1.1等腰三角形讲义2024-2025学年北师大版数学 八年级下册

第一章 三角形的证明 第一节 等腰三角形 知识点1：全等三角形的性质和判定 1、全等三角形的判定 （1）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 (SAS)； （2）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 (ASA)； （3）三边对应相等的两个三角形全等 (SSS). （4）两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS） 2、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等 【全等三角形的性质与判定考查】 例1、如图，1、如图，△ABC中 AB=AC， D为BC中点 求证：①△ABD≌△ACD．②∠BAD=∠CAD ③AD⊥BC 练习1、如图，已知AB=AC，E、D分别在AB、AC上，BD与CE交于点F，且∠ABD=�∠ACE 求证：BF=CF． 1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．AAS D．角平分线上的点到角两边距离相等 知识点2：等腰三角形的性质 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等（等边对等角） 推论：等腰三角形的顶角平分线、等边上的中线及底边上的高线互相重合（三线合一） 拓展：等腰三角形两个底角的平分线相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中线相等． 【等腰三角形的性质定理考查】 例1、如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC. （1）求∠ADB的度数； （2）若∠BAC=100°，求∠B，∠C的度数； （3）若BC=3cm，求BD的长. 练习1.如图,△ABC中,AB =AC,∠BAC = 120∘，AD是BC边上的中线，且BD = BE，则∠ADE的度数为____。 练习2、如图，在△ABC中，D在AC上，E在AB上，且AB =AC，BC = BD，AD =DE =BE，则∠A的度数为______。 【等腰三角形分类讨论考查】 例2、等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为______；若等腰三角形的一个角等于50°，则它的底角的度数为______. 练习1、一个等腰三角形的两个内角和为100∘,则它的顶角度数为__________. 2．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．12 B．15 C．12或15 D．18 3．如图，∠MON=43°，点A在射线OM上，动点P在射线ON上滑动， 要使△AOP为等腰三角形，那么满足条件的点P共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点3：等边三角形性质 等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°、三个边都相等。 【等边三角形的性质定理考查】 例1、如图，已知△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形。求证：AB∥CQ 练习1、如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形.求证:AE=CD 练习2、已知:如下图,P、Q是△ABC边BC上两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的度数. 练习3、如图①，M、N点分别在等边三角形的BC、CA边上，且BM=CN，AM、BN交于点Q． （1）求证：∠BQM=60°； （2）如图②，如果点M、N分别移动到BC、CA的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立? 若成立，给予证明；若不成立，说明理由． 知识点4：等腰三角形的判定 定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形 这一定理简述为：等角对等边 【等腰三角形的判定定理考查】 例1、如图所示，D为△ABC的边AB的延长线上一点，过D作DF⊥AC，垂足为F，交BC于E，且BD=BE，求证：△ABC是等腰三角形。 练习1、已知：AB=DC，BD=CA。求证：△AED是等腰三角形 练习2、如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E， �求证：△DBE是等腰三角形 变式1、已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM. 变式2．如图4－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足． （1）当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF． 图4－10 （2）如图4－11，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系． ①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD． 图4－11 练习3、如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE，过D作DG∥AC交BC于G．求证： （1）△GDF≌△CEF；（2）△ABC是等腰三角形． 练习4、如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形。 【★全等三角形+等腰三角形综合应用】 例1、如图,△ABC ≌△DEF,点F在BC边上,AB与EF相交于点P.若∠DEF =40∘,PB =PF,则∠APF =_____. 练习1、如图所示，已知等边△ABC中，BD =CE，AD与BE相交于点P，求∠APE的度数。 练习2、如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE. （1） 求证：AC=CD； （2）若AC=AE，求∠DEC的度数 知识板块5：反证法 先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法. 【反证法例题说明】如图所示，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等. 假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，这与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC. 知识板块5：反证法 先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法. 例1、用反证法证明等腰三角形的底角为锐角 练习1、用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60° 知识板块6：等边三角形的判别条件 定理　三个角都相等（/三条边都相等）的三角形是等边三角形. 定理　有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 【等边三角形的判定定理考查】 例1、下列条件中，不能得到等边三角形的是（ ） A．有两个内角是60°的三角形 B．有两边相等且是轴对称的三角形 C．有一个角是60°且是轴对称的三角形 D．三边都相等的三角形 练习1、下面给出的几种三角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上中线的三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．其中是等边三角形的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 练习2、如图，D、E在线段BC上，BD=CE，∠B=∠C，∠ADB=120°.求证：△ADE是等边三角形. 【★等边三角形性质和判定综合应用】 例1.如图所示，在等边△ABC中，D为AC边上一点，BD=CE. ∠1=∠2. 在判断△ADE的形状时，小明认为△ADE是等腰三角形，而小亮认为△ADE是等边三角形，你认为谁的判断准确？并说明理由。 练习1、如下图所示，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD。求证：△ADE为等边三角形。 练习2、如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F. (1)求证：AN=MB； (2)求证：△CEF为等边三角形； 学科网（北京）股份有限公司 $$