5.3.1函数的单调性课件 -2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章 <<< 5.3.1 函数的单调性 1.能根据函数的单调性求参数的取值范围. 2.进一步理解函数的导数和其单调性的关系，利用单调性比较大小、解不等式. 学习目标 提示　在x=0的左右两侧，都有f'(x)>0，且该函数在x=0处连续，故不会影响该 函数在R上是增函数. 对于函数f(x)=x3，我们发现，它的导函数f'(x)=3x2并没有恒大于0，当x=0时，有f'(0)=0，这是否会影响该函数的单调性？ 问题1 也就是说对于导函数有有限个等于0的点，不影响函数的单调性， 其实即便是无数不连续的点使得f'(x)=0，也不会影响函数的单调性， 比如f(x)=x-sin x，它的导函数f'(x)=1-cos x≥0恒成立， 当且仅当x=2kπ，k∈Z时，f'(x)=0，但这并不影响函数f(x)=x-sin x在R上是增函数. 提示　不是，因为这里的“≥”有两层含义，大于或等于， 对于函数y=f(x)，f'(x)≥0是f(x)为增函数的充要条件吗？ 问题2 对于这个复合命题而言，只要大于或等于这两个条件有一个成立， 它就是真命题，如果f'(x)≥0成立的条件是f'(x)=0， 即该函数无单调递增区间. 知识梳理 在某区间I上， 单调递增 单调递减 f'(x)≥0 f'(x)≤0 若f'(x)<0⇒函数f(x)在I上 . 若f'(x)>0⇒函数f(x)在I上 ； 在某区间I上， 若函数f(x)在I上单调递增⇒ ； 若函数f(x)在I上单调递减⇒ . 见课本P86 (1)一般采用分离参数的方法解决恒成立的问题； <<< (2)m≥f(x)恒成立⇔m≥f(x)max； m≤f(x)恒成立⇔m≤f(x)min； (3)需要对等号进行单独验证. 例 1 f'(x)=x2-a，因为f(x)是R上的增函数， 故f'(x)=x2-a≥0在R上恒成立， 即a≤x2，所以a≤0. 反 思 感 悟 (1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f'(x)≥0(或 f'(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，利用分离参数或函数性质解出参数的取值 范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f'(x)不恒 等于0的参数的范围，然后检验参数取“=”时是否满足题意. (2)若函数y=f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f'(x)=0在(a，b)上有解( 需验证解的两侧导数是否异号). (2)若函数f(x)=x3-12x在区间(k-1，k+1)上不单调，则实数k的取值范围是 A.(-∞，-3]∪[-1，1]∪[3，+∞) B.(-3，-1)∪(1，3) C.(-2，2) D.不存在这样的实数k √ 由题意得，f'(x)=3x2-12=0在区间(k-1，k+1)上至少有一个实数根. 又f'(x)=3x2-12=0的根为±2，且f'(x)在x=2或-2两侧导数异号， 而区间(k-1，k+1)的区间长度为2， 故只有2或-2在区间(k-1，k+1)内， ∴k-1<2<k+1或k-1<-2<k+1， ∴1<k<3或-3<k<-1，故选B. f'(x)=6x2+6x-36=6(x+3)(x-2). 故f(x)的单调递增区间是(-∞，-3)，(2，+∞)； (2)f(x)=2x3+3x2-36x+1. 令f'(x)=0，解得x=-3或x=2， x=-3和x=2把函数的定义域划分为三个区间， f'(x)在各个区间上的正负以及f(x)的单调性如表， 单调递减区间是(-3，2). 反 思 感 悟 利用导数求函数的单调区间的一般步骤 (1)确定函数y=f(x)的定义域. (2)求出导数f'(x)的零点. (3)用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间， 列表给出f'(x)在各区间上的正负， 由此得出函数y=f(x)的单调区间. 反 思 感 悟 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响 进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定 导数为0的点和函数的间断点. 　　　已知导函数f'(x)的下列信息：当x<0或x>7时，f'(x)>0；当0<x<7时，f'(x)<0；当x=0或x=7时，f'(x)=0，试画出函数f(x)的大致图象. 例 4 当x<0或x>7时，f'(x)>0， 可知函数f(x)在区间(-∞，0)和(7，+∞)上都是单调递增的； 当0<x<7时，f'(x)<0，可知函数f(x)在区间(0，7)上单调递减； 当x=0或x=7时，f'(x)=0，这两个点比较特殊，我们称它们为“临界点”. 故函数f(x)的大致图象如图所示. 反 思 感 悟 (1)由导函数图象画原函数图象的依据： 根据f'(x)>0，则f(x)单调递增，f'(x)<0，则f(x)单调递减. (2)由原函数图象画导函数图象的依据： 若f(x)单调递增，则f'(x)的图象一定在x轴的上方； 若f(x)单调递减，则f'(x)的图象一定在x轴的下方； 若f(x)是常函数，则f'(x)=0. 　　　　　(1)已知f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的 跟踪训练 4 √ 由题意可知，当x<0和x>2时，导函数f'(x)<0， 函数f(x)单调递减； 当0<x<2时，导函数f'(x)>0， 函数f(x)单调递增， 故函数f(x)的图象如图D. (2)设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f'(x)的图象可能为 √ ∵f(x)在(-∞，1)，(4，+∞)上单调递减，在(1，4)上单调递增， ∴当x<1或x>4时，f'(x)<0； 当1<x<4时，f'(x)>0. 课堂小结 1.知识清单： (1)函数的单调性与其导数的关系. (2)利用导数求函数的单调区间. (3)求含参数的函数的单调区间. (4)由导数的信息画函数的大致图象. 2.方法归纳： 方程思想、分类讨论. 3.常见误区： 忽略定义域的限制. 1.(多选)函数f(x)=(x-3)ex在下列区间上单调递增的是 A.(-∞，2) B.(0，3) C.(3，4) D.(2，+∞) ∵f'(x)=ex+(x-3)ex=(x-2)ex， √ √ 由f'(x)>0得(x-2)ex>0，∴x>2. ∴f(x)的单调递增区间为(2，+∞)，CD符合. √ 3.若函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是 √ 由f'(x)的图象可得，在(-∞，b)上，f'(x)≥0，在(b，+∞)上，f'(x)<0， 根据原函数图象与导函数图象的关系可得，f(x)在(-∞，b)上单调递增， 在(b，+∞)上单调递减， 可排除A，D； 且在x=0处，f'(x)=0， 即在x=0处，f(x)的切线的斜率为0， 可排除B，故选C. 4.函数f(x)=x+2cos x，x∈(0，π)的单调递减区间是　　　　. $$