第13讲 抽屉原理-六年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀，它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点，总结出4点巧思，这4点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有针对性的挑选强化练习，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的               抽屉原理 第13讲     专题概述 把5个苹果放入4个抽屉里，那么一定有某个抽屉里至少有2个苹果。这就是最简单的抽屉原理的例子。 基本的抽屉原理有两条： 1. 如果把 个元素放到 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。 2. 如果把 个元素放到 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有 个或 个以上的元素。 在第二条抽屉原理中，抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而增加，当元素总数达到抽屉数的若干倍后，可用抽屉数除元素总数，即下面的等式：元素总数 = 商 × 抽屉数 + 余数。 如果余数正好是0，则最小数等于商；如果余数不是0，则最小数等于商加上1。 利用抽屉原理解决实际问题时，我们要按照以下步骤解答： 1. 构造抽屉，指出哪些是元素； 2. 把元素放入或取出抽屉； 3. 说明理由，得出结论。 我们要学会制造抽屉。在不同的题目中，某个相同的对象，有时可以作为"抽屉"，有时也可以作为"元素"。到底把谁作为"抽屉"，我们要因题而异，具体问题具体分析，灵活运用。 重点例题1 【例1】某校园年出生的学生中，有31人是在六月份出生的。请你证明：至少有两人出生在同一天。 【思维点拨】我们知道，六月份一共有30天，31人有31个出生日。如果我我们把30天看作30个抽屉，把31人看作31个元素，根据抽屉原理，至少有两个出生日在同一个抽屉里，也就是说至少有两人出生在同一天。 培优拔尖1 1.某项比赛中，一共有210名学生参加。问：至少有多少名同学是同一个月出生的？ 2.某实验小学，一共有367名学生。请你说明，至少有两个人在同一天过生日。 3.某围棋班一共有40名学生，其中最大的10岁，最小的8岁。其中，必有几名学生是同年同月出生的？ 重点例题2 【例2】赵、钱、孙三个人都在读同一本故事书，书中有100个故事，每个人可以从中选定一个故事，按顺序往后读。已知赵读了75个故事，钱读了60个故事，孙读了52个故事，请问：赵、钱、孙三个人共同读过的故事至少有多少个？ 【思维点拨】我们可以假设钱和孙分别读了故事书前后两端的故事，即（个）。这12个故事，就是钱和孙二人共同读过的故事。因为75＞12，所以至少有12个。 培优拔尖2 1.箱子里有4种不同颜色的乒乓球，每次摸出2个。要保证有10次所摸的结果是一样的，至少要摸多少次？ 2.一副扑克牌，共54张：大、小王各一张；黑桃、红桃、梅花、方块，每个花色的牌各13张。至少从中取出多少张，才能保证其中必有花色？ 3.某班图书只剩下故事书和画册各4本。现有4个学生来借阅，每人可以从中任意借2本。请你证明：必有两位学生借阅的图书是完全相同的。 重点例题3、4、5 【例3】一个口袋里，装着四种大小相等、颜色各异的若干副袜子，颜色有黑、白、红、黄四种。请问：最少要摸出多少只袜子，才能保证有3副各自同色的？ 【思维点拨】我们把四种不同的颜色看成4个抽屉，把袜子看成元素。要保证有1副同色的，就是1个抽屉里至少有2只袜子，根据抽屉原理，最少要摸出5只袜子。这时，拿出1副同色的之后，4个抽屉中还剩下3只袜子。再根据抽屉原理，只要再摸出2只袜子，又能保证有1副袜子是同色的，以此类推。 把四种颜色看成4个抽屉，要保证有3副袜子是同色的，先考虑保证有1副，就要摸出5只袜子。这时，拿出1副同色的之后，4个抽屉中还剩下3只袜子。根据抽屉原理，只要再摸出2只袜子，又能保证有1副是同色的。以此类推，要保证有3副是同色的，一共摸出的袜子有（只）。 答：最少要摸出9只袜子才能保证有3副各自同色。 【例4】在一个箱子里，有黑、白、红三种颜色的小球混合在一起。这些小球的质量、大小、材料都是一样的，只有颜色不同。已知箱子里有红球12个、白球10个、黑球15个，请问：你在暗中最少要摸出多少个小球，才能保证摸出的小球中有两个是白球？ 【思维点拨】根据问题"保证摸出的小球中有两个是白球"，换句话说，即"把其他杂色的小球都摸出来，再加上两个白球"，就是答案了。列式： （个） 答：在暗中最少要摸出29个小球，才能保证摸出的小球中有两个是白球。 【例5】某幼儿园的桌子上有红、黄、蓝、黑四种颜色的小球若干个，每个小朋友可以从中任意选择两个。请问：需要几个小朋友才能保证至少有两个小朋友选的小球颜色相同？为什么？ 【思维点拨】本题的解答关键是寻找抽屉。红、黄、蓝、黑四种颜色的小球，从中任意选择两个，有以下选择方法：选择两个红球，选择两个黄球，选择两个蓝球，选择两个黑球，选择红球与黄球，选择红球与蓝球，选择红球与黑球，选择黄球与蓝球，选择黄球与黑球，选择蓝球与黑球。一共有10种不同的选法。我们不妨把这10种选法看成10个抽屉，至少要11个"苹果"，才能保证有一只抽屉中有2个"苹果"。也就是说，每个小朋友任意选2个小球，需要有11个小朋友，才能保证至少有2个小朋友选的小球颜色相同。 培优拔尖3 1.在一个布袋里，混合装着红、黄、绿三种颜色的小球各10个。问：一次至少摸出多少个，才能保证有4个是同色的？ 2.在某幼儿园的一个大箱子里，装有很多玩具，一共分为4种，即飞机、汽车、坦克、舰艇，每个小朋友可任选2件。问：至少有几位小朋友来选玩具，才能保证有3位小朋友所选的玩具是一样的？ 3.在一个首饰盒里，装着大小相同的30颗珠子。其中，有10颗红色的，8颗白色的，7颗黄色的，5颗绿色的。如果闭着眼睛去摸，那么至少从首饰盒中摸出多少颗珠子，才能保证一定有7颗珠子的颜色是完全相同的呢？ 重点例题6 【例6】有一根2米长的绳子，在上面任意画11个点，至少有2个点之间的距离不大于20厘米。为什么？ 【思维点拨】我们可以把这根2米长的绳子平均分为10小段，每小段长20厘米。把每一小段看成一个抽屉，一共有10个抽屉。将11个点放在10个抽屉中，至少有1个抽屉中放了2个点。根据抽屉原理，在同一个抽屉（同一小段）中，这两个点之间的距离一定不大于这段绳子的长度，也就是不大于20厘米。 培优拔尖4 1.在一条长100米的路上种树，至少要种多少棵树，才能保证至少两棵树之间的距离小于10米？ 2.一副扑克牌共有54张。最少要抽取多少张，才能保证其中至少有2张牌有相同的点数？ 3.一副扑克牌共有54张。至少从中抽出多少张牌，才能保证有4张牌的花色相同？ 重点例题7、8 【例7】任选3个不同的自然数，至少有2个数的和是偶数。请问：这是为什么？ 【思维点拨】这个问题看上去好像很复杂，其实我们要运用抽屉原理的基本思路去分析，解答起来就比较简单了。 我们知道，自然数可以分为奇数和偶数，因此可以把奇数和偶数作为2个抽屉，把3个不同的自然数按照奇偶性分别放入2个抽屉里，则至少有2个数在同一个抽屉里。这2个数不管是同为奇数还是同为偶数，它们的和一定是偶数。所以，3个不同的自然数，至少有2个数的和是偶数。 【例8】在任意5个自然数中，必可找出3个数，使这3个数之和能被3整除。为什么？ 【思维点拨】解决这个问题，关键在于选取抽屉。我们知道，一个自然数被3除，其余数只有三种情况，即余数为0（整除），余数为1，余数为2。因此，我们可以用余数来构造抽屉。 以一个数被3除的余数0、1、2构造抽屉，共有3个抽屉。任意五个数放入这三个抽屉中，如果每个抽屉中都有数，则各抽屉取一个数，这三个数的和是3的倍数，结论成立；如果至少有一个抽屉中没有数，那么5个数中必有三个数在同一个抽屉里，这三个数的和是3的倍数，结论依然成立。 培优拔尖5 1.从1000、1001、1002、⋯、1992、1993中，任取498个数，其中一定有两个数是互质数，为什么？ 2.在1、2、3、⋯、15这15个数中，至少选几个数，才能保证必有两个数之和为16？ 3.在从1到10的数中，至少取几个不同的正整数，才能使其中有两个数一个被另一个整除？ 重点例题9、10、11 【例9】从1到50中，至少要取几个不同的数，才能保证其中一定有一个数能被7整除？ 【思维点拨】我们先统计一下从1到50中，能被7整除的数有几个，也就是先找出从1到50中的7的倍数。符合条件的7的倍数一共有7个，即7、14、21、28、35、42、49。也就是说，从1到50中，不能被7整除的数有50-7=43(个)。如果我们要保证至少有一个数能被7整除，就要取43+1=44（个）。 【例10】证明：从3、5、7、⋯、27、29这14个奇数中，任取8个数，中一定有两个数的和是32。 【思维点拨】首先，我们观察一下，所给的数列有什么规律。很明显，这是一个常数为3、末项为29、公差为2的等差数列。这个等差数列有一个规律，即从该数列的两端向中间看去，每一对首项和末项的和都是相等的，都是32。结合证明的结论，我们知道，题目中所给的14个奇数，正好是7对和为32的数，即,,,,,,,共7种情况。我们可以把这个7种情况看成一个抽屉，根据抽屉原理，可知：从这个抽屉中取出8个数，至少有一个抽屉中要取出两个数，而这两个数的和就是32。 【例11】证明：从1～20这20个数中，任取11个数，必有两个数，其中一个数是另一个数的倍数。 【思维点拨】解此题的关键在于，把存在倍数关系的数进行分类，不同的倍数对应不同的抽屉。 把1～20这20个数，按照是否存在2倍关系进行归类，构造抽屉如下： ,,,,,,,,, 在这10个抽屉中，放入11个数，根据抽屉原理，11÷10=1.1。所以，必有一个抽屉中至少有两个数，存在倍数关系。 培优拔尖6 1.从前25个自然数中，任意取出7个数，证明：取出的数一定有两个数，这两个数中大数不超过小数的1.5倍。 2.从1到100这100个自然数中，随意取出51个数，证明：在这51个数中，一定有8个数，它们的最大公约数大于1。 3.任意给定7个不同的自然数，求证：其中必有两个整数，其和或差是10的倍数。 重点例题12、13 【例12】某市举行象棋比赛，一共有52个学校的308名学生参加了比赛。象棋组委会规定，每个学校选手不得超过6名。请问：至少有几个学校派够了6名选手参赛？ 【思维点拨】我们可以把52个学校看成52个抽屉。因为308=52×5+48，所以至少有一个学校有6名选手参赛。去掉这个学校和它的6名选手，就剩下51个学校302名选手，302=51×5+47，说明至少又有一个学校有6名选手参赛。以此类推，最后得出至少有48个学校有6名选手参赛，这时剩下4个学校，20名选手。20=4×5，若这4个学校选手恰好为5名，就不能保证有6名选手参赛，所以至少有48个学校派够了6名选手参赛。 【例13】某班有46名学生，他们都参加了兴趣小组。对于甲、乙、丙、丁四个兴趣小组，每个人可参加其中的1个、2个、3个或4个。问：班级中至少有几名学生参加的兴趣小组完全相同？ 【思维点拨】参加兴趣小组的学生共分四种情况：只参加一个组的，有4种类型；只参加两个组的，有6种类型；只参加三个组的，有4种类型；参加四个组的，有1种类型。合计4+6+4+1=15（种）类型，把这些类型看成15个抽屉，把46名学生放入这些抽屉，因为46=15×3+1，所以班级中至少有4名学生参加的兴趣小组完全相同。 培优拔尖7 1. 有一个旅游团共50人，随意游览甲、乙、丙三地。问：至少有多少人游览的地方完全相同？ 2. 某班同学考试，满分为100分，全班最低分为75分，每人得分都是整数，并且班上至少有3人得分相同。问：这个班至少有多少名同学？ 3. 班长小明从学校的图书室借来一批画册，分给班中的48名同学。分配的结果是，他们当中总有人至少分到3本书。问：这批图书至少有多少本？ 第13讲 抽屉原理 强化训练 1.筷子筒里有黑、白、黄三种颜色的筷子各8根，混杂在一起，小王闭上眼睛，想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子。请问：他至少要取多少根，才能保证达到要求？ 2.在一个暗箱中，混放着红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球各15个。至少要摸出多少个小球，才能保证有2个小球的颜色相同？ 3.在一个抽屉里，有4支红笔芯和3支蓝笔芯，如果让你蒙上眼睛去摸，一次必须拿几支，才能保证至少有1支蓝笔芯？ 4.某旅馆有90个房间，住着100名旅客。如果每次都恰好有90名旅客同时回来，那么至少要准备多少把钥匙分给这100名旅客，才能使每次客人回来时，每个客人都能用自己分到的钥匙打开一个房间住进去，并且避免发生两人同时住进一个房间的情况？ 5.水果筐里，混放着苹果和梨。小李将其分成了若干堆，无论怎么分，总能从这若干堆中找到两堆，把这两堆水果放在一起后，苹果和梨的个数是偶数。小李至少把这些水果分成了几堆呢？ 6.某班有37名学生，他们都订阅了甲、乙、丙报刊中的一种或几种，请问：其中至少有多少名学生订阅的报刊种类完全相同？ 7.某学校教研组准备组织英语、数学、地理、历史竞赛。请问：至少有多少名学生报名参加，才能保证其中至少有5名学生参加的比赛完全一样？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀，它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点，总结出4点巧思，这4点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有针对性的挑选强化练习，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的               抽屉原理 第13讲     专题概述 把5个苹果放入4个抽屉里，那么一定有某个抽屉里至少有2个苹果。这就是最简单的抽屉原理的例子。 基本的抽屉原理有两条： 1. 如果把 个元素放到 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。 2. 如果把 个元素放到 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有 个或 个以上的元素。 在第二条抽屉原理中，抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而增加，当元素总数达到抽屉数的若干倍后，可用抽屉数除元素总数，即下面的等式：元素总数 = 商 × 抽屉数 + 余数。 如果余数正好是0，则最小数等于商；如果余数不是0，则最小数等于商加上1。 利用抽屉原理解决实际问题时，我们要按照以下步骤解答： 1. 构造抽屉，指出哪些是元素； 2. 把元素放入或取出抽屉； 3. 说明理由，得出结论。 我们要学会制造抽屉。在不同的题目中，某个相同的对象，有时可以作为"抽屉"，有时也可以作为"元素"。到底把谁作为"抽屉"，我们要因题而异，具体问题具体分析，灵活运用。 重点例题1 【例1】某校园年出生的学生中，有31人是在六月份出生的。请你证明：至少有两人出生在同一天。 【思维点拨】我们知道，六月份一共有30天，31人有31个出生日。如果我我们把30天看作30个抽屉，把31人看作31个元素，根据抽屉原理，至少有两个出生日在同一个抽屉里，也就是说至少有两人出生在同一天。 培优拔尖1 1.某项比赛中，一共有210名学生参加。问：至少有多少名同学是同一个月出生的？ 【答案】 18名 【分析】 把一年的12个月作为抽屉，把学生的人数作为元素，因为20 ÷ 12 = 1...8，根据抽屉原理，有1 + 8 = 18（名）。 2.某实验小学，一共有367名学生。请你说明，至少有两个人在同一天过生日。 【答案】 因为一年有365天，闰年有366天，我们把它看成抽屉，再把367名学生看做元素，所以至少有2人在同一天过生日。 3.某围棋班一共有40名学生，其中最大的10岁，最小的8岁。其中，必有几名学生是同年同月出生的？ 【答案】 2名 【分析】 （略） 重点例题2 【例2】赵、钱、孙三个人都在读同一本故事书，书中有100个故事，每个人可以从中选定一个故事，按顺序往后读。已知赵读了75个故事，钱读了60个故事，孙读了52个故事，请问：赵、钱、孙三个人共同读过的故事至少有多少个？ 【思维点拨】我们可以假设钱和孙分别读了故事书前后两端的故事，即（个）。这12个故事，就是钱和孙二人共同读过的故事。因为75＞12，所以至少有12个。 培优拔尖2 1.箱子里有4种不同颜色的乒乓球，每次摸出2个。要保证有10次所摸的结果是一样的，至少要摸多少次？ 【答案】 91次 【分析】 当取出的2个球颜色相同时，可以有4种不同的结果。当取出的2个球颜色不相同时，最多可以有3 + 2 + 1 = 6（种）不同的结果。我们把4 + 6 = 10（种）不同的结果作为10个抽屉，要保证有10次挑出的结果相同，至少要9 × 10 + 1 = 91（次）。 2.一副扑克牌，共54张：大、小王各一张；黑桃、红桃、梅花、方块，每个花色的牌各13张。至少从中取出多少张，才能保证其中必有花色？ 【答案】 29张 【分析】 把4种花色看成4个抽屉，为了保证取出4种花色的牌，就应选取3个抽屉的2 × 13 = 26（张）牌以及大、小王与另外一种花色的牌，所以共取26 + 2 + 1 = 29（张）才行。 3.某班图书只剩下故事书和画册各4本。现有4个学生来借阅，每人可以从中任意借2本。请你证明：必有两位学生借阅的图书是完全相同的。 【答案】 学生抽取的图书只有以下三种情况：两本故事书，一本故事书和一本画册，两本画册。我们把这些情况作为"抽屉"，四个学生看成四个"元素"，根据抽屉原理，必有两个"元素"在同一个"抽屉"中，也就是，必有两个学生拿的书完全相同。 重点例题3、4、5 【例3】一个口袋里，装着四种大小相等、颜色各异的若干副袜子，颜色有黑、白、红、黄四种。请问：最少要摸出多少只袜子，才能保证有3副各自同色的？ 【思维点拨】我们把四种不同的颜色看成4个抽屉，把袜子看成元素。要保证有1副同色的，就是1个抽屉里至少有2只袜子，根据抽屉原理，最少要摸出5只袜子。这时，拿出1副同色的之后，4个抽屉中还剩下3只袜子。再根据抽屉原理，只要再摸出2只袜子，又能保证有1副袜子是同色的，以此类推。 把四种颜色看成4个抽屉，要保证有3副袜子是同色的，先考虑保证有1副，就要摸出5只袜子。这时，拿出1副同色的之后，4个抽屉中还剩下3只袜子。根据抽屉原理，只要再摸出2只袜子，又能保证有1副是同色的。以此类推，要保证有3副是同色的，一共摸出的袜子有（只）。 答：最少要摸出9只袜子才能保证有3副各自同色。 【例4】在一个箱子里，有黑、白、红三种颜色的小球混合在一起。这些小球的质量、大小、材料都是一样的，只有颜色不同。已知箱子里有红球12个、白球10个、黑球15个，请问：你在暗中最少要摸出多少个小球，才能保证摸出的小球中有两个是白球？ 【思维点拨】根据问题"保证摸出的小球中有两个是白球"，换句话说，即"把其他杂色的小球都摸出来，再加上两个白球"，就是答案了。列式： （个） 答：在暗中最少要摸出29个小球，才能保证摸出的小球中有两个是白球。 【例5】某幼儿园的桌子上有红、黄、蓝、黑四种颜色的小球若干个，每个小朋友可以从中任意选择两个。请问：需要几个小朋友才能保证至少有两个小朋友选的小球颜色相同？为什么？ 【思维点拨】本题的解答关键是寻找抽屉。红、黄、蓝、黑四种颜色的小球，从中任意选择两个，有以下选择方法：选择两个红球，选择两个黄球，选择两个蓝球，选择两个黑球，选择红球与黄球，选择红球与蓝球，选择红球与黑球，选择黄球与蓝球，选择黄球与黑球，选择蓝球与黑球。一共有10种不同的选法。我们不妨把这10种选法看成10个抽屉，至少要11个"苹果"，才能保证有一只抽屉中有2个"苹果"。也就是说，每个小朋友任意选2个小球，需要有11个小朋友，才能保证至少有2个小朋友选的小球颜色相同。 培优拔尖3 1.在一个布袋里，混合装着红、黄、绿三种颜色的小球各10个。问：一次至少摸出多少个，才能保证有4个是同色的？ 【答案】 10个 【分析】 有红、黄、绿三色小球，按照最不利原则，对每种颜色的小球选出3个，则选了3 × 3 = 9（个）。如果再多1个，则必有4个是同色的，所以一次至少摸出9 + 1 = 10（个）小球。 2.在某幼儿园的一个大箱子里，装有很多玩具，一共分为4种，即飞机、汽车、坦克、舰艇，每个小朋友可任选2件。问：至少有几位小朋友来选玩具，才能保证有3位小朋友所选的玩具是一样的？ 【答案】 21位 【分析】 有4种玩具，每个小朋友选2个，共有4 + 3 + 2 + 1 = 10（种）情况。要保证3个小朋友选的玩具一样，先使每种情况两人一样，则有10 × 2 = 20（人）；如果再来1人，则必有3个小朋友选的玩具一样。所以，要有20 + 1 = 21（位）小朋友。 3.在一个首饰盒里，装着大小相同的30颗珠子。其中，有10颗红色的，8颗白色的，7颗黄色的，5颗绿色的。如果闭着眼睛去摸，那么至少从首饰盒中摸出多少颗珠子，才能保证一定有7颗珠子的颜色是完全相同的呢？ 【答案】 24颗 【分析】 按照最不利原则，绿色果子只有5颗，先摸出5颗绿色果子。接着摸出其他三色的果子，先对每种颜色的果子摸出6颗，则有6 × 3 = 18（颗）。如果再摸出1颗，就保证有7颗果子颜色相同，所以一共摸出5 + 6 × 3 + 1 = 24（颗）。 重点例题6 【例6】有一根2米长的绳子，在上面任意画11个点，至少有2个点之间的距离不大于20厘米。为什么？ 【思维点拨】我们可以把这根2米长的绳子平均分为10小段，每小段长20厘米。把每一小段看成一个抽屉，一共有10个抽屉。将11个点放在10个抽屉中，至少有1个抽屉中放了2个点。根据抽屉原理，在同一个抽屉（同一小段）中，这两个点之间的距离一定不大于这段绳子的长度，也就是不大于20厘米。 培优拔尖4 1.在一条长100米的路上种树，至少要种多少棵树，才能保证至少两棵树之间的距离小于10米？ 【答案】 12棵 【分析】 100米长的小路，如果每10米一段，可分为10段。如果每隔10米种1棵树（小路的两端各种一棵），则每段的距离刚好是10米。根据抽屉原理，至少要种12棵树，才能保证至少有两棵树之间的距离小于10米。 2.一副扑克牌共有54张。最少要抽取多少张，才能保证其中至少有2张牌有相同的点数？ 【答案】 16张 【分析】 从点数为1(A),2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K各取1张，再取大王和小王各一张，一共15张牌，其中没有两张牌的点数相同。这样，如果再任意取一张牌，那么它的点数必为1-13中的一个，也就是说，这时有两张牌的点数相同。因此，最少要取16张牌，才能保证其中至少有2张牌有相同的点数。 3.一副扑克牌共有54张。至少从中抽出多少张牌，才能保证有4张牌的花色相同？ 【答案】 15张 【分析】 2 + 3 × 4 + 1 = 15（张），至少从中摸出15张牌，才能保证有4张牌的花色相同。 重点例题7、8 【例7】任选3个不同的自然数，至少有2个数的和是偶数。请问：这是为什么？ 【思维点拨】这个问题看上去好像很复杂，其实我们要运用抽屉原理的基本思路去分析，解答起来就比较简单了。 我们知道，自然数可以分为奇数和偶数，因此可以把奇数和偶数作为2个抽屉，把3个不同的自然数按照奇偶性分别放入2个抽屉里，则至少有2个数在同一个抽屉里。这2个数不管是同为奇数还是同为偶数，它们的和一定是偶数。所以，3个不同的自然数，至少有2个数的和是偶数。 【例8】在任意5个自然数中，必可找出3个数，使这3个数之和能被3整除。为什么？ 【思维点拨】解决这个问题，关键在于选取抽屉。我们知道，一个自然数被3除，其余数只有三种情况，即余数为0（整除），余数为1，余数为2。因此，我们可以用余数来构造抽屉。 以一个数被3除的余数0、1、2构造抽屉，共有3个抽屉。任意五个数放入这三个抽屉中，如果每个抽屉中都有数，则各抽屉取一个数，这三个数的和是3的倍数，结论成立；如果至少有一个抽屉中没有数，那么5个数中必有三个数在同一个抽屉里，这三个数的和是3的倍数，结论依然成立。 培优拔尖5 1.从1000、1001、1002、⋯、1992、1993中，任取498个数，其中一定有两个数是互质数，为什么？ 【答案】 经验告诉我们，相邻的两个自然数一定是互质的，例如，8和9，12和13，47和48等。我们可以把从1000到1993这994个连续的自然数，按相邻的两个自然数分成一组，如(1000,1001)，(1002,1003)，(1004,1005)，⋯，(1992,1993)。 从1000到1993这994个连续的自然数中，任取498个，必定有一组中的两个数被全部取出来，这两个数一定互质。 2.在1、2、3、⋯、15这15个数中，至少选几个数，才能保证必有两个数之和为16？ 【答案】 9个 【分析】 先构造8个抽屉，即 {8} 那么，至少选9个不同的数，才能使两个数在同一个抽屉里，而两个数之和为16，当且仅当两个数在同一个抽屉中。 3.在从1到10的数中，至少取几个不同的正整数，才能使其中有两个数一个被另一个整除？ 【答案】 6个 【分析】 先构造5个抽屉，即 ，则取6个数，如果其中有一个是1，那么它能整除任何其他的数，如果没有1，那么至少存在两个数在同一个抽屉中。而同一个抽屉中任何两个数，一个能整除另一个。取5个数：4,5,6,7,9不能满足条件，所以至少为6个数。 重点例题9、10、11 【例9】从1到50中，至少要取几个不同的数，才能保证其中一定有一个数能被7整除？ 【思维点拨】我们先统计一下从1到50中，能被7整除的数有几个，也就是先找出从1到50中的7的倍数。符合条件的7的倍数一共有7个，即7、14、21、28、35、42、49。也就是说，从1到50中，不能被7整除的数有50-7=43(个)。如果我们要保证至少有一个数能被7整除，就要取43+1=44（个）。 【例10】证明：从3、5、7、⋯、27、29这14个奇数中，任取8个数，中一定有两个数的和是32。 【思维点拨】首先，我们观察一下，所给的数列有什么规律。很明显，这是一个常数为3、末项为29、公差为2的等差数列。这个等差数列有一个规律，即从该数列的两端向中间看去，每一对首项和末项的和都是相等的，都是32。结合证明的结论，我们知道，题目中所给的14个奇数，正好是7对和为32的数，即,,,,,,,共7种情况。我们可以把这个7种情况看成一个抽屉，根据抽屉原理，可知：从这个抽屉中取出8个数，至少有一个抽屉中要取出两个数，而这两个数的和就是32。 【例11】证明：从1～20这20个数中，任取11个数，必有两个数，其中一个数是另一个数的倍数。 【思维点拨】解此题的关键在于，把存在倍数关系的数进行分类，不同的倍数对应不同的抽屉。 把1～20这20个数，按照是否存在2倍关系进行归类，构造抽屉如下： ,,,,,,,,, 在这10个抽屉中，放入11个数，根据抽屉原理，11÷10=1.1。所以，必有一个抽屉中至少有两个数，存在倍数关系。 培优拔尖6 1.从前25个自然数中，任意取出7个数，证明：取出的数一定有两个数，这两个数中大数不超过小数的1.5倍。 【答案】 把前25个数分成6组： 因为从前25个自然数中任意取出7个数，所以至少有两个数取自上面第2组到第6组中的某同一组，这两个数中大数就不超过小数的15倍。 2.从1到100这100个自然数中，随意取出51个数，证明：在这51个数中，一定有8个数，它们的最大公约数大于1。 【答案】 将100个数分成5组（一个数可以在不同的组内）： 第一组：2的倍数，即 ； 第二组：3的倍数，即 ； 第三组：5的倍数，即 ； 第四组：7的倍数，即 ； 第五组：1和大子的质数，即 因为第五组中有22个数，所以选出的51个数中至少有29个数在第一组到第四组中，根据抽屉原理，总有8个数在第一组到第四组的某一组中，这8个数的最大公约数大于1。 3.任意给定7个不同的自然数，求证：其中必有两个整数，其和或差是10的倍数。 【答案】 我们注意到，这些数除以10的余数即个位数字，以0.1,⋯,9为标准制造10个抽屉，标为 。若有两个数落入同一个抽屉中，其差是10的倍数，只是仅有7个自然数，不使用抽屉原理，再做调整： 四个抽屉分别与 合并，则可保证至少有一个抽屉里有两个数，它们的和或差是10的倍数。 重点例题12、13 【例12】某市举行象棋比赛，一共有52个学校的308名学生参加了比赛。象棋组委会规定，每个学校选手不得超过6名。请问：至少有几个学校派够了6名选手参赛？ 【思维点拨】我们可以把52个学校看成52个抽屉。因为308=52×5+48，所以至少有一个学校有6名选手参赛。去掉这个学校和它的6名选手，就剩下51个学校302名选手，302=51×5+47，说明至少又有一个学校有6名选手参赛。以此类推，最后得出至少有48个学校有6名选手参赛，这时剩下4个学校，20名选手。20=4×5，若这4个学校选手恰好为5名，就不能保证有6名选手参赛，所以至少有48个学校派够了6名选手参赛。 【例13】某班有46名学生，他们都参加了兴趣小组。对于甲、乙、丙、丁四个兴趣小组，每个人可参加其中的1个、2个、3个或4个。问：班级中至少有几名学生参加的兴趣小组完全相同？ 【思维点拨】参加兴趣小组的学生共分四种情况：只参加一个组的，有4种类型；只参加两个组的，有6种类型；只参加三个组的，有4种类型；参加四个组的，有1种类型。合计4+6+4+1=15（种）类型，把这些类型看成15个抽屉，把46名学生放入这些抽屉，因为46=15×3+1，所以班级中至少有4名学生参加的兴趣小组完全相同。 培优拔尖7 1.有一个旅游团共50人，随意游览甲、乙、丙三地。问：至少有多少人游览的地方完全相同？ 【答案】 7个人 【分析】 把某人去某地记为1，否则记为0。那么，某人游览甲、乙、丙的方式只可能有2×2×2=8种，即： 将以上情况看成8个抽屉，所以至少有 （人）落在同一个抽屉中，即有人游览的地方完全相同。 2. 某班同学考试，满分为100分，全班最低分为75分，每人得分都是整数，并且班上至少有3人得分相同。问：这个班至少有多少名同学？ 【答案】 53名 【分析】 把可能的得分看成抽屉，把学生看成元素。因为最高分是100分，最低分是75分，所以学生得分的不同情况有100-75+1=26（种）。因为至少有3人得分相同，2×26+1=53（名），所以至少有53名。 3. 班长小明从学校的图书室借来一批画册，分给班中的48名同学。分配的结果是，他们当中总有人至少分到3本书。问：这批图书至少有多少本？ 【答案】 97本 【分析】 要保证48人中总有人至少分到3本书，先按每人分得2本书，则需要2×48=96（本）。如果再增加一本书，就能保证至少有人分到3本书，所以这批图书至少有96+1=97（本）。 第13讲 抽屉原理 强化训练 1.筷子筒里有黑、白、黄三种颜色的筷子各8根，混杂在一起，小王闭上眼睛，想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子。请问：他至少要取多少根，才能保证达到要求？ 【答案】 11根 【分析】 根据题意，取出的袋子颜色相同，需要8根。因为要取出颜色不同的袋子，也就是从袋子的两根颜色的袋子中取出两根颜色相同的袋子。根据抽屉原理，至少需要3根。这样至少需要取8+3（根）袋子，才能保证达到要求。 2.在一个暗箱中，混放着红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球各15个。至少要摸出多少个小球，才能保证有2个小球的颜色相同？ 【答案】 6个 【分析】 我们可以把红、黄、蓝、白、黑这5种小球看在5个抽屉，如果抽出的5个小球，正好能放入相应的抽屉中，那么再抽出4个小球，不管这个小球是什么颜色的，将其放入抽屉中，这5个抽屉中就有2个同样颜色的小球了。所以说，至少找出6个小球就能保证有2个小球的颜色是相同的。 3.在一个抽屉里，有4支红笔芯和3支蓝笔芯，如果让你蒙上眼睛去摸，一次必须拿几支，才能保证至少有1支蓝笔芯？ 【答案】 5支 【分析】 我们假设拿出的笔芯都不是蓝色的，至少共有4支，剩下的笔芯会变硬，都是绿色蓝色的，所以，需要取5支，才能保证至少有4支蓝笔芯。 4.某旅馆有90个房间，住着100名旅客。如果每次都恰好有90名旅客同时回来，那么至少要准备多少把钥匙分给这100名旅客，才能使每次客人回来时，每个客人都能用自己分到的钥匙打开一个房间住进去，并且避免发生两人同时住进一个房间的情况？ 【答案】 99吧 【分析】 本题需要采用极端构造，从最坏处考虑问题。一方面，如果钥匙数小于990，那么90个房间中，至少有一个房间的钥匙数少于=11，当持有这房间钥匙的人（至少10名）全部没回来时，这个房间就打不开。因此90个人就无法按题目给条件住下来。另一方面，990把钥匙已经足够了，只要将90把不同的钥匙分给90个人，而其余的10名旅客，每人各90的钥匙（每个房间一把），那么任何90名旅客返回时，都能按照要求住进房间。所以，假如需要准备990的钥匙。 5.水果筐里，混放着苹果和梨。小李将其分成了若干堆，无论怎么分，总能从这若干堆中找到两堆，把这两堆水果放在一起后，苹果和梨的个数是偶数。小李至少把这些水果分成了几堆呢？ 【答案】 5堆 【分析】 因为题目要求把其中的两端放在一起，苹果和梨的个数一定是偶数，那么这两根水果中，苹果和梨的奇偶性必须相同。对于每一堆苹果和梨，奇偶可能有4种，即：{奇、奇),{奇、偶},{偶、奇},{偶、偶}。所以，根据抽屉原理可知，最少少了4+1=5（堆）。 6. 某班有37名学生，他们都订阅了甲、乙、丙报刊中的一种或几种，请问：其中至少有多少名学生订阅的报刊种类完全相同？ 【答案】 6人 【分析】 订阅报刊有3种情况：订阅一种报刊，3种可能；订阅两种报刊，3种可能；订阅三种报刊，1种可能。所以，一共有7种可能，即7个抽屉。所以37人放入这个抽屉，可知至少有一个抽屉中，有6人订阅情况相同。 7.某学校教研组准备组织英语、数学、地理、历史竞赛。请问：至少有多少名学生报名参加，才能保证其中至少有5名学生参加的比赛完全一样？ 【答案】 61人 【分析】 该校学生参加竞赛的情况一共有2×2×2×2-1=15（种），所以至少需要15×（5-1）+1=61（人）参加比赛，才能由抽屉原理保证至少5名学生参加的比赛完全一样。 学科网（北京）股份有限公司 $$前言 成为"学霸"，是每一个学生的梦想，学霸之路上最重要的便是思 维的灵活性，而奥数则是训练思维的绝好方式。奥数并非高不可攀， 它亦存在方法，满是技巧。"小学数学思维拓展精编讲义"系列正是希 望把奥数的方法、技巧告诉大家。我们根据小学生学习奥数的特点， 总结出 4 点巧思，这 4 点巧思完全融入书中，希望能帮助学生认识奥 数、走近奥数。 《六年级数学思维拓展精编讲义「2025 版」》，它基于教材知识 和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为专题概述、重点例题、 培优拔尖、答案解析、强化试卷篇等五个部分。 1.专题概述，重点突出：在每讲的开头部分，我对本专题知识进 行简明梳理，并将重点知识、原理、公式加色提示，以便于读者理解 记忆，形成系统的知识网络。 2.重点例题，举一反三：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学 生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生 冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有 效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 3.培优拔尖，能力提升：每讲之后的"培优拔尖"题目，既考核学 生对本专题知识中的重点、难点、考点的掌握情况，又可以帮助学生 冲刺奥数竞赛进行备练。本栏目的题目难度较高，富有挑战性，可有 效提升学生的奥数思维能力，加强实战性。 4.强化训练，巩固新知：学完本讲知识后，笔者针对本讲内容有 针对性的挑选强化练习，学生学完新知识后课有针对性的进行强化练 习，巩固所学的知识点加深理解达到融汇贯通的目的 把 5个苹果放入 4个抽屉里，那么一定有某个抽屉里至少有 2个苹果。 这就是最简单的抽屉原理的例子。 基本的抽屉原理有两条： 1. 如果把 x + k (k ≥ 1) 个元素放到 x 个抽屉里，那么至少 有一个抽屉里含有 2个或 2个以上的元素。 2. 如果把 m × x + k (x > k ≥ 1) 个元素放到 x 个抽屉里， 那么至少有一个抽屉里含有 (m + 1) 个或 (m + 1) 个以上的 元素。 在第二条抽屉原理中，抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而增加， 当元素总数达到抽屉数的若干倍后，可用抽屉数除元素总数，即下面 的等式：元素总数 = 商 × 抽屉数 + 余数。 如果余数正好是 0，则最小数等于商；如果余数不是 0，则最小数等 抽屉原理第 13讲 专题概述 于商加上 1。 利用抽屉原理解决实际问题时，我们要按照以下步骤解答： 1. 构造抽屉，指出哪些是元素； 2. 把元素放入或取出抽屉； 3. 说明理由，得出结论。 我们要学会制造抽屉。在不同的题目中，某个相同的对象，有时可以 作为"抽屉"，有时也可以作为"元素"。到底把谁作为"抽屉"，我们要 因题而异，具体问题具体分析，灵活运用。 【例 1】某校园年出生的学生中，有 31人是在六月份出生的。请 你证明：至少有两人出生在同一天。 【思维点拨】我们知道，六月份一共有 30 天，31 人有 31 个出生 日。如果我我们把 30天看作 30个抽屉，把 31人看作 31个元素， 根据抽屉原理，至少有两个出生日在同一个抽屉里，也就是说至少 有两人出生在同一天。 重点例题 1 1.某项比赛中，一共有 210名学生参加。问：至少有多少名同学是同 一个月出生的？ 2.某实验小学，一共有 367名学生。请你说明，至少有两个人在同一 天过生日。 3.某围棋班一共有 40名学生，其中最大的 10岁，最小的 8岁。其中， 必有几名学生是同年同月出生的？ 【例 2】赵、钱、孙三个人都在读同一本故事书，书中有 100个故 事，每个人可以从中选定一个故事，按顺序往后读。已知赵读了 75 个故事，钱读了 60个故事，孙读了 52个故事，请问：赵、钱、孙 三个人共同读过的故事至少有多少个？ 【思维点拨】我们可以假设钱和孙分别读了故事书前后两端的故事， 即60 + 52−100 = 12（个）。这 12 个故事，就是钱和孙二人共同 读过的故事。因为 75＞12，所以至少有 12个。 培优拔尖 1 重点例题 2 培优拔尖 2 1.箱子里有 4种不同颜色的乒乓球，每次摸出 2个。要保证有 10次 所摸的结果是一样的，至少要摸多少次？ 2.一副扑克牌，共 54张：大、小王各一张；黑桃、红桃、梅花、方 块，每个花色的牌各 13张。至少从中取出多少张，才能保证其中必 有花色？ 3.某班图书只剩下故事书和画册各 4本。现有 4个学生来借阅，每人 可以从中任意借 2本。请你证明：必有两位学生借阅的图书是完全相 同的。 【例 3】一个口袋里，装着四种大小相等、颜色各异的若干副袜子， 颜色有黑、白、红、黄四种。请问：最少要摸出多少只袜子，才能 保证有 3副各自同色的？ 【思维点拨】我们把四种不同的颜色看成 4个抽屉，把袜子看成元 素。要保证有 1副同色的，就是 1个抽屉里至少有 2只袜子，根据 抽屉原理，最少要摸出 5只袜子。这时，拿出 1副同色的之后，4 个抽屉中还剩下 3只袜子。再根据抽屉原理，只要再摸出 2只袜子， 又能保证有 1副袜子是同色的，以此类推。 把四种颜色看成 4个抽屉，要保证有 3副袜子是同色的，先考虑保 重点例题 3、4、5 证有 1副，就要摸出 5只袜子。这时，拿出 1副同色的之后，4个 抽屉中还剩下 3只袜子。根据抽屉原理，只要再摸出 2只袜子，又 能保证有 1副是同色的。以此类推，要保证有 3副是同色的，一共 摸出的袜子有5 + 2 + 2 = 9（只）。 答：最少要摸出 9只袜子才能保证有 3副各自同色。 【例 4】在一个箱子里，有黑、白、红三种颜色的小球混合在一起。 这些小球的质量、大小、材料都是一样的，只有颜色不同。已知箱 子里有红球 12个、白球 10个、黑球 15个，请问：你在暗中最少 要摸出多少个小球，才能保证摸出的小球中有两个是白球？ 【思维点拨】根据问题"保证摸出的小球中有两个是白球"，换句话 说，即"把其他杂色的小球都摸出来，再加上两个白球"，就是答案 了。列式： 12 + 15 + 2 = 29（个） 答：在暗中最少要摸出 29个小球，才能保证摸出的小球中有两个 是白球。 【例 5】某幼儿园的桌子上有红、黄、蓝、黑四种颜色的小球若干 个，每个小朋友可以从中任意选择两个。请问：需要几个小朋友才 能保证至少有两个小朋友选的小球颜色相同？为什么？ 【思维点拨】本题的解答关键是寻找抽屉。红、黄、蓝、黑四种颜 色的小球，从中任意选择两个，有以下选择方法：选择两个红球， 选择两个黄球，选择两个蓝球，选择两个黑球，选择红球与黄球， 选择红球与蓝球，选择红球与黑球，选择黄球与蓝球，选择黄球与 黑球，选择蓝球与黑球。一共有 10种不同的选法。我们不妨把这 10 种选法看成 10个抽屉，至少要 11个"苹果"，才能保证有一只抽屉 中有 2个"苹果"。也就是说，每个小朋友任意选 2个小球，需要有 11个小朋友，才能保证至少有 2个小朋友选的小球颜色相同。 1.在一个布袋里，混合装着红、黄、绿三种颜色的小球各 10 个。问： 一次至少摸出多少个，才能保证有 4个是同色的？ 2.在某幼儿园的一个大箱子里，装有很多玩具，一共分为 4种，即飞 机、汽车、坦克、舰艇，每个小朋友可任选 2件。问：至少有几位小 朋友来选玩具，才能保证有 3位小朋友所选的玩具是一样的？ 3.在一个首饰盒里，装着大小相同的 30颗珠子。其中，有 10颗红色 的，8 颗白色的，7 颗黄色的，5 颗绿色的。如果闭着眼睛去摸，那 么至少从首饰盒中摸出多少颗珠子，才能保证一定有 7颗珠子的颜色 是完全相同的呢？ 培优拔尖 3 重点例题 6 【例 6】有一根 2米长的绳子，在上面任意画 11个点，至少有 2 个点之间的距离不大于 20厘米。为什么？ 【思维点拨】我们可以把这根 2米长的绳子平均分为 10小段，每 小段长 20厘米。把每一小段看成一个抽屉，一共有 10个抽屉。 将 11个点放在 10个抽屉中，至少有 1个抽屉中放了 2个点。根据 抽屉原理，在同一个抽屉（同一小段）中，这两个点之间的距离一 定不大于这段绳子的长度，也就是不大于 20厘米。 1.在一条长 100米的路上种树，至少要种多少棵树，才能保证至少两 棵树之间的距离小于 10米？ 2.一副扑克牌共有 54张。最少要抽取多少张，才能保证其中至少有 2 张牌有相同的点数？ 3.一副扑克牌共有 54 张。至少从中抽出多少张牌，才能保证有 4 张 牌的花色相同？ 【例 7】任选 3个不同的自然数，至少有 2个数的和是偶数。请问： 培优拔尖 4 重点例题 7、8 这是为什么？ 【思维点拨】这个问题看上去好像很复杂，其实我们要运用抽屉原 理的基本思路去分析，解答起来就比较简单了。 我们知道，自然数可以分为奇数和偶数，因此可以把奇数和偶数作 为 2个抽屉，把 3个不同的自然数按照奇偶性分别放入 2个抽屉里， 则至少有 2个数在同一个抽屉里。这 2个数不管是同为奇数还是同 为偶数，它们的和一定是偶数。所以，3个不同的自然数，至少有 2个数的和是偶数。 【例 8】在任意 5个自然数中，必可找出 3个数，使这 3个数之和 能被 3整除。为什么？ 【思维点拨】解决这个问题，关键在于选取抽屉。我们知道，一个 自然数被 3 除，其余数只有三种情况，即余数为 0（整除），余数 为 1，余数为 2。因此，我们可以用余数来构造抽屉。 以一个数被 3除的余数 0、1、2构造抽屉，共有 3个抽屉。任意五 个数放入这三个抽屉中，如果每个抽屉中都有数，则各抽屉取一个 数，这三个数的和是 3的倍数，结论成立；如果至少有一个抽屉中 没有数，那么 5个数中必有三个数在同一个抽屉里，这三个数的和 是 3的倍数，结论依然成立。 1.从 1000、1001、1002、⋯、1992、1993中，任取 498个数，其中 培优拔尖 5 一定有两个数是互质数，为什么？ 2.在 1、2、3、⋯、15这 15个数中，至少选几个数，才能保证必有 两个数之和为 16？ 3.在从 1 到 10 的数中，至少取几个不同的正整数，才能使其中有两 个数一个被另一个整除？ 【例 9】从 1到 50中，至少要取几个不同的数，才能保证其中一定 有一个数能被 7整除？ 【思维点拨】我们先统计一下从 1到 50中，能被 7整除的数有几个， 也就是先找出从 1到 50中的 7的倍数。符合条件的 7的倍数一共有 7 个，即 7、14、21、28、35、42、49。也就是说，从 1到 50中，不 能被 7整除的数有 50-7=43(个)。如果我们要保证至少有一个数能被 7整除，就要取 43+1=44（个）。 【例 10】证明：从 3、5、7、⋯、27、29这 14个奇数中，任取 8个 数，中一定有两个数的和是 32。 【思维点拨】首先，我们观察一下，所给的数列有什么规律。很明显， 这是一个常数为 3、末项为 29、公差为 2的等差数列。这个等差数列 有一个规律，即从该数列的两端向中间看去，每一对首项和末项的和 重点例题 9、10、11 都是相等的，都是 32。结合证明的结论，我们知道，题目中所给的 14 个奇数，正好是7对和为32的数，即{3,29},{5,27},{7,25},{9,23}, {11,21},{13,19},{15,17},共 7种情况。我们可以把这个 7种情况看 成一个抽屉，根据抽屉原理，可知：从这个抽屉中取出 8个数，至少有 一个抽屉中要取出两个数，而这两个数的和就是 32。 【例 11】证明：从 1～20这 20个数中，任取 11个数，必有两个数， 其中一个数是另一个数的倍数。 【思维点拨】解此题的关键在于，把存在倍数关系的数进行分类，不 同的倍数对应不同的抽屉。 把 1～20这 20个数，按照是否存在 2倍关系进行归类，构造抽屉如 下： {1,2,4,8,16},{3,6,12},{5,10,20},{7,14},{9,18},{11},{13}, {15},{17},{19} 在这 10个抽屉中，放入 11个数，根据抽屉原理，11÷10=1.1。所以， 必有一个抽屉中至少有两个数，存在倍数关系。 1.从前 25个自然数中，任意取出 7个数，证明：取出的数一定有两 个数，这两个数中大数不超过小数的 1.5倍。 2.从 1到 100这 100个自然数中，随意取出 51个数，证明：在这 51 个数中，一定有 8个数，它们的最大公约数大于 1。 3.任意给定 7个不同的自然数，求证：其中必有两个整数，其和或差 培优拔尖 6 是 10的倍数。 【例 12】某市举行象棋比赛，一共有 52个学校的 308名学生参加了 比赛。象棋组委会规定，每个学校选手不得超过 6名。请问：至少有 几个学校派够了 6名选手参赛？ 【思维点拨】我们可以把52个学校看成52个抽屉。因为308=52×5+48， 所以至少有一个学校有 6名选手参赛。去掉这个学校和它的 6名选手， 就剩下 51个学校 302名选手，302=51×5+47，说明至少又有一个学 校有 6名选手参赛。以此类推，最后得出至少有 48个学校有 6名选 手参赛，这时剩下 4个学校，20名选手。20=4×5，若这 4个学校选 手恰好为 5名，就不能保证有 6名选手参赛，所以至少有 48个学校 派够了 6名选手参赛。 【例 13】某班有 46名学生，他们都参加了兴趣小组。对于甲、乙、 丙、丁四个兴趣小组，每个人可参加其中的 1个、2个、3个或 4个。 问：班级中至少有几名学生参加的兴趣小组完全相同？ 【思维点拨】参加兴趣小组的学生共分四种情况：只参加一个组的， 有 4种类型；只参加两个组的，有 6种类型；只参加三个组的，有 4 种类型；参加四个组的，有 1种类型。合计 4+6+4+1=15（种）类型， 把这些类型看成 15个抽屉，把 46名学生放入这些抽屉，因为 46=15 重点例题 12、13 ×3+1，所以班级中至少有 4名学生参加的兴趣小组完全相同。 1. 有一个旅游团共 50人，随意游览甲、乙、丙三地。问：至少有多 少人游览的地方完全相同？ 2. 某班同学考试，满分为 100分，全班最低分为 75分，每人得分都 是整数，并且班上至少有 3人得分相同。问：这个班至少有多少名同 学？ 3. 班长小明从学校的图书室借来一批画册，分给班中的 48 名同学。 分配的结果是，他们当中总有人至少分到 3本书。问：这批图书至少 有多少本？ 培优拔尖 7 第 13 讲 抽屉原理 强化训练 1.筷子筒里有黑、白、黄三种颜色的筷子各 8根，混杂在一起，小王 闭上眼睛，想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子。请问：他至少 要取多少根，才能保证达到要求？ 2.在一个暗箱中，混放着红、黄、蓝、白、黑 5种颜色的小球各 15 个。至少要摸出多少个小球，才能保证有 2个小球的颜色相同？ 3.在一个抽屉里，有 4支红笔芯和 3支蓝笔芯，如果让你蒙上眼睛去 摸，一次必须拿几支，才能保证至少有 1支蓝笔芯？ 4.某旅馆有 90个房间，住着 100名旅客。如果每次都恰好有 90名旅 客同时回来，那么至少要准备多少把钥匙分给这 100名旅客，才能使 每次客人回来时，每个客人都能用自己分到的钥匙打开一个房间住进 去，并且避免发生两人同时住进一个房间的情况？ 5.水果筐里，混放着苹果和梨。小李将其分成了若干堆，无论怎么分， 总能从这若干堆中找到两堆，把这两堆水果放在一起后，苹果和梨的 个数是偶数。小李至少把这些水果分成了几堆呢？ 6.某班有 37 名学生，他们都订阅了甲、乙、丙报刊中的一种或几种， 请问：其中至少有多少名学生订阅的报刊种类完全相同？ 7.某学校教研组准备组织英语、数学、地理、历史竞赛。请问：至少 有多少名学生报名参加，才能保证其中至少有 5名学生参加的比赛完 全一样？