精品解析：2025年山东省济南市 长清区中考二模数学试题

九年级阶段检测 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试题共8页，满分150分，考试时间为120分钟． 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. -的倒数是（ ） A. - B. -5 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】倒数：乘积是1的两数互为倒数．据此可得答案． 【详解】解：-的倒数是-5． 故选：B． 【点睛】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键． 2. 郎窑红釉穿带直口瓶是清康熙年间的文物，属于国家级文物，是故宫博物馆十大镇馆之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，从不同方向看物体的形状，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 主视图、左视图、俯视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三种视图，熟知三视图的观察方向是解题的关键．在物体的正面看到的视图，叫做主视图，由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；由左向右观察物体的视图，叫做左视图．仔细观察图中几何体摆放的位置，根据三种视角观察到的图形判定则可． 【详解】解：结合题干的图形，得郎窑红釉穿带直口瓶的主视图与左视图相同， 故选A． 3. 2025年春节期间，北京天安门广场观看升旗仪式预约系统开放1分钟涌入2870000请求，90后占比达．文旅部专家分析：“Z世代正用数字时代的仪式感，重构对国家的理解．”其中2870000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，正确确定的值和的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 【详解】解：． 故选：C． 4. 如图，现将一块含有角的三角板的顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行的性质，解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 先根据两直线平行的性质，得到，再根据平角的定义，即可得出的度数． 【详解】解：∵，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断．能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键． 【详解】解：A．该图形是既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意； D．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、去括号法则、完全平方公式，熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方、单项式乘多项式、完全平方公式的运算法则，是解题的关键．根据同底数幂的乘法即可判断A，根据积的乘方即可判断B，根据去括号法则即可判断C，根据完全平方公式即可判断D，从而得到答案． 【详解】解：A.，选项计算错误，故此选项不符合题意； B.，选项计算正确，故此选项符合题意； C.，选项计算错误，故此选项不符合题意； D.，选项计算错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 7. 某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“米”“米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“跳远”与“米”两个项目的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键．画出树状图，根据树状图即可求． 【详解】解：设“跳高”“跳远”“100米”“200米”四个项目分别用、、、表示，画树状图如下： 由树状图可得，共有12种等结果，其中他选择“跳远”与“100米”两个项目的结果有2种， 他选择“跳远”与“100米”两个项目的概率为， 故选：C． 8. 如图，已知是的直径，C，D是上的点，且与交于点E，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，扇形面积，先根据是的直径，得，因为，得，，运用圆周角定理得，，则，，，即可算出阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， 则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 则， ∴， ， 则， 故选：D． 9. 如图，在矩形中，，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径作弧交于点P，作射线，交于点H，过点D作的垂线交的延长线于点Q，垂足为点G，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由作图过程可知，为的平分线，，可得出．由矩形的性质可得，由勾股定理得，，则．在中，利用勾股定理求出的长，即可得出的长，再根据即可求解． 【详解】解：由作图过程可知，为的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵四边形为矩形， ， 由勾股定理得，， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，由勾股定理得，． ∴，， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查作图-基本作图、角平分线的定义、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10. 已知二次函数（是实数）．对于该二次函数图象上的两点，，当时，始终有成立．则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数函数值的计算，函数值比较大小的方法是关键． 根据题意得到，根据成立，得到，，整理得，，令，所以，结合题意即可求解． 【详解】解：二次函数（是实数）化为一般式得， ， ∵函数图象上的两点，， ∴当时，， 当时，， ∵当时，始终有成立， ∴， ∴，整理得，， 令， ∵， ∴关于的二次函数图象开口向上，对称轴为直线； 当时，，当时，， ∵， 即， ∴， 解得，， ∵， ∴， 故选：C ． 二．填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．） 11. 如图，足球的表面是由12块正五边形的黑皮和20块正六边形的白皮围成的，将足球上的一块黑皮和与它相邻的一块白皮展开放平，则的度数为______． 【答案】##132度 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和问题，求出正五边形和正六边形每个内角的度数，即可求解． 【详解】解：正五边形内角和为：，每个内角为：， 正六边形内角和为：，每个内角为：， 因此， 故答案为：． 12. 已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是________． 【答案】 【解析】 【分析】先把x=2代入原方程即可解出m的值，再用两根之和求解即可 【详解】把x=2代入原方程得22＋5×2－m=0，解得m=14， ∴原方程为 解得x1=-7,x2=2, 故另一个解为. 故答案为：． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是先求出原方程，再进行求解． 13. 的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的除法，熟练掌握分式的除法的运算法则是解题的关键．根据分式的除法进行计算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 已知A、B两地相距，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中，表示两人离A地的距离s（）与时间t（h）的关系，结合图象信息，当甲到达终点时乙距离终点还有________． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握函数图象信息，待定系数法求函数解析式，一次函数的图象和性质． 根据题意和的图象求得乙对应的函数解析式，求出当时间时的路程s的值，即得乙距终点的路程． 【详解】解：设乙对应的函数解析式为， 把，代入， 得， 解得， 即乙对应的函数解析式为， 当时， ， ∴（）， 即当甲到达终点时乙距离终点还有． 故答案为：45． 15. 如图，在矩形中，点F是边上的一点，把矩形沿折叠，点C落在边上的点E处，，点M是线段上的动点，连接，过点E作的垂线交于点N，垂足为H．连接，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再求出，根据题意确定H点在上运动，利用即可求解． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∵，， ∴， 以为直径作， ∴圆的半径为5， 过圆心O作，垂足为P，交于Q， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵与平行，点O为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， 连接， ∴， ∵， ∴点H在上， ∴； 故答案为： ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的判定与性质，勾股定理和圆等相关知识，解题关键是确定H点的运动轨迹． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函值．先根据乘方、零指数幂、负整数指数幂的意义，实数的性质，特殊角的三角函值化简，再算加减即可． 【详解】解： ． 17. 解不等式（组）：，并写出它的整数解． 【答案】，不等式组的所有整数解为0，1，2，3 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、求不等式组的整数解，正确求得不等式组的解集是解答的关键．先求得每个不等式的解集，再求得其公共部分即可得不等式的解集，进而可求解． 【详解】解： 由①得； 由②得； ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为0，1，2，3． 18. 如图，在中，，是对角线上的两点，且． 求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴； ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．利用证明，即可证明． 【详解】略 19. 数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，请根据表格内容完成任务． 课题 探究某大型商场的自动扶梯的相关问题 素材 背景 图1是某商场的自动扶梯 抽象 测量 图2中的是从一楼到二楼扶梯的侧面示意图．小王站在扶梯起点A处时，测得二楼天花板上照明灯C的仰角为，此时他的眼睛D与地面的距离，之后他沿扶梯到达顶端B后又向正前方走了到达点E处（），发现照明灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，AB的长度为． 任务1 求点B到一楼地面的距离； 任务2 求照明灯C到一楼地面的距离（结果精确到）． （参考数据：，，，） 【答案】任务一：点B到一楼地面的距离为；任务二：照明灯C到一楼地面的距离为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 任务一：过点B作BR⊥AN于点R，设，则，利用勾股定理列方程即可解答； 任务二：连接并延长交于点V，过点D作于点U，交于点T，解直角三角形即可解答． 【详解】任务一：解：如图，过点B作BR⊥AN于点R， ∵AB的坡度为， ∴设，则， ∵， ∴在中，， 即， 解的， ， 答：点B到一楼地面的距离为； 任务二解：如图，连接并延长交于点V，过点D作于点U，交于点T， 由题意得，， 在中，， ∴． ∴在中，． ∴ 答：照明灯C到一楼地面的距离为． 20. 如图，内接于是的直径，是的中点，过点作的切线分别交、的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接． ∵是的中点， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵是的切线， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接．证明是等腰直角三角形得．由是的切线得，求出，然后证明可得； （2）证明得，证明得，求出，再求出，代入比例式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质是解答本题的关键． 21. 某校组织七年级学生参加“智慧校园·赋能”信息技术知识竞赛，为了了解竞赛成绩，随机抽取了部分七年级学生的竞赛成绩进行分析，整理（竞赛成绩满分为100分，不低于90分的为优秀，竞赛成绩分为四个等级：，，，），部分信息如下： 信息一： 信息二：七年级学生竞赛成绩在等级的数据（单位：分）如下：94，93，93，93，92，92，92，92，91，91，90，89，88，86，85． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的人数是________人； （2）请根据题中的信息补全频数分布直方图； （3）组对应扇形的圆心角为________； （4）抽取的七年级学生竞赛成绩的中位数是________分； （5）若该校七年级约有500名同学参加本次竞赛，请估计竞赛成绩优秀的人数． 【答案】（1） （2） 补全图形如下， （3） （4） （5）估计竞赛成绩为优秀的有人 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念及计算，掌握根据样本估算总体数量，圆心角度数的计算，条形图，中位数的计算方法是关键． （1）根据C组的人数是人，占比是，即可求解； （2）根据题意得到A组的人数为（人），由此补全图形即可； （3）先算D组的占比，再根据圆心角度数的计算即可求解； （4）根据中位数的计算方法求解即可； （5）根据样本百分比估算总体数量的方法计算即可． 【小问1详解】 解：C组的人数是人，占比是， ∴（人）， ∴本次调查的人数是人， 故答案为：20； 【小问2详解】 解：A组的人数为：（人）， 【小问3详解】 解：D组的人数为人， ∴D组的圆心角度数为， 故答案为：； 【小问4详解】 解：七年级学生竞赛成绩在组的有3人，在等级的数据（单位：分）从大到小排序如下：94，93，93，93，92，92，92，92，91，91，90， 七年级学生竞赛成绩的中位数是B组，第10，11名同学成绩的平均数， ∴（分）， 故答案为：； 【小问5详解】 解：不低于90分的为优秀， ∴此次样本中优秀率为， ∴（人）， ∴估计竞赛成绩为优秀的有人． 22. 人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1）A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元 （2）购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和一次函数，是解题的关键： （1）设B型机器人模型单价为x元，根据用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买A型机器人m台，根据购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，列出不等式求出的取值范围，设共花费w元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， (元)． 答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元． 【小问2详解】 设购买A型机器人m台，则购买B型机器人台． 根据题意，得， 解得． 设共花费w元，则， ∵， ∴w随m的减小而减小， ∵， ∴当时，w值最小． ， (台)． 答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数交于点． （1）求b，k的值； （2）点C是x轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点D，连接，若，求的面积； （3）在（2）的条件下，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，求点E的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把点B坐标代入一次函数式中，即可求得b的值，从而得点B的值；把点B的坐标代入反比例函数式中即可求得k的值； （2）过点B作轴于点G，过点D作轴于点H，设交y轴于点K，证明，则由相似三角形的性质求得，从而求得点D的坐标；再求出的函数解析式，则可求得点K的坐标，利用即可求解； （3）过点D作轴，作于H，于G，证明，利用全等三角形的性质即可求得点坐标． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数交于点， ∴把代入中，得， 解得：， ∴； 把代入得：； 即，； 【小问2详解】 解：如图，过点B作轴于点G，过点D作轴于点H，设交y轴于点K， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知反比例函数的表达式为； 当时，，解得， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点D作轴，作于H，于G， 则， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数交点，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造辅助线证明三角形相似与全等是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，，．抛物线与轴交于点和点． （1）如图，若抛物线过点，求抛物线的表达式； （2）如图，在（）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点的对应点落在直线上，点的对应点落在抛物线上，求点的坐标； （3）若抛物线与正方形恰有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（）运用待定系数法进行解二次函数的解析式，得，再令，即可作答； （）运用待定系数法得到直线CE的表达式为 设点，则点，依题意把点代入，即可作答； （）分类讨论，如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，或如图，当抛物线与直线交点在点下方，且与直线交点在点上方时，与正方形有两个交点，联立不等式组， 即可作答． 【小问1详解】 解：把，代入得： ，得， ∴， 令，则， 整理得：，解得：，， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示： 设直线的表达式为过点，， ∴， 解得：， ∴， 设点，则点， 把点代入得，， 整理得：，解得：，， ∴； 【小问3详解】 解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∴点和点的横坐标为，点和点的横坐标为， 将代入得， ∴， ∴顶点坐标为， 当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点， ∴， ∴； 如图，当抛物线与直线交点在点下方，且与直线交点在点上方时，与正方形有两个交点， ， ∴， 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题考查了二次函数、一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，平移的性质，解一元二次方程，解一元一次不等式组等知识，利用分类讨论的思想，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 25. 如图1，在中，E为边上一点，交于D，延长，相交于点F，． （1）求证：； （2）连接，若是以为底的等腰三角形，，求的值； （3）如图2，在中，，D为直线下方一点，点D关于直线的对称点E恰好在的延长线上，连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）证出即可得证； （2）是以为底的等腰三角形，即，导角证明，则，再证明即可求解； （3）由题易得点D关于直线的对称点E恰好在的延长线上，连接，延长交于点F，过点D作交延长线于点G，连接，先证，得到，进而设参，再证，设参，然后在 中，利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴设， ∴在中，由勾股定理可得， ∵是以为底的等腰三角形，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，点D关于直线的对称点E恰好在的延长线上， 连接，延长交于点F，过点D作交延长线于点G，连接， ∵点D关于直线的对称点E恰好在的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴设， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 由勾股定理得： 则， ∵， ∴在中，由勾股定理可得：， 整理可得：， 解得或（舍）， ∴， ∴ ∴在中，由勾股定理可得， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级阶段检测 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试题共8页，满分150分，考试时间为120分钟． 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. -的倒数是（ ） A. - B. -5 C. D. 5 2. 郎窑红釉穿带直口瓶是清康熙年间的文物，属于国家级文物，是故宫博物馆十大镇馆之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，从不同方向看物体的形状，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 主视图、左视图、俯视图都相同 3. 2025年春节期间，北京天安门广场观看升旗仪式预约系统开放1分钟涌入2870000请求，90后占比达．文旅部专家分析：“Z世代正用数字时代的仪式感，重构对国家的理解．”其中2870000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，现将一块含有角的三角板的顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“米”“米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“跳远”与“米”两个项目的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知是的直径，C，D是上的点，且与交于点E，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径作弧交于点P，作射线，交于点H，过点D作的垂线交的延长线于点Q，垂足为点G，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 10. 已知二次函数（是实数）．对于该二次函数图象上的两点，，当时，始终有成立．则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．） 11. 如图，足球的表面是由12块正五边形的黑皮和20块正六边形的白皮围成的，将足球上的一块黑皮和与它相邻的一块白皮展开放平，则的度数为______． 12. 已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是________． 13. 的结果为________． 14. 已知A、B两地相距，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中，表示两人离A地的距离s（）与时间t（h）的关系，结合图象信息，当甲到达终点时乙距离终点还有________． 15. 如图，在矩形中，点F是边上的一点，把矩形沿折叠，点C落在边上的点E处，，点M是线段上的动点，连接，过点E作的垂线交于点N，垂足为H．连接，则的最小值为________． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 17. 解不等式（组）：，并写出它的整数解． 18. 如图，在中，，是对角线上的两点，且． 求证：． 19. 数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，请根据表格内容完成任务． 课题 探究某大型商场的自动扶梯的相关问题 素材 背景 图1是某商场的自动扶梯 抽象 测量 图2中的是从一楼到二楼扶梯的侧面示意图．小王站在扶梯起点A处时，测得二楼天花板上照明灯C的仰角为，此时他的眼睛D与地面的距离，之后他沿扶梯到达顶端B后又向正前方走了到达点E处（），发现照明灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，AB的长度为． 任务1 求点B到一楼地面的距离； 任务2 求照明灯C到一楼地面的距离（结果精确到）． （参考数据：，，，） 20. 如图，内接于是的直径，是的中点，过点作的切线分别交、的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 某校组织七年级学生参加“智慧校园·赋能”信息技术知识竞赛，为了了解竞赛成绩，随机抽取了部分七年级学生的竞赛成绩进行分析，整理（竞赛成绩满分为100分，不低于90分的为优秀，竞赛成绩分为四个等级：，，，），部分信息如下： 信息一： 信息二：七年级学生竞赛成绩在等级的数据（单位：分）如下：94，93，93，93，92，92，92，92，91，91，90，89，88，86，85． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的人数是________人； （2）请根据题中的信息补全频数分布直方图； （3）组对应扇形的圆心角为________； （4）抽取的七年级学生竞赛成绩的中位数是________分； （5）若该校七年级约有500名同学参加本次竞赛，请估计竞赛成绩优秀的人数． 22. 人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数交于点． （1）求b，k的值； （2）点C是x轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点D，连接，若，求的面积； （3）在（2）的条件下，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，求点E的坐标． 24. 在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，，．抛物线与轴交于点和点． （1）如图，若抛物线过点，求抛物线的表达式； （2）如图，在（）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点的对应点落在直线上，点的对应点落在抛物线上，求点的坐标； （3）若抛物线与正方形恰有两个交点，直接写出的取值范围． 25. 如图1，在中，E为边上一点，交于D，延长，相交于点F，． （1）求证：； （2）连接，若是以为底的等腰三角形，，求的值； （3）如图2，在中，，D为直线下方一点，点D关于直线的对称点E恰好在的延长线上，连接，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $