精品解析：浙江省杭州市淳安县2024-2025学年九年级下学期期中检测数学试题

2024学年第二学期期中学业水平测试 九年级数学试题卷 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写学校、姓名、考场号、座位号，并填涂准考证号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效，答题方式详见答题纸上的说明． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 如图是由立方体叠成的立体图形，从正面看，得到的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从正面看，由前向后观察的视图叫做主视图，根据定义判断即可． 【详解】解：观察立体图形可得：从正面看，一共有两层，底层有2个小正方形，上层有一个小正方形，且在左边，则由前向后观察的视图为：． 故选B． 【点睛】本题考查了三视图的知识，熟练掌握主视图的定义是解题关键． 3. 据新华社年月日报道，从商务部获悉，截至月日，我国电动自行车以旧换新共交售旧车、换购新车各万辆，万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键； 根据科学记数法的表示方法求解即可； 【详解】解：万用科学记数法表示为； 故选：C 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、相除法则，幂的乘方以及合并同类项，根据相关内容性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是正确的，符合题意； B、，故该选项是错误，不符合题意； C、，故该选项是错误的，不符合题意； D、，故该选项是错误的，不符合题意； 故选：A 5. 一组数据5，4，3，6，6的中位数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：从小到大排列此数据为：3，4，5，6，6， ∵第3个数据为5， ∴中位数为5． 故选：C． 【点睛】本题属于基础题，主要考查是中位数的定义，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 6. 某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品，已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同若设乙工人每小时搬运x件电子产品，可列方程为　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运件电子产品，根据甲的工效乙的工效，列出方程即可． 【详解】乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运件电子产品， 依题意得：， 故选C． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，根据关键描述语句找到合适的等量关系是解决问题的关键． 7. 已知A（n，y1），B（n+1，y2），C（n+2，y3）是反比例函数y图象上的三点．若y3＞y1＞y2，则n的取值范围为（　　） A. n＜﹣2 B. ﹣2＜n＜﹣1 C. ﹣1＜n＜0 D. n＞0 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出A（n，y1），B（n+1，y2）在第三象限，C（n+2，y3）在第一象限，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征，以及反比例函数的性质即可得到结论． 【详解】解：∵反比例函数y中，k＝20＞0， ∴反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵A（n，y1），B（n+1，y2），C（n+2，y3）是反比例函数y图象上的三点，且y3＞y1＞y2， ∴A（n，y1），B（n+1，y2）在第三象限，C（n+2，y3）在第一象限， ∴， ∴﹣2＜n＜﹣1， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质、解一元一次不等式组，确定三点所处的象限是解题的关键． 8. “赵爽弦图”被誉为“中国数学界的图腾”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形， 如图，连接，若大正方形的面积为的面积为8，则小正方形的面积是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据大正方形ABCD的面积为25，得到，根据的面积为8，得到(负值舍去)，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：设， 大正方形ABCD的面积为25， ， ， 的面积为8， ， (负值舍去)， ， 小正方形EFGH的面积， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等图形的性质，正方形的性质，三角形面积的求法，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 9. 关于二次函数的下列说法中，正确的是（ ） A. 该二次函数的图象都经过和． B. 当时，该二次函数的最小值为2． C. 将该二次函数的图象向左平移1个单位，则当或时，． D. 设该二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为，则． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．先求得该二次函数的图象经过点，求得对称轴为直线，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：当时，，即该二次函数的图象经过点， 当时，，则该二次函数的图象经过点，故选项 A 不正确； ∴该二次函数图象的对称轴为直线， ∵， ∴当时，该二次函数取到最小值，最小值小于2，故选项 B 不正确； ∵该二次函数的图象经过点，将该二次函数的图象向左平移 1 个单位，则经过点， ∴则当时，，故选项C不正确； ∵该二次函数的图象经过点，开口向上，且二次函数与轴的两个交点的横坐标分别为， ∴，故选项D正确， 故选：D． 10. 如图，等边三角形由三个全等的钝角三角形（），和一个等边三角形组合而成，连接．设，若，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键：过点B作的垂线，垂足为M，设，在中，求出的长，进而得到的长，根据，列出方程求出的值，再根据同高三角形的面积比等于底边比，进行求解即可． 【详解】解：过点B作的垂线，垂足为M， ∵是等边三角形 ∴， ∵三个三角形全等， ∴， 设， 在中，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴； 故选：C 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式=____________． 【答案】． 【解析】 【分析】直接提取公因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查提公因式法因式分解，要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 12. 不等式的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集即可． 【详解】解：， 移项得：， ∴． 故答案为：． 13. 已知扇形的半径长6，圆心角为120°，则该扇形的弧长等于________．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【详解】 14. 一个仅装有球的不透明布袋里只有个红球和个白球（仅有颜色不同）．从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，则两次摸到不同颜色球的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率，首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，再利用概率公式即可求得答案，熟练掌握列表法或树状图法求概率． 【详解】画树状图得： ， ∵共有种等可能的结果，两次摸到不同颜色球的有种情况， ∴两次摸到不同颜色球的概率是， 故答案为：． 15. 如图，是⊙O的切线，点B为切点，作交于点A，交⊙O于C，D两点，若，，则⊙O的半径长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线性质，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．连接，过点作于，证明四边形为矩形，在中，应用勾股定理得，，即得解． 【详解】解：连接，过点作于， 是⊙O的切线，点B为切点， ， ，， 四边形为矩形， 设半径为，则，，， 在中，应用勾股定理得，， ， 解得：， ⊙O的半径为5． 故答案为：5． 16. 如图，在平行四边形中，点E在边上，将沿翻折，使点B落在对角线上的点F处，延长交于点G，若，且，则的长是________． 【答案】## 【解析】 【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，折叠的性质，等腰三角形的判定，延长、交于点H，根据，得出，由折叠可知，得出，证出，证明，得出，解出，设，则，，可得，证明，得出，即．解得：，即可解答． 【详解】解：延长、交于点H， ∵， ∴， 由折叠可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 解得：（负值已舍去）， 故答案为：． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查实数的运算，原式先计算，然后再进行减法运算即可． 【详解】解： ． 18. 解方程组 【答案】 【解析】 【分析】先整理方程组，再用加减法解方程组. 【详解】解：方程组可化为 , ①-②,得 2x=-6, 所以，x=-3, 把x=-3代入②，得 -3×2-3y=1, 解得y= 所以，方程组的解是 【点睛】本题考核知识点：解二元一次方程组.解题关键点：先整理方程组，再用加减法. 19. 如图，在中，点是边上的一点. （1）请用尺规作图法，在内，求作，使，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求的值. 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 【分析】(1)以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交BA、BC于点F、G，以点D为圆心，以BF长为半径画弧，交DA于点M，再以M为圆心，以FG长为半径画弧，与前弧交于点H，过点D、H作射线，交AC于点E，由此即可得； (2)由(1)可知DE//BC ，利用平行线分线段成比例定理进行求解即可. 【详解】(1)如图所示； (2)∵， ∴. ∴. 【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，平行线分线段成比例定理，熟练掌握利用尺规作一个角等于已知角作图方法是解题的关键. 20. 某学校从九年级500名学生中随机抽取部分学生进行英语听力测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等级：，，制作了如图统计图（部分信息来给出）． 由图中给出的信息解答下列问题： （1）求测试成绩属C等级的学生人数，并补全频数分布直方图． （2）求扇形统计图中B等级所对应的扇形圆心角的度数． （3）如果该校九年级学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校九年级听力成绩获得D等级的学生有多少人？ 【答案】（1）60，图见解析 （2）扇形统计图中B等级所对应的扇形圆心角的度数为 （3）估计该校九年级听力成绩获得D等级的学生有75人 【解析】 【分析】本题考查直方图和扇形图，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）求出其它等级的人数之和以及所占的总的百分比，进而求出抽取的总人数，再求出等级的学生人数，补全直方图即可； （2）360度乘以等级的学生人数所占的比例，求解即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：（人）； 等级的学生人数为：（人）； 补全直方图如图： 【小问2详解】 ； 答：扇形统计图中B等级所对应的扇形圆心角的度数为； 【小问3详解】 （人）； 答：估计该校九年级听力成绩获得D等级的学生有75人． 21. 如图，在平行四边形中，，垂直平分分别交于点E，O，F． （1）判断四边形是何种特殊四边形？并说明理由． （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 解：四边形是菱形， 理由如下：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分， ∴四边形是菱形； （2）6 【解析】 【分析】（1）先证明，则，又由得到四边形是平行四边形，由垂直平分即可证明四边形是菱形； （2）先证明是直角三角形，则，则，得到，得到，则，即可得到菱形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积是． 【点睛】此题考查了菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理逆定理等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 22. 已知A，B两地相距120km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，乙骑自行车，甲骑摩托车．图1中DE，OC分别表示甲、乙离开A地的路程与时间的函数关系的图象，其中点F在OC上．请根据图象回答下列问题． （1）当乙出发后几小时甲追上了乙? （2）设甲、乙两人相距的路程为， ①如图2，补全其图象； ②当时，求对应t的值． 【答案】（1）1.8小时 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，从函数图象获取信息，画一次函数的图象，正确理解题意是解题的关键． （1）设甲距离A地的路程为，乙距离A地的路程为，分别求出关于时间的函数解析式，令，可求解； （2）①当时，；当时，，据此求出对应的函数解析式，即可补全图象；②根据①中求出的函数解析式解答即可． 【小问1详解】 解：设甲距离A地的路程为，乙距离A地的路程为， 设， 代入得： 解得：， ∴， 设，代入得， 解得：， ∴ 当时，， 解得， ∴当乙出发后1.8小时，甲追上了乙； 【小问2详解】 ①当时，； 当时，； 补全图象如图， ②解：当时，； 解得，， 当时，； 解得 ∴对应t的值为． 23. 新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为． （1）写出的表达式（用含a的式子表示）及顶点坐标： （2）若，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线于点M，N． ①当时，求点P的坐标； ②当时，的最大值与最小值的差为2a，求a的值． 【答案】（1）， （2）①或；②或 【解析】 【分析】本题考查二次函数背景下新定义类问题，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为：，利用待定系数法即可求解； （2）①设点P的横坐标为m，过点P作x轴的垂线分别交抛物线于点M，N，，得出进行求解即可； ②根据题意可知，需要分三种情况讨论，I、当且和Ⅱ、当且以及当进行分析求解． 【小问1详解】 解：根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为：， ∵， ∴的顶点坐标为； 【小问2详解】 ①设点P的横坐标为m， ∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线于点M，N， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∴或． ②∵的解析式为：， ∴当时，， 当时，， 当时，， 根据题意可知，需要分三种情况讨论， I、当且时，即， 函数的最大值为；函数的最小值为， ∴， 解得或 （舍）； Ⅱ、当且时，即， 函数的最大值为；函数的最小值为， ∴， 解得或（舍）： Ⅲ、当时，， 函数的最大值为，函数的最小值为； ∴， 解得（舍）； 综上，a的值为或． 24. 如图1，在中，，为直径，点E在上，连结、，其中． （1）求的度数． （2）如图2，当经过圆心O与交于点G时， ①若，求的值． ②若，求的值． 【答案】（1）； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先根据圆周角定理，得，运用得，即可作答； （2）①先得，再结合，，以及圆周角定理得证，运用勾股定理得，算出，结合等面积法，化简得，因为，故； ②延长交于点N，连结，先设，根据圆内接四边形以及邻补角互补得，再证明，，代入数值得，再证明∴，则，得， 结合，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵为直径， ∴，； 小问2详解】 解： ①连结交于点M， ∵， ∴， 由（1）得， ∵， ∴ ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②延长交于点N，连结， ∵， ∴设， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵都是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，圆内角四边形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期期中学业水平测试 九年级数学试题卷 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写学校、姓名、考场号、座位号，并填涂准考证号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效，答题方式详见答题纸上的说明． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 如图是由立方体叠成的立体图形，从正面看，得到的主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 据新华社年月日报道，从商务部获悉，截至月日，我国电动自行车以旧换新共交售旧车、换购新车各万辆，万用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一组数据5，4，3，6，6的中位数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品，已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同若设乙工人每小时搬运x件电子产品，可列方程为　　 A. B. C. D. 7. 已知A（n，y1），B（n+1，y2），C（n+2，y3）是反比例函数y图象上的三点．若y3＞y1＞y2，则n的取值范围为（　　） A. n＜﹣2 B. ﹣2＜n＜﹣1 C. ﹣1＜n＜0 D. n＞0 8. “赵爽弦图”被誉为“中国数学界的图腾”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形， 如图，连接，若大正方形的面积为的面积为8，则小正方形的面积是（ ） A. B. 1 C. D. 2 9. 关于二次函数下列说法中，正确的是（ ） A. 该二次函数的图象都经过和． B. 当时，该二次函数的最小值为2． C. 将该二次函数的图象向左平移1个单位，则当或时，． D. 设该二次函数与x轴两个交点的横坐标分别为，则． 10. 如图，等边三角形由三个全等的钝角三角形（），和一个等边三角形组合而成，连接．设，若，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式=____________． 12. 不等式的解为_______． 13. 已知扇形的半径长6，圆心角为120°，则该扇形的弧长等于________．（结果保留π） 14. 一个仅装有球的不透明布袋里只有个红球和个白球（仅有颜色不同）．从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，则两次摸到不同颜色球的概率是_____． 15. 如图，是⊙O的切线，点B为切点，作交于点A，交⊙O于C，D两点，若，，则⊙O的半径长是______． 16. 如图，在平行四边形中，点E在边上，将沿翻折，使点B落在对角线上的点F处，延长交于点G，若，且，则的长是________． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 解方程组 19. 如图，在中，点是边上的一点. （1）请用尺规作图法，在内，求作，使，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求的值. 20. 某学校从九年级500名学生中随机抽取部分学生进行英语听力测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等级：，，制作了如图统计图（部分信息来给出）． 由图中给出的信息解答下列问题： （1）求测试成绩属C等级的学生人数，并补全频数分布直方图． （2）求扇形统计图中B等级所对应的扇形圆心角的度数． （3）如果该校九年级学生都参加测试，请你根据抽样测试结果，估计该校九年级听力成绩获得D等级的学生有多少人？ 21. 如图，在平行四边形中，，垂直平分分别交于点E，O，F． （1）判断四边形何种特殊四边形？并说明理由． （2）求四边形的面积． 22. 已知A，B两地相距120km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，乙骑自行车，甲骑摩托车．图1中DE，OC分别表示甲、乙离开A地的路程与时间的函数关系的图象，其中点F在OC上．请根据图象回答下列问题． （1）当乙出发后几小时甲追上了乙? （2）设甲、乙两人相距的路程为， ①如图2，补全其图象； ②当时，求对应t的值． 23. 新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为． （1）写出的表达式（用含a的式子表示）及顶点坐标： （2）若，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线于点M，N． ①当时，求点P的坐标； ②当时，的最大值与最小值的差为2a，求a的值． 24. 如图1，在中，，为直径，点E在上，连结、，其中． （1）求的度数． （2）如图2，当经过圆心O与交于点G时， ①若，求的值． ②若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $