精品解析：2025届江西省赣州市高三二模数学试题

赣州市2025年高三年级适应性考试 数学试卷 2025年5月 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解指数不等式求集合，应用集合的交运算求结果. 【详解】， 则. 故选：A 2. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法的几何意义及模长求法求即可. 【详解】由题设. 故选：A 3. 平面平面的一个充分条件是（ ） A. 存在一条直线 B. 存在一条直线 C. 存在两条平行直线 D. 存在两条异面直线 【答案】D 【解析】 【分析】由面面平行的判定定理对选项逐一判定 【详解】对于A，B，C，当平面，相交时，条件仍然成立，故A，B，C错误， 对于D，存在两条异面直线， 平移后可得，存在两条相交直线， 由面面平行的判定定理可知，平面平面，故D正确， 故选：D 4. 若向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求在上的投影向量. 【详解】由投影向量的定义，在上的投影向量为. 故选：D 5. 已知函数是定义在上且周期为的奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数周期性的定义可得出，再结合奇函数的定义可得出的值，由此可得出的值. 【详解】因为函数是定义在上且周期为的奇函数，则， 又因为，所以，，故， 即. 故选：B. 6. 设等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. B. 7 C. 63 D. 7或63 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列片段和的性质有求，注意验证结果. 【详解】由等比数列片段和的性质知，、、成等比数列， 所以，则， 所以，则或， 等比数列的公比为， 若时，则，而，显然等式不成立； 若时，则，满足题设； 所以. 故选：B 7. 若点关于直线对称的点在圆上，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知确定点关于直线对称的点在圆上，易得对称点为圆和圆的交点，求出交点坐标，利用垂直关系求参数k. 【详解】显然在圆上，又直线经过该圆的圆心， 所以点关于直线对称的点在圆上， 又点关于直线对称的点在圆上， 所以对称点为圆和圆的交点，联立得交点为， 所以与两点所在直线，与垂直，故. 故选：D 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用相关指数函数、幂函数的单调性判断的大小关系判断A；再对A的结果取对数判断B；由正弦函数单调性有，构造并利用导数研究其区间函数值符号判断C；应用特例即可判断D. 【详解】由题设，在R上单调递减，则，在定义域上单调递增，则， 所以，则，即，A，B错； 由在上单调递增，则，故， 对于且，则， 所以在上单调递减，则， 所以，C对； 当，此时，D错. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】分别令、、求相关系数或系数和判断A、B、D，应用二项式定理写出通项公式求判断C. 【详解】A：令，则，错； B：令，则①，又，则，错； C：由二项式展开式，， 所以时，则；时，则； 所以，对； D：令，则②， ①②得，则，对. 故选：CD 10. 如图，透明长方体容器内灌入了一些水，边BC固定在地面．若改变容器的倾斜度（水不溢出），则（ ） A. 水的体积不变 B. 水的部分呈棱柱状 C. 水面四边形EFGH的面积不变 D. 当E在棱上时，是定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题设易知长方体中水的体积不变，水面平行于地面，且为矩形，结合棱柱的特征、棱锥体积公式判断各项的正误. 【详解】A：因为水不溢出，则长方体中水的体积不变，对； B：由水面平行于地面，又边BC固定在地面，即平面， 平面平面，平面，则， 又恒为矩形，则，又都垂直于平面， 故均垂直于平面，易知水的部分呈棱柱状，对； C：由题意，旋转过程中恒为矩形，且， 而在倾斜过程中会发生变化，故面积也会发生变化，错； D：当E在棱上时，由B分析，水的体积恒定不变， 又长度不变，故也为定值，对. 故选：ABD 11. 设数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用递推公式结合放缩法可判断A选项；利用导数证明出当时，，可判断B选项；利用导数证明出当时，，可知当时，，结合等比数列的求和公式以及放缩法可判断C选项；利用C中的结论结合放缩法可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，则，A对； 对于B选项，构造函数，其中，则， 所以，函数在上单调递减，则，即， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递增， 因为，则，即， 所以，，， 以此类推可知，，B错； 对于C选项，令，其中， 则对任意的恒成立， 所以函数在上单调递减， 故当时，，即， 由A选项可知，，，， 可知，当时，， 所以， ，C对； 对于D选项，由C选项可知，， 所以，，D对. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若随机变量，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的性质计算可得. 【详解】因为且， 所以，解得. 故答案为： 13. 若函数在区间上单调，且，则正数的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据已知确定对称轴和对称点，进而有，即可求参数. 【详解】由函数在上单调，且， 所以函数的一条对称轴，一个对称点为，且， 所以，可得，故正数的值为2. 故答案为：2 14. 椭圆的右焦点为F，上顶点为A，直线l与椭圆交于B，C两点．若，则l的斜率的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】令，而，应用向量线性关系的坐标表示得，再由在椭圆上得到，且中点在椭圆内得，结合对勾函数的性质求范围. 【详解】令，而， 所以，，， 又，则，所以， 由，作差得，则， 显然的中点在椭圆内，则，可得，即， 所以， 令，且在上单调递增，值域为， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在一次数学测验中，有单选题（即单项选择题）和多选题（即多项选择题）两种．单选题指四个选项中仅有一个正确，选对得5分，选错或不选得0分；多选题指四个选项中有两个或三个正确，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的或不选得0分． （1）在单选题的测验中，小明如果不知道答案就随机猜测．已知小明知道单选题的正确答案的概率是，随机猜测的概率是，问小明在做某道单选题时，在该道题做对的条件下，求他知道这道单选题正确答案的概率； （2）小明在做多选题时，选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知某个多选题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多选题所得的分数为X，求X的分布列及数学期望． 【答案】（1）； （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）记事件为该单项选择题回答正确，事件为小明知道该题的正确答案，根据已知确定相关概率值，再应用全概率公式、条件概率公式求概率即可； （2）由题设的可能值为，并求出对应概率值，即可得分布列，进而求期望. 【小问1详解】 记事件为该单项选择题回答正确，事件为小明知道该题的正确答案， 由题设，，，，故， 所以，而， 所以，即所求概率为； 【小问2详解】 由题意，的可能值为， 设事件表示小明选择了个选项，事件表示选择的选项是正确的， 则， ， ， 所以的分布列， 0 3 6 所以. 16. 在中，，． （1）求B； （2）若的平分线AD交BC于点D，的面积为15，求AD． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系求得，结合已知，应用差角正切公式求，即可得B； （2）设，，应用三角恒等变换求得，，，再应用正弦定理得到，，最后由三角形面积公式列方程求. 【小问1详解】 由，且，则，故， ， 又，则； 【小问2详解】 设，，如下图示， 由，且， 可得，， 由， 且， 在中，，则， 在中，，则， 所以， 又中边上的高为， 则， 所以. 17. 如图，三棱锥中，是等边三角形，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）若，，，求E到平面ACD的距离． 【答案】（1） 设的中点为，连接， 由是等边三角形，则， 由中位线定理知且，则， 又平面，故平面， 由平面，所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）设的中点为，连接，易得、，再由线面垂直的判定和性质证明结论； （2）根据已知得，在平面内作，分析并构建合适的空间直角坐标系，标注相关点坐标，求出平面的一个法向量，应用向量法求点面距. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，则， 由题设，则，， 由余弦定理， 又，，则， 由，则， 由平面，平面，可得平面平面， 在平面内作，则平面， 综上，两两垂直，构建如下图示的空间直角坐标系， 所以，而，则， 所以，，， 设为平面的一个法向量，则， 取，则， 所以到平面的距离为. 18. 已知函数，． （1）求函数，的最小值； （2）当时，，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，并利用导数研究其在定义域上的单调性，找到极小值点，与端点值比较即可求得最小值； （2）设，，多次求导，结合常见不等式及，分析的单调性，分和两种情况研究函数的最小值，即可求解. 【小问1详解】 令，，则，， 由，解得或，可得当和时，，当时，，所以在单调递减，和单调递增. ，又，，， 所以函数在上的最小值为 【小问2详解】 设，， 则，令，则， 令，则，所以在上单调递增， 所以，即，， 所以， 又设，，， 当时，，为减函数，当时，，为增函数， 所以，即恒成立， 所以， 所以在上单调递增，则， 当，即时，，，所以在上单调递增， 所以， 当，即时，存在，使得，即， 由于对任意的，都有，即，此时，不符题意， 综上所述，. 19. 已知点M到点的距离比到y轴的距离大1，M的轨迹为C．点在C上，过作斜率为的直线交C于另一点，设与关于x轴对称，过作斜率为的直线交C于另一点，设与关于x轴对称，……，以此类推，设． （1）求C的方程； （2）设数列的前n项和为，证明：； （3）求的面积． 【答案】（1）或； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）讨论在轴左侧或右侧，分别求出对应轨迹方程即可； （2）由题设得，，结合斜率求得，根据等差数列的定义写出通项公式得，应用裂项相消法求，即可证； （3）由（2）得，再由，结合向量模长、数量积的坐标表示化简求值即可. 【小问1详解】 当在轴左侧时，在轴的非正半轴上，的方程为； 当在轴右侧时，的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，方程为， 综上，C的方程为或； 【小问2详解】 因为在上，所以，可得， 依题意，则， 所以，故数列是首项为2，公差为4的等差数列， 所以，则， ， 所以， 显然关于单调递减，则； 【小问3详解】 由（2）得， 所以，而， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赣州市2025年高三年级适应性考试 数学试卷 2025年5月 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 10 3. 平面平面的一个充分条件是（ ） A. 存在一条直线 B. 存在一条直线 C. 存在两条平行直线 D. 存在两条异面直线 4. 若向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是定义在上且周期为的奇函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 设等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. B. 7 C. 63 D. 7或63 7. 若点关于直线对称的点在圆上，则k的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，透明长方体容器内灌入了一些水，边BC固定在地面．若改变容器的倾斜度（水不溢出），则（ ） A. 水的体积不变 B. 水的部分呈棱柱状 C. 水面四边形EFGH的面积不变 D. 当E在棱上时，是定值 11. 设数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若随机变量，，则的值为________． 13. 若函数在区间上单调，且，则正数的值为________． 14. 椭圆的右焦点为F，上顶点为A，直线l与椭圆交于B，C两点．若，则l的斜率的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在一次数学测验中，有单选题（即单项选择题）和多选题（即多项选择题）两种．单选题指四个选项中仅有一个正确，选对得5分，选错或不选得0分；多选题指四个选项中有两个或三个正确，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的或不选得0分． （1）在单选题的测验中，小明如果不知道答案就随机猜测．已知小明知道单选题的正确答案的概率是，随机猜测的概率是，问小明在做某道单选题时，在该道题做对的条件下，求他知道这道单选题正确答案的概率； （2）小明在做多选题时，选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知某个多选题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多选题所得的分数为X，求X的分布列及数学期望． 16. 在中，，． （1）求B； （2）若的平分线AD交BC于点D，的面积为15，求AD． 17. 如图，三棱锥中，是等边三角形，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）若，，，求E到平面ACD的距离． 18. 已知函数，． （1）求函数，的最小值； （2）当时，，求a的取值范围． 19. 已知点M到点的距离比到y轴的距离大1，M的轨迹为C．点在C上，过作斜率为的直线交C于另一点，设与关于x轴对称，过作斜率为的直线交C于另一点，设与关于x轴对称，……，以此类推，设． （1）求C的方程； （2）设数列的前n项和为，证明：； （3）求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $