8.6.2直线与平面垂直 第1课时（3知识点+5题型）2024-2025学年第二学期高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第二册）

8.6.2 直线与平面垂直 第1课时 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 直线与平面垂直的定义 1.直线与平面垂直的定义及画法 定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关 概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 2.过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. 知识点2 直线与平面垂直的判定定理及应用 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 m⊂α，n⊂α，m∩n=P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α 图形语言 简记 线线垂直，线面垂直 知识点3 直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，如图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角　 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90° 思路方法总结 1.直线与平面垂直的定义的理解 直线与平面垂直的定义具有两重性，既是判定又是性质.①是判定，指它是判定直线与平面垂直的方法；②是性质，指如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任何一条直线，即“l⊥α，a⊂α⇒l⊥a”.这是证明线线垂直的一种方法. 2.证明线面垂直的方法 (1)由线线垂直证明线面垂直： ①定义法(不常用)；②判定定理(最常用)，要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直. (2)平行转化法(利用推论)： ①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β. 3.求直线与平面所成的角的步骤 (1)作(找)——作(找)出直线和平面所成的角. (2)证——证明所作或找到的角就是所求的角. (3)求——常用解三角形的方法(通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形). (4)答. 典例·举一反三 题型一 线面垂直的判断 1．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是（    ） A．平行； B．垂直； C．斜交； D．不能确定． 2．设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则下列说法对的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 3．已知、表示两条不同的直线，表示平面，则下面四个命题正确的是（   ） ①若，，则；            ②若，，则； ③若，，则；            ④若，，则． A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 4．已知在正方体中，，交于点，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D． 5．在正四棱锥中，E，F，G分别是棱，，的中点，是底面的中心，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 题型二 线面垂直的判定 6．如图，直角三角形ABC所在平面外有一点，且，为斜边的中点.求证:平面. 7．如图，在正方体中，E是的中点，AC与BD的交点为O，求证：平面．    8．如图，AB是圆柱体的一条母线，BC为底面圆O的直径，D是圆O上不与B、C重合的任意一点． (1)求证：平面ABD； (2)若，，求三棱锥的体积． 9．点P是菱形ABCD所在平面外一点，，，．    (1)求证：PA⊥平面ABCD； (2)求棱锥的体积． 10．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积. 题型三 补全线面垂直的条件 11．已知是不重合的平面，l是直线，给出下列条件：①；②；③；④；⑤．当满足条件 时，有；当满足条件 时，有．（填序号） 12．在三棱锥中，，，点E是边上的一点，当 时，平面. 13．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．当＝ 时，D1E⊥平面AB1F． 14．如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC=2，=3，D是的中点，点F在线段上，当AF= 时，CF⊥平面. 15．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点． （1）求证：BM//平面PAD． （2）平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由． 题型四 直线与平面的夹角计算 16．如图，在正四棱台中，已知，，则侧棱与底面ABCD所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 17．在四面体中，平面，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 18．（多选）如图，正方体的棱长为1，且M，N分别为AC，的中点，则下列说法正确的是（   ） A．平面 B． C．直线MN与平面ABCD所成的角为 D．三棱锥的体积为 19．已知正方体． (1)求与平面所成角的大小； (2)求与平面所成角的大小． 20．如图，在正方体中． (1)求直线和平面所成的角； (2)求直线和平面所成的角． 题型五 线面角的最值与范围问题 21．在如图的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB＝3，点M是侧面BCC'B'内的动点，满足AM⊥BD'，设AM与平面BCC'B'所成角为θ，则tanθ的最大值为（    ） A． B． C． D． 22．如图，在正方体中，点是线段上任意一点，则与平面所成角的正弦值不可能是（    ）    A． B． C． D．1 23．如图，在正方体中，点O为线段BD的中点.设点P在线段上，直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．在正方体 中，点是平面内一动点，满足，设直线与平面所成角的最大值为 . 25．如图，正方形边长为4，E为中点，F是边上的动点.将沿翻折到，沿翻折到，若，连接，设直线与平面所成角为，则的最大值为 .    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.6.2 直线与平面垂直 第1课时 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 直线与平面垂直的定义 1.直线与平面垂直的定义及画法 定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关 概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 2.过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. 知识点2 直线与平面垂直的判定定理及应用 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 m⊂α，n⊂α，m∩n=P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α 图形语言 简记 线线垂直，线面垂直 知识点3 直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，如图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角　 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90° 思路方法总结 1.直线与平面垂直的定义的理解 直线与平面垂直的定义具有两重性，既是判定又是性质.①是判定，指它是判定直线与平面垂直的方法；②是性质，指如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任何一条直线，即“l⊥α，a⊂α⇒l⊥a”.这是证明线线垂直的一种方法. 2.证明线面垂直的方法 (1)由线线垂直证明线面垂直： ①定义法(不常用)；②判定定理(最常用)，要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直. (2)平行转化法(利用推论)： ①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β. 3.求直线与平面所成的角的步骤 (1)作(找)——作(找)出直线和平面所成的角. (2)证——证明所作或找到的角就是所求的角. (3)求——常用解三角形的方法(通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形). (4)答. 典例·举一反三 题型一 线面垂直的判断 1．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是（    ） A．平行； B．垂直； C．斜交； D．不能确定． 【答案】B 【分析】在平面内作出与异面直线平行的相交直线，再结合线面垂直的判定定理求解即可. 【详解】我们设异面直线为，平面为，设另一直线为， 由题意得，，， 过作平面使得，则，故， 过作平面使得，所以， 因为异面，所以与相交且在平面内，所以，故B正确. 故选：B 2．设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则下列说法对的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，，，，只有直线与相交时，可得，所以A不正确；     对于B中，由，，，则与平行、相交或异面，所以B错误； 对于C中，由，，，则，所以C错误； 对于D中，由，，可得，又因为，所以，所以D正确. 故选：D. 3．已知、表示两条不同的直线，表示平面，则下面四个命题正确的是（   ） ①若，，则；            ②若，，则； ③若，，则；            ④若，，则． A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】D 【分析】借助长方体模型考察直线是否可在平面内，可判断①②；在平面内取两条相交直线m，n，根据线面垂直判定定理可判断③；利用线面平行的性质定理和异面直线夹角定义可判断④. 【详解】长方体中，平面为平面，直线BC为直线b，如图， 当直线AD为直线a时，满足，，而，①不正确； 当直线为直线a时，满足，，而，②不正确； 在平面内取两条相交直线m，n，如图，因，则， 而，则，又，m，n是相交直线，∴，③正确； 因，过直线b作平面，如图， 则有，又，，于是得，从而得，④正确， ∴给定命题正确的是③④. 故选：D. 4．已知在正方体中，，交于点，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D． 【答案】C 【分析】利用线面平行的判定定理证明C，根据平面说明A，利用平面说明B，由说明D. 【详解】连接，作出图形如图所示， 因为且，所以为平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面， 同理可证，即可证明平面， 又，平面，所以平面平面， 故平面，故C正确； 对于A，因为，平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，而与不平行，所以不垂直于平面，故A错误； 对于B，同理可证平面，而与不平行，所以不垂直于平面，故B错误； 对于D，易知，而，，共面且与不平行，所以不垂直于，故D错误． 故选：C． 5．在正四棱锥中，E，F，G分别是棱，，的中点，是底面的中心，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】C 【分析】令，利用线面平行的判定推理判断CD；证明与相交不垂直判断AB. 【详解】在正四棱锥中，，令，连接， 在中，由E，F分别是边的中点，得，是线段的中点， 而为的中点，则，又平面，平面， 因此平面，C正确，D错误； 由平面，平面，得，与相交不垂直， 又，且平面，因此与相交不垂直，AB错误. 故选：C 题型二 线面垂直的判定 6．如图，直角三角形ABC所在平面外有一点，且，为斜边的中点.求证:平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】证明如下：因为，为斜边的中点， 所以， 在直角中，有，已知， 所以，所以，即. 又平面， 所以平面. 7．如图，在正方体中，E是的中点，AC与BD的交点为O，求证：平面．    【答案】证明见解析. 【分析】根据给定条件，结合勾股定理逆定理证得，再利用线面垂直性质、判定推理即得. 【详解】在正方体中，连接，令棱长， 由，得，在中，， 在中，，则， 即有，由平面，平面，则， 又，平面，于是平面， 而平面，则，又平面， 所以平面.    8．如图，AB是圆柱体的一条母线，BC为底面圆O的直径，D是圆O上不与B、C重合的任意一点． (1)求证：平面ABD； (2)若，，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)80 【分析】（1）运用线面垂直的判定定理证明即可； （2）平面BCD，运用等体积法，结合三棱锥体积公式求解即可. 【详解】（1）∵点D在以BC为直径的圆上， ∴，∵平面BCD，平面BCD， ∴．又，平面ABD，平面ABD，∴平面ABD． （2）在中， ∵，∴． 又由题意知平面BCD， ∴AB为三棱锥的一个高， ∴． 9．点P是菱形ABCD所在平面外一点，，，．    (1)求证：PA⊥平面ABCD； (2)求棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线段关系可证，，结合线面垂直的判定定理即可证明； （2）由（1）知为四棱锥的高，利用棱锥的体积公式计算即可. 【详解】（1）∵ABCD是菱形，且，， ∴． 在中，，，， 所以，则，同理得. 又，，面， ∴平面ABCD. （2）由（1）知为四棱锥的高， 所以. 10．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接交于点，连接，利用中位线的性质得线线平行，即可证明线面平行； （2）利用线面垂直的性质与判定定理得，结合等腰三角形的性质即可得线面垂直； （3）利用等体积法及三棱锥的体积公式计算即可. 【详解】（1）连接交于点，连接， 由底面是正方形，故为中点， 又点为线段的中点，故， 又平面，平面， 故平面；    （2）由点为线段的中点，，故， 由平面，平面，故， 又底面是正方形，故， 又、平面，， 故平面，又平面， 故，又、平面，， 故平面； （3）由点为线段的中点，故点与点到平面距离相等， 故. 题型三 补全线面垂直的条件 11．已知是不重合的平面，l是直线，给出下列条件：①；②；③；④；⑤．当满足条件 时，有；当满足条件 时，有．（填序号） 【答案】 ③⑤ ②⑤ 【分析】由面面平行的性质与线面垂直的判定求解即可 【详解】若，，则有； 若，，则有； 故答案为：③⑤；②⑤ 12．在三棱锥中，，，点E是边上的一点，当 时，平面. 【答案】2 【分析】根据线面垂直的判定定理证明． 【详解】当时，平面，证明如下： 证明，时，是中点， 因为，，所以， 又平面，所以平面． 故答案为：． 13．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．当＝ 时，D1E⊥平面AB1F． 【答案】1 【分析】要D1E⊥平面AB1F，先确定D1E⊥平面AB1F内的两条相交直线，由三垂线定理易证D1E⊥AB1，同理证明D1E⊥AF即可． 【详解】解：连接A1B，则A1B是D1E在面ABB1A内的射影， ∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1， 于是D1E⊥平面AB1F，又平面AB1F，所以D1E⊥AF． 连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影． ∴D1E⊥AF，，因为，所以平面， 又平面，所以DE⊥AF． ∵ABCD是正方形，E是BC的中点． ∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF， 即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F． ∴＝1时，D1E⊥平面AB1F． 故答案为：1. 14．如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC=2，=3，D是的中点，点F在线段上，当AF= 时，CF⊥平面. 【答案】1或2/2或1 【分析】由已知判断平面，然后说明，设，通过勾股定理可求出. 【详解】由已知得平面，又平面，所以， 若CF⊥平面，则必有， 设，则，，， 所以由得，解得或2， 所以当或2时，CF⊥平面. 故答案为：1或2. 15．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点． （1）求证：BM//平面PAD． （2）平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在；N为AE的中点． 【分析】（1）取PD的中点E，连接EM，AE，由中位线性质可证ABME是平行四边形，根据线面平行的判定可证BM∥平面PAD． （2）由线面垂直的判定及性质可得PD⊥平面ABME，作MN⊥BE，交AE于点N，由线面垂直的性质得MN⊥PD，即有MN⊥平面PBD，利用△BME∽△MEN得到线段比例关系证N为AE的中点. 【详解】（1）证明：取PD的中点E，连接EM，AE，则有且，而且， ∴，. ∴四边形ABME是平行四边形，即BM∥AE． ∵AE⊂平面PAD，BM⊄平面PAD， ∴BM∥平面PAD． （2）解：当N为AE的中点时，MN⊥平面PBD．理由如下： ∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD， ∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD＝A，即AB⊥平面PAD， ∵PD⊂平面PAD， ∴AB⊥PD，又PA＝AD，E是PD的中点，即AE⊥PD，而AB∩AE＝A， ∴PD⊥平面ABME． 作MN⊥BE，交AE于点N， ∴MN⊥PD，又PD∩BE＝E， ∴MN⊥平面PBD． 易知△BME∽△MEN，而， ∴，即，而， ∴N为AE的中点． 【点睛】关键点点睛： （1）由中位线性质证平行四边形，根据线面平行的判定证线面平行； （2）综合应用线面垂直的判定及性质证MN⊥平面PBD，结合三角形相似确定N的位置. 题型四 直线与平面的夹角计算 16．如图，在正四棱台中，已知，，则侧棱与底面ABCD所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线面角的定义作出线面角的平面角即可求解. 【详解】过，，，四点作正四棱台的截面图，如图所示，为等腰梯形， 过点作于点M，过点作于点N， 由线面角的定义可知，侧棱与底面ABCD所成角即为， 由条件可得，，，， 则，， 则，所以． 故选：B. 17．在四面体中，平面，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用解三角形建立四面体中边角关系得到方程组，从而解出，再由线面角的定义得出本题答案. 【详解】设，， 则， 则， 由②③可得代入①得 ， ∵，∴，∴， ∵平面，∴则直线与平面所成角为. ∴ 故选：A 18．（多选）如图，正方体的棱长为1，且M，N分别为AC，的中点，则下列说法正确的是（   ） A．平面 B． C．直线MN与平面ABCD所成的角为 D．三棱锥的体积为 【答案】ABC 【分析】对于A，由可判断选项正误；对于B，由A，通过说明可判断选项正误；对于C，由A可得MN与平面ABCD所成的角即与平面ABCD所成的角，据此可判断选项正误；对于D，由可判断选项正误. 【详解】对于A，因为M，N分别为AC，的中点，所以． 又平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，因为平面，平面，所以，又， 所以，故B正确； 对于C，因为，所以MN与平面ABCD所成的角即与平面ABCD所成的角．又平面ABCD，所以是与平面ABCD所成的角． 又，，所以，即直线MN与平面ABCD所成的角为，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：ABC 19．已知正方体． (1)求与平面所成角的大小； (2)求与平面所成角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平面可得与与平面所成角相等，计算出即可得解； （2）借助线面垂直的性质定理与判定定理可得平面，则可得与与平面所成角相等，计算出即可得解. 【详解】（1）连接，由正方体的性质可知平面， 则与与平面所成角相等， 又，故与平面所成角的大小； （2）连接，设其与交于，连接，则，又平面， 平面，故，又、平面， ，故平面， 则与与平面所成角相等， 又， 故与平面所成角的大小. 20．如图，在正方体中． (1)求直线和平面所成的角； (2)求直线和平面所成的角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正方体性质，知道平面，则就是与平面所成的角，计算即可． （2）连接，与相交于点，连接.证明为斜线在平面上的投影，则为和平面所成的角．再结合锐角三角函数解题即可. 【详解】（1）根据正方体性质，平面，就是与平面所成的角， 在中，，， ，和平面所成的角是． （2）连接，与相交于点，连接，如图所示．设正方体的棱长为． 平面，平面，， 又，，，平面，平面， 为斜线在平面上的投影，为和平面所成的角． 在中，，， ．． 直线和平面所成的角为． 题型五 线面角的最值与范围问题 21．在如图的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB＝3，点M是侧面BCC'B'内的动点，满足AM⊥BD'，设AM与平面BCC'B'所成角为θ，则tanθ的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构建以为原点，分别为轴的正方向构建空间直角坐标系，根据正方体棱长标识，令结合AM⊥BD'有且，而AM与平面BCC'B'所成角的平面角为，即有，即可求tanθ的最大值. 【详解】如下图，以为原点，分别为轴的正方向构建空间直角坐标系， 则有，令， ∴，，又AM⊥BD'，有且， AM与平面BCC'B'所成角为θ，即，而， ∴，， ∴当时，， 故选：B. 【点睛】本题考查了利用空间向量求线面角的最值，综合应用了向量垂直的坐标公式，线面角，以及利用二次函数求最值. 22．如图，在正方体中，点是线段上任意一点，则与平面所成角的正弦值不可能是（    ）    A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出与平面所成角的余弦值范围，即可得出正弦值的范围. 【详解】以为原点建立空间直角坐标系如图：设棱长为1， 则，设， 所以，平面的法向量为 ， 所以则与平面所成角的正弦值取值范围为. 对比各选项，C项不可能. 故选：C    23．如图，在正方体中，点O为线段BD的中点.设点P在线段上，直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方体的棱长，表达出，判断在是严格减函数，从而求出最值，得出取值范围. 【详解】设正方体的棱长为2，建立如图空间直角坐标系. 则，设， 得， 设平面的法向量为， 得，取，得， 所以 ， 因为，所以在上单调递减， 且， 由复合函数的单调性可知在单调递增， 所以的值在时是随着a的增大而减小， 故当时，取得最小值，为； 故当时，取得最大值，为； 所以的取值范围为. 故选：C 24．在正方体 中，点是平面内一动点，满足，设直线与平面所成角的最大值为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，根据，得到，即点P表示以为圆心，以为半径的圆在正方形一部分， 再根据平面，得到是直线与平面所成的角，然后由，利用点与圆的位置关系求得的最小值即可. 【详解】 建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,，, ，因为，所以， 即，所以点P的轨迹为以为圆心，以为半径的圆在正方形一部分， 所以，因为平面， 所以是直线与平面所成的角，然后由, 所以的最大值为1，即直线与平面所成角的最大值为. 故答案为： 25．如图，正方形边长为4，E为中点，F是边上的动点.将沿翻折到，沿翻折到，若，连接，设直线与平面所成角为，则的最大值为 .    【答案】 【分析】设S在面AEF上的射影为O，则为直线SE与平面DEF所成角．设，利用体积法，由求得，从而得的表达式，结合换元法及函数的单调性求出的最大值． 【详解】设S在面AEF上的射影为，连接EO，则为直线SE与平面DEF所成角．       设，则． ． 在中，，． 可得， ， 由于平面，则平面. ，又， 则. ， 令， 令， ， 当且时，，则， 可得在上单调递减， 当，即时，最大为，最大值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$