分析】 设每只羊每天吃青草1份。 6. 在某个建筑工地上，开工前已经运进了一批砖头，开工后每天运进相同数量的砖头。若由36名工人砌墙，则24天可把砖头全部用完；若由40名工人砌墙，则20天可把砖头全部用完。现在，项目经理派了若干名工人砌墙，在他们砌墙8天后，有5名工人请假回老家，剩下的工人又工作了2天，才把砖头全部用完。请问：原来项目经理派了多少名工人砌墙？ 【答案】 65名 【分析】 如果这5名工人不同老家，则需补上这5名工人2天所需的砖头，才能让所有的工人都工作8+2=10（天）。假设每个工人每天所砌的砖头为1份。每天运进工地砖头为 工地开工前已经有的砖头数量为40 × 20-16× 20=480（份） 原来派的工人为名 学科网（北京）股份有限公司 $$