8.6.2直线与平面垂直第2课时（2知识点+5题型）-2024-2025学年第二学期高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第二册）

8.6.2 直线与平面垂直 第2课时 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 直线与平面垂直的性质定理及应用 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 注意点： (1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法. (2)直线与平面垂直的性质定理揭示了空间中平行与垂直关系的内在联系，提供了垂直与平行关系转化的依据. (3)其逆定理也成立：即两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. 知识点2 空间中的距离问题 1.直线与平面的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. 2.平面与平面的距离 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 思路方法总结 1.证明线线平行常用的方法 (1)利用线线平行的定义：证共面且无公共点. (2)利用平面几何的知识：三角形中位线、平行四边形、平行线分线段成比例定理等. (3)利用三线平行基本事实：证两线同时平行于第三条直线. (4)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行. (5)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. (6)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行. 2.空间中距离的转化 (1)利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离. (2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(或等分点)转化为另一点到平面的距离. (3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高. 典例·举一反三 题型一 线面垂直的性质定理 1．已知三条不同的直线a，b，l以及两个不同的平面，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据直线、平面之间的位置关系作出判断. 【详解】对于A选项，若，则或，故A错误； 对于B选项，若，则，故B正确； 对于C选项，若，则与可以异面，故C错误； 对于D选项，若，如果与相交，则，但如果，则或或与斜交，故D错误. 故选：B. 2．下列命题正确的是（    ） A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B．若直线平面，直线平面，则∥ C．直线与平面所成角的取值范围是 D．若直线与平面所成的角为，直线与平面内的直线所成的角为，则总有 【答案】B 【分析】对于A，考虑到两条直线相交、平行或异面三种情况都有可能即可判断；对于B，根据线面垂直的性质定理即可判断；对于C，考虑到直线和平面的位置关系有直线在平面内，直线和平面平行，直线和平面相交三种情况即可判断；对于D，根据线面角的定义，考虑到直线与平面内的直线所成角中的最小角即为线面角即可判断. 【详解】对于A，若两条直线和同一个平面所成的角相等，这两条直线可能相交、平行或异面，故A错误； 对于B，两直线同时垂直于同一平面，根据线面垂直的性质定理可知两直线平行，故B正确； 对于C，当直线在平面内或者直线与平面平行时，直线与平面所成的角为0； 当直线与平面斜交时，直线与平面所成角的取值范围是； 当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角为， 所以直线与平面所成角的取值范围为，故C错误； 对于D，根据线面角的定义可知，直线与平面内的直线所成角中的最小角为， 所以，故D错误； 故选：B 3．在长方体中，点是平面内异于点的一点，平面，且平面，则与的位置关系是 ． 【答案】平行 【分析】根据线面垂直的性质可得出结论. 【详解】如下图所示： 在长方体中，平面， 因为平面，所以，， 故答案为：平行. 4．如图，在直三棱柱中，，D，E分别是棱BC，上的点（点不同于点），且平面，F为的中点．求证：直线平面． 【答案】证明见解析 【分析】先应用线面垂直的判定定理得出平面，再根据线面垂直的性质得出线线平行，进而得出线面平行即可. 【详解】因为，F为的中点，所以． 因为平面，且平面，所以． 又平面，平面，平面，所以平面． 又平面，所以． 又平面，平面，所以平面． 5．如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）首先证明，即可得到，再由，即可得证； （2）首先证明平面，即可得到，同理可证，即可得到平面，结合（1）的结论，即可得证． 【详解】（1）在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，所以， 因为，，平面，平面． 所以平面． （2）因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 同理可证， 又，平面，平面． 所以平面． 又平面，所以． 题型二 线面垂直证明线线垂直 6．如图，在正四棱柱中，，，M是的中点． (1)求证：平面； (2)证明：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1），连接，由中位线得到，进而可求证； （2）由条件易得，，即可求证； 【详解】（1） 证明：设，连接， 在四棱柱中，四边形是正方形， 为中点，又为中点，， 又平面平面， 平面； （2）在四棱柱中，平面，又平面，， 又在正方形中，，且，.平面平面， 平面，又平面， ； 7．如图所示，在梯形中，，，，平面，，，，为中点. (1)证明：平面； (2)证明：； 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）只需通过证明两次线面平行得到平面平面，再结合面面平行的性质即可得证； （2）只需证明平面，再结合线面垂直的性质即可得证. 【详解】（1） 连接CM，，，是AB中点， 且， 四边形是平行四边形，， 而平面，平面，所以平面， 又因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，平面， 平面平面，又平面， 平面. （2），平面， 平面， 平面， ， 又，四边形是平行四边形， 平行四边形为正方形，． 又，平面，平面， 所以平面，平面，. 8．如图，底面是正方形的直棱柱中，，. (1)求直线与平面ABCD所成角的正切值； (2)求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得为直线与平面ABCD所成的角，然后在中求解即可； （2）由平面，可得，再由底面是正方形可得，然后利用线面垂直的判定定理可得平面，从而可证得. 【详解】（1）平面， 为直线与平面ABCD所成的角， 在中，， 直线与平面ABCD所成角的正切值为. （2）证明：平面，平面，， 又四边形为正方形，则， ∵，平面， 平面， 平面，. 9．如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，，． (1)若AD平面PBC，证明：； (2)在我国古代数学典籍《九章算术》中，记载了一种特殊的三棱锥——鳖臑，其四个面均为直角三角形，找出本题图中的一个鳖臑，并计算它的体积和表面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)为一个鳖臑，体积为，表面积为. 【分析】 （1）根据已知有，线面垂直的性质得，再应用线面垂直的判定、线面平行的性质得面，再由线面垂直性质证结论； （2）根据已知得到，，，结合题设定义及棱锥体积公式求得. 【详解】（1）由题设，则， 由PA⊥平面，平面，则， 而都在面内，则面， 由AD平面PBC，面，面面， 所以，则面，面，故. （2）由PA⊥平面，平面，则， 由（1）知，且面，面，则， 所以都是直角三角形，且， 根据题设定义，为一个鳖臑，体积， 表面积. 10．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且，为侧棱的中点. (1)求四棱锥的体积； (2)证明：平面； (3)证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析 【分析】（1）利用棱锥的体积公式即可； （2）作辅助线，且，得出，再利用线面平行的判定定理即可； （3）先利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用线面垂直的定义可得. 【详解】（1）因底面，则为四棱锥的高， 因，正方形的边长为， 则四棱锥的体积为； （2）连接，且，连接， 因四边形为正方形，则为线段的中点， 又为侧棱的中点，则为的中位线，则， 因平面，平面，则平面； （3）因四边形为正方形，则， 又平面，平面，则， 因，平面，平面，则平面， 又平面，则. 题型三 点到面的距离 11．如图，点C在圆锥PO的底面圆O上，AB是直径，AB=8，∠BAC=30°，圆锥的母线与底面成的角为60°，则点A到平面PBC的距离为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面夹角分析可得圆锥的母线，利用等体积法求点到面的距离. 【详解】因为AB是直径，则，且AB=8，∠BAC=30°， 可得， 又因为底面圆O，则圆锥的母线与底面成的角为， 可知为等边三角形，所以圆锥的母线， 设点A到平面PBC的距离为h， 利用等体积法，即， 解得，即点A到平面PBC的距离为. 故选：C. 12．如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，是棱的中点.求点到平面的距离等于 【答案】 【分析】利用三棱锥的等积性、线面垂直的性质、面面垂直的判定定理和性质，结合直三棱柱的性质、三棱锥的体积公式进行求解即可. 【详解】因为是直三棱柱， 所以平面，而平面， 所以， 因为是棱的中点，所以， 由勾股定理可得：， ， 因为是等边三角形，是棱的中点.， 所以，所以， 因为，所以， 因此， 因为平面，平面， 所以平面平面，因为平面平面， ，平面，所以平面， 设点到平面的距离为， 由， 故答案为： 13．已知长方体的棱，． (1)求点和点D的距离； (2)求点A到平面的距离． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）连接，根据长方体性质，两次运用勾股定理求解即可； （2）结合长方体的性质证明平面，求的长即可. 【详解】（1）如图连接，根据长方体性质，知道平面，平面，则， 且，则，故点和点D的距离为3. （2）连接且， 由长方体可知，平面，又平面， 所以，又，所以， 又且都在面，所以平面， 即点A到平面的距离为的长. 在正方形中，. 故点A到平面的距离为. 14．如图，已知三棱锥中，PA垂直于平面ABC，，，，． (1)求点A到平面PBC的距离； (2)求三棱锥的表面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算出三棱锥的体积以及的面积，利用等体积法可求得点到平面的距离； （2）计算出三棱锥每个面的面积，相加即可得出三棱锥的表面积. 【详解】（1）因为,，． 所以, ， 因为平面,平面, 所以， 又平面,平面, 所以平面，平面，故， 因为平面,平面, 所以, , , 设点A到平面PBC的距离为，则，即， 可得 （2）由（1）知，，, 因为平面,平面, 所以, 所以 所以三棱锥的表面积为 . 15．已知在空间四边形ABCD中，，，且． (1)求点A到平面BCD的距离； (2)AC与平面BCD所成角的大小． 【答案】(1) (2)AC与平面BCD所成角的大小为30° 【分析】（1）根据侧棱相等可得点A在平面BCD上的射影O是的外心，从而确定点O为的中点,即得为点A到平面BCD的距离，计算即得； （2）利用（1）的结论可得∠ACO是AC与平面BCD所成的角，计算即得. 【详解】（1） 如图，因为，所以点A在平面BCD上的射影O是的外心， 又因为，所以O是斜边BD的中点， 故点A到平面BCD的距离等于． 在等腰中，，，所以， 即点A到平面BCD的距离为； （2）因为AO⊥平面BCD，所以∠ACO是AC与平面BCD所成的角， 在中，，所以AC与平面BCD所成角的大小为30° 题型四 直线到平面的距离 16．已知正四棱柱中，，，E为的中点，则直线与平面的距离为 ． 【答案】1 【分析】由题意可得线面平行，所求线面距可以转化为求点到面的距离，利用等体积法计算即可得． 【详解】连接、交于点，则为中点，又E为中点， 故，又平面，平面， 故平面，则到平面的距离等于到平面的距离， 则， 在中，，， 边上的高，所以， 设三棱锥的高为， 所以，利用等体积法， 得，解得. 故答案为：1. 17．如图，已知正方体的棱长为1． （1）点到平面的距离为 ； （2）直线和平面的距离为 ； （3）直线和平面的距离为 ． 【答案】 1 1 / 【分析】（1）由平面即可作答；（2）（3）证明线面平行即可计算作答. 【详解】（1）在正方体中，平面，所以点到平面的距离为； （2）在正方体中，连接，如图， ，，则四边形是平行四边形，有， 而平面，平面，则有平面， 于是得直线和平面的距离等于点到平面的距离， 因平面，则点到平面的距离为， 所以直线和平面的距离为1； （3）在正方体中，连接，， 而平面，平面，则平面， 因此直线和平面的距离等于点到平面的距离， 连，由正方形得，而平面，平面， 因此，因，平面，则平面，而， 所以直线和平面的距离为. 故答案为：1；1； 18．如图，和都是边长为2的等边三角形，，平面BCD． (1)证明：平面ACD； (2)求直线EB到平面ACD的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）如图，利用勾股定理的逆定理可得，结合线面垂直的判定定理可得平面BCD，进而，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）由（1）知确定点面距，根据线面垂直的判定定理可得平面ACD，求出即可. 【详解】（1）如图，取CD的中点O，连接AO，BO． 因为和都是边长为2的等边三角形， 所以，，且． 又，所以，所以． 又，BO，平面BCD，所以平面BCD． 因为平面BCD，所以． 又平面ACD，平面ACD，所以平面ACD． （2）由（1）知，平面ACD， 所以直线EB到平面ACD的距离等于点B到平面ACD的距离． 由（1）知，，， 又，AO，平面ACD，所以平面ACD， 所以BO的长为直线EB到平面ACD的距离． 由（1）知，所以直线EB到平面ACD的距离为． 19．已知在长方体中，棱，．求： (1)点到平面的距离； (2)到平面的距离． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）先应用线面垂直判定定理得出平面，再应用三角形计算求解点到平面距离即可； （2）先应用线面平行判定定理得出平面，结合（1）得出点到平面距离即可. 【详解】（1）如图，过点作于点． 由题意知平面，且平面，． 平面，平面，线段的长即为所求． 在中，， 点到平面的距离为． （2），且平面，平面， 平面．点到平面的距离即为所求， 直线到平面的距离为． 20．如图，在长方体中，.    (1)求顶点到平面的距离； (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据点到平面的距离公式求解； （2）可得∥平面，问题转化为求点到平面的距离，根据点到平面的距离公式求解． 【详解】（1）如图，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则． 所以． 设平面的法向量为， 则， 取， 从而得到平面的一个法向量为． 因为，根据点到平面的距离公式知， 点到平面的距离为： . （2）由（1）, 又， 所以，所以∥， 又平面，平面， 从而∥平面， 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离． 因为，且由（1）平面的法向量， 所以直线到平面的距离为： ． 题型五 平面间的距离 21．如图，长方体中，，，，则 （1）点到平面的距离为 ； （2）直线到平面的距离为 ； （3）平面与平面之间的距离为 . 【答案】 【解析】根据长方体结构特征，确定垂直关系，再由题中条件，即可分别求出结果. 【详解】（1）因为在长方体中，，， 又，平面，平面， 所以平面，因此点到平面的距离为； （2）因为在长方体中，，， 又，平面，平面， 所以平面，又， 所以为直线与平面的公垂线， 因此直线到平面的距离为； （3）因为在长方体中，侧棱和底面垂直， 即平面，平面， 所以平面与平面之间的距离为； 故答案为：；；. 【点睛】本题主要考查长方体中，点到面、线到面，面到面的距离，熟记长方体结构特征即可，属于常考题型. 22．如图，在正方体中，棱长为1，E为的中点.求： (1)到平面的距离； (2)到平面的距离； (3)平面与平面的距离． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）构建空间直角坐标系，应用向量法求点面距； （2）将问题化为求到面的距离，应用向量法求点面距； （3）利用线面垂直的判定及性质得到面，面，面面，进而求、的高及，即得平面间的距离. 【详解】（1）构建如下图示的空间直角坐标系，则， 所以，， 若是面的一个法向量，则， 令，则， 所以到平面的距离； （2）由正方体的性质易得，平面，平面， 故平面， 所以到面的距离，即为到平面的距离，而， 则到平面的距离； （3）由正方体得，又面，面，则， 由且都在平面，故平面，而平面， 所以，同理可证， 由且都在面，则平面， 同理可证平面，显然平面平面， 令的高为，而， 所以，同理的高也为， 而，故平面与平面的距离为. 23．直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．      (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）法一：由面面平行的判定定理即可证明；法二：如图所示，建立空间直角坐标系，通过证明，再由面面平行的判定定理即可证明. （2）法一: 平面与平面的距离到平面的距离,再由等体积法即可求出答案. 法二:求出平面的法向量,，平面与平面的距离等于到平面的距离，由点到平面的距离公式即可求出答案. 【详解】（1）法一:证明：连接分别为的中点， 分别是的中点， ，平面，平面， 平面，平行且等于， 是平行四边形，， 平面，平面，平面， ，平面平面； 法二: 如图所示，建立空间直角坐标系，    则， ， ， ，，， 平面，平面，平面， 平面，平面，平面， 又，平面平面， （2）法一:平面与平面的距离到平面的距离． 中，，，， 由等体积可得，． 法二: 设平面的一个法向量为， 则，则可取， ， 平面与平面的距离为 24．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面之间的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）由平面，AE∥平面，且，即可证得平面平面； （2）先将平面与平面之间的距离转化为点B到面的距离，然后把当作顶点求出总体积，再把当作顶点利用等体积法建立方程，即可求出点到平面的距离 【详解】（1）证明：∵正方体中E，F分别为，的中点， ∴∥，= ∴四边形是平行四边形. ∴. 又平面，平， ∴平面. ∵∥，= ∴四边形是平行四边形. ∴. 又平向，平面， ∴AE∥平面. 又∵， ∴平面平面. （2）平面与平面之间的距离也就是点B到面的距离，设为h， ∵正方体的棱长为2， ∴，， ∴的面积 ∴三棱锥的体积，. 又三棱锥的体积. 由可得， 解得. ∴平面与平面之间的距离为. 【点睛】此题考查空间位置关系、面面距离的计算、面面平行的判定、等体积求距离，考查推理能力和计算能力，属于中档题 25．如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，EF与相交于H． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求平面EGF与平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得,进而推出，再结合的边长，利用勾股定理即可推出，最后结合线面垂直的判定定理即可完成证明； （2）根据是的中位线，即可证明，再利用，即可证明，再根据题意条件，证明，最后利用面面平行的判定定理即可完成证明； （3）由（2）可知，平面平面，而，因此平面EGF与平面的距离就是两条平行线之间的距离，再结合四边形的边角关系，可得是的公垂线，即为两个平面之间的距离，求出即可完成距离的求解. 【详解】（1）在直三棱柱中, ，交线为，而，，，， 根据已知条件可得，为的中点，，，结合勾股定理可得，，所以平面. （2）如图所示，取的中点，连接，，，为的中点，而为的中点，为的中位线，，又，且，，，，， F、G分别是、的中点，是的中位线，， 在直三棱柱中，，，，，又，平面平面. （3）由平面平面，EF与相交于H，又 平面，平面，两平面之间的距离即为H到平面的距离，即， ， ∽，，， 故平面EGF与平面的距离为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.6.2 直线与平面垂直 第2课时 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 直线与平面垂直的性质定理及应用 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 注意点： (1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法. (2)直线与平面垂直的性质定理揭示了空间中平行与垂直关系的内在联系，提供了垂直与平行关系转化的依据. (3)其逆定理也成立：即两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. 知识点2 空间中的距离问题 1.直线与平面的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. 2.平面与平面的距离 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 思路方法总结 1.证明线线平行常用的方法 (1)利用线线平行的定义：证共面且无公共点. (2)利用平面几何的知识：三角形中位线、平行四边形、平行线分线段成比例定理等. (3)利用三线平行基本事实：证两线同时平行于第三条直线. (4)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行. (5)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. (6)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行. 2.空间中距离的转化 (1)利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离. (2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(或等分点)转化为另一点到平面的距离. (3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高. 典例·举一反三 题型一 线面垂直的性质定理 1．已知三条不同的直线a，b，l以及两个不同的平面，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．下列命题正确的是（    ） A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B．若直线平面，直线平面，则∥ C．直线与平面所成角的取值范围是 D．若直线与平面所成的角为，直线与平面内的直线所成的角为，则总有 3．在长方体中，点是平面内异于点的一点，平面，且平面，则与的位置关系是 ． 4．如图，在直三棱柱中，，D，E分别是棱BC，上的点（点不同于点），且平面，F为的中点．求证：直线平面． 5．如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点. (1)求证：平面； (2)求证：. 题型二 线面垂直证明线线垂直 6．如图，在正四棱柱中，，，M是的中点． (1)求证：平面； (2)证明：； 7．如图所示，在梯形中，，，，平面，，，，为中点. (1)证明：平面； (2)证明：； 8．如图，底面是正方形的直棱柱中，，. (1)求直线与平面ABCD所成角的正切值； (2)求证：. 9．如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，，． (1)若AD平面PBC，证明：； (2)在我国古代数学典籍《九章算术》中，记载了一种特殊的三棱锥——鳖臑，其四个面均为直角三角形，找出本题图中的一个鳖臑，并计算它的体积和表面积． 10．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且，为侧棱的中点. (1)求四棱锥的体积； (2)证明：平面； (3)证明：. 题型三 点到面的距离 11．如图，点C在圆锥PO的底面圆O上，AB是直径，AB=8，∠BAC=30°，圆锥的母线与底面成的角为60°，则点A到平面PBC的距离为（　　）    A． B． C． D． 12．如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，是棱的中点.求点到平面的距离等于 13．已知长方体的棱，． (1)求点和点D的距离； (2)求点A到平面的距离． 14．如图，已知三棱锥中，PA垂直于平面ABC，，，，． (1)求点A到平面PBC的距离； (2)求三棱锥的表面积． 15．已知在空间四边形ABCD中，，，且． (1)求点A到平面BCD的距离； (2)AC与平面BCD所成角的大小． 题型四 直线到平面的距离 16．已知正四棱柱中，，，E为的中点，则直线与平面的距离为 ． 17．如图，已知正方体的棱长为1． （1）点到平面的距离为 ； （2）直线和平面的距离为 ； （3）直线和平面的距离为 ． 18．如图，和都是边长为2的等边三角形，，平面BCD． (1)证明：平面ACD； (2)求直线EB到平面ACD的距离． 19．已知在长方体中，棱，．求： (1)点到平面的距离； (2)到平面的距离． 20．如图，在长方体中，.    (1)求顶点到平面的距离； (2)求直线到平面的距离. 题型五 平面间的距离 21．如图，长方体中，，，，则 （1）点到平面的距离为 ； （2）直线到平面的距离为 ； （3）平面与平面之间的距离为 . 22．如图，在正方体中，棱长为1，E为的中点.求： (1)到平面的距离； (2)到平面的距离； (3)平面与平面的距离． 23．直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．      (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的距离． 24．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面之间的距离. 25．如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，EF与相交于H． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求平面EGF与平面的距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$